Определение оптимальных законов управления процессами движения электропоезда Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 629.42

В.Д. ДМИТРИЕНКО, д-р техн. наук, проф., НТУ"ХПИ", Харьков, В.И. НОСКОВ, д-р техн. наук, проф., НТУ"ХПИ", Харьков,

В.С. БЛИНДЮК, канд. техн. наук, проф., УкрГАЖТ, Харьков,

М.В. ЛИПЧАНСКИЙ, канд. техн. наук, доц., НТУ"ХПИ", Харьков, А.О. НЕСТЕРЕНКО, асп., НТУ"ХПИ", Харьков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССАМИ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОПОЕЗДА

Решена задача линеаризации обратной связью по состоянию нелинейной математической модели электропоезда с тяговыми двигателями постоянного тока. На линейной математической модели электропоезда в форме Бруновского решены задачи оптимального управления при разгоне электропоезда. Ил.: 2. Библиогр.: 8 назв.

Ключевые слова: линеаризация обратной связью по состоянию, математическая модель электропоезда, задачи оптимального управления.

Постановка проблемы и анализ литературы. В настоящее время на железных дорогах Украины эксплуатируются электропоезда пригородного сообщения с двигателями постоянного тока, изготовленные свыше 20 - 25 лет назад. Процесс разгона таких электропоездов осуществляется с помощью системы на основе дополнительных резисторов, на которых выделяется существенное количество энергии. Несмотря на то, что имеются более совершенные системы управления тяговым приводом, установка таких систем на эксплуатируемый подвижной состав не целесообразна из-за высокой стоимости их модернизации. В то же время, по крайней мере, основная часть электропоездов будет эксплуатироваться ещё не менее 8 - 10 лет. В связи с этим возникает проблема совершенствования существующих законов управления электроприводом используемых электропоездов. Вопросами синтеза законов управления дополнительными резисторами занимались многие авторы [1], однако проблема до конца не решена. Это связано с тем, что не только полная модель электропоезда с двигателями постоянного тока слишком сложна для поиска оптимальных законов управления, но и максимально упрощенная модель, полученная на основе замены тягового электропривода одним эквивалентным двигателем постоянного тока с последовательным возбуждением (рис. 1) остается сложной для поиска оптимальных законов управления.

Е

ип

Lя

Яя

Ев

Яв Яд

н

Рис. 1. Эквивалентная схема тягового электропривода электропоезда

На схеме приняты следующие обозначения: ип - напряжение питания эквивалентного двигателя; Ея, Яя, Ев, Яв - соответственно индуктивности и активные сопротивления якорной цепи и обмотки возбуждения двигателя; Е - электродвижущая сила якоря; Яш, Яд -активные сопротивления шунта и дополнительного резистора.

Используя эквивалентную схему тягового электропривода, математическую модель объекта управления можно записать в виде [1]:

где /Я, гВ - соответственно ток якорной обмотки и ток обмотки возбуждения; ЬЯ, ЬВ - соответственно индуктивности якорной обмотки и обмотки возбуждения; иП - напряжение питания эквивалентного двигателя; ЯЯ, ЯШ, Яд, ЯВ - соответственно активные сопротивления якорной цепи, шунта, дополнительного резистора и обмотки возбуждения; СЕ, у, в , СМ, к2, а0, аь а2 - постоянные коэффициенты; Ш - число витков обмотки возбуждения; п - обороты электродвигателя; у(1 - ер'Я) - аналитическое описание кривой намагничивания; ^ -передаточное отношение редуктора электродвигателя; т - масса электропоезда; ЯК - радиус колеса колесной пары; к - число двигателей электропоезда; ] - коэффициент, учитывающий уклон железнодорожного пути, в общем случае зависит от участка пути; g - ускорение свободного падения.

