Линеаризация математической модели, описывающей процессы управления подвижным составом, методами дифференциальной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 861.5.015.2 Б01: 10.20998/2411-0558.2017.21.04

В.Д. ДМИТРИЕНКО, д-р техн. наук, проф., НТУ "ХПИ", А.Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, д-р техн. наук, доц., ученый секретарь НТУ "ХПИ",

Н.В. МЕЗЕНЦЕВ, канд. техн. наук, доц., НТУ "ХПИ", Д.М. ГЛАВЧЕВ, асп. НТУ "ХПИ"

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНЫМ СОСТАВОМ, МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Рассматривается задача линеаризации математической модели, описывающей процессы управления подвижным составом, с целью получения удобного инструмента для оптимизации процессов движения объекта управления. Задача линеаризации решается с помощью геометрической теории управления. При этом основные аналитические преобразования автоматизированы с помощью специализированного программного обеспечения. Поиск функций преобразования, связывающих переменные линейной и нелинейной моделей, осуществляется с помощью нового конструктивного метода решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Библиогр.: 10 назв.

Ключевые слова: линеаризация математической модели; подвижной состав; геометрическая теория управления; функции преобразования.

Постановка проблемы и анализ литературы. Большое число различных технических объектов рационально описывать и исследовать с помощью систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых часто удобно представлять в виде кривых и поверхностей в трехмерном пространстве. Поскольку одно из основных назначений дифференциальной геометрии состоит в изучении свойств таких геометрических объектов, то неудивительно, что на стыке теории управления техническими объектами и дифференциальной геометрии возникла геометрическая теория управления [1, 2], которая находит определенное применение при поиске оптимальных управлений различными объектами. Привлекательность геометрической теории управления (ГТУ) связана, в первую очередь, с получением эквивалентных нелинейным линейных моделей, которые удобно использовать для решения задач оптимального управления. Более широкому применению геометрической теории управления препятствуют громоздкие аналитические преобразования, связанные с вычислением производных и скобок Ли, определением инволютивности распределений и т.д [1 - 4], а также проблема определения функций преобразования, связывающих переменные линейных моделей в форме

© В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, Н.В. Мезенцев, Д.М. Главчв, 2017

Бруновского и исходных нелинейных моделей технических объектов управления. Большую часть аналитических преобразований удается автоматизировать с помощью специализированного программного обеспечения [4, 5]. Однако проблема определения функций преобразования в общем случае требует своего решения, что связано с необходимостью решения системы дифференциальных уравнений в частных производных вида:

дТ„ (х) дТ„ (х) дТ„ (х)

+ + ' + = 0;

дх1 дх2 дхп

дТ^ (х) д^ (х) д^ (х) ач1~дх-+ аУ 2~дх-+ * + ацп-= 0;

1

дх

2

дхп

аг1

дТ„ (х) дТ„ (х)

1Я дх1

+ аг 2-

дх2

-+ • + а

гп

дТ8 (х)

дхп

= 0;

(1)

дТ„ (х) дТ„ (х) дТ„ ( х) ак1—г-+ ак 2—т-+ • + акп~-= 0

дх

1

дх

2

дхп

где ац, а12, * , акп - постоянные коэффициенты, задаваемые векторным

полем объекта управления; Т^ (х) - неизвестная функция

преобразования для g-ой клетки Бруновского; х = (х1, х2, * , хп) -

вектор фазовых переменных исходного объекта; аг1, аг2, * , акп -

коэффициенты, определяемые производными Ли от функции Tg (х)

векторного аргумента х. Число уравнений в системе (1) зависит как от числа управлений, так и от индекса управляемости соответствующей клетки Бруновского. При числе управлений I = 3 и индексе управляемости, равном 4, число уравнений равно 12. Решение системы уравнений (1) в общем случае не является тривиальной задачей [1, 6]. В связи с этим в работе [7] был предложен поиск функций преобразований Т^ (х), где g = 1, 2, * , к^, kg - число клеток Бруновского, с помощью

нейронной сети, а также метод, связанный с уменьшением числа аргументов, от которых может зависит функция Tg (х). При этом на

правые части системы обыкновенных дифференциальных уравнений объекта управления наложены ограничения: только одно уравнение содержит три одночлена, а остальные уравнения содержат не более двух

39

одночленов. Увеличение числа одночленов в правых частях дифференциальных уравнений объекта управления может приводить к системам уравнений вида (1), которые требуют других подходов к их решению.

