CC BY
51
В.Д ДМИТРИЕНКО, д-р тех наук, проф, НТУ "ХПИ" (г. Харьков А.Ю. ЗАКОВОРОТНЫИст. преподавате^йНТУ "ХПИ" (г. Харьков Н.В. МЕЗЕНЦЕВ, ст. преподавате^УНТУ "ХПИ" (г. Харьков
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИЗЕЛЬ-ПОЕЗДА С ТЯГОВЫМ АСИНХРОННЫМ ПРИВОДОМ МЕТОДАМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Рассматриваетсвинтезлинейнойматематическойлоделедизельпоездас тяговымасинхронным приводом на основе динамической линеаризации модели объекта управления средствами геометрической теории управления На основании последовательностиинволютивных распределений олучена линейная математическаялоделш форме Бруновского Приводится сравнение процессов в исходной и полученной линейной системе которое подтверждает правильноствыполненныхфеобразованиМл.: 2.Библиогр: 10.
Ключевые слова линейная математическая модель тяговый асинхронный привод геометрическаяеорияуправлениринволютивныфаспределения
Постановкапроблемьи анализлитературыВ современны>условиях все более важное значение для железных дорог Украины приобретает снижение энергозатратпри перевозке грузов и пассажиров Внедрение тяговыхэлектроприводов трехфазнымюсинхроннымщвигателямикоторые по экономическим показателям превосходят приводы с двигателями на постоянном токе, - один из путей экономии энергоресурсов Однако уменьшение потребления энергоресурсов возможно не только за счет внедрени$болееэкономическихприводор но и засчетоптимизацифежимов управления подвижным составом В связи с этим актуальны работу направленные^ созданиш овых экономичных систем управлениягяговым асинхроннымприводоми на разработку^истемподдержкипринятиярешений машинисток/при управленитодвижнымсоставом
Теоретическимшсследованиямисвязаннымю поискомо птимальных законовуправлениэдвижениемсоставорзанималисьмногиеученые[1 - 6], однако приемлемая по точности математическая модель тягового асинхронногодвигателясодержитне менеепяти обыкновенныхнелинейных дифференциальныуравнений Как видно из [7, 8], синтез оптимальных регуляторов для таких нелинейных объектов с помощью большинства известныхметодовтеорииоптимальногоуправлениявесьмазатрудненили практическимевозможенВ связис этимв работах[6, 9] былапредпринята попытка получитьс помощью геометрической'еорииуправленияпинейную модель объекта управления эквивалентнуюисходной нелинейной модели привода и с ее помощьювыполнитьсинтезрегуляторадля электропривода Однаков этих работа)« ма тематическоймоделио бъекта управление
качестве которого рассматривалсяггечественныйцизельпоездД ЭЛ-02, не учитывалосьдвижениесоставу но при управлениитяговым асинхронным приводом важно не толькоп оведениеі риводд но и график движениям расстоянирпроходимоесоставомза интерватаремениуправленияВ связис этим важно уточнение модели объекта управления для целей поиска оптимальныэуправлениРспомощьюэтой модели
Целью статьи является интез угочненнойл инейной математической модели дизельпоезда с тяговым асинхронным приводом на основе динамической линеаризации модели объекта управления средствами геометрическоетеорииуправления
Движение дизельпоезда по п ерегону может быть описано системой обыкновенньвдифференциальньдоавненигёида
— =кУЧ\ (1)
с«
а2^- а22^ \ (2)
С/Г
-^ = -аУ,+а^; (3)
.. ¡2 .
-£ = - ¥/(, + /ЛЛЇ,+аіт-^- + арУ(,+—и„\ (4)
^- = -у/р-РР^+^-и,; (5)
и Г т ^ СТ1-8
— = р\Л/+а£.т—, (6)
(К У „
где 8 - расстояниэ отсчитываемое от начала перегони ? - время к, /с,, а21, а22 - постоянныекоэффициент^М/ - угловаяскоростьвращения эквивалентногсвсинхронногодвигателя \Л#с= V-скоростьдвижениядизель поездд м = ріт/Лг; р- число пар полюсов статора двигателя 1~т ~ индуктивностьконтура намагничиваний -моментынерци^ приведенный:
валу двигателя 1~г -полная индуктивность роторд =^Уиг +У^- -
потокосцеплениеротора двигателя Уиг > ^ ~ потокосцепленияротора двигателяїо осями и V, /ч = /'^соэр- /и5зіпр - ток статорапо оси q в системе координат с/, д; /„8, іи8 - статорные токи по осям и и V,
р = агсєігЇУ„Д/у£+у£Ц или р = агссо^илД/у„,.+У* Ц; а = 1/Гг; Тг -и ш и ш
постояннаявременироторадвигателя ¡а =/и8созр- /\,5э1пр - ток статорапо
□ ¡2 р
оси с/ в системекоординатс/, д; у = т9 +——; в - полный коэффициент
аЦЦ аЦ
рассеяния -полная индуктивность статорд р = /_т/(сг/_в/_г);
иа ^^созр+и^тр; ^созр+и^этр.