(1)

Поскольку объект управления описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, то аналитический синтез регулятора затруднен, хотя возможен, например, с помощью метода аналитического конструирования регуляторов по критерию обобщенной работы [2, 3]. Однако этот метод предполагает

использование трудоемких итерационных процедур расчета матриц коэффициентов. Трудоемких вычислений требуют и другие методы [4, 5]. В связи с этим актуален поиск методов, решающих задачу оптимального управления тяговым электроприводом электропоезда с приемлемыми затратами машинного времени.

Целью статьи является разработка метода решения задач оптимального управления электропоездом на основе геометрической теории управления.

Геометрическая теория управления предполагает вначале переход с помощью средств дифференциальной геометрии в новое пространство, где математическая модель объекта управления остается эквивалентной исходной модели, но становится линейной. Затем синтез регулятора или законов управления для объекта, который описывается системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, а потом -обратный переход в исходное пространство, где объект описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений [6, 7].

Запишем систему уравнений (1) привода электропоезда в режиме разгона в более удобной форме:

^*1 Вх,

— = Яю+ аих1 + аих2 + 013X3 + а131хзеВ 1 + а11и х1и;

ёх2

— = 021*1+ 022*2; (2)

= а30+ а31х1 + а311х1е^Х1 + а33х3 + а333Х,,

где х = /Я; х2 = /в; х3 = п; а10, а1Ь а12, ..., а33, а333 - постоянные коэффициенты; и = Яд - управление.

Необходимым и достаточным условием линеаризации обратной связью по состоянию [6, 7] в некоторой окрестности О начала координат математической модели нелинейного объекта управления, описываемого системой из п обыкновенных дифференциальных уравнений, является

наличие в ^ матрицы управляемости С = |у,ЬХУ,...,ЬХУ”-2,ЬХУп -1|

ранга п О может обращаться в нуль в начале координат) и

инволютивного множества {У, ЬХУЬХУ ”-2}, составленного из

/ЭЭЫ 2079-0031 Вестник НТУ "ХПИ", 2012, № 38

57

первых (п - 1) столбцов матрицы О. Здесь X, У - векторные поля, связанные с линеаризируемой системой дифференциальных уравнений; ЬХУ - производная Ли векторного поля У вдоль векторного поля X; Ь"Х2У, Ь"Х1У - производные Ли (п - 2)-го и (п - 1)-го порядков поля У вдоль векторного поля Х [6, 7].

С системой дифференциальных уравнений (2) связаны векторные

поля:

X (x) =

«о + 2X2 + «і 3x3 + «із 1x3

xe'

ßxi =

= fi

a21x1 + a22x2 f2

,ßx1

+ й31х3 + a311x1ep 1 + a33x3 + a333x3 = f3

(З)

Y (x ) =

a11uX1 = Уі о = У2 о = Уз

(4)

где х = (х15 х2, х3).

Из условия линеаризации нелинейного объекта управления следует, что для линеаризации системы уравнений (2) обратной связью в пространстве "вход-состояние" необходимо, чтобы скобки Ли от двух

первых столбцов матрицы управляемости С = у,ЬхУ,1}ху\^ были равны

нулю при ранге матрицы управляемости, равном трем [6, 7].

Вычислим первую производную Ли:

LxY = —x - — y = X dx dx

дУ1 дУ1 дУ1

Cx3 дх9 дхз

дУ2 дУ 2 дУ2

dxj дХ2 дх3

дУз дУз дУз

dxj дх2 дх3

д/1

_ f _

дт1 дx2 дx3

дЛ df2 f

дх дх2 дх3

df3 df3 df3

дх дх2 дх

x3

«1 lu о о f1 «il + a131ßx3eßxi «12 «13 + «13ißeßxi

о о о f2 - «21 2 2 о

о о о f3 «31 + a311eßXl + a311ßx1eßXl о aзз + 20333X3

«11ux1

о =

о

«llu («1о + «12x2 + «13x3 + a131x3eßXl - ai31ßx1x3eßXl) = Ф1

- «11u«21x1 =ф2 - «11ux1 («31 + a311eßXl + a311ßx1eßXl ) = Ф3

a

зо

ISSN 2079-0031

[Y,LXY] и ранг матрицы D = |Y,LXY,[Y,LXY]|. Непосредственная

проверка показывает, что скобки Ли [Y,LXY] не равны нулю, а ранг

матрицы D равен трем. Отсюда следует, что условия линеаризации обратной связью системы управления (2) в пространстве "вход-состояние" не выполняются. Поэтому в канал управления необходимо вводить дополнительную переменную х4 = и, а в систему уравнений (2) -дополнительное дифференциальное уравнение:

