CC BY
46
УДК 517.9:629.42
В.Д. ДМИТРИЕНКО, д.т.н., проф. НТУ "ХПИ", Харьков,
A.Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, к.т.н., ст. преп. НТУ "ХПИ", Харьков,
B.И. НОСКОВ, д.т.н., доц. НТУ "ХПИ", Харьков
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИЗЕЛЬ-
ПОЕЗДА С ТЯГОВЫМ АСИНХРОННЫМ ПРИВОДОМ
Рассматривается синтез линейной математической модели дизель-поезда с тяговым асинхронным приводом на основе динамической линеаризации модели объекта управления средствами геометрической теории управления. На основании последовательности инволютивных распределений получена линейная математическая модель в форме Бруновского. Библиогр.: 15 назв.
Ключевые слова: линейная математическая модель, тяговый асинхронный привод, геометрическая теория управления, инволютивные распределения.
Постановка проблемы и анализ литературы. Тяговый подвижной состав железных дорог Украины является одним из основных потребителей электроэнергии и топлива. Поэтому снижение энергозатрат при перевозке пассажиров и грузов является одной из важнейших задач для Украинских железных дорог. Одним из путей уменьшения энергозатрат - это оптимизация управления тяговым подвижным составом. Вопросам оптимизации законов управления подвижным составом за последние десятилетия занимались многие ученые [1-10]. Однако в большинстве этих исследований использовались модели, описываемые системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений 2-3 порядка, а для асинхронного тягового привода - пятого порядка. Использование таких упрощенных моделей, с одной стороны, позволило решить ряд задач оптимального управления, но, с другой стороны, слишком упрощенное описание объекта управления не позволяет исследовать целый ряд процессов, влияющих на энергетические затраты тягового подвижного состава. Кроме того, даже при упрощенном описании тягового асинхронного привода системой нелинейных дифференциальных уравнений возникают серьезные трудности при синтезе оптимальных регуляторов с помощью большинства известных методов теории оптимального управления [11, 12]. В связи с этим в работах [10, 13] была предпринята попытка получить удобный математический инструмент для решения задачи управления тяговым приводом с помощью геометрической теории управления. При этом удалось получить законы оптимального управления для объектов, которые описывались системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений 5-6 порядка.
Однако при этом модель привода имела только один эквивалентный тяговый двигатель, что существенно ограничило возможности модели для поиска оптимальных законов управления реальным приводом. В связи с этим важно уточнение модели привода, разработка метода динамической линеаризации полученной модели (получение линейной модели в форме Бруновского) и поиск оптимальных законов управления с помощью этой модели.
Целью статьи является синтез линейной математической модели дизель-поезда с тяговым асинхронным приводом на основе динамической линеаризации модели объекта управления средствами геометрической теории управления.
Движение дизель-поезда по перегону может быть описано системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
— = к— ; (1) Ж
—— = МТ1 + мт2 — а21— — а22— ; (2)
—
-Т—
=—*]Т-]+ъ±^ 1=12; (3)
—— 1
— = — У, - + Р&^ + а1 Ьщ — + 1 1 Т-1 +-^ "—; 1 =12; (4)
^ = — Т,<„ — Р<*М— а!1-;'! — Р в1 а,'¥-1+^Т~ "1 1 =1 2 (5)