Введен® правые части уравнений (4), (5) объекта управленияновые управления
и, = /ОТ, + а ^ + ару„ + /(о£.в); (7)
и2 = - - а¿т/(У/(7 /- рРWY(Í + /(о/_в). (8)
Обозначив х, = 8; х2=\Л/; х3=У(У; х^=/'(У; ^=/(7; =р; а,2 = /с;
а22 = - а21 > Э222 = ■ а22 > Э235 = М I а33 = " 0 > = > а44 = " У I %5 = " У!
а62 = р; а635 =а£.ти подставивуправления(7), (8) в уравнения(4), (5) получимследующуюмоделщвиженияцизельпоездапо перегону
с/х,
-а12х2;
= а22х2 + а222^ + а2з5х3х5;
с/х,
~ а33х3 + а34Х4!
(9)
сЦ _ с//
= 844X4 +о,;
С/Х;
~Э55Х5 +и2'
С1Хс Х^
-------- ^(52^2 ^6*3*5----
сП 62 2 635 х3
ОпределилвозможностьлреобразованияелинейноСсистемыуравнений (9) к формеБруновского[6, 8]. Для этого определиг^выполняютсяпи условия
инволютивноствдляпоследовательносраспределениА'/0, М\ М2 [8, 10]. С системойцифференциальнвд>авнений(9) связаньвекгорныеполя
и = а12Х2
^2 = а22Х2 + Э222Х2 + а235*3*5
Х(х) =
Ь = а33х3 + Э34Х4 и = а44Х4 ?5 =а55Х5
'к — ^62^2 а«ч*------
'635“
0 0
0 0
0 0
; г,= 1 ; у2 = 0
0 1
0 0
гдех = (х,, х2, х3, х4, Хд, Хб).
Поскольку векторные поля У, и У2 постоянна то распределение М° = эра^У^,>2} - инволютивнси сНтЛ10=2; эра^У,,^} - линейная оболочкавекгоровУ, и У2; сНтЛ!0 - размерностраспределениЛ?0 [10].
Рассмотримраспределение/И1 = зрапУьУ2,1-хУь¡.ХУ2}, где ¿ХУ, и /.ХУ2 - производными вдольвекторногополяХ векторныхполей У, и У2:
I V = ГУ VI =Ж У ТР^ у - ТУ у -
х 1 1 Цх " Цх 1 " Цх 1
11^1 11^1 11^1 11^1 11^1 11^1
11*1 Цх2 И^з И*4 И*5 И*6
1^2 1^2 1^2 1^2 ТТ^2 1^2
11*1 И*2 И*3 И*4 И*5 И*6
1Уб 1Уе 11^6 1Уб 11^6 1Уе
11*1 11*2 И^З И*4 11*5 И*6
0 0
0 0
1 1° _ ■ азз
1 - 844
0 0
0 0
I У - г у V 1 - ^2 у Жу - ТУ у -
^Уг _[Х,У2] т^Уг" т* 2 _
0,- а235Х3,0,0,- а55,-
д635
Для инволютивности распределения М1 необходимо выполнение условия гапкО^.Уг.^У^.^Уг.ЕХ,-,^]) =4, где X,,X]- векторныеполяиз
семейства (У|,У2,/.ХУ|, /.ХУ2). Поскольку [¿ХУ„^У2] =^^/.хУ1 -
М-хЪ) =тЫ\оо.а . а 06Т =
*-Х'2 |и>и> а33> а44>и>4
0|а33а235'0>0>0г
то ранг матрицы/?= (УрУ2,1-хУь ¡-ХУ2,[1-ХУЬ равенпяти
В связис этим распределением1 не являетсяинволютивным Для определения аналд в который необходимовводить интегратор проверим инволютивность подраспределений = зрапУ,,У2,/-хУ1} и
м1=5рапУ1,У2>1-хУ2} ■ Очевиднр что [У\,У2] =[У1ДХУ1] =|0,0,0,0,0,0|.