dx\ в

— = а10+ аих1 + а12х2 + а13х3 + а131х3ер 1 + аПих}х4;

dx2

— = а21х1 + а22х2;

ddt (5)

dx3 вх 2

= а30 + а3 х + а31 Лев 1 + а33х3 + а333х3 ;

dx dt V

где v - новое управление.

Непосредственное вычисления производных и скобок Ли, аналогичные вышеприведенным, показывают, что условия линеаризации системы нелинейных дифференциальных уравнений (5) не выполняются. Введение одной, двух или любого числа новых переменных (дифференциальных уравнений) в систему уравнений (5) не позволяет линеаризовать обратной связью систему уравнений (5) в пространстве "вход-состояние". Во многом это связано с тем, что в правые части

уравнений (5) входят одночлены с евх1, описывающие кривую намагничивания материала двигателя. Учитывая, что в процессе разгона электропоезда двигатели постоянного тока основное время работают в режиме насыщения магнитного потока, то кривую намагничивания можно приблизить двумя отрезками прямых: АВ и ВС (рис. 2), а при решении задачи оптимизации режима разгона электропоезда использовать только отрезок ВС. Сравнение переходных процессов при различных интенсивных режимах разгона электропоезда при использовании экспоненциального приближения кривой намагничивания и отрезка ВС, приближающего кривую намагничивания в режиме насыщения магнитного потока, показало их несущественное отличие.

Рис. 2. Приближение кривой намагничивания электродвигателя постоянного тока

При упрощенном описании кривой намагничивания математическая модель (2) может быть записана в виде:

дхх

= Ъ10 + Ъ11х1 + Ъ12х2 + Ъ13х3 + и1;

ёх2

^ = Ь21Х1 + Ъ22х2 ; (6)

ёх^

Л

= Ь30 + Ь31х1 + Ь31х1 + Ъ33х3 + Ь333х3,

где Ъ10, Ьп,Ъ333 - постоянные коэффициенты; и = я11их3и .

С системой дифференциальных уравнений (6) связаны векторные

поля:

(7)

Для линеаризации системы уравнений (6) необходимо, чтобы скобки Ли от двух первых столбцов матрицы управляемости

Ъ10 + Ъ11х1 + Ъ12х2 + Ъ13х3 _ §1 1

X = Ъ21х1 + Ъ22х2 = §2 , К1 = 0

Ъ30 + Ъ31х1 + Ъ31х1 + Ъ33х3 + Ъ333х3 = §3 0

были равны нулю управляемости, равном трем [6, 7]. Имеем:

при ранге матрицы

= ёИ х _ ёХ1 к =_ ёХ1 к =

1 ёх

/ЭЭЫ 2079-0031

ёх

- Ъ11 - Ь

21

1 _ а.

- Ъ31

Вестник НТУ "ХПИ", 2012, № 38

60

^¿хЮг СХ1

СХх

Сх

X-----------1 ^ У =-------------1 ьх к =

1 Сх Х1 1 л- Х1 1

Сх

Ь11 Ь12 Ь13 -Ь11 Ь11 + Ь12Ь21 + Ь13Ь31

Ь21 Ь22 0 -Ь21 = 21 Ь 2 2 Ь + Ь1 21 Ь

Ь31 0 Ь33 + 2Ь333х3 -Ь31 Ь31Ь11 + Ь31(Ь33 + 2Ь333Х3)

где X = (^, х2, Х3 ) .

