Автоматизация процессов преобразования нелинейных моделей к эквивалентным линейным в форме Бруновского Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

В.Д. ДМИТРИЕНКО, д-р техн. наук, проф., НТУ "ХПИ",

А.Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, канд. техн. наук, доц., докторант

НТУ "ХПИ"

АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ К ЭКВИВАЛЕНТНЫМ

ЛИНЕЙНЫМ В ФОРМЕ БРУНОВСКОГО

Разработаны программные средства для автоматизации преобразований нелинейных моделей объектов к эквивалентным линейным моделям. С их помощью выполнен синтез линейной математической модели движения дизель-поезда в форме Бруновского, которая учитывает параллельную работу трёх тяговых асинхронных двигателей. Полученная модель может использоваться для поиска оптимальных управлений, а также для исследования процессов буксования и параллельной работы двигателей. Ил.: 2. Библиогр.: 13 назв.

Ключевые слова: форма Бруновского, линейная математическая модель движения дизель-поезда, параллельная работа двигателей.

Постановка проблемы и анализ литературы. Одними из главных задач, которые ставятся перед современными системами автоматического управления подвижным составом, являются задачи, связанные с выбором оптимальных режимов ведения поездов, при которых соблюдается заданный график движения и минимизируется расход энергоресурсов, а также задачи, связанные с оптимизацией работы отдельных составных частей подвижного состава [1 - 9]. Вопросами создания подобных систем управления занимались и занимаются множество специалистов, работы которых основаны на теории управления и теории оптимальных систем управления. К методам, получившим наиболее широкое распространение при проектировании систем управления железнодорожным транспортом, относятся, в первую очередь, методы функций Ляпунова, принципа максимума Понтрягина, классического вариационного исчисления, терминальных управлений и т.д. Данные методы позволяют выполнять синтез регуляторов для нелинейных объектов, однако они обладают и существенными недостатками, так как накладывают ограничения на порядок системы дифференциальных уравнений (не выше третьего порядка) и число управлений. Это значит, что их использование для синтеза оптимальных систем управления тяговым подвижным составом затруднено, особенно если речь идет об управлении приводом переменного тока. Трудности синтеза систем управления тяговыми асинхронными приводами, которые обычно более или менее точно описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений

© В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, 2014

выше третьего-четвертого порядка, привели к разработке или упрощенных моделей второго-третьего порядка, или к линеаризации исходных нелинейных моделей с последующим применением математического аппарата теории оптимального управления линейными системами. Линеаризация может выполняться как в малой окрестности рабочей точки (по Тейлору), так и с помощью методов современной геометрии. Исследования параллельной работы двигателей и буксования требуют в математической модели наличия двух или большего числа двигателей. При этим линеаризация по Тейлору практически неприменима для синтеза систем управления тяговыми электроприводами. В связи с этим более перспективной выглядит линеаризация нелинейных систем управления с помощью обратной связи в пространствах "вход - выход" или "вход - состояние" [10, 11]. Однако в этом случае необходимо выполнять трудоемкие аналитические преобразования, которые не автоматизированы ни в одном из известных пакетов моделирования и которые стали причиной разрыва между теоретическими результатами геометрической теории управления и решением практических задач синтеза систем управления [12, 13].

Целью исследования является разработка программных средств для универсального пакета моделирования, позволяющих автоматизировать сложные аналитические преобразования, необходимые в геометрической теории управления при получении из нелинейных математических моделей объектов эквивалентных линейных моделей в форме Бруновского. Демонстрация работоспособности программного обеспечения при синтезе линейной математической модели в форме Бруновского, описывающей процесс движения дизель-поезда.

В процессе разработки программного обеспечения согласно описанного в работе [13] алгоритма синтезированы функции, которые выполняют следующие действия:

- формируют векторные поля объектов по их моделям;

- проверяют условия инволютивности;

- вычисляют производные Ли;

- вычисляют преобразования переменных расширенной модели объекта в переменные в форме Бруновского;

- выполняют интегрирование системы дифференциальных уравнений.

Продемонстрируем эти функции в процессе синтеза линейной математической модели дизель-поезда с тремя тяговыми асинхронными двигателями.

