CC BY
75
УДК 681.5
В.Д. ДМИТРИЕНКО, д-р техн. наук, проф., НТУ "ХПИ",
А.Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, канд. техн. наук, доц., НТУ "ХПИ",
А.О. НЕСТЕРЕНКО, асп., НТУ "ХПИ"
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ
АВТОМАТИЗАЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ К ЭКВИВАЛЕНТНЫМ ЛИНЕЙНЫМ В ФОРМЕ
БРУНОВСКОГО
Для пакета МаЙаЬ разработана программа, автоматизирующая преобразование нелинейных систем к эквивалентному линейному виду с помощью средств геометрической теории управления. Выполнен синтез линейной математической модели движения дизель-поезда в канонической форме Бруновского. Библиогр.: 13 назв.
Ключевые слова: форма Бруновского, преобразование нелинейных систем,
геометрическая теория управления, математическая модель движения дизель-поезда.
Постановка проблемы и анализ литературы. Вопросами оптимизации функционирования железнодорожного транспорта на протяжении многих лет занималось множество ученых [1 - 8]. При этом большинство исследований выполнялось с помощью математического моделирования на сложных моделях, описываемых системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. Это, в свою очередь, приводит к серьезным трудностям при поиске оптимальных управлений тяговым подвижным составом, так как большинство из известных методов применимы лишь для объектов, которые описываются системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений не выше 2-3 порядка [9, 10]. В связи с этим в работах [8, 11, 12] была решена задача поиска оптимальных управлений с помощью динамической линеаризации исходной нелинейной модели, методами геометрической теории управления [13], при этом были получены законы оптимального управления для объектов, которые описывались системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 5-6 порядка. Однако для поиска оптимальных законов управления реальным приводом, который учитывает параллельную работу нескольких электродвигателей, необходима разработка специализированных программных средств, которые могли бы автоматизировать процесс преобразования нелинейных систем к линейному виду.
Целью статьи является разработка программных средств,
© В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, А.О. Нестеренко, 2014
автоматизирующих в пакете Matlab преобразование нелинейной математической модели движения дизель-поезда к эквивалентному линейному виду в форме Бруновского с помощью инволютивных распределений геометрической теории управления.
Подход, основанный на геометрической теории управления, динамической линеаризации обратной связью в пространстве "вход -состояние" нелинейной математической модели движения дизель-поезда, с помощью последовательности инволютивных распределений, может быть представлен в виде алгоритма:
Шаг. 1. Задание исходной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Шаг. 2. Построение векторных полей, связанных с нелинейной системой дифференциальных уравнений.
Шаг. 3. Проверка последовательности распределений на выполнение условий инволютивности. В случае выполнения условий инволютивности последовательности распределений - переход к шагу 5 алгоритма.
Шаг. 4. В случае невыполнения условий инволютивности последовательности распределений - увеличение размерности пространства, путем введения дополнительных фазовых координат в каналы, связанные с управлениями. Переход к шагу 2 алгоритма.
Шаг. 5. Определение индекса управляемости для рассматриваемой системы управления, используя теорему о линейном эквиваленте для нелинейной аффинной системы с векторным управлением.
Шаг. 6. По индексу управляемости системы, определяется форма линейного эквивалента, т.е. определяется количество клеток канонической формы Бруновского.
Шаг. 7. Построение системы дифференциальных уравнений, из которой путем последовательного дифференцирования, вдоль соответствующих векторных полей, определяются функции перехода к канонической форме Бруновского.
Шаг. 8. Нахождение функций перехода к канонической форме Бруновского.
Шаг. 9. Определение управляющих воздействий для линейной системы уравнений в канонической форме Бруновского.
Шаг. 10. Переход от управлений линейной системой в форме Бруновского к управлениям для исходной нелинейной системы уравнений.
Шаг. 11. Останов.
Этот алгоритм программно реализован в пакете Matlab.
Рассмотрим применение разработанного программного продукта для линеаризации математической модели движения дизель-поезда.