Непосредственная проверка ранга матрицы управляемости показывает, что он равен трем, а скобки Ли [ У1, ЬХ^ у_] равны нулю,

поскольку первые два столбца матрицы С являются постоянными. Таким образом, выполняются необходимые и достаточные условия для преобразования системы уравнений (6) к линейному виду в формуле Бруновского [6, 7]:

Схх

Ж

■ =

Ж

Сх3

Л

■ = V ,

(8)

где 7Ь х2, г3, V - переменные и управление в пространстве «вход -состояние».

В этом случае существуют функции Т1(х1,х2,х3), / = 1,3

2, Х3)

помощью которых осуществляется переход от переменных переменным (/' = 1,3):

2г = Тг (Х1, Х2, Х3), I = 1,3 .

Подставляя выражения (9) в систему уравнений (8), получим: Ах1 СТ1( х) Сх СТ1( х)

А Сх А Сх

Сг2 ОТ2 (х) Сх ОТ2 (х)

&

Сх Л

Сх

^(ёъ g2,83)+У1м1)=Т2(х);

с#8 82,83)+У1и1)=Т3(х);

Сг3 СТ3 (х) Сх СТ3 (х)

Ж

Сх А

Сх

(£( 8l, 82,83) + У1и1) = v.

с

н к

(9)

(10)

(11)

(12)

По теореме о линеаризации обратной связью по состоянию для функции Т должны выполнятся соотношения [6, 7]:

УТ (х)аС0 У = УТ (х) У = 0;

УТ (х)а^ у = 0; УТ (х)а<і* 0,

(14)

(15)

где УТ](х) =

; аё0„У1 - скобки Ли нулевого порядка,

т Т. Т

СЦ ' Й^2 ' СЦ у равные самой функции У1.

Из соотношений (13), (14) с учетом значений столбцов матрицы управляемости О имеем:

УТ( х)у =

дТ Т дТу

дх2 дх3

1

0

0

дТ

дх1

= 0;

(16)

УТ1( х)аё„У1 =

дТ! дТ1 дТ1

дх1 дх2 дх3

1 1Ь

2 Ь 1

3 Ь 1

(17)

= —Ь,

дТі _ь дТі

дх

21

дх

Ь

31

дТ

сХ,

= 0.

2 ^л3

Из выражения (16) следует, что функция Т не зависит от переменной хь поэтому уравнение в частных производных (17) можно записать в виде:

, дТ1 , дТ1 .

Ь21 _ + Ь31 _ = 0 •

дх2 дХз

(18)

Одним из возможных решений уравнения (18) является следующее:

(19)

7’ Ь31

Т1 = х3 — Т~ х2 • Ь21

Проверим возможность использования этого решения. Вначале убедимся, что выполняется неравенство (15) при решении (19):

УТ1( х)ай 2У1 =

0

Т Т

дх2 дх3

Ь11 + Ь21Ь12 + Ь13Ь31 Ь11Ь 21 + Ь21Ь22 Ь11Ь31 ^ Ь31(Ь33 ^ 2Ьзззхз )

Ь31Ь22 + Ь31(Ь33 + 2Ь333х3) ^ 0 •

Таким образом, неравенство (15) выполняется. «БИ 2079-0031

^2 = Т2( х) = 1„71( х) = У7!( х) х) =

0 —21 1

Ь31

= Ь30-

^31^22/ 1 2

31 22 х2 + О33Х3 + Ь333х3 ;

¿3 = Т (х) = !„72( х) = У72( х) g( х) =

0

572 372

дх2 дх3

81

82

83

Ь31Ь

22

(Ь21х1 + Ь22х2) + (Ь33 + 2Ь333х3)(Ь30 + Ь31х1 + Ь33х3 + Ь333х3 ) •

Для определения взаимосвязи между управлениями в исходной системе уравнений (6) и в системе уравнений в форме Бруновского (8) воспользуемся последним уравнение из системы (8)

&

- = V •

или, так как х3 = Т3, то:

С^3 СТ3 СТ3 Сх СТ3

Л Л Сх Л Сх

Поскольку

/ ч СТ3 СТ3 (g + Ум) = —g + — Ум = v •

Сх

Сх

то из (20) следует:

V-Ь37

(20)

(21)

М1 = 9 >

Ьу! ь\7

то есть взаимосвязь между управлениями в разных моделях определена.

