CC BY
51
УДК 621.9.01
В.Д. ДМИТРИЕНКО, д.т.н., проф. НТУ "ХПИ", г. Харьков,
А.Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, к.т.н., доц. НТУ "ХПИ", г. Харьков,
А.О. НЕСТЕРЕНКО, магистр НТУ "ХПИ", г. Харьков
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В ФОРМЕ БРУНОВСКОГО ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОПРИВОДА С УЧЕТОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ДВИГАТЕЛЕЙ
Выполнен с помощью геометрической теории управления синтез линейной математической модели тягового асинхронного электропривода в пространстве “вход-состояние”. Полученная модель в канонической форме Бруновского позволяет исследовать и оптимизировать процессы не только разгона и движения состава с заданной скоростью, но и процессы буксования. Библиогр.: 10 назв.
Ключевые слова: геометрическая теория управления, модель тягового асинхронного электропривода, модель в канонической форме Бруновского.
Постановка проблемы и анализ литературы. Вопросы исследования и оптимизации функционирования тягового подвижного состава железных дорог в течении десятилетий привлекают внимание многих специалистов [1 - 8]. Большинство исследований выполняется с помощью математического моделирования на сложных моделях, описываемых системами обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений высокого порядка. Однако поиск оптимальных решений на таких моделях затруднен. Поэтому в большинстве случаев при решении задач оптимального управления используются математические модели 2 - 5 порядка. При оптимизации функционирования подвижного состава с тяговым асинхронным приводом использование моделей такого низкого порядка во многих случаях невозможно в силу того, что даже упрощенная модель тягового асинхронного привода с одним эквивалентным двигателем имеет пятый порядок системы обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений. В тоже время исследования параллельной работы двигателей, буксования, юза требует в математической модели не менее двух двигателей. Использование известных методов оптимального управления для решения задач оптимизации функционирования подобных объектов вызывает серьезные трудности [9, 10]. В связи с этим в работах [8, 11] была предпринята попытка привлечь для решения задач оптимального управления рассматриваемыми объектами методы геометрической теории управления [12], использующие динамическую линеаризацию исходной нелинейной модели. При этом удалось получить законы оптимального
управления для объектов, которые описывались системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 5 - 6 порядка. Для поиска оптимальных законов управления реальным приводом с учетом параллельной работы электродвигателей необходимо уточнение используемых моделей (получение систем обыкновенных дифференциальных уравнений десятого и более высоких порядков) и разработка метода динамической линеаризации уточненных моделей (получение линейных моделей объекта управления в форме Бруновского), и поиск оптимальных законов управления с помощью этих моделей.
Целью статьи является синтез с помощью средств геометрической теории управления математической модели тягового электропривода в форме Бруновского для последующего решения задач оптимального управления с учетом параллельной работы тяговых двигателей.
Движение дизель-поезда в режиме тяги и в режиме перехода от тяги к буксованию в первом приближении может быть описано следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
^ = КУ;
^ -ЧОД +Т!2Т42 -Т22Тз2 -о2о -о21У-а22У2);
т
№ д
—Ї- = а|1Т1‘г + а3д3Т3д + ид, д = 1, 2;
&
(1)
&
^ = а*-??* + а4д4Т4д + ид, д = 1, 2;
г№д
^ = а1№ + а^ + а5д42Т4дОд, д = 1, 2; ш
^ = ад2Т| + ад4?4д + а^Од, 3 = 1, 2,
Л
где £ - расстояние, отсчитываемое от начала перегона; ґ - время; к, к2, а20, а2 15 а22, а і, а33 5-,а64, аб32 - постоянные коэффициенты определяемые параметрами привода; V - скорость движения состава; Т, Т/ (д = 1, 2) - потокосцепления по оси и первого и второго двигателей; Тд, Тд (д = 1, 2) - потокосцепления по оси V первого и
второго двигателей; Оь - угловые скорости вращения роторов
соответственно первого и второго асинхронных двигателей;
0.д = V /(пВ ); (д = 1, 2) - диаметр д-й колесной пары;
, Щ (д — 1, 2) - питающие напряжения, при гармоническом
напряжении имеем:
ид = Ад «*(0,0; ид — Ад 8ш(Ог0,
где Ад, 0.д (д = 1, 2) - соответственно амплитуды и частоты питающих напряжений первого и второго тяговых двигателей.