— = Р — + а —; 1 = 1, 2, (6)
Л кщ Т— 1 ()
где £ - расстояние, отсчитываемое от начала перегона; t - время; к, а21, а22 - постоянные коэффициенты; V - скорость движения состава; МТ1, МТ2 - соответственно тяговые моменты привода головного и последнего вагона дизель-поезда (здесь и далее полагаем, что индекс "1" относится к головному вагону дизель-поезда, а индекс "2" - к последнему); М^ = ку цу-Т^'^, 1 = 1,2; к1, к2 - постоянные
коэффициенты; ц= рЬ^^^у; р - число пар полюсов статора тягового электродвигателя; Ьт1,Ьт2,Ьг1,Ьг2 - соответственно индуктивность контура намагничивания и полная индуктивность ротора эквивалентного
тягового двигателя головного и последнего вагона; Jj, J2 - моменты инерции, приведенные к валам тяговых двигателей;
mdj =1!^- + m2 (j = 1, 2) - соответственно потокосцепление ротора
эквивалентного тягового двигателя головного и последнего вагона; mUr-,
mvr- - потокосцепления ротора эквивалентного тягового двигателя по
осям м и v; i- = ivsj cosp- — iUSj sinp- - ток статора эквивалентного
двигателя по оси q, j = І, 2; i , i - статорные токи по осям м и v
эквивалентных двигателей; p- = arcsin {-„-j^mU2- + m2 j или
p - = arccos {murj fitL+mL j; a - = 1/ T-; Tr] - постоянная времени
ротора j-го эквивалентного двигателя; i- = i - cosp - — ivsJ- sinp - - ток статора j-го двигателя по оси d в системе координат d, q; R L2 R
Y і =—r m\ +-------— (j = 1, 2); Rrj, Rsj - активные сопротивления
j O j LLLL 0 jLsj J j
соответственно ротора и статора j-го эквивалентного двигателя; a -, Ls- -
соответственно полный коэффициент рассеяния и полная индуктивность статора j-го двигателя; Q- = V/kn- - угловая скорость j-го двигателя;
Lmj
kCL (J = 1, 2) - постоянные коэффициенты; р ■ =-------------------—, j = 1, 2;
j j 0 jLsjLrj
Udj = UUSJ coSP j + Uvsj sinP j, І = 1 2 ; Uqj = Uvsj coSP j + UUSJ sinP j, І = 1 2 .
Введем в правые части уравнений (4), (5) объекта управления новые управления:
U1j = PnJiCL + aІ LmSi2a- / mdj + jj mdj + Udj /(0j Ll X ■ = 1 2 ; (7)
U2j =-P^Jidj — ajLmjid/qj / ^dj — P Pj Qjmdj + Uqj /(o J Lsj X j = 1 2 . (8)
Обозначив x1 = S; x2 = V ; x3 = md1; x4 = id1; x5 = iq1; x6 = p1;
x7 ='md 2 ; x8 = id 2 ; x9 = iq2 ; x10 = p2 ; «235 = k1 M-l; «279 = k2^2 ;
a33 =-al ; «34 = al Lm1 ; «44 = —Tl = «55 ; «62 = PlkQ1 ; «635 = al Lm1;
«77 =—(x 2 ; «78 = a 2 Lm2 ; «88 = — Y 2 = «99 ; «10,2 = P/kQ2 ; «10,7,9 = a2 Lm2
и подставив управления (7), (8) в уравнения (4), (5) получим следующую модель движения дизель-поезда по перегону:
dx1
&
ёх.
Л
ёхъ
Ж
ёх4
Ж
ёх5
Ж
— $235X3Х5 + ^^70X7X0 -\Х^ ~)Х'
2.
279 7 9
21^2
*22Л2 ;
— $44X4 + Ы-[
— а 5X5 + Ы2
dx6
Ж
dx7
Ж
dxъ
dx9
dx1Q
— a62X2 + а6
78Л8’
■ — 088X8 + М12;
— а99X9 + и2
— 010,2 X2 + а1
(9)
Для установления возможности преобразования системы нелинейных дифференциальных уравнений (9) к форме Бруновского определим выполнение условий инволютивности распределений
М0, М1, М2 для рассматриваемой системы [12]. С этой системой дифференциальных уравнений связаны векторные поля
X (X) —
/1 — -*2 0 0 0 0
р 2 /2 — $235X3X5 + $279X7 X9 $21X2 $22X2 0 0 0 0
/3 — aззxз + aз4X4 0 0 0 0
/4 — $4^4 1 0 0 0
/5 — Ч 55:1с 5 /• x5 /6 — a62x2 + $635 x3 /7 — a77x7 + ; У1 — 0 0 0 У — 1 0 0 У — 0 0 0 У — 0 0 0
/8 — a88x8 0 0 1 0
9 К 9 9 <3 — ч“ 0 0 0 1
г Х9 /10 — $10,2 X2 + $10,7,9 x1 0 0 0 0
гдеX — ^ x2, ..., x1Q) .
Векторные поля У], У2.