Движение дизель-поезда в режиме тяги и в режиме перехода от тяги к буксованию может быть описано следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

§=; w

dt

dV 3

dV _ ]T(£2V(ВД - ВД)) -k3 -kAV -k5V2; (2)

dt q_1

^ = aqßqT--yqil + k6Pf-V?vqr +-^«1, q = 1,3 (3)

dt r a Li

^ = «ТЧ*-у+ ^^ + , д = 1,3; (4)

^ = -ад^дг -^^ + <*Х«, д = 1,3; (5)

dt гд

^ = -ъдХг -^, д=1,3, (6)

dt гд

где - расстояние, пройденное от начала перегона; t - время; к1, к\, к2 , к3 , к3, ..., к6 - постоянные коэффициенты; V - скорость

движения состава; цд = .Е—!^; д - число двигателей; р - число пар

JдLдr

полюсов статора у каждого двигателя; ^^ (д = 1,3) - индуктивность контура намагничивания (взаимная индуктивность) д-го двигателя; JCl (д = 1,3) - приведенный момент инерции д-го двигателя; , Lqc (д = 1,3) - полные индуктивности, соответственно ротора и статора;

, Г (д = 1,3) - потокосцепления по осям и и V роторов тяговых двигателей; V , « (д = 1,3) - статорные токи двигателей по осям и и V;

= 1'; Тд (д = 1,3) - постоянная времени ротора д-го двигателя;

l- (l- )2 —

ßq _-m— . aq _ 1--m— (- = 1,3) - полный коэффициент рассеяния

aqLgL- L-L-

Я4(Ьч )2 я9

я-го тягового электродвигателя; уд =—г—ш—т +--—; Я , Я

Р ' ст^ (ф2 ст^ - 4

(д = 1,3) - активные сопротивления роторных и статорных обмоток

тяговых электродвигателей; гд (д = 1,3) - радиус колеса д-го тягового

двигателя; ид4, (д = 1,3) - статорные напряжения д-го двигателя по осям и и V.

Преобразование исходной математической модели (1) - (6) к линейному виду начнем с введения в правые части обыкновенных

дифференциальных уравнений (3) и (4) новых управлений и^ ( = 1, 6), позволяющих убрать из соответствующих уравнений нелинейные части:

и = а1р1ТИ1- + ^РЧ* +^1; и2 = а«- + ^^ ;

г ст ^ г ст ^

из = а2р2тИ2г+^рт2 +4^; и4 = а2РЧ2 + ^;

г2 ст2Ь2 г2 ст212

и5 = а3р3ТИ3г + ^РТ3 и6 = а3р3Т3 + ^

г ст3Ь3 г ст3Ь3

Обозначив X! = Х2 = V; Х3 = Т^; Х4 = ?; Х5 = Т?г; Х5 =

х7 = Тиг; х8 = 'ух ; х9 = Туг ; х10 = 7"м.у; Х11 =Тиг; х12 = ; х13 = ;

3 11 2 2 3 3

х14 = 'и4; а11 = к1 ; а21 = а22 = кгМ- ; а23 = а24 = к2 М- ; а25 = а26 = к2^ ;

_ _ _ 1 . _ _к6 Р .

а27 = к3 ; а28 = к4 ; а29 = к5 ; а31 = а51 = а ; а32 = а52 1 ;

г

______1г1 . ___ „Д. ___ „,2. - „ - к6 Р .

а33 = а53 =а ; а41 = а61 = у ; а71 = а91 = а ; а72 = а92 = -> ;

г

______2Т2 . ____ „2 . ____ „,3 . „ _ „ к6 Р .

а73 = а93 =а Ая ; а81 = а101 = у ; а111 = а131 = а ; а112 = а132 = 3 ;

г

а113 = а133 = а31?ш ; а121 = а141 = -у3 , из системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) - (6) получим следующую математическую модель, описывающую движение дизель-поезда по железнодорожному перегону:

Сх1

& Ж

1 - апх2 -

— а21х3х4 а22х5х6 + а23х7 х8 а24х9 х10 + а25х11х12 а26х13х14 а27

а28х2 а29х2 — /2;

с'х-_

Ж

ах5 ж ах. ж

— аз1хз + а32х2 х5 + а33х6 —

5 — а51х5 + а52х2 х3 + а53х4 — /5;

7 — а71х7 + а72х2 х9 + а73х10 — ,/7;

ат4 — а41х4 + С — /4 +

Ж

сх

-6 — аб1хб + С — /б + (7) аг

ах

—8 — а81х8 + ^3 — Л + С/3;

аг

аt аt

Схг.