Обозначив хг = 5; х2 = V ; х3 — Т/; х4 — Т]; х5 — Т]; хб — Т];
х7 =Т32 ; х =Т12; х9 = Т4 ; х10 = Т2 , из системы уравнений (1)
получим следующую модель, описывающую движение дизель-поезда:
dх1
—2 = а х; ж 12 2
dх2 2
—— = «235х3х5 _ а246х4х6 + а289х8х9 _ а2,7,10х7х10 _ а200 _ а220х2 _ а222х1; dt
dх3 ТТ1
—3 = а33х3 + а34х4 + и; dt
dх4
— = а43х3 + а44х4 + а425х2 х5; dt
dх5
— = а55х5 + а56х6 + а524х2 х4; (2) dt
dх6
,, = а65х5 + а66х6 + и2; dt
dх7
— = а77х7 + а78х8 + а729х2 х9; dt
dх8 тт2
—— = а87х7 + а88х8 + и1 ; dt
ск9
— а99х9 + а9 10х10 + а927х2 х7;
dt
dXln 2
—— = а10,9 х9 + а10,10х10 + и2, dt
3222 — k2a22;
a33 — a
31;
a34 — a
33;
a43 — a
51;
a44 — a
53;
a425 — a
a524 — a63^(л^1) ;
541;
-v2 .
a78 — a*
51;
524
^2
a729 — a^42/(^^2)? a 7 — a-
^87 ■
33;
a88 — a
31;
a99 — a,
6,4;
a9,10 — a'
6,2;
2/(^2);
-v2 .
С системой дифференциальных уравнений (2) связаны следующие векторные поля:
/1 = а12х2
/2 = а235х3х5 _ а246х4х6 + а289х8х9 ~ а2,7,10х7х10 _ а200 ~ а220х2 ~ а222х2
/3 = ^33х3 + ^34х 4
/4 = а43х3 + аллхл + ал')*хпхъ
X (х) —
* 44х 4
425x2 x5
/5 = a55x5 + a56x6 + a524x2 х4
f6 — a65x5 + a66x6
f7 — a77x7 + a78x8 + a729x2 x9
/8 — a87x7 + a88x8
f9 — a99x9 + a9,j0x10 + a927x2 x7
/1<0 — a10,9 x9 + a10,10x10
Y1 —10, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|T; Y2 —10, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0|T;
Y3 —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0|T; Y4 —10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1|T.
Система уравнений (2) может быть преобразована к форме Бруновского только в случае, если инволютивны распределения M0, M1, M 2 для этой системы [12]. Поскольку векторные поля Y (i — 1, 4) постоянны, то распределение M0 — span{Y1,Y2, Y3, Y4} - инволютивно и размерность распределения dimM0 — 4 (Здесь span{Y1,Y2,Y3,Y4} -линейная оболочка векторов Yb Y2, Y3, Y4 ).
Проанализируем распределение M1 — span{Y1, Y2, Y3, Y4, LxY^ LxY2, LXY3,LxY4}, где LxYk (k — 1, 4) - производные Ли вдоль векторного поля Х векторных полей Yk (к — 1, 4). Производные Ли вычисляются следующим образом:
1
1
1
1
a — a
a — a
a — a
a** — a
55
64
56
62
65
44
66
42
77
53
2
2
2
2
2
2
a — a
a
— a
927
10.9
44
10.10
42
Ьх¥к = [ Х,Ук ] =■
дх
X--
ах,
дх
Ук = -
х
дх
-п =
д/1 д/1 д/1
дх1 дХ2 дх10
д/2 д/2 д/2
дХ] дх2 дх10
д/1 о д/1 0 д/ о
дХ] дх2 дх10
■ук, к = 1, 4.