У3, У4 постоянны, поэтому распределение
М0 — 8рал{У[ ,У2 ,у ,У4 } - инволютивно и М° — 4,
где
8рап{У1,У2,У3,У4} - линейная оболочка векторов У1 размерность распределения М0 .
X
5
— X
2
X
3
X
9
X
7
Рассмотрим распределение М1 = 8рап(у, У2,У3,У4,ЬХУ1,ЬХУ2,ЬХУ3, ЬХУ4}, где ЬХУуу (у = 1, 4) - производные Ли вдоль векторного поля Х векторных полей У у (у = 1, 4):
ЗД = [ X ,У1] = °У- X-|Ху1 =“іХу1 =
дх дх ох
-х дх2
дх,
10
д/ю дЛо дх1 дх2
д/1
10
бХі
10
і Т
о, 0, 0, 1, о, о, о, о, о, оТ =
= о, о, - а34, - а44, о, о, о, о, о, о ;
ь-у2 = [X,У2] = д^X дХ У2 =
ах ах
а
о, - а2з5Х3, о, о, - а5 5, ——, о, о, о, о
хз
дУ дХ т
ЬхУз = [Х,У,] = —3X- —У = |о, о, о, о, о, о, -а78, -а88, о, о| ;
дх дх
ЬХУ4 = [X, ¥4] = --У4 X- — У4 = дх дх
о, - а279х7, о, о, о, о, о, о, - а99, --
Проверим инволютивность распределения М1. Для этого необходимо выполнение условия гапк(У1 ,У2 ,У3 , У, £х ,У,
ЬХУ2,ЬХУ3,ЬХУ4,[Х1,Ху]) — 8 где Х1, Ху - векторные поля из семейства (у,У2,У3,У4,£Ху,^ХУ2,£ХУ3, ЬХУ4).
Так как
[ Ь-Уі, ь-у] =
д(Ь-У2)г „ д(ЬхУ)г „ д(Ь-У) г „
ЬХУ1 Г ЬХУ2 = Г ЬХУ1 =
дх
дх
дх
д(Ь-У:) • |о, о, - а34, - а44,о,о,о,о,оо|Т = дх
о, аз4а235,о,о,о,- аз4аб25 о,о,о,С
Хо
Т
Т
Т
а
1о,7,9
х
7
то матрица В — (уУ2,у,У4,ЬХУЪЬХУ2,ЬХУ3,ЬХУ4,[ЬХУ1,ЬХУ2]) имеет ранг, равный 9, т.е. условие инволютивности распределения М1 не выполняется. При этом det(B) — 2 • a34 • $^1 X • a675 • a78 • a1Q 7 9/x7 .
Проверим инволютивность распределений
Мгк — 8рап{у, У2, У3, У4,ЬХУк}, к —1,4. Очевидно, что
[У,У2] — [У1У3] — [У1,У4] = [У2,У3] — [У2,У] — [У3,У4] = [У1, ^хУЛ —
= [У2,] — [У3,ЬХУХ] — [У,ЬХУХ] —10,0,0,0,0,0, 0,0,0,0|Т,
поэтому распределение М1 инволютивно. Имеем также
[У1, ЬхУ2] — д(''X:У) У1 _ ^хУ2 — |0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0Т;
дх дх
[У ' У 1 д('хУ2) У дУ2 ' У —
[У2, 'ХУ2] — ~ У2 - 'ХУ2 —
дх дх
— [У, ЬХУ2 ] — [У, 'ХУ ] —10,0,0,0,0,0, 0,0,0,0|Т;
[У,ЬХУ3] — [У,'ХУ4] — —10,0,0,0,0,0, 0,0,0,0Т, к —1,4.
Все подраспределения М\ — $,рап{У1,У2,У3,У4,ЬХУк }, к —1,4, являются инволютивными, поэтому дополнительную переменную (или интегратор) можно вводить в любой канал управления. Однако введение одного, двух или трех интеграторов не позволяет решить проблему получения инволютивного распределения М1 для расширенной системы. Распределение М1 становится инволютивным при введении по два интегратора в каналы управления, связанные со вторым и четвертым управлениями.