Математическая модель движения дизель-поезда, учитывающая работу двух тяговых приводов, может быть описана следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
ёхл
—— - а12х2 — /\; т
ёх2 _
— а235Х3Х5 ~ а246Х4Х6 + а289Х8Х9 _ а2,7,10Х7Х10 _ а200 _
Ш
~ а220Х2 _ а222Х2 — А2;
^^Х3 т т1 ^ г г1
—3 — аъзХ3 + ^4х4 + а1 — А + а1;
Л
аХ4
— а43Хз + а44Х4 + а425Х2 Х5 — У4;
т
°Х5
~Г — а55Х5 + а56Х6 + а524Х2 Х4 — /5'; С1)
т
ёХ£, у т 1 /* Г т1
— а65Х5 + а66Х6 + и 2 — /б + и2
Л ёх7
—— — а77Х7 + а78Х8 + а729Х2 Х9 — У7;
&
~Хг — а87Х7 + а88Х8 + ^1 — У8 + ^1 ;
т
ёх9
— а99Х9 + а9 10Х10 + а9 2 7Х2Х7 — Л;
т
ёХлъ т т2 ^ т т2
—— — а10, 9 Х9 + а10, 10Х10 + и2 — /ю + и2, т
где х - расстояние, отсчитываемое от начала перегона; t - время; а12, а235, а246,...,а109, а1010 - постоянные коэффициенты определяемые параметрами привода; х2 - скорость движения состава; х3 , х4 и х7 , х8
- потокосцепления по оси и соответственно первого и второго двигателей; х5 , х6 и х9 , х10 - потокосцепления по оси V соответственно
первого и второго двигателей; ид, и| (д — 1,2) - питающие напряжения первого и второго тяговых двигателей.
С системой дифференциальных уравнений (1) связаны
векторные шля X(х) — |/з, /4, /5, f7, /, /9, /юГ ,
У —10, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т, У2 —10, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0|т,
у —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0|т, У4 —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1|т,
которые в пакете МайаЬ могут быть заданы следующим образом:
А = зут('а12 * х2');
12 = Бут('а235 * х3 * х5 - а246 * х4 * х6 + а289 * х8 * х9 - а2710 * х7
* х10 - а200 - а220 * х2 - а222 * х2Л2');
13 = Бут('а33 * х3 + а34 * х4');
14 = Бут('а43 * х3 + а44 * х4 + а425 * х2 * х5');
15 = Бут('а55 * х5 + а56 * х6 + а524 * х2 * х4');
16 = Бут('а65 * х5 + а66 * х6');
17 = 8ут('а77 * х7 + а78 * х8 + а729 * х2 * х9');
18 = 8ут('а87 * х7 + а88 * х8');
19 = 8ут('а99 * х9 + а910 * х10 + а927 * х2 * х7');
110 = 8ут('а109 * х9 + а1010 * х10');
X = [11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 110];
У1 = [0; 0; Бут(Т); 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];
У2 = [0; 0; 0; 0; 0; зут(Т); 0; 0; 0; 0];
У3 = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; зут(Т); 0; 0];
У4 = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8ут('1')];
х = [Бут('хГ) 'х2' 'х3' 'х4' 'х5' 'х6' 'х7' 'х8' 'х9' 'х10'];
Система уравнений (1) может быть преобразована к форме Бруновского только в случае, если инволютивны распределения М0 — 8рап{У2,У2,У3,У4}, М1 — 8рап{У2,У2,У3,У4,ЬХУ2, ЬХУ2,ЬХУ3,
ЬХУ4} и М2 для этой системы [13], где 8рап{У2, У2,У3, У4} - линейная оболочка векторов У2,У2,У3,У4, ЬХУк (к — 1, 4) - производные Ли вдоль векторного поля Х векторных полей Ук (к — 1, 4). Производные Ли вычисляются следующим образом:
ЬхУк — [Х,Ук ] — ^ X-^Хук —-^Хук —
дх дх дх
fl fl
3xj dx2 dx10
cXj dX2 ЙТю
fl 0 fl0 f 0
cXj dX2 5хю
Y, k = 1, 4.
В пакете Matlab разработаны функции для вычисления производных Ли (DifLi) и проверки условий инволютивности последовательности распределений (involutivity). Функция Dif_Li(X, Y, х, N) возвращает N-ю производную Ли вдоль векторного поля Х векторного поля Y, по элементам вектора х, а функция involutivity(M, x) возвращает 1, если для распределения M условия инволютивности выполняются и 0 - если нет.