аt

— а9х + х7 + а93х8 — /9;

— а111х11 + а112х2х13 + а113х14 — /11;

— а131х13 + а132х2 х11 + а133х12 — ./13;

сх,

10

аt

Схл

12

аt

Схл

14

аt

— а101х10 + С4 — /10 + С4;

— а121х12 + С5 — /12 + С5;

— а141х14 + и 6 — /14 + С6-

С системой дифференциальных уравнений (7) связаны векторные пмя Х(х) — |/1, /С,, /3, /14Т,

У1 —10, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т , Г2 —10, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т , Г3 —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т, У4 —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0|т, К5 —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0|т,

Г6 —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1|т, которые в пакете МайаЬ могут быть заданы следующим образом: £1 = 8уш('а11 * х2');

£2 = 8уш('а21 * х3 * х4 - а22 * х5 * х6 + а23 * х7 * х8 - а24 * х9 * х10 + а25 * х11 * х12 - а26 * х13 * х14 - а27 - а28 * х2 - а29 * х2л2'); £3 = 8уш('а31 * х3 + а32 * х2 * х5 + а33 * х6'); £4 = 8уш('а41 * х4');

f5 = sym('a51* x5 + a52 * x2 * x3 + a53 * x4'); f6 = sym('a61 * x6');

f7 = sym('a71 * x7 + a72 * x2 * x9 + a73 * x10'); f8 = sym('a81 * x8');

f9 = sym('a91* x9 + a92 * x2 * x7 + a93 * x8'); f10 = sym('a101 * x10');

f11 = sym('a111 * x11 + a112 * x2 * x13 + a113 * x14'); f12 = sym('a121 * x12');

f13 = sym('a131* x13 + a132 * x2 * x11 + a133 * x12'); f14 = sym('a141 * x14');

X = [f1; f2; f3; f4; f5; f6; f7; f8; f9; f10; f11; f12; f13; f14];

Y1 = [0; 0; 0; sym('1'); 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]

Y2 = [0; 0; 0; 0; 0; sym('1'); 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]

Y3 = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; sym('1'); 0; 0; 0; 0; 0; 0]

Y4 = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; sym(T); 0; 0; 0; 0]

Y5 = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; sym('1'); 0; 0]

Y6 = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; sym('1')]

x=[sym('x1') 'x2' 'x3' 'x4' 'x5' 'x6' 'x7' 'x8' 'x9' 'x10' 'x11' 'x12' 'x13' 'x14'];

Система уравнений (7) может быть преобразована к форме Бруновского только в случае, если инволютивны распределения

M° = span{Yb У2, ..., Y6}, M1 = spanfYj,Y6,LxYl5 ..., LXY6} и

M2 для этой системы [11], где span{Yl5Y2,Yj,Y4,Y5,Y6} - линейная

оболочка векторов Yl5 Y2,..., Y6; LXYk (k = 1, 6) - производные Ли

вдоль векторного поля Х векторных полей Yk (k = 1, 6).

Для проверки возможности преобразования широкого класса нелинейных систем управления к канонической форме Бруновского была разработана функция involutivity(M, x), проверяющая выполнение условий инволютивности последовательности распределений, которая возвращает значение "1", если для распределения M условия инволютивности выполняются и значение "0" - если нет, функция представляет собой следующую последовательность команд:

function involutive = involutivity(S, x)

saved_rank = rank(S);

lenght = size(S, 2);

for i = 1 : (lenght - 1)

for j = (i + 1) : lenght

S = [S difflie(S(:,i), S(:j), x)]; end

end

involutive = saved_rank == rank(S); end

Проверка инволютивности распределения M в пакете моделирования Matlab с использованием описанной выше функции осуществляется следующим образом:

M0 = [Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6]; involutive = involutivity(M0, x); >> involutive = 1

Поскольку векторные поля Yi (i = 1, 6) постоянны, то распределение M0 - инволютивно и размерность распределения dim M0 = 6.