Введем следующие обозначения
ии — иъ и21 — >7; X, — у,, г — 1, 6 ;
к +2 — dУl4
d>7 dy8 —— dy13
—— — >8, —Г — и2; и12 — и3; ^+2 — ук, к — 9, 12 ; и22 — >13; — >14 ;
dt dt dt
dt 'и4.
В новых обозначениях расширенная модель объекта управления имеет следующий вид:
dyx
dt
= У2;
dy8
dt
= U9
dy2 2 dy9
7“ = fl23Sy^.y5 + a279y9y11 a21y2 a22y2; 77 = a77y9 + a78y10;
dt
dy3
dt
dy±
dt
= + a34y4;
= a44y4 + щ;
dt
dy 10 dt dyn
= a8 8y 10 + U3;
= a99y11 + y13;
dy5
“7“ = a55y5 + y7; dt
dy6 y5
, = a62y2 + a635 ;
dt y3
dt
d^12 y11
,, = a10,2 y2 + a10,7,9 ;
dt y9
dy1
13
dy7
dt
=y8;
dt
dy14
dt
= y14;
= U,.
С расширенной моделью объекта управления связаны векторные
поля:
Y(У) = |g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7, g8, g9, g10, g11, g12, g13, g14 | ;
Y* = |0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 |T ;
Y2* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 |T ;
Y3* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 |T ;
Y* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 |T,
2
где 81 = y2; 82 = a235y3y5 + a279y9y11 - a21y2 - a22y2; 83 = a33y3 + a34y4;
84 = a44y4; 85 = a55y5 + y7; 8б = a62y2 + a635 ' j^/j^ 87 = y8; 88 =0;
g9 = a77y 9 + a78y10; g10 = a88y 10; g11 = a99y11 + y13; g12 = a10,2y2 + +a10,7,9 ' yn/y9; g13 = y14; g14 = 0.
Для расширенной модели объекта управления распределение
Л^{ Л^!
M = span{Y1, Y2 ,Y , Y4} инволютивно и m0 = dim M = 4. Проверим инволютивность распределения M1* = span{Y1*, Y2*, Y3*, Y4,LyY1*,LyY2,LyY3 ,
LyY4 }. Поскольку имеем
L *Y* =-^Y* = -|0, 0, a34, a44, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0|T
Y dy
* дУ * I |Т
Ьу*У3 =“^^Г3 =Н0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, а78, а88, 0,0, 0, 0| ;
* дУ * I |Т
ьу*У4 =-^^Г4 =-|0, 0,0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0, 1, 0|Т,
т.е. все вектора распределения М1* имеют постоянные компоненты, то распределение М1* инволютивно т1 — dimМ1* — 8.
Проверим инволютивность распределения М2* = 8рап{М1*, [У*, М1*]} = 8рда{У1*,У2,У3\У4\ЬуУ*,ЬУУ*,ЬУУ*,ЬУУ*, 1?уУ1*,Ь2УУ2*, Ь2УУ*, 1?уу*} . Имеем
О а л дУ *
Ь2уУ — [У, ЬуУ,] = -—ЬуУ —
су
0, а34а235у5, а33а34 + а34а44, а^4, 0, а34а<б35У5, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0
Уз2
дУ
СУ
ь2Уу2* =-ьУу2* — 10,0, 0,0, 1,0, 0,0, 0,0,0, 0,0, 0 ; Цу* —---------------------------------------------ьуу* —
ду
ду
0, а78а279у11, 0,0, 0,0, 0,0, а77а78 + а78а88, а88, 0, - 78 10,7,9У11, 0,0
У92
о * д ф ■ ■ т
ь2Уу4 =-—ьУу4 — |0,0, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0,1, 0,0, 0|Т;
г Т2у* т2у*л д(ЦУу3 ) т2у* д(ЦУУ\ ) т2 у* =
[Цу*\ , ЦуУ3 ] — ЦуУ\ ЦуУ3
ду
ду
= |0,0, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0,0, 0,0, 0|Т. Проверяем другие пары:
г 1-2 V* т2 тл*т _ д(ЦУУ2 ) т2^г* д(ЦУУ1 ) т2лг* _ [цУУ1 , цУУ2] = ~ цУУ1 - цУУ2 =
ду
ду
0, а аз 5, 0,0, 0, - а34а635 , 0,0, 0,0, 0,0, 0,0
Уз
Т
Т
Т
Г г2 тл* т2лт*л_ д(ЦУУ4 ) г2 тл* д(ЦуУ3 ) г2 тл* _
[/УУ3 , ЦУУ4 ] = ~ ЦУУ3 ~ ЦУУ4 =
ду ду
0, а78а27 9, 0,0, 0, 0,0, 0,0, 0,0, - а78а 0,7,9, 0,0
У92
г г2 тл* т2-и*л — д(ЦУУ2 ) г2 тл* д(ЦуУ ) г2 тл* _
[ЦУУ3 , ЦУУ2] = _ ЦУУ3 _ ЦУУ2
ду ду
= |0,0, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0,0, 0,0, 0|Т
Поскольку ранг матрицы Л2 — (у*, У2*, У3*, У4*, ЦуУ1*, ЦуУ2*, ЦуУ3*, ЬУУ*, /Уу*,/У*,ЦУУ*,ЦУУДЦУУ,/УУ*]) не равен 12, то распределение
М2* не является инволютивным.