Имеем также* [У2ЛуУ^] = ) У2 - =|0,0,0,0,0,0|;
[У1,^У2] = ^(у2)^ - ^^Уг = =10,0,0,0,0,^ . Поэтому оба
распределениям} И М\ являютсяинволютивнымки имеют одинаковую размерность равную трем Таким образоминтеграторили дополнительную переменную можно вводить в любой канал Однакд как показывают вычисления один интегратор не позволяет решить проблему получения необходимогошслаинволютивныхраспределениДля расширеннойсистемы В расширенной системе распределением1 становится инволютивным однакораспределениёИ 2 уже неявляетс$инволютивным Поэтом увведек/во вторуюподсистем^равненирдваинтегратора
Обозначим^* = а, и введемдополнительныфазовывсоординатых7 и
бх,
^ в канал связанный со вторым управлением и2: х7 =и2, ^,
с«
поля
= и2.С расширенноймодельюобъектауправлениясвязанывекгорные
Х'(х) =
м £
0 0
а2 2х2 + а222*2 + а235*3*5 0 0
а33х3 + а34Х4 0 0
а44Х4 1 0
а55Х5 + х7 ; К = 0 м 0
а62х2 +а635— 0 0
хз 0 0
*8 0 1
0
Для расширенной модели объекта управления распределение М°* = ,У^} -инволютивнси сНтМ°* =2.
Поскольку
/. .< = [X*,<] = X* - ^= |0,0, - аз4, - а44,0,0,0,(^Т;
*-**У2* =[Х*,У2*] = 54х*-^У2* = -^У2 =|0 0 0 0 0 0- 1 С\т ,
распределение Л?1* = эрап^*, У2 , ¡-х- У,*, ¡-х- У2} также инволютивнр поскольку оно образовансвекторамкс постоянным компонентами при этом ш, = сНтМг =4.
Проверим распределение М =зрапДО ,[Х ,М ]} =8рапУ| ,У2, /-х. <, 1-х. У2*, Ф у;, £.2х. У2}. Имеем
4К =[*•,!. .у;]^/..< =
Х И* Ц* Х
т
0, 8348235^, 333834+334844, 8^4, 0,-34 ^35^5 ' 0 >
*3
4у2* =[Х\1 .у2 = |0,0,0,0,1,о,о,о|т.
х И* И* х
Г, 2^ ,2у1 ^х*У2),2 ^ И(^-К),2 ^
Поскольку!^ , ^У2 ] =——£.2.У|--------------—£.2 .У2 =
Цх х Цх х
О, - 8348235, 0, о, о, , о, о
т
и ранг матрицы /?2 = (У,*, У2*, I. • У|*,
/-х- У2 , У,*, £.х* У2* .[¿х* У,*, 1.^. У2*]) не равенб, то распределением 2* не
являетсяинволютивным Так как динамическаупинеаризация ри наличии двух управлений возможнап ри наличии инволютивности более простых
распределений - подраспределений М2* = эрапу,*, У2, ¡-х- У^*, /.х- У,*}, М|* = эрапу,*, У2, ¡-х- У2 , /.х* У2}, то проверии/их инволютивность
Подраспределение не является инволютивным поскольку
[I. , У,* ,/.2 • У|* ] N$0,0,0,0,0,0,0,0]т. Распределением!* инволютивнр
X х
посколькувсееговекгораимеютпостоянныесомпоненты
Исследуем распределением! =spanyj ,У2, У2 , Lx-Y2, У2} ■ Имеем
.3 Y* -ry-* /2 Y*1 - ^ y* ^ /2 Y* - ^ /2 Y* -
V'2 -1Л » у* 2 J-------------„ . Л „ . *-y* »2 _ * у* '2 "
Л Л Цх Цх Л Цх Л
0> a235*3’ 0> 0> a55> 635 > 0> 0
*3
, . , . H(L3* >2) . . U(L2.y2*) . H(L3.y2) . .