Проанализируем распределение M1, для этого сначала осуществим

вычисление

производных

Ли

векторных

полей

(к = 1, 6) вдоль векторного поля Х с помощью разработанной функции Dif_Li(X, Y, x, N), которая возвращает N-ю производную Ли вдоль векторного поля Х векторного поля Y, по элементам вектора x. Функция вычисления производной Ли представляет собой следующую последовательность команд:

function U = Dif_Li(X, Y, variables, N) U(:, 1) = sym(Y); for i = 2 : N+2

U(:, i) = difflie(X, U(:, i - 1 ), variables); end end

Проверка инволютивности распределения М в пакете моделирования МаНаЪ с использованием функций Б1/_Ы и туоШыНу осуществляется следующим образом:

C1 1 = Dif Li(X, Y1, x, 2); M1 1 = C1 1(: 1 : (size(C1 1, 2) -

C1 2 = Dif Li(X, Y2, x, 2); M1 2 = C1 2(: 1 : (size(C1 2, 2) -

C1 3 = Dif Li(X, Y3, x, 2); M1 3 = C1_3(:, 1 : (size(C1 3, 2) -

C1 4 = Dif Li(X, Y4, x, 2); M1 4 = C1 4(: 1 (size(C1 4, 2) -

C1 5 = Dif Li(X, Y5, x, 2); M1 5 = C1_5(:, 1 : (size(C1 5, 2) -

C1_ 6 = Dif_Li(X, Y6, x, 2); M1_6 = C1_6(:, 1 : (size(C1 6, 2) -

M1=[M1_1(:,1), M1_2(:,1), M1_3(:,1), M1_4(:,1), M1_5(: M1_1(:,2), M1_2(:,2), M1_3(:,2), M1_4(:,2), M1_5(:,2), M1_6(:,2 involutive = involutivity(M1, x); >> involutive = 0

M1_6(:,1),

M1

Проверка условий инволютивности показывает, что распределение не является инволютивным, однако проверка всех его

к

подраспределений Ш\ = span{F1,F2,F3,F4,F5,F6,LXYk}, k = 1, 6 , показывает, что они являются инволютивными:

M11=[M1_1(:,1), M1_2(:,1), M1_3(:,1), M1_4(:,1), M1_5(:,1), M1_6(:,1), M1_1(:,2)];

involutive = involutivity(M11, x); >>involutive = 1

М16=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1), М1_5(:,1), М1_6(:,1), М1_6(:,2)];

туоМуе = туо1иЙУЙу(М16, х); »туоМуе = 1

Поэтому дополнительные переменные или интеграторы можно вводить в любой канал управления. Однако введение одного, двух, трех, четырех или пяти интеграторов в любые каналы не позволяет решить проблему получения инволютивного распределения М1 для расширенной системы.

Распределение М1 становится инволютивным только при введении одного интегратора в каждый канал объекта управления.

Для расширенной модели объекта управления введем следующие обозначения:

*

= и* ;

£ II £ — г2 ; >з = г; >4 = Г4 ; >5 = U.;; f

>6 = Г5 ; >7 =г6; >8 = и 2; = и * • dt 2

>9 = =г?; >10 = г8 ; >11 = U; d>11 = * . dt 3'

>12 = >13 : = Г10 ; >14 : = U4 . d>14 тт*. ; dt ~ U4 ;

>15 = Г11 i >16 = Г12 ; >17 = U 5 - d>17 _JJ* ; ; dt 5 ;

>18 = Г13 ; >19 = Г14 • >20 = U6 . Фг0 тт* ; dt =U6'

В этих обозначениях расширенная модель объекта записывается таким образом:

dyi

~г = аиУ2 = 9i ; dt

dx2

— = а21УзУ4 ~а22УвУ1 + а2з3У9У10 ~ ^УнУ^ + ^ЗУ^У^' dt

2

" а2бУ18У19 " а27 " а28У2 " а29У2 = 92Î

dy3

—L = a3Ly3 + аз2У^.Уб + аззУ7 = Фз; dt

dy4 dy5 *

— = а4^У4 + y5 = Ф4; — = U* Фз =0; dt dt

dy6

— = ^6 + а52У2Уз + а5зУ4 = Фб; dt

dy7 dy8 тт*

— = аб1У7 + У8 =Ф7; —г = U2; Ф8 =0; dt dt

dy9

—9 = а71У9 + а72У2У12 + а7зУ1з = Ф9; dt

4l

1 п dyi 1 $

10 = апУю+У11 = Фю; = из; Ф11 =0;

dt dt dy 12

—2 = + 092У2У9 + а9зЛ0 = Ф12; dt

Фз.^ _„ . dv14

= al0lУlз+y14 = Ф1з; -f4=U4; Ф14 =0; dt

= ^1^15 + ^^2^8 + ^1^19 =Ф15;

dv17 г,* «

= а12Л6+yl7 = Ф16; -г7 = U*; Ф17 =0; dt

= a13lУl8 + a132У^.Уl5 + а133Й6 = Ф18;

dt dt

Ф15 dt

dy16 dy17 тт*

= а121^^16+yl7 = Ф16; dt dt

dy 18 dt

dy 19 dy?0 тт* n

— = al4lУl9+y20 = Ф19; —тт = U6; Ф20 = 0

dt dt

С этой моделью объекта управления связаны векторные поля: Y Су) = |Фь Ф2, Фз> Ф4> Фз> Ф6> Ф7> Ф8> Ф9> Ф10> Ф11 Ф12> Ф13> Ф14> Ф15> Ф16> Ф17> Ф18> Ф19> Ф2^Т;