Синтез оптимальных управлений электропоездом с помощью системы управления в форме Бруновского и принципа максимума Понтрягина. Оптимизация процессов перевозки пассажиров электропоездами является одной из важных задач железнодорожного транспорта пригородного сообщения. В зависимости от специфических особенностей, предъявляемых к перевозке пассажиров, движению ISSN 2079-0031 Вестник НТУ "ХПИ", 2012, № 38

63

21

электропоездов, состояния пути и положения других составов могут быть сформулированы различные задачи оптимального управления электроприводом электропоезда. Несмотря на большое число таких задач, большинство из них может быть сведено к решению задач управления при минимизации или максимизации некоторого функционала. Наиболее часто в теории управления решается задача минимизации времени перевода объекта из одной точки фазового пространства в другую или, другими словами, задача максимального быстродействия. Эта задача важна и при управлении разгоном электропоезда, особенно в тех случаях, когда график движения составов весьма напряжен.

Решение задачи максимального быстродействия. Поскольку в форме Бруновского математическая модель объекта управления содержит всего три линейных дифференциальных уравнения, то задачу максимального быстродействия можно решить с помощью принципа максимума Понтрягина.

Сформулируем вначале задачу максимального быстродействия как задачу достижения максимальной скорости за минимальное время при управлении добавочным сопротивлением Rд. В исходной системе уравнений (1), обороты эквивалентного электродвигателя, а, следовательно, и скорость движения электропоезда, определяется в результате интегрирования третьего дифференциального уравнения. В системе уравнений в форме Бруновского (8) переменной, прямо соответствующей скорости движения электропоезда нет. Однако переменная zl определяется соотношением (19):

Ті

Zl = X3- -31 X2, (22)

^21

где х3 - обороты электродвигателя, пропорциональные скорости V движения электропоезда:

2пх>

V = —3 RK ; ц К ;

ц - передаточное отношение редуктора электродвигателя; RK - радиус колеса колесной пары; Ь3ь Ь21 - постоянные коэффициенты; х2 - ток возбуждения.

В процессе разгона электропоезда ток возбуждения меняется не более чем на 20%, поэтому в первом приближении можно полагать, что переменная z\ в системе уравнений в форме Бруновского моделирует скорость движения состава. Поэтому при решении задачи максимального

быстродействия необходимо достичь максимальной скорости Утх за минимальное время при управлении сопротивлением Яд.

Из вида системы дифференциальных уравнений (8) в форме Бруновского и необходимости достижения максимального значения переменной 21 следует, что управление V в начальный момент движения должно принимать максимальное значение и оставаться таким до конца интервала управления, однако максимальное значение управления V (или минимальное значение сопротивления Яд) зависит от тока якоря, поэтому в каждый момент процесса разгона величина управления (величина сопротивления Яд) определяется соотношением:

V = Vmax (ЯЯ)

или

ЯД _ ЯД тт(ЯЯ ) ,

где vmax(RЯ) - максимально возможное управление при заданном

значении тока якоря; Яд тп(ЛЯ) - минимально возможное значение

сопротивления при заданном значении тока якоря.

Таким образом, решение задачи максимального быстродействия в этом случае тривиально и определяется в каждый момент времени предельно большим управлением V (или предельно малым значением сопротивления Яд).

Решение задачи разгона электропоезда при ограничениях на расход управления и переходные динамические процессы. Система уравнений в форме Бруновского в этой задаче имеет вид:

Сх1 С22 С23

~г = ~= 23; _= V.

