Линеаризация математической модели привода методами дифференциальной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9:629.42

В.Д. ДМИТРИЕНКО, д-р техн. наук, НТУ "ХПИ",

А.Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, НТУ "ХПИ"

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИВОДА

МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Розглянуто геометричний метод лінеаризації зворотним зв'язком математичної моделі тягового асинхронного електропривода. Отримано математичну модель електропривода у формі Бруновського.

The geometrical method of linearization is considered by a feedback of mathematical model of the traction asynchronous electric drive. The mathematical model of the electric drive in the form of Brunovsky.

Постановка проблемы и анализ литературы. Трудности анализа и синтеза нелинейных систем управления общеизвестны. Поэтому в течении десятилетий ведется поиск более мощных теоретических средств, чем существующие, для решения фундаментальных проблем теории управления. Одним их таких средств является современная геометрия, в частности, геометрический подход к теории управления на основе теории групп и дифференциальной геометрии. Успехи этого подхода привели к интенсивной разработке нового научного направления - единой геометрической теории управления [1, 2]. Существенное преимущество нового научного направления состоит не только в создании математического аппарата, позволяющего описывать системы управления в пространствах состояний более общих, чем линейные пространства, что необходимо при решении целого ряда задач управления [1, 2], но и в реальной осуществимости эквивалентных преобразований нелинейных систем к линейным. Такие преобразования открывают возможности для использования при решении задач разработки нелинейных систем управления методов и средств теории линейных систем [1 - 3]. При этом линеаризация нелинейной системы выполняется не с помощью классического разложения в ряд Тейлора, а на основе использования линейной обратной связи в пространстве "вход - выход" или "вход -состояние". Теоретически линеаризация с помощью обратной связи позволяет преобразовать к линейному виду широкий класс нелинейных систем управления [1 - 7]. Однако практическое использование нового геометрического метода линеаризации для сколько-нибудь общих нелинейных систем выше третьего - четвертого порядка существенно затруднено из-за отсутствия конструктивных методов выполнения такой линеаризации.

В работах [2, 8] предпринимались попытки получить линейную модель асинхронного привода. В статье [8] два тяговых асинхронных двигателя дизель-поезда были заменены одним эквивалентным, математическая модель

которого описывается с помощью системы дифференциальных уравнений через потокосцепления статора и ротора:

dF

——1 = + «3^3 + U{,

dt

dF

dt

' = a22F2 + a24F4 + U2 ;

d'y

У = а31У1 + «33^3 + Я345У4°; (!)

dt dy

—4 = «42y2 + «44^4 + 0435^3^; dt

dO 9

~T = а514У1У4 + «523У2 У3 _ a51O_ a52O , dt

где У15 У2, y3, У4 - потокосцепления эквивалентного двигателя; an, a13, ..., asl4, a23 - постоянные коэффициенты, определяемые параметрами эквивалентного асинхронного двигателя; u1, u2 - статорные напряжения; « 1, «2 - постоянные коэффициенты, определяемые нагрузкой двигателя;

O - угловая скорость вращения эквивалентного двигателя.

Рассматриваемая модель (1) использовалась для получения линейного эквивалента нелинейной системы. Однако относительно большое число одночленов в правой части системы уравнений (1) привело к громоздким и трудно используемым промежуточным выражениям и конечному результату.

В работе [2] использовалась аналогичная модель асинхронного двигателя, в которой статорные потокосцепления с помощью известных выражений [9] были заменены на статорные токи. Эта модель содержит такое же число одночленов в правой части системы уравнений, что и модель (1), поэтому ее использование для получения линейного эквивалента также проблематично. В связи с этим была предпринята попытка [2] уменьшить общее число одночленов в правой части системы уравнений за счет перехода с помощью нелинейного преобразования из статической системы координат во вращающуюся d-q-систему координат. Однако допущенные ошибки преобразования привели к появлению некорректной модели, в которой одна из полученных фазовых координат не входила ни в одно из четырех других уравнений ([2], пятое уравнение модели (1.476)).

В связи с этим целью настоящей работы является получение приемлемого для целей оптимизации асинхронного привода решения задачи линеаризации математической модели асинхронного двигателя с помощью обратной связи.