Целью статьи является разработка метода решения системы (1) уравнений в частных проводных, который расширяет возможность вышеуказанных методов решения этой системы.

Пусть дизель-поезд описывается как одномассовый объект с одним эквивалентным асинхронным двигателем [3, 8]:

— = к„ ю; Ж

£ = klVYdiq - а20 - а21ю - а22Ю -М);

di.

•2

d

dt

dYd dt

= ~Vd + Proiq + aLm YT + авYd +

Yd

1

cLt

~ud;

= -aYd + aLmid;

dp T iq

— = pro + aLm dt m Y d

(2)

-dq = -Yiq - Proid - aLm

1 dq - pPYd + 1

Y

d

cLs

-U,

где S - расстояние, отсчитываемое от начала движения дизель-поезда; t - текущее время, отсчитываемое от начала движения состава; ks, &i, a20, ^21, a22 - постоянные коэффициенты; ш - угловая скорость вращения эквивалентного тягового асинхронного электродвигателя; ksw = V - скорость движения объекта; m = pLm / JLr ; p, J -соответственно число пар полюсов статора электродвигателя и момент инерции объекта, приведенный к валу электродвигателя; Lm, Lr -соответственно индуктивность контура намагничивания и полная

22

индуктивность ротора; Y¿ = s¡Yur + Yvr - потокосцепление ротора

двигателя; Yur, Yvr - потокосцепления ротора двигателя соответственно по осям u и v; i¿ = ius cos p- ivs sin p - ток статора по оси d в системе

координат d, q ; iq = ivs cos p- ius sin p - ток статора по оси q в системе

О О

координат d, q ; p = arcsin( Yvr / J Yur + Yvr ) или

p = arccos(Yur /д/ Yur +Yvr ); ivs, ius - токи статора по осям v и u ; M (S) - момент, зависящий от профиля пути, в первом приближении

2 3

можно принять, что M(S) = bo + bjS + ¿2S + ЬзS ;

22

g = RrLm / sLsLr + Rs / sLs; o , Ls - соответственно полный коэффициент рассеяния и полная индуктивность статора; a =

1/ Tr ; Tr

постоянная времени ротора эквивалентного двигателя; b = Lm /(sLsLr ); ud = Uus cos p + uvs sin p ; uq = uvs cos p + uus sin p .

Введя обозначения: xi = S; X2 =w ; X3 = id; x4 = Yd ; X5 = p; x6 = iq ; a11 = ks ; a21 = k1 ^ ; a22 = -a20 ; a23 = -a21; a24 = -a22 ; a25 = b0 ; a26 = bi; a27 = ¿2; a28 = ьз; a3i = -y; a4i =-a; a42 = aLm; a5i = p; a52 = a42; a6i = a3i; ui = pro/q + uLm^/ Yd + aPYd + ud /(oLs);

u2 = -Pwid - aLmidiq / Yd - PProYd + uq /(0Ls ) .

Из системы уравнений (2) получим следующую модель, описывающую движение состава:

x1 = aiix2;

_ 2 2 3

x2 = a21x3x6 + a22 + a23x2 + a24 x2 + a25 + a26 x1 + a27 x1 + a28x1;

xx3 = a31x3 + a32 x4; .T4 = ^41x4 + ui;

(3)

x6

xx5 = a51x2 + a52—;

x3

x6 = a61x6 + u2.

С системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (3) связаны следующие векторные поля:

X (х) =

= а11х2

_ 2 2 3

#2 = а21х3х6 + а225 + а23х2 + а24х2 + а26х1 + а27х1 + а28х1

#3 = а31х3 + а32х4

#4 = а41х4

х6

#5 = а51х2 + а52

х3

#6 = а61х6

I |Т I |Т

У1 = |0 0 0 1 0 0 0|; 72 = |0 0 0 0 0

где х = (х1, х2, х3, х4, х5, х6) ; а225 = а22 + а25 •

Для определения возможного преобразования нелинейной системы (3) к линейному виду в форме Бруновского необходимо проверить

0 12

условия инволютивности для распределений М , М , М [1, 3].

Распределение М0 = врап{Г , 1^}, где врап{Г , Г2} - линейная

оболочка векторов Г , , инволютивно в силу постоянства соответствующих векторов.

Проанализируем теперь распределение М1 = Брап{У1 , У2, ЬхУь

¿хГ^}, где ЗД , - соответственно производные Ли векторных полей Г (г = 1, 2) вдоль векторного поля X :

ЬхГ1 = [X, Г1 ] = мX-^ХГ1 = =

дх

дх

дх

д#1 д#1 . д#1

дх1 дх2 дх6

д# 2 д#2 . д# 2

дх1 дх2 дх6

д#6 дх1 д#6 . дх2 д#6 дх6

а11

0 0 0

а26 + 2а27Х1 + 3а28Х1 а23 + 2а24х2 а21х6 0 0 а21х3

а31 а32 0 0 0 а41 0 0

0 0

0 0

0 0

а51 0

а52Х6 0 0 052

х32

х3

0 0 а61

0 0

0 0

0 - а32

1 — - а41

0 0

0 0

ОХ

ЬХУ2 =[Х, ¥2] = -"т ¥2 =

ОХ

0 - а21х3 0 0 -

а52 х3

а61

т

Для выполнения инволютивности распределения М1 необходимо, чтобы ранг матрицы гапк^ ,¥2,^¥1 ,—х¥2 ,[Xг-, Ху]), где Х^, Ху -

векторные поля из семейства (¥1 ,¥2, -^¥1 , —х¥2 ) был равен четырем.

Поскольку это условие не выполняется, то распределение М1 не является инволютивным. В связи с этим в систему уравнений (3) необходимо вводить дополнительное уравнение. Введем его во вторую часть системы уравнений (3):

Х1 = ацх2 = А;

Х2 = а21Х3 Хб + а225 + а23 Х2 + а24 х| + а25 + а26 Х1 + а27 Х2 + а28 Х3 = /2; х3 = а31х3 + а32 х4 = /3;

Х4 = а41Х4 + щ = /4 + «1; (4)

х6

х5 = а51х2 + а52-= /5;

х3

х6 = а61х6 + х7 = ./6; х7 = ^ /7 =

С новой моделью объекта управления связаны следующие векторные поля:

т

т

т

Х = /1,/2,• ,/7 ; ¥1 = 0001000 ; ¥2 = 0000001\ (5)

0

0

0

0 * *

Проверка инволютивности распределений М = БрапГ , Г2}, М1 = врап{Г1 ,Г2,Ьх,Ьх*Г*}, М2 = врап{Г1 ,Г2,Ьх*Г* ,Ьх*Г2,

2*2* 3 ** 3*3*

Ь *Г1 ,Ь *Г2}, М = Брап{Г1 ,Г2, • , Ь *Г1 ,Ь *Г2} показала, что все X X X X

распределения инволютивны. Таким образом, система уравнений (4)

может быть преобразована к канонической форме Бруновского, которая

имеет две клетки с индексами управляемости £ = 4 и £2 = 3 :

М- = г,-+ь г = 1, 2, 3, 5, 6;

м (6)

- = V1, - = V2•

м м

Для системы уравнений (6) существуют преобразования = Т[(х) = Т[(х\, х2, •••, х7) и £5 = Т2(х^, х2,..., х^) с помощью которых путем дифференцирования функций Т\( х) и Т2( х) вдоль векторного поля

х1 = X + и* Г + и**У2 можно определить ¿2, 23, 25, 26.