Y* = |0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|T ; Y* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т ;

Y = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т ;

Y* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т ; Y* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0|т ; Y* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1|т ,

которые в пакете Matlab могут быть заданы следующим образом:

f1 = sym('a11 * y2');

f2 = sym('a21 * y3 * y4 - a22 * y6 * y7 + a23 * y9 * y10 - a24 * y12 * y13 + a25 * y15 * y16 - a26 * y18 * y19 - a27 - a28 * y2 - a29 * y2A2'); f3 = sym('a31 * y3 + a32 * y2 * y6 + a33 * y7');

f19 = sym('a141 * y19 + y20'); f20 = sym('0');

Y_new = [ф1; ф2; ф3; ф4; ф5; ф6; ф7; ф8; ф9; ф10; ф11; ф12; ф13; ф14; ф15; ф16; ф17; ф18; ф19; ф20];

Y1_new = [0; 0; 0; 0; sym('1'); 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];

У6_пе%г = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8ут('1')];

у_пе%г = ^ут('уГ) 'у2' 'у3' 'у4' 'у5' 'у6' 'у7' 'у8' 'у9' 'у10' 'у11' 'у12' 'у13' 'у14'

'у15' 'у16' 'у17' 'у18' 'у19' 'у20'];

Поскольку вектора У/ (к = 1, 6) постоянны, то распределение

ж ж ж ж ж ж

М = зрап{у ,У2 ,У3,У ,У5 ,У6 } - инволютивно, что подтверждает и программное обеспечение.

М0_пе%'=[У1_пе%г,У2_пе%г, Y3_new,Y4_new,Y5_new,Y6_new]; гпуо1иИуе = invo1utivity(M0_new, y_new); >> inуo1utiуe = 1

Так как производные Ли вдоль векторного поля У векторных полей У* (к = 1, 6) являются постоянными векторами, то распределение М для расширенной системы является инволютивным.

2*

Проверка инволютивности распределения М =

= зрап{У*, У*,У3*, У4*, У5*, У6*, ЬУУ^,ЬУУ^,ЬУУ3*,ЬУУ4*,ЬУУ5*,ЬУУ*,£уУ^,

¿YY2*, ¿YY3*, ¿YY*, LyY*, LyY6*}, где l}YYk (к = C6) - производные Ли второго порядка, показывает, что оно не является инволютивным:

M2_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_5_new(:,1), M1_6_new(:,1), M1_1_new(:,2), M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_5_new(:,2), M1_6_new(:,2), M1_1_new(:,3), M1_2_new(:,3), M1_3_new(:,3), M1_4_new(:,3), M1_5_new(:,3), M1_6_new(:,3)]; involutive = involutivity(M2_new, y_new); >> involutive = 0

Однако инволютивными являются все подраспределения

Ml* = span{Y1; Y*, ..., Y6, LyY*¿Y*,...,ЦY*,L^Y*}, к = 1,6 ,

распределения M2*:

M21_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_5_new(:,1), M1_6_new(:,1), M1_1_new(:,2), M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_5_new(:,2), M1_6_new(:,2), M1_1_new(:,3)];

involutive = involutivity(M21_new, y_new) >> involutive = 1

M26_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), М1_3_пе%<:Л), M1_4_new(:,1), M1_5_new(:,1), M1_6_new(:,1), M1_1_new(:,2), M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_5_new(:,2), M1_6_new(:,2), M1_6_new(:,3)];

involutive = involutivity(M26_new, y_new) >> involutive = 1

Этого оказывается достаточно для осуществления динамической линеаризации и получения системы линейных дифференциальных уравнений в форме Бруновского. На основании теоремы о линейных эквивалентах для нелинейных аффинных систем с т управлениями [11], получим, что каноническая форма Бруновского имеет шесть клеток, а индекс управляемости ктях для данного объекта равен шести. Математическая модель объекта управления в форме Бруновского в пространстве "вход - состояние" имеет следующий вид:

'l = z.+1, i = 1, 20, i * 5, 8, 11, 14, 17, 20;

dt

dzs dzx dz,, dz, л dz17 dz7a

— = v1; —8 = v2; —11 = v3; —14 = v4; —17 = v5; —2° = v6 dt dt dt dt dt dt

где Vj (j = 1, 6) - управления.