Математическую модель (1) в осях и и V с помощью известных выражений для токов статора [9]:

и =-^ Ч - К чиг) ; ^ =-^- (Ч - К Ч-) ,

аьх о,

і2

где іш, V - статорные токи по осям и и V; ст = 1 - кгкв = 1------— - полный

1^1г

коэффициент рассеяния; 1т - индуктивность контура намагничивания (взаимная индуктивность); І!1, 1Г - полная индуктивность соответственно статора и ротора; Чих, - потокосцепления по осям и и V статора;

к,, =1т, кг =1т - коэффициенты электромагнитной связи соответственно

1 1Г

статора и ротора; Чиг, Чуг - потокосцепления ротора по осям и и V, преобразуем к виду

Ш-тг = аРЧиг- Уи + Рро4- +-у- ии^; ш о,

^ = арч„.- - рР^Чиг+и^;

ш о,

шч

-г- = -аЧиг -рОЧт +аІтіш,; (2)

ш

шч

Г = -аЧ^ + рОЧи- + а1тКз ;

ш

ШО= кї№иг^ -Чши)-а51О-а52°2,

ш

1 Т а і

где а = —; 1Г - постоянная времени ротора двигателя; р =

т

тг - стіА

у = —+—— ; лг, - активные сопротивления роторной и статорной

оі, °4

обмоток двигателя; р - число пар полюсов статора; иш, ига - статорные напряжения по осям и и V; к1 - постоянный коэффициент; ц = Р т ; Л -

Л, г

приведенный момент инерции двигателя (с учетом момента инерции дизель -поезда); Мн = а5 О + а2^2 - момент нагрузки двигателя.

Математическая модель асинхронного привода (2) не может быть непосредственно использована для линеаризации объекта с помощью

66

динамической обратной связи из-за слишком большого числа одночленов, входящих в правую часть системы уравнений (2), что приводит к нетривиальным громоздким преобразованиям и необходимости весьма сложного поиска решений системы уравнений в частных производных. Выполним нелинейное преобразование системы уравнений (2) во

вращающуюся систему координат d, q. Получим, что в новой системе координат

Q = Q; (3)

Ydiq = Yu—vs -Yvrius , (4)

где -d = 7-»*; (5)

iq = ivs cos p- lus Sin p ; (6)

Y Y

p = arcsin —¡= vr или p = arccos —¡= ur ; (7)

y 2 + Y2 /Y2 + Y2

V Y ur ' Yvr V Yur ' 1 -vr

iq - ток статора по оси q в системе координат d, q. При этом ток статора по оси d определяется выражением

id = u COS P-ivs sinp. (8)

Наиболее просто с помощью соотношений (3) и (4) в новой системе координат получается последнее уравнение из системы уравнений (2), которое в d-q-системе координат приобретает вид

= klVYdiq - «51^ - «52^2 • (9)

dt

Второе дифференциальное уравнение получим, продифференцировав

dY

левую и правую часть выражения (5) и подставив вместо производных ——,

dt

d-vr

—— соответствующие правые части третьего и четвертого уравнений из

dt

системы (2). После несложных алгебраических преобразований с учетом выражений (7) и (8) имеем:

dY

= -“Yd +«Vd • (10)

dt

Продифференцировав левую и правую часть одного из выражений (7) и выполнив простые преобразования с учетом выражений (2), (5) и (6) получим

/Р = рП + аІт-^. (11)

Ж т Т

Последние два дифференциальных уравнения новой математической модели получим, продифференцировав левые и правые части выражений (6), (8) и подставив необходимые соотношения из уравнений (2) и (11), и выполнив необходимые алгебраические преобразования:

(И і2 1

~£ = -УІ/ + Р&Ід + аЬт ТІТ + аРТ/ +— (ии* СОв р + ит вШР); (12)

Л Т/

Ла ІІ 1

~Г = -УІд - Р&/ -аЬт-^Т - РІ^Т/ + — (иу* СОв Р + ии* «ІП Р). (13)