Динамическая линеаризация при наличии нескольких управлений возможна при наличии инволютивности более простых подраспределений:
М2* — 8рт{У1*,у\у\у\ 1УУ*, ЦУУ*}, м2* — 8рап{у1*,у*,у*,у;, ЦУ*, Цу*},
М32* — 8рап{У1*,у*,у*,У;, ЦУ*, Цу*},
м2 — Брапу ,У2 ,У3 ,у,ЦУ4, цуу4 }.
2* 2*
Подраспределения М2 и М4 являются инволютивными, поскольку все их вектора имеют постоянные компоненты.
Исследования распределений:
М2* — 8рап{М22*, [X*,М2*]} — 8рап{У1*,У2,у*,У,ЦуУ2,ЦУ2,Цу*}; М4 — 8рап{М2 , [X ,М42 ]} — 8рап{У1 ,У2 ,У3 ,У4 , ЦУ4 ,£уУА ,4у },
показывает, что они также являются инволютивными.
На основании теории о линейных эквивалентах для нелинейных аффинных систем с т управлениями [14, 15] получим, что каноническая форма Бруновского имеет четыре клетки, и индекс управляемости &тах для данного объекта равен четырем. Поскольку число рассматриваемых инволютивных распределений Му, ] — 0, ктах -1, то условия для
получения линейного эквивалента для рассматриваемого объекта выполнены.
В результате получим математическую модель в форме Бруновского:
— _ 2 , і _ 1, 2, 3, 5,6,7,9,11, 12, 13 ;
Ж і+1
$2 л $2о $2л а $2л л
— _ V,; — _ V,; _ У3; _ у4,
Ж Ж Ж ж
(11)
где vk (к _ 1, 4) - управления.
Поскольку модель объекта в форме Бруновского имеет четыре клетки, то необходимо определить четыре функции Т/у) (І _ 1, 4) -преобразования от расширенной модели объекта управления к модели в форме Бруновского. Известно, что такие функции существуют и методика получения их известна [13 - 15]. Математическое
моделирование объекта управления в форме Бруновского показало его работоспособность.
Выводы. Таким образом, впервые средствами дифференциальной геометрии получена работоспособная линейная математическая модель дизель-поезда, с тяговым асинхронным приводом, эквивалентная нелинейной математической модели, описываемой системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений десятого порядка. Полученная линейная модель в канонической форме Бруновского может быть использована для синтеза оптимальных законов управления тяговым подвижным составом.