Поскольку модель объекта в форме Бруновского имеет шесть

клеток, то необходимо определить шесть функций Tj (у) (j = 1, 6),

преобразующих переменные расширенной модели объекта управления в переменные модели в форме Бруновского:

Z1 = T1(j); ¿6 = T2(j); Z9 = T3(j); Z12 = T4(y); z15 = ^(y^ Z18 = T6(y).

Методика определения этих функций известна [8, 11, 13]. В данном случае они являются однокомпонентными составляющими вектора У = (Л, >2, .., >20). Из этих функций путем последовательного

дифференцирования вдоль векторного поля Y* = Y + U1Y* + U2Y* + + U Y* +U Yt + U5 Y5 + U6 Y6 можно получить выражения для определения соответственно z2, z3, z4, z5 (из функции T (у) ), z7, zs (из функции T2(y)), z10, z11 (из функции T3(у)), z13, z14 (из функции T*(У) ), Z16, Z17 (из функции T5(y)), Z19, z*0 (из функции T6(У)). В качестве примера рассмотрим получение зависимостей для определения переменных z2, z3, z4, z5 с помощью функции Tl(у).

Для вычисления функций перехода от переменных расширенной нелинейной модели объекта управления к переменным модели в форме Бруновского применялась специально разработанная для этого функция brunovsky(X, Y, T, x, N), которая дифференцируя функцию T вдоль векторных полей X и Y, по элементам вектора x, возвращает для каждой клетки формы Бруновского массив из N выражений, связывающих переменные в линейной и нелинейной моделях, а также новое управление для соответствующей клетки линейной модели в форме Бруновского. Функция brunovsky представляет собой следующую последовательность команд:

function [Z, V] = brunovsky(X, Y, T, x, N)

Z(1, 1) = T;

for i = 2 : N

Z(i, 1) = diffvec(Z(i-1, 1), x, 1) * X; end

V = diffvec (Z(N, 1), x, 1) * X;

end

Для исследуемого объекта управления имеем: T (У) = У\, поэтому Z1 = >1 и

Т1 = ^ут('у1')];

[21_2_3_4_5, VI] = brunovsky(Y_new, [Y1_new], Т1, y_new, 5); 21_2_3_4_5 = simple(Z1_2_3_4_5)

Дифференцируя функцию Т1(у) вдоль векторного поля У и учитывая, что , г3, ^ и их производные не зависят от управлений, получим функции перехода к канонической форме Бруновского:

Т тг \ т тг \ дТ(у) 22 =~г = Ьу* Т1 (у) = ЬуТ1 (у) = Е~г—Ф г = ацу2 ; Ж У г=1 8У,

2

= ^ = Ь, (ВД(у)) = Ьу (ацУ2) = Е 8{^Т{У)) Ф, = ацФ2 =

^ ,=1 8У,

= а11(а21УзУ4 - а22УбУ7 + а2зУ9У10 - а24У12У13 + а25У15У16 - а2бУ18У19 -

- а27 - а28У2 - а29У2 );

¿2з Г12г< чч Г / ч "I0 8(Ьу (аиф2))

24 =~Т = Ь * (Ь*Т (у)) = Ьу (апф2) = Е-* 11 2 Ф, =

ж у ,=1 8у,

= а11[(а28 + 2а29У2 )Ф2 + а11а25У1бФ15 - а11а2бУ9Ф18 + а11а21У4Фз + + а11а2зУюФ9 - а11а22У7Фб - а11а24У1зФ12 - а11а24У12Ф13 + а11а2^-У15Ф1б -

- а11а2бУ18Ф19 + а11а21УзФ4 + а11а2зУ9Ф10 - а11а22УбФ7 ];

^ т (т3т< ъ V 8(ЬУ* (Т(У))).

25 = = ЬУ* (ЬУТ1(У)) = Е--Ф, ■

ж У ,=1 8У,

Аналогичным образом могут быть получены соотношения для определения остальных переменных модели в форме Бруновского.