[L2y.У2 , L3y.У2] = * L2.У2 - * L3 .У2 = * L2y.У2 =
11» Ik Ik
=|о, о, о, о, о, о, о, о|т;
. . . Ц.3.^) . Ц(1. -Уз) , . . |Т
[|..у2,фу2]= *, ¿-У2 - * ¿.3,у2 = о,о,о,о,о,о,о,о ;
х Л Цх- х Цх- Л
[УГ, фу^] =[у;, фу^] = |о,о,о,о,о,о,о,о|т.
Таким образом распределением|* - инволютивно На основетеориио линейных эквивалентах для нелинейных аффинных систем с двумя управлениями [10] получаем что индексы управляемости/^ и к2 для рассматриваемогобъектауправленияодинаковь^ = к2 = 4 и каноническая форма Бруновского имеет две клетки. Поскольку числор ассматриваемых инволютивных распределений Му, у = 0,1, 2, К , ктах -1, где /<тах -
максимальный! ндекс управляемое!,ицляданногообъекгаравенчетырем то условиядля получениялинейногоэквивалентздля рассматриваемогобъекта выполнены В результате получим математическую модель в форме Бруновского
^- = Ум, /=1, 2, 3, 5, 6, 7;
Л (10)
(¡V
— = ук, / = 4, 8; к = /74.
(К
Поскольку модельобъектав форме Бруновского имеет две клетки, то необходимоопределитщ ве функции преобразования^ (х*) И Т2(х') от расширенноймодели объекта управления моделкв форме Бруновского Известно[8, 10], что также функции у, = Щх), у2 = Г2(х*) существую™ из них путем последовательногдифференцированждольвекторногополя X, =Х* + щУ,* +и2У2 можноопределитьу2,у3,у4,у6,у7,у8.
В рассматриваемсаадаче
у, = Щх ) = х.,;
Уг =1-ж>Т,(х ) = ©
-1Ш*)
/=1 И*)
X, -а12х2;
Уз -1- • * Т| (х ))- 0 X; - а12(а22х2 + а222х| + а235х3^);
/=1 IIх)
у4 = I. * (/Л.* Т| (х )) = 0 X; = а12(а22 + 2а222х2 )(а22х2 + а222х| +
/=1 IIх)
+а235Х3Х5) + а12а235Х5(а33х3 + а34*4) + а12Э235Х3(а55*5 + ху) г
у5 = Т2(х') = х5]
Уб=1~„-Т2(х) = е
* 1№)
X/ - а55х5 + х7;
У7
/=1 11х)
т/ *хЬ 8 ^Х*Г2(Х ^* _ /
- 1-* \1. * Т2(х ))-© — X,- - а55(а55х5 + х7) + Хд,
;=1 IIх)
Ув ~ 1-х‘\1~х‘Т2(х )/-6 ^ _а55(аз5а55^ +а35х7 + х8).
/=1
На рис. 1 и 2 приведены процессу полученные с помощью математическимоделей(9) и (10).
Рис 1. Поведениетеременных х,и у, во времени
Рис 2. ПоведениетеременныхУ и у2 во времени
На рис 1 с помощью переменных^ (модель(9)) иу1 (модель(10)) показанси зменениево временил ройденногодизельпоездомрасстояния1 ри разгонесоставадо 60 км/ч на ровном участке железнодорожного!ути. Как следуетиз рисунка *1 о у\. На рис 2 показаньм змененияскорости дизель
поездд полученныес помощью модели (9), перемен най/, и модели (10), переменнаяу2. как видно из рисунка V є у2. Аналогичные тождества выполняются^ для других переменныхмоделей(Э) и (10). Таким образом математическая модель в форме Бруновского эквивалентна исходной НЄЛИНЄЙНОЙ\/ЮДЄЛИ(9).
Выводы Впервыесредствамицифференциальнойвометрииполучена работоспособнаяіинейная\ла тематическая одельдизельпоездд с тяговым асинхронньїмприводоіуі зквивалентна$нелинейнойматематическом/іоделі(і описываемой системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка Полученнаялинейнаяи одельв канонической форме Бруновского может быть использованадля синтеза оптимальных законовуправления'яговымподвижнымсоставом
Списокл итературы 1. БауэрХ.П. Оптимальноеиспользованиец епленияна электровозе трехфазныкгяговымприводом/Х./7. Бауэр/1 Железныедорогимира - 1987. -Na 8. -С. 10 - 23.