Список литературы: 1. Ковальский А.Н. Синтез автоматического управления поездом метрополитена (САУ-М) и ее модернизация / А.Н. Ковальский // Труды МИИЖТ. - Вып. 276. - М.: МИИЖТ, 1968. - С. 3 - 13. 2. ПетровЮ.П. Оптимальное управление движением транспортных средств / Ю.П. Петров. - Л.: Энергия, 1969. - 96 с. 3. ШинскаяЮ.В. Расчет оптимальных режимов ведения поездов метрополитена методом динамического прогнозирования / Ю.В. Шинская // Труды ЛИИЖТ. - Вып. 315. - Л.: ЛИИЖТ, 1970. - С. 18 - 23. 4. Легостаев Е.Н. Автоматизация управления движением поездов на метрополитенах / Е.Н. Легостаев, И.П. Исаев, А.Н. Ковальский. - М.: Транспорт, 1976. - 96 с. 5. Кудрявцев Я.Б. Принцип максимума и оптимальное управление движением поезда / Я.Б. Кудрявцев // Вісник ВНИИЖТ. - 1977. - № 1. - С. 57 - 61. 6. Костромин А.М. Оптимизация управления локомотивом. / А.М. Костромин. - М.: Транспорт, 1979. - 119 с. 7. Носков В.И. Моделирование и оптимизация систем управления и контроля локомотивов / В.И. Носков, В.Д. Дмитриенко, Н.И. Заполовский, С.Ю. Леонов. - Харьков: ХФИ "Транспорт Украины", 2003. - 248 с. 8. ДмитриенкоВ.Д. Математическое моделирование и оптимизация системы управления тяговым электроприводом / В.Д. Дмитриенко,
В.И. Носков, М.В. Липчанский // Системи обробки інформації. - Харків: ХУПС. - 2004. -Вип. 11 (39). - С. 55-62. 9. Дмитриенко В.Д. Определение оптимальных режимов ведения дизель-поезда с использованием нейронных сетей АРТ / В.Д. Дмитриенко, В.И. Носков, М.В. Липчанский, А.Ю. Заковоротный // Вісник НТУ "ХПІ". - Харків: НТУ "ХПІ". - 2004. -N° 46. - С. 90 - 96. 10. Дмитриенко В.Д. Синтез оптимальных законов управления тяговым
электроприводом методами дифференциальной геометрии и принципа максимума II В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный II Системи обробки інформації. - Харків: ХУПС. -2009. - Вип. 4 (78). - С. 42-51. 11. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти томах. Т. 4: Теория оптимизации систем автоматического управления I Под ред. К.А. Пупкова и И.Д. Егунова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 744 с. 12. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и томах. Т. 5: Методы современной теории управления I Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 784 с. 13. Дмитриенко В.Д. Синтез оптимальных законов управления движением дизель-поезда с помощью математической модели в форме Бруновского I В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, Н.В. Мезенцев II Інформаційно-керуючі системи на залізничному транспорті. - Харків: УкрДАЗТ. - 2010. - Вип. 5-6. - С. 7-13. 14. КраснощёченкоВ.И. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза I В.И. Краснощёченко, А.П. Грищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. - 520 с. 15. Qiang Lu. Nonlinear control systems and power system dynamics. I Lu Qiang, Sun Yuangzhang, Mei Shengwei. - 2001. - 376 с.
УДК 517.9:629.42
Лінеаризація математичної моделі дизель-поїзда з тяговим асинхронним приводом / Дмитрієнко В.Д., Заковоротний О.Ю., Носков В.І. II Вісник НТУ "ХПІ". Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Харків: НТУ "ХПІ". - 2011. - № 17. -
С. 26 - 36.
Розглядається синтез лінійної математичної моделі дизель-поїзда з тяговим асинхронним приводом на основі динамічної лінеаризації моделі об’єкта керування засобами геометричної теорії керування. На підставі послідовності інволютивних розподілів отримана лінійна математична модель у формі Бруновського. Бібліогр.: 15 назв.
Ключові слова: лінійна математична модель, тяговий асинхронний привод, геометрична теорія керування, інволютивні розподіли.
UDC 517.9:629.42
Linearization mathematical model diesel train with asynchronous traction drive / Dmitrienko V.D., Zakovorotnyi A.Y., Noskov V.I. II Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". -2011. - №. 17. - P. 26 - 36.
A synthesis of linear mathematical model diesel train with asynchronous traction drive based on dynamic object model linearization control of the means of geometric control theory. Based on the sequence of involutive transformations received linear mathematical model in the form of Brunovski. Refs.: 15 titles.
Keywords: linear mathematical model, asynchronous traction drive, geometric control theory, involutive transformations.
Поступила в редакцию 01.03.2011