В результате дифференцирования функций Т\(х), Т2(х) имеем:

М.2л _ „ , *. „ , *. * _ „,*

—А = 22 = Ьх!Т1(х ) = Ьх* Т1(х ) + и1 ЬГ**Т1(х ) + и2ЬГ*Т1(х ); (7)

дХ

2 = 23 = Ьхг(Ьх* Т1(х )) = Ь2х* (Т1(х )) + ЩЬг* (Ьх* (Т1(х ))) +

* * + и2Ьу*> (Ьх* (Т1(х )));

3 = 24 = Ьх1(Ь2х,Т1(х )) = ЬЪ (Т1(х )) + щЬ * (Ь1 (Т1(х ))) +

X X -*1 X

мХ

* о *

+ ^ЬГ* (Ь2 *(Т1(х )));

Г2 x

(8)

(9)

$2/1 Я * А * * 7. *

4 = V! = Ьх1(Ь5х*Т1(х )) = Ь4 (Т1(х )) + ЩЬГ (Ь3 Т1(х )) +

1 X X Г1 X

мХ

* "I *

+ П2ЬГ* (Ь3 Т1(х ));

2 X

(10)

$25 * * * * * *

= 26 = Ьх1Т2(х ) = Ьх* Т2(х ) + и1 ЬГ]* Т2(х ) + и2ЬГ* Т2(х ); (11)

-6 = ¿7 = ЬХ (Ь Г2(Х )) = Ь2 (Т2(Х )) + щЬ * (Ь Г2(Х )) +

—Т Х Х Ч Х (12)

* *

+ щ2Ь¥*Т2(х );

—¿П 1 -к 1 -к * О -к

-7 = У2 = Ьх1(Ь2Х*Т2(х )) = Ь3Х*(Т2(Х )) + ЩЬ¥* (1? *Т2(Х )) + —Т Х Х Ч Х (13)

* 2 *

+ щ2Т2(Х ), * * * *

где ЬХ1Тк(Х ), Ь*Тк(Х ), Ь¥* Тк(Х ), Тк(Х ), к = 1,2 -

Х 1 ¥2

* * *

производные Ли функций Тк (х ) вдоль векторных полей Х1, Х , ¥1 ,

¥* ; - кратные производные Ли вдоль векторного поля О (О = Х ,

¥*, ¥2* ), т = 2,3.

Из системы уравнений в форме Бруновского следует, что переменные ¿1, 22, 23, ¿5 и ¿6 не зависят от управлений V и У2. Следовательно, в выражениях (7) - (9), (11), (12) коэффициенты при управлениях щ1* и щ2* равны нулю:

Ьу** Т1(Х )= Ьу* Т1(Х ) = Ьу** (ЬХ * Т1(Х )) = Ь¥* (ЬХ * Т1(Х )) = о * 1 -к

=ь *(ьХ *Т1(Х ))=ь *(Ь2 Т(х ))= 0; (14)

Х ¥2 Х

\к \к "к ^ "к

Ь¥*Т2(х ) = Ь¥*Т2(х ) = Ь¥* (ЬХ*Т2(х )) = ¿¡¥*Т2(х ) = 0. (15)

**

При этом коэффициенты при управлениях щ1 и щ2 в уравнениях (10) и (13) не равны нулю:

Ь* (ЬЪ *Т1(Х*)) = ЬЪ * ¥*) * 0;

¥ х \дхх

ь * (ь3х*Т1(Х*)) = ь3х*¥*) * 0;

2 х \дх х /

(16)

Ь¥* (Ь2х*Т2(Х*)) =0,Ь2х*¥1*) *0;

^ (^*Т2(Х*)) = 0,4^ * а

Соотношения (14) - (17) в компактной форме описывают систему из 10 дифференциальных уравнений в частных проводных и четыре

дифференциальных неравенства, с помощью которых можно определить

* *

функции преобразования Т1(х ) и Т2(х ). Эти функции в общем случае

*

могут зависеть от семи компонент вектора х = (х1, х2, • , х7). Из первых двух дифференциальных уравнений имеем:

*

\ п * * *

VТ,(х*)= д-Щ2 А= £^Л -0^ 0+

г \ дх / г=1 дх* дх1 дх2

А А А А А

+ дТ1(х ).0++дЖх_).1 +дМх_).0 +дЖх_).0 +дМх_).0.