Непосредственная проверка скобок Ли [ X,, X^ ], где X,, Х^- -
векторные поля из множества {11, У,, 13,14,ЬХУЪЬХУ2,ЬХУ3,ЬХУ4}, и
ранга матриц Бг =||У2,У2,Уз,У4, ЬхУ1, ЗД, ЗД, ЗД,[Хг , Х] ]||
показывает, что распределение М1 не является инволютивным, однако все его подраспределения М1 = span{У2,У1,У3,У4, ЬХУк }, к — 1, 4, являются инволютивными. Поэтому дополнительные переменные или интеграторы можно вводить в любой канал управления. Однако введение одного, двух или трех интеграторов в любые каналы не позволяет решить проблему получения инволютивного распределения М1 для расширенной системы. Распределение М1 становится инволютивным только при введении одного интегратора в каждый канал объекта управления.
Для расширенной модели объекта управления введем следующие обозначения:
у, = ^ I=13; У4 = и1; и1 = ■dy4; У5 = х4; У6 = х5;
ш
У7 = х6; у8 = и2; и 2 = ~78; у9 = х7; у10 = х8 ; dt
уи = и12; из = ^т1; Уі2 = х9; уіз = хю; у14 = и22; и4 = йуи
ж
ж
В этих обозначениях расширенная модель объекта записывается следующим образом:
ау1
— = Ф1 = а^; аґ
Лу2 _ 2.
—— = ф2 = а235у3уб - а24бу5у7 + а289у10у12 - а2,7,10у9у1 3 а200 а220у2 а222у2;
М
Му3 Му9
,, = ф3 = а3зУз + а34у5 + у4; , = ф9 = а77у9 + а7&У10 + а729у2у12;
а аґ
Му4 тг П Му10
= и1; ф4 = 0; ,, =ф10 = а87у9 + а8&у10 + у11;
а а
ау5 ау11 тг „
—5 = ф5 = а4ауз + а44у5 + а42^2уб; ~~ГТ = ^ ф11 = 0
аґ аґ
Дуб ау 12
, =фб = а55уб + а5бу7 + а524у2у5; ,, = ф12 = а99у12 + а9,10у13 + а927у2у9;
аґ аґ
ау7 ау 13
= ф7 = аб5уб + аббу7 + у8; =ф13 = а10,9у12 + а10,10у13 + у14;
аґ аґ
% = и2; ф8 = 0; % = и4; ф14 = 0.
аґ аґ
С этой моделью объекта управления связаны следующие векторные
поля:
У(у) = |ф!> ф2= фз. ф4. ф5. фб. фу5 фв. ф^ фю> фЦ’ ф12. ф^ ф^Ґ ;
У* = |0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т ;
У* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т ;
У* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0|т ;
У* = |0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1|т .
Поскольку вектора У; , У2 , Уз , У4 постоянны, то распределение
М0* = 8рап{У1*,У2,У*,У4} инволютивно.
Так как производные Ли вдоль векторного поля У векторных полей Ук (к = 1, 4) являются постоянными векторами:
* * дУ* дУ * . .т
ЬуУ1 = [У,У1] = —^У-У1 = 0, 0, -1, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ;
ду ду
Ьуу1 = [У ,У2*] = -дУ.У* = |0, 0,0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0|т;
ЬУУ3* = [У,У3*] = -—У3* = |0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0|т; ду
ЬУУ* = [У ,У4*] = - д. У* = |0, 0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 0|т,
то распределение М 1* для расширенной системы является
инволютивным.