Проверку инволютивности распределения M0 в пакете Matlab можно осуществить следующим образом:
M0 = [Y1,Y2, Y3,Y4];
involutive = involutivity(M0, x);
>>involutive = 1
Поскольку векторные поля Yj (i = 1, 4) постоянны, то распределение M0
- инволютивно и размерность распределения dim M0 = 4.
Проанализируем распределение M1, для этого, сначала,
осуществим вычисления производных Ли:
C1_1 = Dif_Li(X, Y1, x, 2);
M1_1 = C1_1(:, 1 : (size(C1_1, 2) - 1));
C1_2 = Dif_Li(X, Y2, x, 2);
M1_2 = C1_2(:, 1 : (size(C1_2, 2) - 1));
C1_3 = Dif_Li(X, Y3, x, 2);
M1_3 = C1_3(:, 1 : (size(C1_3, 2) - 1));
C1_4 = Dif_Li(X, Y4, x, 2);
M1_4 = C1_4(:, 1 : (size(C1_4, 2) - 1));
M1=[M1_1(:,1), M1_2(:,1), M1_3(:,1), M1_4(:,1), M1_1(:,2), M1_2(:,2),
M1_3(:,2), M1_4(:,2)];
involutive = involutivity(M1, x);
>>involutive = 0
Непосредственная проверка скобок Ли [ Х1, X^ ], где Хг-, X^ -
векторные поля из множества (11,12,13,14,^ХУ1,ЬХУ2,ЬХУ3,ЬХУ4}, и
ранга матриц Б, = ||У1,У,,Уз,У4, ЬхУъ ЬхУг, ЗД, ЗДДХ , Х] ]||
показывает, что распределение М1 не является инволютивным, однако все его подраспределения м£ = 8рап(У1, У2, У3, У4, ЬХУк }, к = 1, 4,
являются инволютивными:
М11=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1),М1_1(:,2)]; шуо1ийуе = шуо1ийу11у(М11, х);
>>туо1иИуе = 1
М12=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1),М1_2(:,2)]; шуо1ийуе = шуо1ийу11у(М12, х);
>>1пуо1иИуе = 1
М13=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1),М1_3(:,2)]; шуо1ийуе = шуо1ийу11у(М13, х);
>>туо1иИуе = 1
М14=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1),М1_4(:,2)]; шуо1ийуе = шуо1ийу11у(М14, х);
>>туо1иИуе = 1
Поэтому дополнительные переменные или интеграторы можно вводить в любой канал управления. Однако введение одного, двух или трех интеграторов в любые каналы не позволяет решить проблему получения инволютивного распределения М1 для расширенной системы. Распределение М1 становится инволютивным только при введении одного интегратора в каждый канал объекта управления.
Для расширенной модели объекта управления введем следующие обозначения:
у1 = ^ I =13; у4 = и{; ^ у5 = х4; у6 = х5;
ш
у7 = Х6; у8 = и2; и2 = ~7Г; У9 = Х7; у10 = Х8 ;
М
уц = и12; из = ^т1; у12 = х9; у1з = хю; у^ = иI; и4 =
М ш
В этих обозначениях расширенная модель объекта записывается следующим образом:
— = Ф1 = д12У2; ш
Шу2 2
,, = ф2 = а235у3у6 а246у 5у7 + а289у10у12 а2,7,10у9 у13 а200 а220у2 а222у2;
М
Шу3 Шу9
—— = фз = аззуз + а34у5 + у4; —— = Ф9 = а77у9 + а78у10 + а729у2 у12;
Ш Ш
Му4 тт п Му10
= Ц; ф4 = 0; =ф10 = а87у9 + а88у10 + у11;
Му5 Му11
—5 = Ф5 = а4зУз + а44У5 + а42^2Уб; ~7Г = ^ Ф11 = 0
ш ш
Му6 Му 12
, =ф6 = а55у 6 + а56у7 + а524у2у5; ,, =ф12 = а99у12 + а9,10у13 + а927у2у9;
аУ7 ,
—— = ф7 = а65у 6 + а66у7 + у8; _7“ = ф13 = а10,9у12 + а10,10у13 + у14;
Ш Ш
^ ^ Ф8 = 0; ^ = ^4, ф14 = 0.