д^3 дх4 д^5 д^6 д^7

*

Отсюда следует, что функция Т1 (х ) не зависит от аргумента х4 .

/ А \ А /Г А А

Vт,(х*)= г-Щ± А= £^= £«ШО.0+дТ!(х_1

2 \ дх / *=1 дх* *=1 дх* дх7

**

Поэтому функция Т1(х ) не зависит от х7 . Таким образом, Т1(х ) не зависит от х4 и х7 .

*

Для дальнейшего анализа функции Т1( х ) необходимо использовать из соотношения (14) следующие четыре дифференциальных уравнения в частных производных, в которых используются производные Ли первого и второго порядка:

ЬГ* (Ь *Т1(х*)) = ,Ь Г ) = 0; (18)

Г1 х \ дх х

ЬГ* (Ь *Т1(х*)) = ,Ь *Г* ) = 0; (19)

Г2 х \ дх х

Ь* (Ь2 *Т1(х*)) = ,Ь2 *Г* ) = 0; (20)

Г1 х \ дх х

Ь¥* (Ь2х*Т1(х*)) = Рдх1,Ь2х*Г2" ) = 0, (21)

* *

* д¥ * дХ дХ

Ь *¥* = [Х , ¥1 ] = —*Х - — ¥1 =- — ¥1 = Х

дХ

дХ

дХ

= 0 0 - а32 а41 0 0 0

т

* дХ * т

Ь *¥*= [Х , ¥2 ] =--¥2 =| 0 0 0 0 0 - 1 0|т:

Х дх

(22) (23)

2* Ь * ¥1 =

Х

0, а21а23x6, а32(а31 + а41Х a41, -(а32а52х6 / хзХ 0, 0

т

; (24)

Ь2 ¥2* = Х* 2

0, а21Х31, 0, 0, а52 / Х31, а61, 0

т

(25)

Из соотношений (18) и (22) получим:

Ь¥* (Ь Т(х*)) = №,Ь *¥*) = №,| 0 0 -а32 -а41 0 0 0 |Т

¥1 Х \дх Х / \дх I

* *

дТ1(х ) дТ1(х ) . . Л

" • (-а32) + V • (-а41) = 0

дх3

дх4

* дТ(х ) Поскольку Т (х ) не зависит от Х4 , то —--= 0 и отсюда

дх4

** следует, что Т^х ) не зависит от Х3, т.е. Т^х ) не зависит от Х3, Х4,

х7 .

Из соотношений (19), (23) имеем

Ь¥ • (Ь .Т,(Х *)) = «ИХ->, Ь.У* ) = №> ,| 0 0 00 0 -1 0 Г

2 Х \ дх Х \ дх

= 1

дТ1(х ) • 0 + дТ1(х )

I=1 дхг-

I * 6

дх6

(-1) = 0.

Отсюда следует, что Т^х ) не зависит и от Х6 . Из выражений (20), (21) и (24), (25) с учетом того, что функция Т\ не зависит от х3 , х4 , х6 , х7 несложно получить

дТ1(х ) ,2

Ь .¥, =

ь¥*(ьх*ЖХ )) = ^

дТ1(х К дТ1(х ) а52

дх2

а21

дх5 х32

= 0;

Г (Ь2х,Т,(х*)) = Ж),Ь2 .Г* = ^ацх3 ^ = 0.

Г2 х \ дх х / дх2 дх5 х3

Решение системы уравнений

* *

дТ1(х ) а дТ1(х ) а52 = 0.

-а21--Г---2 = 0;

дх2 дх5 х32

* *

дТ1(х ) дТ1(х ) а52 .

———- а21х3 +———= 0

дх2 дх5 х3

(26)

показывает, что функция Т1 не зависит и от х2 , х5 . Таким образом, функция Т1 является функцией только одного аргумента х1 .