На рис. 1 и 2 приведены процессы, полученные с помощью математических моделей (7) и (8).

На рис. 1 с помощью переменных х1 (модель (7)) и (модель (8)) показано изменение во времени пройденного дизель-поездом расстояния при разгоне состава до 60 км/ч на ровном участке железнодорожного пути. Как следует из рисунка х1 = . На рис. 2 показаны изменения скорости дизель-поезда, полученные с помощью модели (7), переменная х2, и модели (8), переменная 22. как видно из рисунка х2 = 22. Таким образом, линейная математическая модель в форме Бруновского (8) эквивалентна исходной нелинейной модели объекта (7).

xh zh М'

700

600 500 400 300 200 100

0 10 20 30 40 50 60 t, С Рис. 1. Поведение переменных x и Zj во времени.

x2, z2, км/ч

60

50

40

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60 t, С Рис. 2. Поведение переменных x2 и z2 во времени.

Выводы. Таким образом, для универсального пакета моделирования разработано программное обеспечение, позволяющее автоматизировать сложные аналитические преобразования в геометрической теории управления при получении из нелинейных математических моделей объектов управления эквивалентных линейных моделей в форме Бруновского. С помощью разработанного программного обеспечения

получена линейная математическая модель движения дизель-поезда в канонической форме Бруновского, которая учитывает параллельную работу трёх тяговых асинхронных двигателей. Полученная модель может использоваться для поиска оптимальных управлений, а также для исследования процессов буксования и параллельной работы двигателей.

Список литературы: 1. Бауэр Х.П. Оптимальное использование сцепления на электровозе с трехфазным тяговым приводом / Х.П. Бауэр // Железные дороги мира.

- 1987. - № 8. - С. 10-23. 2. Ohishi K. Adhesion control of electric motor coach based on force control using disturbance observer / K. Ohishi, Y. Ogawa // IEEE, Advanced Motion Control.

- April, 2000. - P. 323-328. 3. Тяговые и токовые характеристики электроподвижного состава с асинхронным тяговым двигателем / Омельяненко В.И., Калюжный Н.Н., Кулиш Т.А., Кривякин Г.В. // Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тезисы LXVI международной конференции. - Днепропетровск: ДИИТ, 2006. -С. 123. 4. Шапран Е.Н. Совершенствование микропроцессорных систем управления с высоким использованием сил сцепления / Е.Н. Шапран // Вюник НТУ "ХПГ. - Харюв: НТУ "ХП1". - 2006. - N° 23. - С. 145-154. 5. Моделирование и оптимизация систем управления и контроля локомотивов / Носков В.И., Дмитриенко В.Д., Заполовский Н.И., Леонов С.Ю. - Х.: ХФИ "Транспорт Украины", 2003. - 248 с. 6. Артеменко А.Н. Система автоматического выравнивания нагрузки тягового электропривода карьерного электровоза / А.Н. Артеменко // Вюник Кременчуцького державного ушверситету iм. Михайло Остроградського. - Кременчук: КДН iм. Михайло Остроградського. - 2010. -Вип. 4. - Частина 3. - С. 56-58. 7. ПритулаМ.Г. Моделювання та розрахунок оптимальних параметрiв руху по!адв / М.Г. Притула, Р.Р. Шпакович // Фiзико-математичне моделювання та шформацшш технологи. - 2007. - Вип. 5. - С. 139-145. 8. Дмитриенко В.Д. Синтез оптимальных законов управления тяговым электроприводом методами дифференциальной геометрии и принципа максимума / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Системи обробки шформаци. - Харюв: ХУПС. - 2009. - Вип. 4 (78).

- С. 42-51. 9. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5 -ти томах. Т. 4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова и И.Д. Егунова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 744 с. 10. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и томах. Т. 5: Методы современной теории управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егунова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 784 с. 11. Краснощёченко В.И. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза / В.И. Краснощёченко, А.П. Грищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. - 520 с. 12. Дмитриенко В.Д. Линеаризация математической модели привода методами дифференциальной геометрии / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Вюник НТУ "ХП1". - Харюв: НТУ "ХП1".

2007. № 19. С. 64-77. 13. Дмитриенко В.Д. Моделирование и оптимизация процессов управления движением дизель-поездов / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный. - Х.: Изд. центр "HTMT", 2013. - 248 с.