Л С1 С1

Требуется определить управление V, на которое наложено ограничение ^п < V < vmax, минимизирующее функционал

Ь

3 = { (1 + Ъо(23о- 23«))2 + Ъу 2)СГ, (23)

1о

где Ь0, Ь1, 230 - константы,

при разгоне электропоезда из начального состояния 2 ^ = 0 , ] = 1,3 в

конечное состояние, в котором 21 = г1тах(/1), а на переменные 22 и 23 ограничения не заданы.

Основные соотношения принципа максимума для объекта управления (8) и функционала (23) и имеют вид [1, 3, 5]:

H (2J (/), XVJ (4 v) = ^ 22 + *¥2 23 + ¥3 v +

+ ^0[1 + Ъ (2зо - 2з (/))2 + Ъ^2], ] = 073;

(24)

H(Zj (t), ¥j (t), v) - max(H(z, (t), ¥ (t), v)), j - 0,3 ; (25)

j j veG j j

dz j 5H —

d--7557; Zi ('o)=0- j-°,3; (26)

^_ - _5H ; 5 (t) -5 , j - 0,3 ; (27)

dt dzj J ( j1 ’ j , ; ( )

где G - область допустимых управлений, задаваемая интервалом [vmn, vmax]; Zj (t0), j - 0,3 - значения фазовых координат в начальный

момент времени; 5j (t1), j - 0,3 - значения сопряженных переменных в

конечный момент интервала управления.

Если управление v не принимает своих граничных значений vm n, vmax и находится внутри интервала управления [vmin, vmax], тогда справедливы выражения:

r)H

Ф ----- 53 + 2b1v50 - 0 ;

dv

Т3 - -2VY0.

Из теории принципа максимума [3, 5, 7] известно, что для нормальных вариационных задач, к которым относится и решаемая задача, сопряженные переменные определяются с точностью до произвольного постоянного множителя и обычно принимают, что 50 - -1. Кроме того, для рассматриваемой задачи справедливо соотношение:

H - max H(z j, ¥ ,■, v) - const - 0. (28)

veG J J

Двух интервалов Фи H уравнений движения не достаточно для исключения всех сопряженных переменных, однако с их помощью и с помощью скобок Пуассона [H, Ф]п можно получить третий интеграл движения [8]:

[H, Ф]п =X

j=1

if \ 3 OH 0Ф dH 0Ф

cz,- от. от a?,

V j j J J J

= 0. (29)

Так как функция Ф не зависит от Zj (j = 1,3) и зависит только от Т3, то в сумме (29) только одно слагаемое из шести не равно нулю: cH оФ

[H, Ф]п = — — = [Т + 2bo (Z30 - Z3 (t))] • 1.

0z3 0т3

Поскольку из выражения (29) скобки Пуассона равны нулю, то имеем:

Т2 = -2bo(?3o-?3(t)) . (30)

Сопряженные переменные могут быть получены и другим способом

- из уравнений (27):

dT 0H

—1 =---------= 0 и Т = const = C1; (31)

dt az1 1

^ = -£ = -4i и T = -Qt + C2; (32)

dt c?2

^ = -°H = -T2 + 2boTo(?3o-Z3(t)) . (33)

dt dz3

Из соотношений (30) и (32) следует, что

-2b0z30 + 2b0z3 (t) = C2 - Qt.

Приравнивая свободные члены и члены, зависящие от времени, получим:

C2 = -2bo Z3o ;

Ci = -2b0 М>.

Поскольку C1 - константа, то это возможно только при Zj (t) = к-J, поэтому имеем C1 = -2bok1 = T1.

Зная Tj (j = o, 3) из (24) и (28) можно определить управление v:

- 2bokz - 2bo (Z3o - Z3 (t))Z3 + 2^v2 - [1 + bo(Z3o - Z3(t))2 + b^2] = o

или

V2 =1 [2^*^ + 2Ъ0 (230 - 23 (0)^ +1 + Ъ (230 - 23 (/)) 2 ].