Теперь проверим выполнение неравенств (16). Для этой проверки

л ^ л ^

необходимо знать Ь *Г и Ь *Г . Эти производные Ли можно

X X

-3 * -з

Ь *Г* и Ь3 X X

вычислить с помощью соотношения

2*

3 * * 2 * х * р * дх 2 *

Ь *Гр = [х ' Ь*Гр] = * х Г Ь*Гр' р =1 2.

х х дх дх х

Из выражений (16) следует

(§-• Ь^) = (Ь3х«Г'** -0 (27)

<28)

3 * 3 * —

где (Ь *Г1 )*, (Ь *Г2 )*, / = 1, 7 — соответственно компоненты X X

3 * 3 * производных Ли Ь *Г1 , Ь *Г2 .

X X

*

Поскольку функция преобразования Т1(х ) не зависит от

дТ дТ дТ

х2, х3, • , х7, то производные —-, —-, • , —- равны нулю и

дх-! д^3 д^7

соотношения (27), (28) можно записать в виде

д1(Ь3х*Г*)1 = ^?Т^(-апа21а32х*) - 0; (29)

дх X дх1

Ь3Х*¥*)1 ^(-а^Л) * 0, (30)

дх1 Х дх1

где (-аца21а32Х6), (-аца21Х3) - соответственно первые компоненты

3 * 3 * производных Ли Ь *¥1 , Ь *¥2 .

ХХ

Неравенства (29), (30) выполняются при Т\ = х^ и Х6 * 0, Х3 * 0 . В общем случае система уравнений в частных производных (26)

может иметь вид системы линейных однородных уравнений

* *

дТ1(х ) дТ1(х ) 1 П1 + 1 П2 = 0;

дхк дxq

* *

дТ1(х ) дТ1(х ) 1 П3 + 1 П4 =0,

дхк дxq

где г|ъ Л2, Я3, Л4 - функции, зависящие в общем случае от компонент

*

вектора х и коэффициентов ац, а12, • . Такая система обладает

* *

дТ1(х ) дТ1(х ) 0 нулевым решением —--= —--= 0 .

дхк ^

Нулевым решением обладает и система однородных уравнений, содержащих в общем случае т частных производных функции преобразования [10]:

А А А

дТ1( х ) дТ1( х ) дТ1( х )

дх П11 + ' П12 + • , дх П1т =0;

дхк дхк +1 дхк+т-1

дТ1( х ) дТ1( х ) * дТ1( х ) = 0

Лт1 + Лт2 + * , птт 0,

дхк дхк+1 дхк+т-1

где Цу (/, у = 1, т) - в общем случае функции, зависящие от компонент

*

вектора х и коэффициентов ац, а^, * .

Таким образом, предложен конструктивный подход к уменьшению числа аргументов функций преобразования.

*

В рассматриваемой задаче при Т\(х ) = Х1 = ^ выполняются все

*

соотношения (14) и (16). Зная Т^(х ) путем последовательного взятия

*

производных Ли вдоль векторного поля X несложно получить выражения, связывающие переменные линейной и нелинейной моделей для первой клетки канонической формы Бруновского:

7 *

^ и 1л ( X ) ^

г2 = ^Т^) = ^— Хг = апх2;

I =1 1

*

7 d(L *Ti(x ))

z3 = Lv* (LV*Ti(x )) = Z-^-Xi = aii(a2ix3a6 +a225 +

X X i=i dai

+ a23X2 + a24 a2 + a26 Xi + a27 a2 + a28 a3 );

7 5(L2 *Ti(x*))

Z4 = L *(L2 *Ti(x*)) = Z ^ " X/, и т.д.

X X i=i dxi

Аналогичным образом нетрудно определить функцию T2(x ), связывающую переменные линейной и нелинейной моделей для второй клетки канонической формы Бруновского.

Сопоставление результатов моделирования объекта управления с помощью моделей (4) и (6) показывает их полное совпадение, что подтверждает правильность математических преобразований как при получении модели (6), так и при получении функций преобразований, связывающих переменные линейной и нелинейной моделей. Полученные линейные модели могут быть использованы для поиска оптимальных управлений с помощью принципа максимума Понтрягина [3].