Л Т/

Введем в полученную модель (9) - (13) асинхронного двигателя новые управления щ, и2, позволяющие убрать из правых частей уравнений (12), (13) нелинейные члены:

2 1

Щ = рОіч +аЬт-^ + арТ/ + (и^совр + ит віпр); (14)

^т ЇТ, г Т г ' “у*

Т/ ^4

и2 =-РЫ/ -аЬт1-/Г - РР^Т/ +~^- (иу* СОв Р + ии* БШ Р)- (15)

Т/ ^4

Обозначив =^; х2 = т ; хз = ^; х4 = ^; х5 =р; а\ \ = -°51; «ц = -°52;

«124 = а21 =-а; а23 =аіт ; а31 =-Т; а41 =-Т; а51 = Р; а524 = аіт и

подставив управления и1 и и2 (соотношения (14) и (15)) в уравнения (12), (13), получим модель асинхронного двигателя в виде:

/х 2

—1 = аиХ! + апХ! + «!24Х2 Х4;

/Ґ

/х7

ъх + а2зхз;

й йх

—3 = Яз!хз + ^; (16)

м

йх

—4 = + и9;

ж 41 4 2

йх х

—5 = а51х1 + а524 4 •

й х2

Определим возможность преобразования нелинейной системы (16) к линейной форме (к канонической форме Бруновского [1, 2, 8]). Для этого

определим инволютивность последовательности распределений М М\ М2 [2, 8].

С системой дифференциальных уравнений (16) связаны векторные поля

^ а11х1 + а12х12 + а124х2 х4^

X (х) =

a21X2 + a23x3 a3 jX3

^4^X4

X4

a51X1 + a524

; Yi( x) =

f 0 ^ f 01

0 0

1 ; y2( x) = 0

0 1

,0 у , 0 у

2 у

Поскольку векторные поля Y (х) и Y2 (х) постоянны, то распределение M0 = span{Yb Y2} - инволютивно и dimM0 = 2 , где х = (x1, x2, x3, x4, x5); span - линейная оболочка векторов Y и Y2; dimM0 - размерность

распределения M0 [2, 8].

Определим распределение M1 = span{Y1,Y2, LxY1, LxY2}, где Lx Y1 и Lx Y2 - производные Ли векторных полей Y1 и Y2 вдоль векторного поля Х:

LxYi = [ X, Yi] = °^ X-°^ =-^XYi = |0, - a23, - 031, 0, 0|T ; ox ox ox

lxy2 = [x, Y2] = 0Y2x OXY2 = OXY2 =

ox ox Ox

— 0124 X2, 0, 0, — 041, —

где [X, Ук ] - скобки Ли векторных полей X, Ук .

Для инволютивности распределения М1 необходимо выполнение условия гапк(11,Г2,LxY1,LxY2,[Xi,X^]) = 4, где Xг-, Xj - векторные поля из

семейства (Y1, Y2,Lx Y1,Lx Y2). Имеем:

[Y1, Y2] = Y1 ,LX Y1] = [YX,LX Y2] = [Y2,Lx Y2] = [Y2,Lx Y1] = 0. (17)

Однако

[Lx Y1 ,Lx Y2] =

o( lxy2) J(LxYx)

-LxY2 =

Ос*, 1 a^

023 a124, 0, 0, 0,---------------2“

ox ox

Поэтому ранг матрицы R = (Y1, Y2,Lx Y1,Lx Y2,[Lx Y1,Lx Y2]) равен пяти:

T

524

X

2

T

R =

0 0 0 0 1 0 0 1

00

- a2 — Оз 0

0

a124X2

0

0

- a41

a23a124

0

0

0

aa

Таким образом, распределения М1 не является инволютивным. Подраспределения М\ = 8рап(Г1,Г2, ЬХУ1} и М^ = 8рап(Г1,Г2, ЬХУ2}

распределения М1 в силу соотношений (17) являются инволютивными и имеют одинаковые размерности, равные 3. Введем дополнительную фазовую координату в канал, связанный с управлением и2:

dx,

dt

С расширенной моделью асинхронного двигателя связаны следующие векторные поля:

a11x1 + a12x1 + a124x2 x4 a21x2 + a^^x-

X (x ) =

23л3

a31x3

a51x1 + a5

0

0 0

0 0

* * 1 * * 0

; Y1 (x ) = 0 ; y2( x) = 0

0 0

0 1

где x = (x, x2, x3, x4, x5, x6 ).