ш Ш
С этой моделью объекта управления связаны следующие векторные
поля:
11 = 8ут('а12 * у2');
12 = Бут('а235 * у3 * у6 - а246 * у5 * у7 + а289 * у10 * у12 - а2710 * у9 * у13 - а200 - а220 * у2 - а222 * у2Л2');
13 = 8ут('а33 * у3 + а34 * у5 + у4');
14 = 8ут('0');
15 = Бут('а43 * у3 + а44 * у5 + а425 * у2 * у6');
16 = Бут('а55 * у6 + а56 * у7 + а524 * у2 * у5');
17 = Бут('а65 * у6 + а66 * у7 + у8');
18 = 8ут('0');
19 = Бут('а77 * у9 + а78 * у10 + а729 * у2 * у12');
110 = Бут('а87 * у9 + а88 * у10 + у11');
111 = Бут('0');
112 = 8ут('а99 * у12 + а910 * у13 + а927 * у2 * у9');
113 = Бут('а109 * у12 + а1010 * у13+ у14');
114 = Бут('0');
Y_new = [11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 110; 111; 112; 113; 114];
Y1_new = [0; 0; 0; зут(Т); 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];
Y2_new = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 5>ут(Т); 0; 0; 0; 0; 0; 0];
Y3_new = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8ут(Т); 0; 0; 0];
Y4_new = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8ут('1')];
y_new = ^ут('у1') 'у2' 'у3' ’у4' 'у5' ’у6' ’у7' 'у8' ’у9' ’у10’ ’у11’ 'у12' ’у13’
'у14'];
* * * Поскольку вектора Y1_new = ^ , Y2_new = У2 , Y3_new = У3 ,
-г Т А жт* » .#-0* /- -Ж- г* т г* т Г* Т Г* -»
Y4_new = У* постоянны, то распределение М = зращу ,У2,У*,У*} инволютивно.
M0_new=[Y1_new,Y2_new, Y3_new,Y4_new]; involutive = involutivity(M0_new, y_new);
>>involutive = 1
Так как производные Ли вдоль векторного поля У векторных полей Ук (к = 1, 4) являются постоянными векторами:
ЬуУ* = [У, У*] = ^у1- У - Iу У* = |0, 0, -1, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|Т;
ьУу2* = [У ,у2*] = -|У у2* = |0, 0,0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|Т;
ьууЗ = [у,у3*] = -|уу3* = |0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0|Т; ду
цу* = [у ,У4* ] = -д^У* = |0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0|Т,
то распределение М1* для расширенной системы является
инволютивным:
C1_1_new = Dif_Li(Y_new, Y1_new, y_new, 2);
M1_1_new = C1_1_new(:, 1 : (size(C1_1_new, 2) - 1));
C1_2_new = Dif_Li(Y_new, Y2_new, y_new, 2);
M1_2_new = C1_2_new(:, 1 : (size(C1_2_new, 2) - 1));
C1_3_new = Dif_Li(Y_new, Y3_new, y_new, 2);
M1_3_new = C1_3_new(:, 1 : (size(C1_3_new, 2) - 1));
C1_4_new = Dif_Li(Y_new, Y4_new, y_new, 2);
M1_4_new = C1_4_new(:, 1 : (size(C1_4_new, 2) - 1));
M1_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2),M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2)]
involutive = involutivity(M1_new, y_new);
>>involutive = 1
Проверка инволютивности распределения М2* =
= 8рап{у*, у*, у*, у*, Ьуу*, Ь,?*, ЬуУ*, Ьуу*, 4у*, Ь2уУ*, 4 У*, Ь2уу* }, где Ьу ( к = 1, 4) - производные Ли второго порядка, показывает, что оно не является инволютивным.
M2_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2), M1_2_new(:,2),M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_1_new(:,3), M1_2_new(:,3),M1_3_new(:,3), M1_4_new(:,3)];
involutive = involutivity(M2_new, y_new);
>>involutive = 0
Однако инволютивными являются подраспределения распределения М2*:
М2 = 8рап{у , У2, У3 , У4, ЬУУ1 , Ь,У2, ЬУУ*, ЬУУ4, Ь,у };
М2 = Брап{у , У2, У3 , У4,Ьуу , Ь,У2,ЬУУ3,ЬУУ4,Ь2УУ2 };
М32 = 8рап{у , у2, у3 , у4,Ьуу , Ьуу2,Ьуу3,Ьуу* ,Ь2уу* };
М2 = Брап{у ,у*,уз ,у4,Ьуу1 ,Ьуу2,Ьуу*,Ьуу4,Ьуу*}.