Выводы. При решении задачи линеаризации нелинейных моделей к эквивалентным линейным средствами геометрической теории управления предложен конструктивный метод определения функций преобразования, связывающих переменные линейной и нелинейной моделей, из системы дифференциальных уравнений в частных производных с дифференциальными ограничениями. Работоспособность метода продемонстрирована на линеаризации математической модели процессов движения состава с тяговым асинхронным приводом.

Список литературы: 1. Краснощёченко В.Н. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза / В.И. Краснощёченко, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. - 520 с. 2. Kim D.P. Automatic Control. Theory Nonlinear and Multivariable System / D.P. Kim. - Seal: Harnol, 2000. - 558 p. 3. Дмитриенко В.Д. Моделирование и оптимизация процессов управления движением дизель-поездов / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковороный. - Харьков: НТМТ, 20i3. - 248 с. 4. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2 Многомерные нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: учебное пособие / Д.П. Ким. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с. 5. Дмитриенко В.Д. Преобразование нелинейных систем управления к эквивалентным линейным в канонической форме Бруновского / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный

// Электротехнические системы и комплексы. - Магнитогорск: МГТУ, 2014. - № 4 (25).

- C. 8 - 14. 6. Дмитриенко В.Д. Автоматизация процессов преобразования нелинейных моделей к эквивалентным линейным в форме Бруновского / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Вгсник НТУ "ХШ". - Харшв: НТУ "ХШ", 2014. - Вип. 62 (1104).

- С. 22 - 37. 7. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1978. - 304 с. 8. Дмитриенко В.Д. Метод поиска функций преобразования, связывающих переменные нелинейных и линейных моделей в ГТУ / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, Д.М. Главчев // Вюник НТУ "ХШ". - Харшв: НТУ "ХШ", 2016. - Вип. 44 (1216). - С. 14

- 30. 9. Носков В.И. Моделирование и оптимизация систем управления и контроля локомотивов / В.И. Носков, В.Д. Дмитриенко, Н.И. Заполовский, С.Ю. Леонов. - Х.: ХФИ "Транспорт Украины", 2003. - 248 с. 10. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. -СПб.: Лань, 2008. - 432 с.

References:

1. Krasnoshechenko, V.N., and Krishenko, A.P. (2005), "Nonlinear systems: geometrical method of analysis and synthesis", Bauman Moscow State Technical University (BMSTU), Moskow, 520 p.

2. Kim, D.P. (2000), "Automatic Control. Theory Nonlinear and Multivariable System", Seal: Harnol, 558 p.

3. Dmitrienko, V.D., and Zakovorotny, A.Y. (2013), "Modelling and optimization of management processes of diesel trains", НТМТ, Kharkiv, 248 p.

4. Kim, D.P. (2004), "Theory of automatic control. T. 2 Multidimensional nonlinear, optimal and adaptive systems", FYSMATLIT, Moskow, 464 р.

5. Dmitrienko, V.D., and Zakovorotny, A.Y. (2014), "Converting the nonlinear control systems equivalent to the linear canonical Brunovsky form", Electrical systems and complexes, Magnitogorsk: MSTU, Vol. No 4 (25), pp. 8-14.

6. Dmitrienko, V.D., and Zakovorotny, A.Y. (2014), "Automation of processes of transformation of nonlinear models to equivalent linear in the Brunovsky form", Herald of NTU "KhPI", Vol. No 62 (1104), pp. 22-37.

7. Arnold, V.I. (1978), "Additional chapters of the theory of ordinary differential equations", Science, Moskow, 304 p.

8. Dmitrienko, V.D., Zakovorotny, A.Y., and Hlavchev, D.M. (2016), "The method of searching for the transformation functions connecting the variables of nonlinear and linear models in the GCT", Herald of NTU "KhPI", No 44 (1216), pp. 14-30.

9. Noskov, V.I., Dmitrienko, V.D., Zapolovsky, N.I., and Leonov, S.Y. (2003), "Modelling and optimization of locomotive management and control systems", KhPhI "Transport of Ukraine", Kharkiv, 248 p.