Ъ1

Отсюда получаем:

V = 1 + 2Ъ0*1^2 + 2Ъ°(230-23(¿))23 + Ъ°(230-^3(/))2 . (34)

V Ъ1 Ъ1 Ъ1 Ъ1

Поскольку значение подкоренного выражения в (34) может превышать , то соотношение (34) необходимо уточнить:

у = |л/°, есЛи</0 < У^;

1Утах , еслИл/° > Утах ,

т-ч 1 2ЪП , 2Ъл , Ъ 9

где О = — + —0к122 + —00 (г30 - 23(/))23 + (230 - 23 (/)) .

Ъ1 Ъ1 Ъ1 Ъ1

Если л/о > утах во всем интервале управления, то решение рассматриваемой задачи не отличается от задачи максимального

быстродействия.

При Ь0 = 0 получаем, что О = —, то есть, в этом случае, закон

Ъ1

управления совпадает с законом управления при решении задачи

максимального быстродействия при ограничениях на расход управления.

Выводы: таким образом, средствами геометрической теории управления впервые получена линейная модель электропривода электропоезда с двигателями постоянного тока, эквивалентная нелинейной модели привода. Показано, что с ее помощью можно решать задачи оптимального управления движением электропоезда.

Список литературы: 1. Моделирование и оптимизация систем управления и контроля локомотивов / В.И. Носков, В.Д. Дмитриенко, Н.И. Заполовский, С.Ю. Леонов. - Харьков: ХФИ "Транспорт Украины", 2003. - 248 с. 2. Красовский А.А., Буков В.И., Шендрик В.С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. - М.: Наука, 1977. - 272 с. 3. Справочник по теории автоматического управления / Под редакцией А.А. Красовского. - М.: Наука. 1987. - 712 с. 4. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5-ти томах. Т.5: Методы современной теории управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. -784 с. 5. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5 -ти томах. Т.4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 744 с.

6. Краснощеченко В.И., Грищенко А.П. Нелинейные системы: геометрический метод

анализа и синтеза. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 520 с. 7. КимД.П. Теория автоматического управления: учебное пособие в 2-х томах. Т.2: Многомерные, нелинейные,

/ЭЭЫ 2079-0031 Вестник НТУ "ХПИ", 2012, № 38

68

оптимальные и адаптивные системы. - М.: Физматлит, 2004. - 464 с. 8. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 томах. Т.1. Механика. - М.: Наука, 1988. - 215 с.

УДК 629.42

Визначення оптимальних законів керування процесами руху електропоїзда / Дмитрієнко В.Д., Носков В.І, Блиндюк В.С., Ліпчанський М.В., Нестеренко А.О.

// Вісник НТУ "ХПІ". Серія: Інформатика та моделювання. - Харків: НТУ "ХПІ". - 2012. -№ 38. - С. 55 - 69.

Вирішено задачу лінеаризації зворотнім зв'язком за станом нелінійної математичної моделі електропоїзда з тяговими двигунами постійного струму. На лінійній математичній моделі електропоїзда у формі Бруновського вирішені задачі оптимального керування при розгоні електропоїзда. Іл.: 2. Бібліогр.: 8.

Ключові слова: лінеаризація зворотним зв'язком за станом, математична модель електропоїзда, задачі оптимального керування.

UDC 629.42

Determination of the optimal control’s laws of the electric train movement processes / Dmitrienko V.D., Noskov V.I., Blindyuk V.S., Lipchansky M.V., Nesterenko A.O. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. -Kharkov: NTU "KhPI". - 2012. - № 38. - P. 55 - 69.

The problem of the feedback linearization by the state of the electric trains’s nonlinear mathematical model with DC traction motors is solved. The problems of the optimal control during the acceleration of the electric train are solved on the linear mathematical model in the Brunovsky form. Figs.: 2. Refs.: 8.

Keywords: feedback linearization by the state, the mathematical model of the electric train, optimal control problems.

Поступила в редакцию 09.06.2012