M21_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2),M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_1_new(:,3)]; involutive = involutivity(M21_new, y_new);
>>involutive = 1
M22_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2),M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_2_new(:,3)]; involutive = involutivity(M22_new, y_new);
>>involutive = 1
M23_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2),M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_3_new(:,3)]; involutive = involutivity(M23_new, y_new);
>>involutive = 1
M24_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2),M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_4_new(:,3)]; involutive = involutivity(M24_new, y_new);
>>involutive = 1
Этого оказывается достаточно для осуществления динамической линеаризации и получения системы линейных дифференциальных уравнений в форме Бруновского. На основании теоремы о линейных эквивалентах для нелинейных аффинных систем с т управлениями [13], получим, что каноническая форма Бруновского имеет четыре клетки, а индекс управляемости ктях для данного объекта равен четырем. Математическая модель объекта управления в форме Бруновского в пространстве "вход - состояние":
^2 ---------------
—- = 2г+!, I = 1, 13, I ф 4, 8, 11;
Л (2)
ё2А _ о28 _ . $2\\ _ ^21А _
ж *; & 2; & 3; & 4,
где V] (] = 1, 4) - управления.
Поскольку модель объекта в форме Бруновского имеет четыре клетки, то необходимо определить четыре функции Tj (у) (] = 1, 4),
преобразующие переменные расширенной модели объекта управления в переменные модели в форме Бруновского:
21 = т1(у); 25 = т2(у); 29 = тз(у); 212 = т4(у)-
Методика определения этих функций известна [8, 13]. В данном случае они являются однокомпонентными составляющими вектора У = (У\, У2, ■■■,У14). Из этих функций путем последовательного
* * * дифференцирования вдоль векторного поля У = У + И! У + и2 У2 +
* *
+ И У г + И У можно получить выражения для определения соответственно 22 , 23 , 24 (из функции Т[(у) ), 26 , 27 , 28 (из функции т>(у) ), 210, 2П (из функции Тз(у)) и 21з, 2Ы (из функции Т4(у) ). В качестве примера рассмотрим получение зависимостей для определения 22, 23, 24 с помощью функции Т1(у). Для исследуемого объекта
управления имеем: Т (у) = У\, поэтому 2 = У\.
Т1 = [яутСуГ)];
[В, V, и] = brunovsky(Y_new, [Y1_new], Т1, y_new, 4);
В = simple(B)
Дифференцируя функцию Т]( у) вдоль векторного поля у * и учитывая, что 2 , 2 и их производные не зависят от управлений, получим:
В =
[а12*у2;
-а12*(а222*у2Л2 + а220*у2 + а200 - а289*у10*у12 - а235*у3*у6 + а2710*у13*у9 + а246*у5*у7);
а12*(а220 + 2*а222*у2)*(а222*у2Л2 + а220*у2 + а200 - а289*у10*у12 -а235*у3*у6 + а2710*у13*у9 + а246*у5*у7) - а12*а246*у7*(а43*у3 + а44*у5 + а425*у2*у6) - а12*а2710*у13* (а78*у10 + а77*у9 + а729*у12*у2) + а12*а235*у3* (а55*у6 + а56*у7 + а524*у2*у5) + а12*а289*у10*(а910*у13 + а99*у12 + а927*у2*у9) - а12*а2710*у9*(у14 + а109*у12 + а1010*у13) + а12*а235*у6*(у4 + а33*у3 + а34*у5) + а12*а289*у12*(у11 + а88*у10 + а87*у9) - а12*а246*у5*(у8 + а65*у6 + а66*у7)];
Таким образом функции перехода к канонической форме
Бруновского могут быть записаны следующим образом:
-2, 14 сТ ( у)
22 = — = Ьг Т1(у) = Ь Т1( у) = 2—г—Ф/ = Я12У2;
dt /=1 СУ/
23 = = Ьу' (ЬуТ1(у)) = Ьу (а12У2) = 2 С(ЬуТ1(у))Ф/ = й12ф2 =
dt /=1 СУ/
— a12(a235>3 y6 a246y5 yl + a2B9y10y12 a2,l,10y9y13 a200 a220y2 a222V2);
z4 — § — Lr. Щ(у)) — Ly (a^) — 24 -(L (°\2ф2)) ф^ —
dt i—1 -Уі
— a12[(-a220 - 2a222y2)ф2 + ^235^^3 - a246ylф5 + ^2353^6 - a246y5фl --a2,l,1^.y13CP9 + a28Sy12(P10 + a2B9y10(P12 - a2,l,10y94)13].