Проверка инволютивности распределения М1 = 8рап{ У*, У*, У*, У4*, ЬУУ*,ЬуУ*,ЬУУ*,ЬуУ*,Ь2УУ-*, 1.,ЬУу*,ГУ.}, где Ь2УУк (k = 1,4) -
производные Ли второго порядка, показывает, что оно не является инволютивным. Однако инволютивными являются подраспределения распределения М2*:
М1 = Брап{. ,У*,У3 ,У*,ЬУУ1 ,ЬУУ1,ЬУУ*,ЬУУ4,ЬУуУ* };
М1 = Брап{. ,У2,У3,У4, ЬУУ1, ЬУУ2, ЬУУ3, ЬУУ4, ЬуУ**};
М32 = 8рап{у ,У*,У3 ,У4,ЬУУ1,ЬУУ.1,ЬУУ3,ЬУУ4 ,ЬуУ** };
М1 = 8рап{у , У*, У3, У4, ЬУУ1, ЬУУ*, ЬУУ*, ЬУУ4,1.У4 }.
Это оказывается достаточным для осуществления динамической линеаризации и получения системы линейных дифференциальных уравнений в форме Бруновского. На основании теории о линейных эквивалентах для нелинейных аффинных систем с т уравнениями [12], получим математическую модель объекта управления в форме Бруновского в пространстве "вход - состояние":
— = zi+2, , = 1Д3, , Ф 4, 8, 11; dt
(3)
-2л -2л л
—4 = v2; —8 = v2; —= v3; —14 = v4, dt dt dt dt
где \] (] = 1, 4) - управления.
Поскольку модель объекта в форме Бруновского имеет четыре клетки, то необходимо определить четыре функции Tj (у) (] = 1, 4),
преобразующие переменные расширенной модели объекта управления в переменные модели в форме Бруновского:
*1 = Т\(УХ 25 = ТгСу); 29 = Т3(у); 2^ = Т4(у).
Методика определения этих функций известна [8, 12]. В данном случае они являются однокомпонентными составляющими вектора У = (У\, Уъ ■■■’У\4). Из этих функций путем последовательного дифференцирования вдоль векторного поля
У = У + и1 У1 + и2 У2 + и3 У3 + и4 У4 можно получить выражения для определения соответственно 22, 23, 24 (из функции Т (у) ), 26, 21, *8 (из функции Т2(у) ), 210, 211 (из функции Т3(у)) и 213, 214 (из функции Т4 (у)). В качестве примера рассмотрим получение зависимостей для определения 22, 23, 24 с помощью функции Т1(у). Для исследуемого объекта управления имеем: Т1(у) = у1, поэтому 21 = у1. Дифференцируя функцию Т1(у) вдоль векторного поля У и учитывая, что 22, 23 и их производные не зависят от управлений, получим
—2, 14 -Т ( V)
22 = — = V Т1(у) = Ь¥Т1(у) = 2 —-----ф; = а12У2 ;
Ш 1 = 1 -У;
2з = —2 = V (Ьут1(у)) = ьу (а12У2) = 2-(^у)) ф г = Й12Ф2 =
— ;=1 -У;
= а12(а235У3У6 _ а246У5У7 + Я289У1^.У12 _ а2,7,10У9У13 _ а200 _ а220У2 ~ а222У2);
24 = -з = (4Т,(у)) = ^ (а,2ф2) = 22 =
Ш ;=1 -У;
= а12[(_а220 _ 2а222У2)ф2 + а235Убф3 _ а246У7ф5 + а235Узф6 _ а24&У5ф7 _
_а2,7,10У13ф9 + а289У12ф10 + а289У10ф12 _ а2,7,10У9ф1з].
Аналогичным образом могут быть получены соотношения для определения остальных переменных модели Бруновского. Параллельное моделирование объекта управления в различных режимах с помощью исходной математической модели и модели в форме Бруновского показали полное совпадение процессов в обеих моделях при разгонах и движении состава по перегонам, в режимах буксования.
Выводы. Таким образом, впервые средствами геометрической теории управления получена работоспособная математическая модель в канонической форме Бруновского, которая позволяет исследовать и оптимизировать процессы управления дизель-поездом в режимах разгона и ведения состава по перегонам с известным профилем пути с учетом параллельной работы двигателей и процессов буксования.