Bibliography (transliterated): 1. Baujer H.P. Optimal'noe ispol'zovanie sceplenija na jelektrovoze s trehfaznym tjagovym privodom / H.P. Baujer // Zheleznye dorogi mira. - 1987. -N° 8. - S. 10-23. 2. Ohishi K. Adhesion control of electric motor coach based on force control using disturbance observer / K. Ohishi, Y. Ogawa // IEEE, Advanced Motion Control. - April, 2000. - S. 323-328. 3. Tjagovye i tokovye harakteristiki jelektropodvizhnogo sostava s asinhronnym tjagovym dvigatelem / Omeljanenko V.I., Kaljuzhnyj N.N., Kulish T.A., Krivjakin G. V. // Problemy i perspektivy razvitija zheleznodorozhnogo transporta: Tezisy LHVI mezhdunarodnoj konferencii. - Dnepropetrovsk: DIIT, 2006. - S. 123. 4. Shapran E.N.

Sovershenstvovanie mikroprocessornyh sistem upravlenija s vysokim ispol'zovaniem sil sceplenija / E.N. Shapran // Visnik NTU "HPI". - Harkiv: NTU "HPI". - 2006. - № 23.

- S. 145-154. 5. Modelirovanie i optimizacija sistem upravlenija i kontrolja lokomotivov / Noskov V.I., Dmitrienko V.D., Zapolovskij N.I., Leonov SJu. - H.: HFI "Transport Ukrainy", 2003. - 248 s. 6. Artemenko A.N. Sistema avtomaticheskogo vyravnivanija nagruzki tjagovogo jelektroprivoda kar'ernogo jelektrovoza / A.N. Artemenko // Visnik Kremenchuc'kogo derzhavnogo universitetu im. Mihajlo Ostrograds'kogo. - Kremenchuk: KDN im. Mihajlo Ostrograds'kogo. -2010. - Vip. 4. - Chastina 3. - S. 56-58. 7. PritulaM.G. Modeljuvannja ta rozrahunok optimal'nih parametriv ruhu poizdiv /M.G. Pritula, R.R. Shpakovich // Fiziko-matematichne modeljuvannja ta informacijni tehnologii. - 2007. - Vip. 5. - S. 139-145. 8. Dmitrienko V.D. Sintez optimal'nyh zakonov upravlenija tjagovym jelektroprivodom metodami differencial'noj geometrii i principa maksimuma / V.D. Dmitrienko, AJu. Zakovorotnyj // Sistemi obrobki informacii. - Harkiv: HUPS.

- 2009. - Vip. 4 (78). - S. 42-51. 9. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravlenija: Uchebnik v 5-ti tomah. T. 4: Teorija optimizacii sistem avtomaticheskogo upravlenija / Pod red. K.A. Pupkova i I.D. Egunova. - M.: MGTU im. N.Je. Baumana, 2004. - 744 s. 10. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravlenija: Uchebnik v 5-i tomah. T. 5: Metody sovremennoj teorii upravlenija / Pod red. K.A. Pupkova, N.D. Egunova. - M.: Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana, 2004. - 784 s. 11. Krasnoshhjochenko V.I. Nelinejnye sistemy: geometricheskij metod analiza i sinteza / V.I. Krasnoshhjochenko, A.P. Grishhenko. - M.: Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana. - 2005. - 520 s. 12. Dmitrienko V.D. Linearizacija matematicheskoj modeli privoda metodami differencial'noj geometrii / V.D. Dmitrienko, AJu. Zakovorotnyj // Visnik NTU "HPI". - Harkiv: NTU "HPI". - 2007. - № 19. - S. 64-77. 13. Dmitrienko V.D. Modelirovanie i optimizacija processov upravlenija dvizheniem dizel'-poezdov / V.D. Dmitrienko, AJu. Zakovorotnyj. - H.: Izd. centr "HTMT", 2013. - 248 s.

Поступила (received) 01.12.2014

Статью представил д-р техн. наук, проф., заслуженный изобретатель Украины, зав. кафедрой "Системы информации" НТУ "ХПИ" Серков А.А.

Dmitrienko Valerii, Dr.Tech.Sci., Professor

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Frunze, 21, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel.: (057) 707-61-98, e-mail: valdmitrienko@gmail.com

ORCID ID: 0000-0003-2523-595X

Zakovorotniy Alexandr, Cand.Tech.Sci., Docent

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Frunze, 21, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel. (067) 546-35-27, e-mail: arcade@i.ua

ORCID ID: 0000-0003-4415-838X