Аналогичным образом могут быть получены соотношения для определения остальных переменных модели Бруновского.
Выводы. Разработан алгоритм и программа для автоматизации преобразования широкого класса нелинейных систем к линейному виду в пакете Matlab с помощью инволютивных распределений геометрической теории управления. Получена линейная математическая модель движения дизель-поезда в канонической форме Бруновского, которая учитывает параллельную работу двух двигателей.
Список литературы: 1. Бауэр Х.П. Оптимальное использование сцепления на электровозе с трехфазным тяговым приводом / Х.П. Бауэр // Железные дороги мира. - 1987. - № 8. -С. 10-23. І. Ohishi K. Adhesion control of electric motor coach based on force control using disturbance observer I K. Ohishi, Y. Ogawa II IEEE, Advanced Motion Control. - April, 2000. -P. 323-328. З. Тяговые и токовые характеристики электроподвижного состава с асинхронным тяговым двигателем / Омельяненко В.И., Калюжный Н.Н., Кулиш Т.А., Кривякин Г.В. // Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тезисы LXVI международной конференции. - Днепропетровск: ДИИТ, 2006. - С. 123.
4. Шапран Е.Н. Совершенствование микропроцессорных систем управления с высоким использованием сил сцепления / Е.Н. Шапран // Вісник ШУ '^Ш". - Xарків: ШУ '^Ш".
- 2006. - № 23. - С. 145-154. 5. Моделирование и оптимизация систем управления и контроля локомотивов / Носков В.И., Дмитриенко В.Д., Заполовский Н.И., Леонов С.Ю. -X.: XФИ "Транспорт Украины", 2003. - 248 с. б. Артеменко А.Н. Система автоматического выравнивания нагрузки тягового электропривода карьерного электровоза / А.Н. Артеменко II Вісник Кременчуцького державного університету ім. Михайло Остроградського. -Кременчук: K4H ім. Михайло Остроградського. - 2010. - Вин. 4. - Частина 3. - С. 56-58. 7. Притула М.Г. Моделювання та розрахунок оптимальних параметрів руху поїздів I М.Г. Притула, Р.Р. Шпакович // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2007. - Вин. 5. - С. 139-145. S. Дмитриенко В.Д. Синтез оптимальных законов управления тяговым электроприводом методами дифференциальной геометрии и принципа максимума / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Системи обробки інформації. -Xарків: XУПС. - 2009. - Вин. 4 (78). - С. 42-51. 9. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5 -ти томах. Т. 4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова и И.Д. Егунова. - М.: МГТУ им. H3. Баумана, 2004. - 744 с. 10. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и томах. Т. 5: Методы современной теории управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егунова. - М.: Изд-во МГТУ им. H3. Баумана, 2004. - 784 с. 11. Дмитриенко В.Д. Линеаризация математической модели привода методами дифференциальной геометрии / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Вісник ШУ "Xm". - Xарків: ШУ "Xm". - 2007. - № 19. - С. 64-77. 12. Дмитриенко В.Д.
Моделирование и оптимизация процессов управления движением дизель-поездов / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный. - Х.: Изд. центр ''HTMT'', 2013. - 248 с. 13. Краснощёченко В.И. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза / В.И. Краснощёченко, А.П. Грищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. - 520 с.
Bibliography (transliterated): 1. Baujer H.P. Optimal'noe ispol'zovanie sceplenija na jelektrovoze s trehfaznym tjagovym privodom / H.P. Baujer // Zheleznye dorogi mira. - 1987. -№ 8. - S. 10-23. 2. Ohishi K. Adhesion control of electric motor coach based on force control using disturbance observer / K. Ohishi, Y. Ogawa // IEEE, Advanced Motion Control. - April, 2000. - S. 323-328. 3. Tjagovye i tokovye harakteristiki jelektropodvizhnogo sostava s asinhronnym tjagovym dvigatelem / Omeljanenko V.I., Kaljuzhnyj N.N., Kulish T.A., Krivjakin G. V. // Problemy i perspektivy razvitija zheleznodorozhnogo transporta: Tezisy LHVI mezhdunarodnoj konferencii. - Dnepropetrovsk: DIIT, 2006. - S. 123. 4. Shapran E.N. Sovershenstvovanie mikroprocessornyh sistem upravlenija s vysokim ispol'zovaniem sil sceplenija / E.N. Shapran // Visnik NTU "HPI". - Harkiv: NTU "HPI". - 2006. - № 23. - S. 145-154.