Для расширенной модели асинхронного двигателя распределение

dimM0* = 2 .

M0* = span{Y*,Y*}

инволютивно,

*

2

1*****

M = span{Y , Y2 , L * Y , L * Y2 } также инволютивно, поскольку [Y , Y2] =

Распределение

г*-

= [Y*,Lx* Y*] = [Y*,Lx* Y*] = [Y*,Lx* Y2] = [YlLx* Y*] = [L* Y*,L* Y*] = 0,

где L* Y* = [X*,Y*] = °^VX* -

H< *

oy ox *

“TY1

Y =-

ox

ox

ox

і--,,.* oy*

L* Y2 = [X ,Y2] =

ox

* X*-X Y2* =-ox* 2

ox

oX*

Y1 = I0, - a32 , - a31, 0, 0, 0|

ox*

■y2* = |0 0 0 -1 0 0|T;

a

524

2

x

x

2

2

041x4 + x6

x

4

x

2

*

а +2а12х1 а124х4 0 а124х2 0 0 0 0

0 2 сз СО 2 сз 0 0 0 0 - а23

дX * * 0 0 СО сз 0 0 0 1 2 сз 1

дх* у' = 0 0 0 а41 0 1 0 — 0

а51 х4 а524 2 0 а524 0 0 0 0

х2 0 *2

0 0 0 0 0 0 0

При этом матрица Щ = (у ,у* Ь »У^ , Ь *У2 ) имеет ранг равный 4, т = dim М= 4.

Рассмотрим распределение М = 8рап{у ,У» , Ь* у , Ь* У2, Ь^* у ,

ь2 * у22},

х 2

2 * * * д(Ьх* У*) * дX* * дХ* *

где 4 у = [ X ,Ь*У1 ] = х * X - — Ь*У1 =--— Ь*У1 = х дх дх х дх х

а23а124х4, а23(а21

О ж ж ж

Ьс у2 = [ X ,ь. у2 ] =

(а21 + а31), <£, 0, - 0

т

д(Ь* у2) * дХ :

дх

X -

. Ь * У2 = дх* х 2

а124х2, 0, 0, а41, 524 , 0 хп

Распределение М2* имеет следующую размерность:

ЖтМ2 = гапк{ у ,у, Ь * у , Ь * У2, Ь2 * У* , Ь2 * У* } = 6.

Распределение М2* инволютивно. Используя теорию о линейном эквиваленте для нелинейной аффинной системы с векторным управлением [2, теорема 1.16], получим, что индексы управляемости к1 и к2 для рассматриваемой системы управления одинаковы: к = к2 = 3 , и имеются две клетки канонической формы Бруновского.

Таким образом, налицо следующий эквивалент исходной математической модели в форме Бруновского:

^ = у+1, I = 1, 2, 4, 5 ; ш

= Ук, I = 3, 6; к = I /3 .

Л

х

2

т

*

Следовательно, известно, что существуют некоторые преобразования * * у1 = 7[(х ) и у4 = Т2(х ), из которых путем последовательного

дифференцирования функций Т1(х*) и Т2(х*) вдоль векторного поля

_* *__* *__*

X1 = X + иу + п2у2 можно определить, соответственно у2, у3 и у5, у6 . Получим систему дифференциальных уравнений, определяющих функции Т1(х*) и Т2(х*). Для этого вначале продифференцируем вдоль векторного поля X] эти функции:

* * * *

—ул *

—^-= у2 = Ьх1T2(x ) = Ьх*Т1(х ) + и1 Ьу*Т1(х ) + и2Ьу*Т1(х ); (19)

у4 = у5 = ЬX! Т2(х ) = Ьх*Т2(х ) + и1 Ьу*Т2(х ) + и2 Ьг *Т2(х ), (20)

(И 1 X у1 у2

где Ьх1 Т(х ) , Ь^*Т(х ) , Ь^*Т (х ), Ь^*Т(х ) - производные Ли функций

Т (х*), I = 1, 2, вдоль, соответственно, векторных полей

ж г ЖГ-* ^жг* ^ЖТ-* ж г * жт* жт*

XI = X + и*у^ + и*у2 , X , у и у2 .