Список литературы: 1. Бауэр Х.П. Оптимальное использование сцепления на электровозе с трехфазным тяговым приводом /Х.П. Бауэр // Железные дороги мира. - 19В7. - № 8. - С. 10 - 23. І. Ohishi K. Adhesion control of electric motor coach based on force control using disturbance observer / K. Ohishi, Y. Ogawa // IEEE, Advanced Motion Control. - April, 2000. - P. 323 - 32В. 3. Тяговые и токовые характеристики электроподвижного состава с асинхронным тяговым двигателем / Омельяненко В.И., Калюжный Н.Н., Кулиш Т.А., Кривякин Г.В. // Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Тезисы LXVI международной конференции. - Днепропетровск: ДИИТ, 2006. - С. 123. 4. Шапран Е.Н. Совершенствование микропроцессорных систем управления с высоким использованием сил сцепления / Е.Н. Шапран // Вісник НТУ '^Ш". - Xарків: НТУ '^Ш". - 200б. - N° 23. - С. 145 - 154. 5. Моделирование и оптимизация систем управления и контроля локомотивов / Носков В.И., Дмитриенко В.Д., Заполовский Н.И., Леонов С.Ю. - X.: XФИ "Транспорт Украины", 2003. - 248 с. б. Артеменко А.Н. Система автоматического выравнивания нагрузки тягового электропривода карьерного электровоза / А.Н. Артеменко // Вісник Кременчуцького державного університету ім. Михайло Остроградського. - Кременчук: КДН ім. Михайло Остроградського. - 2010. - Вип. 4. - Частина 3. - С. 5б - 5В. 7. Притула М.Г., Шпакович Р.Р. Моделювання та розрахунок оптимальних параметрів руху поїздів // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2007. - Вип. 5. -С. 139 - 145. S. Дмитриенко В.Д. Синтез оптимальных законов управления тяговым электроприводом методами дифференциальной геометрии и принципа максимума / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Системи обробки інформації. - Xарків: XУПС. -2009. - Вип. 4 (78). - С. 42-51. 9. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти томах. Т. 4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова и И.Д. Егунова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 744 с. 10. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и томах. Т. 5: Методы современной теории управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егунова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 784 с. ll. Дмитриенко В.Д. Линеаризация математической модели привода методами дифференциальной геометрии / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Вісник НТУ "Xm''. - Xарків: НТУ "Xm''. - 2007. - № 19. - С. 64 - 77. 12. Краснощёченко В.И. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза / В.И. Краснощёченко, А.П. Грищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. - 520 с.
УДК 621.9.01
Математична модель у формі Бруновського для дослідження та оптимізації електроприводу з урахуванням паралельної роботи двигунів / Дмитрієнко В.Д., Заковоротний О.Ю., Нестеренко А.О. // Вісник НТУ "Xm''. Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Xарків: НТУ "Xm''. - 2011. - № 3б. - С. б1 - 70.
Виконано за допомогою геометричної теорії керування синтез лінійної математичної моделі тягового асинхронного електропривода в просторі "вхід-стан". Отримана модель у канонічній формі Бруновського дозволяє досліджувати й оптимізувати процеси не тільки розгону й руху рухомого складу із заданою швидкістю, а й процеси буксування. Бібліогр.: 12 назв.
Ключові слова: геометрична теорія керування, модель тягового асинхронного електроприводу, модель у канонічній формі Бруновського.
UDC б21.9.01
Mathematical model in form Brunovsky for research and optimize of electrical drive with parallel operation of motors / Dmitrienko V.D., Zakovorotnyi A.Y., Nesterenko A.O.
// Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2011. - № 3б. - P. б1 - 70.
Done using the geometric theory control synthesis of linear mathematical model asynchronous electric drive in the space "input-state". The resulting model in canonical form Brunovsky can research and optimize not only the acceleration and movement of rolling stock with a given speed, but also the processes of slipping. Refs.: 12 titles.
Keywords: geometric control theory, the model of asynchronous electric drive, the model in canonical form Brunovsky.
Поступила в редакцию 14.07.2011