5. Modelirovanie i optimizacija sistem upravlenija i kontrolja lokomotivov / Noskov V.I., Dmitrienko V.D., Zapolovskij N.I., Leonov S.Ju. - H.: HFI "Transport Ukrainy", 2003. - 248 s.
6. Artemenko A.N. Sistema avtomaticheskogo vyravnivanija nagruzki tjagovogo jelektroprivoda kar'ernogo jelektrovoza / A.N. Artemenko // Visnik Kremenchuc'kogo derzhavnogo universitetu im. Mihajlo Ostrograds'kogo. - Kremenchuk: KDN im. Mihajlo Ostrograds'kogo. - 2010. - Vip. 4. - Chastina 3. - S. 56-58. 7. PritulaM.G. Modeljuvannja ta rozrahunok optimal'nih parametriv ruhu poizdiv / M.G. Pritula, R.R. Shpakovich // Fiziko-matematichne modeljuvannja ta informacijni tehnologii. - 2007. - Vip. 5. - S. 139-145. 8. Dmitrienko V.D. Sintez optimal'nyh zakonov upravlenija tjagovym jelektroprivodom metodami differencial'noj geometrii i principa maksimuma / V.D. Dmitrienko, A.Ju. Zakovorotnyj // Sistemi obrobki informacii. - Harkiv: HUPS.
- 2009. - Vip. 4 (78). - S. 42-51. 9. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravlenija: Uchebnik v 5-ti tomah. T. 4: Teorija optimizacii sistem avtomaticheskogo upravlenija / Pod red. K.A. Pupkova i I.D. Egunova. - M.: MGTU im. N.Je. Baumana, 2004. - 744 s. 10. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravlenija: Uchebnik v 5-i tomah. T. 5: Metody sovremennoj teorii upravlenija / Pod red. K.A. Pupkova, N.D. Egunova. - M.: Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana, 2004. - 784 s. 11. Dmitrienko V.D. Linearizacija matematicheskoj modeli privoda metodami differencial'noj geometrii / V.D. Dmitrienko, AJu. Zakovorotnyj // Visnik NTU "HPI". - Harkiv: NTU "HPI". - 2007. - № 19. - S. 64-77.
12. Dmitrienko V.D. Modelirovanie i optimizacija processov upravlenija dvizheniem dizel'-poezdov / V.D. Dmitrienko, A.Ju. Zakovorotnyj. - H.: Izd. centr "HTMT", 2013. - 248 s.
13. Krasnoshhjochenko V.I. Nelinejnye sistemy: geometricheskij metod analiza i sinteza / V.I. Krasnoshhjochenko, A.P. Grishhenko. - M.: Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana. - 2005. -520 s.
Поступила (received) 19.06.2014
Статью представил д-р техн. наук, проф., заслуженный изобретатель Украины, зав. кафедрой "Системы информации" НТУ "ХПИ" Серков А.А.
Dmitrienko Valerii, Dr.Tech.Sci., Professor
National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"
Str. Frunze, 21, Kharkiv, Ukraine, 61002
tel./phone: +38 (057) 707-61-98, e-mail: valdmitrienko@gmail.com ORCID ID: 0000-0003-2523-595X
Zakovorotniy Alexandr, Cand.Tech.Sci., Docent
National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"
Str. Frunze, 21, Kharkiv, Ukraine, 61002 tel./phone: +38 (067) 546-35-27, e-mail: arcade@i.ua ORCID ID: 0000-0003-4415-838X
Nesterenko Artur, graduate student
National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"
Str. Frunze, 21, Kharkiv, Ukraine, 61002
tel./phone: +38 (068) 889-32-80, e-mail: arthurio.iamcat@gmail.com ORCID ID: 0000-0002-4643-7641