Поскольку из выражения (18) следует, что у 2 и у 5 в соотношениях (19), (20) не зависят от управлений и* и и * , то имеем:

/ Л I ж _ ж _ ж

ь Т (х*)=(дТ-(х->у*\=дВх1.0+дТ1(х2.0+£Т<:12.1+

у1 \ дх * 7 д х1 д х2 д х3

+дТ(11. 0+дТ.х2. 0 + дТ(£1. 0 = 0;

дх дх дх

_ я< \ _ я< _ я< _ я<

дТ(х 1 у1.0+дТ1(х ).0+дТ(х >.0+

дх / д х1 д х2 д х3

+ д Т'( х* >. 0 +д T■( х* >. 0 +дТ'( х*1.1 = 0;

д х4 д х5 д х6

Ь (х*)=№£.>,у- идТ2<х!.0+дЫИ.0+М<£2.1+

у \ дх / д х^ д х2 д х3

дТ2( х * ) д Т2( х * ) д Т2( х *)

+ ———- • 0+———- • 0 +———- • 0 = 0;

д х4 д х5 д х6

(21)

(22)

/ >1< X >1< >1< >1<

ь Т(х*)—lдЩ±у*\—дЫxA.0+£№!.0+дМх!.0+

у2 } \ дх * 2 д х д х2 д х3

„ * 1 2 3 (24)

дТ2( х*) д Т2( х*) дТ2( х*)

+ ———-. 0+———-. 0 + ———-. 0.

д х4 д х5 д х6

Из выражений (21) - (24) следует, что функции Т1( х) и Т2( х) не зависят от х и х .

* *

Дифференцируя у2 = Ь *Т(х ) и у5 = Ь *Т2(х ) вдоль векторного поля

X X

X , получим:

—у2 = у3 = ЬX (^*Т) = Ь\*ТХ + и*^. (Ьх*Т) + и*Ьу. (^*Т1); (25)

—у5 = у6 = Ьх1 (ЬХ*Т2) = ЬХ*Т2 + и1^* (ЬХ*Т2) + и2Ьу* (ЬХ*Т2(х )). (26)

Из выражения (18) следует, что у3 и у6 в соотношениях (25), (26) не зависят от управлений и * и и* , поэтому имеем

Ь *(Ь *Т) = Ь *(Ь *Т) = Ь *(Ь ,Т) = Ь *(Ь ) = 0. (27)

у; X 1У у2 4 X 1 у1 4 X 2 у2 4 X 2У у '

Для дальнейших вычислений воспользуемся известной теоремой [3, стр. 180].

Теорема. Пусть имеются /(х), g(х) - гладкие векторные функции и

Т_(х) - скалярная функция векторного аргумента (/, g, хеЯ"; Т1 еЯ) и выполняются соотношения

ЬеЬуТ (х) = 0, I = 0, 1, . ..,т -1, ЬеЬт а(х) Ф 0, (28)

тогда справедливо выражение

, |0 при 0 < , + к < т -1,

Ь , ьКт (х) = [ , т (29)

а—/g у 1( ) [(-1)]ЬеЩТ (х) Ф 0, , + к = т. ( )

Рассмотрим случай, когда к = 0, тогда из соотношений (28) ЬgЬ/T1(x) = LgЬ^х) = ... = ЬеЬт/1Т1(х) = 0, Ь8Ь”}Т(х) Ф 0 следует:

Ь , Т(х) = 0 при , = 0, 1, ...,т-1, Ь Т(х)Ф0. (30)

аау g 1 а— ^ g 1

Известно [3], что производная Ли ЬуТ1(х) скалярной функции Т1(х)

векторного аргумента по векторной функции /(х) (Т1(х) є Я; х, /(х) є Я") может быть определена несколькими эквивалентными выражениями:

Ьу71(х) = —ТТ^ /(х) = УВД / (х) = £ /, (х) , (31)