10. Kurosh, A.G. (2008), Course of Higher Algebra. St. Petersburg., Lan, 432 p.

Статью представил д-р техн. наук, проф. Кучук Г.А.

Поступила (received) 05.06.2017

Dmitrienko Valerii, Dr. Tech.Sci., Professor

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel.: +38 (057) 707-61-98, e-mail: valdmitrienko@gmail.com

ORCID ID: 0000-0003-2523-595X

Zakovorotniy Alexandr, Dr. Tech.Sci., Docent

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

BiCHUK Нацiонапbного технiнного yHiBepcumemy "Xni", 2017, № 21 (1243)

Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002 Tel.: +38 (097) 967-32-71, e-mail: arcade@i.ua ORCID ID: 0000-0003-4415-838X

Mezentsev Nickolay, Cand. Tech.Sci., Docent

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel.: +38 (098) 859-88-98, e-mail: besitzer@i.ua

ORCID ID: 0000-0001-7834-2797

Dmytro Hlavchev, master

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute" Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002 Tel: +380993049807, e-mail: dmitriyglavchev@gmail.com ORCID ID: 0000-0003-4248-4819

УДК 861.5.015.24

Лшеаризащя математично'1 модел^ яка описуе процеси управлшня рухомим складом, методами диференщально!' геометрп / Дмитрiенко В. Д., Заковоротний О.Ю., Мезенцев М.В., Главчев Д.М. // Вюник НТУ "ХШ". CepÎH: 1нформатика та моделювання. - Харк1в: НТУ "ХП1". - 2017. - № 21 (1243). - С. 38 - 53.

Розглядаеться задача лшеаризацп математично1' моделi, яка описуе процеси управлшня рухомим складом, з метою отримання зручного шструменту для оптимiзацiï процесiв руху об'екта управлшня. Задача лшеаризацп вщлшуеться за допомогою геометрично1 теорiï управлiння. При цьому основш аналiтичнi перетворення автоматизоваш за допомогою спецiалiзованого програмного забезпечення. Пошук функцiй перетворення, що зв'язують змiннi лiнiйноï i нелiнiйноï моделей, здшснюеться за допомогою нового конструктивного методу розв'язання системи диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних. Бiблiогр.: 10 назв.

Ключовi слова: лiнеаризацiя математично1' моделi; рухомий склад; геометрична теорiя управлiння; функцiï перетворення.

УДК 861.5.015.24

Линеаризация математической модели, которая описывает процессы управления подвижным составом, методами дифференциальной геометрии / Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю., Мезенцев Н.В., Главчев Д.М. // Вестник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2017. -№ 21 (1243). - С. 38 - 53.

Рассматривается задача линеаризации математической модели, описывающей процессы управления подвижным составом, с целью получения удобного инструмента для оптимизации процессов движения объекта управления. Задача линеаризации решается с помощью геометрической теории управления. При этом основные аналитические преобразования автоматизированы с помощью специализированного программного обеспечения. Поиск функций преобразования, связывающих переменные линейной и нелинейной моделей, осуществляется новым конструктивным методом решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Библиогр.: 10 назв.

Ключевые слова: линеаризация математической модели; подвижной состав; геометрическая теория управления; функции преобразования.

UDC 861.5.015.24

Linearization of the mathematical model, which describes the processes of control rolling stock, using methods of differential geometry / Dmitrienko V.D., Zakovorotny A.Y., Mezentsev N.V., Hlavchev D.M. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2017. - №. 21 (1243). - P. 38 - 53.

The problem of linearization of the mathematical model, which describes the rolling stock control processes, is considered with the aim of obtaining a convenient tool for optimization of the motion processes of the control object. The problem of linearization by means of a geometric control theory is solved. At the same time, the main analytical transformations with the help of specialized software are automated. The search for transformation functions connecting the variables of the linear and nonlinear models out using a new constructive method for solving the system of partial differential equations is carried. Bibliography: 10 titles.

Keywords: linearization of the mathematical model; rolling stock; geometric control theory; transformation functions.