2. Ohishi К Adhesion control of electric motor coach based on force control using disturbance observer IK. Ohishi, Y. Ogawall IEEE, Advanced Motion Control. - April, 2000. - P. 323 - 328.
3. Омельяненкв.И. Тяговые и токовые характеристики элекгроподвижного состава с асинхроннымгяговымдвигателеМ В.И. ОмельяненцсН.Н. Калюжный, Т.АКулищ Г.В. Кривякин II Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта Тезисы LXVI международной конференции - Днепропетровск ДИИТ, 2006. -С. 123.4. ШапранЕ.Н Совершенствованиаликропроцессорныхсистем управления: в ысоким использованиемсил сцепления1 Е.Н. Шапран // Вісник НТУ "ХПІ". Тематични£випуск Інформатика моделювання - Харків: НТУ "ХПІ". - 2006. - № 23. - C. 145- 154. 5. НосковВ.И. Моделирование оптимизация систем управления! контроля локомотивов / В.И. Носкод В.Д. Дмитриенкр Н.И. Заполовскцй С.Ю. Леонов - X.: ХФИ "Транспорт УкраиньГ, 2003. - 248 с.
6.ДмитриенксВ.Д Синтезоптимальньиваконовуправлениэтяговымэлектроприводониетодами дифференциальнойеометрит п ринципа максимума/ В.Д ДмитриенкрА.Ю. Заковоротный //Системи обробки інформації-Харків: ХУПС. - 2009. -Вип. 4 (78). -C. 42-51.7. Методы классическом современнойтеорииав томатическогсуправления Учебник в 5-ти томах Т. 4: Теорияоптимизациюістемавтоматическопуправленигі Под ред К.А. Пупковаи ИЛ Егунова-М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана 2004. - 744с. 8. Методы классической^ современной-еории автоматическопуправленияУчебникв 5-й томах Т. 5: Методьісовременноітеорииуправления /Под ред К.А. Пупковд Н.Д. Егупова - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана 2004. - 784с.
9.ДмитриенкіВ.Д Линеаризация/іатематическоімоделиприводаметодамодифференциальной геометрии/ В.Д.ДмитриенкрА.Ю. Заковоротный II Вісник НТУ "ХПІ". Тематичними пуск Інформатика і моделювання- Харків: НТУ "ХПІ". - 2007. - № 19. - С. 64 - 77.
10.КраснощёченкоВ.И. Нелинейные системы геометрический метод анализа и синтеза / В.И. КраснощёченкрА.П Гоищэнко- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана- 2005. - 52ft.
УДК 621.9.01
Лінеаризаціянелінійнон атематичноїмоделідизелшоїздаз тяговим асинхронним приводомлетодамкгеометричноїеоріїкерування/ ДмитрієнкоВ.Д, ЗаковоротниЮ.Ю., МезенцевМ.В. // Вісник НТУ "ХПІ". Тематични£випуск Інформатика моделювання-Харків:
НТУ "ХПІ".-2010.-№21.-С. 66 -75.
Розглядається интез лінійної математичноїмоделі дизельпоїздаз тяговима синхронним приводомнаосновідинамічноїлінеаризацімоделюб’єктакеруваннязасобами'еометричногеорм управління На пщставіп ослідовності інволютивних розподілів отримана лінійна математична модели фор мі Бруновського Приводитьсяпорівнянняп роцесіву вихідній і отриманій лінійній системі щопідтверджуєправильністшиконанихперетвореньїл.: 2.Бібліогр: 10назв
Ключові слова лінійна математичналодел^ тяговийа синхроннийп ривод геометрична теоріяуп равліннд інволютивнірозподіли
UDC 621.9.01
Linearization of nonlinear mathematical model diesel train with asynchronous traction drive with using methods of geometric control theory / Dmitrienko V.D., Zakovorotnyi A.Y., Mezentsev N.VJ/ Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 201(№r21. - P. 66 - 75.
A synthesis of linear mathematical model diesel train with asynchronous traction drive based on dynamic object model linearization control of the means of geometric control theory. Based on the sequence of involutive transformations received linear mathematical model in the form of Brunovski. A comparison of processes in the source and received linear system, which confirms the correctness of transformations performed. Figs: 2. Refs: 10 titles.
Keywords:linear mathematical model, asynchronous traction drive, geometric control theory, involutive transformations.
Поступипт редакциюі0.05.2010