Ых і = 1 ОХ;

где У =

( д д д Л Ых^ —х2 ’ ’ Охп

оператор, равносильный оператору

дифференцирования — по векторному аргументу. Поэтому соотношения (30) Ох

можно, используя выражения (31), записать в виде

УТ1(х)а—:/g = 0, ]' = 0, 1, ...,т -1, УТх(х)а—}% Ф 0. (32)

Используя выражения (28) - (32), из соотношений (27) получим

Ь,-Ь*( **)) = №, Ь,А = ®£>. 0 ,ЦЇ1 .(-а2з) ♦

11 х \ дх х / дх1 дх2

+ дТ^.(-аз1) .дГіСх-) .0 + дГі(^.0 + дГ(х1.0 = 0; (33)

л V 3 1 л л л 7 \ /

дх3 0Х4 сХ^ дХб

( _ л \ _ л _ л _ л

дТ**1>,ь ,А=дТ(х_).0+дї(х_).0+дГ(х_).0+

дх* х 21 дх1 дх2 дх3

+ СГі^ . (-1) + дГі^. 0 + дГі^. 0 = 0. (34)

дх4 дх5 дх6

Поскольку функция Т (х*) не зависит от х3 , то из выражения (33) следует, что она не зависит и от х2 , а из выражения (34) получим и — — независимость Т1(х ) от аргумента х4 . Таким образом, функция Т1(х ) может зависеть только от аргументов х и х .

С помощью соотношений, аналогичных (33), (34), нетрудно получить, что функция Т2(х*) не зависит от аргументов х2, х4 и, таким образом, может

быть функцией только аргументов х1 и х5 .

2 — 2 —

Дифференцируя у3 =Ь -Т1(х ) и у5 =Ь^*Т2(х ) вдоль векторного поля

х , получим

(3 = ЬХх ^Тх(х*)) = Ь\,Т + и*^. (Ь1Т) + и2Ьу. IТ); (35)

—у6

= Ьх■ (Ь\Т2( х*)) = Ь3^ + (Ь^Тг) + и*Ьу; (Ь^Т2). (36)

2 * 2 *

Из этих выражений следует, что Ь * (ЬхТ (х )) Ф 0 и Ь * (ЬхТ2 (х )) Ф 0

у1 у2

или

I (Ь Т (х))= /дТ1 Ь уЛ= дТ1 (а а х ) +дТ1

Ьу** (Ьх11 (х)) = \ , Ьху1 I = ^ ' (а23а124х4) + ^

а23а524х4

Л

,

дТк Ь у*\ = дТ2

дх’ х 2 I д^

дТ ( а.

I * (IXТ2 (х)) = (дТ2, IXу* ) = д^' (-пЛ) + — ■ I I Ф 0.

дх5 1 х2

Ф 0 ; (37) (38)

При х2 Ф 0 и х4 Ф 0 одним из возможных решений системы неравенств (37), (38) может быть Т(х) = х и Т2(х) = х5.

Известно [2], что для того чтобы существовало преобразование (19), (20), (25), (26), (35), (36) необходимо и достаточно, чтобы матрица

Q —

Ьу. (Ь2Х, 1 (х*)) Ьу. (Ь2Х*Т1(х*))

Ьу. (Ь2х,Т2(х*)) Ьу* (Ь2^Т2(х*))

была невырождена. Проверим это, вычислив элементы матрицы 2 и ее определитель:

2 * / -Т 2 А -Т

Ьу*(Ьх*Т\(х )) =^ * , ЬХ* ^ 1=~0’1. -124—23х4 =а124а23х4; (39)

Ьу-(Ь^х )) =

-т

1 г2 V*

дх

дТ

Ь.,* у9 ) = _ . а124х2 =а124х2;

дх1

(40)

Ь 2(Ь2 2T2(x*))= (дТ2,Ь2 *у1*)= --12. у1 ( х 2( )) \йх х 1 / дх5

( \ а23а524х4

х

X.

= а23а524 4 ; (41)

2 У

х

2

Ьу .(Ьх. Т,(х*)) = №, Ь\* уЛ = дТ2. = а»;

*2 х \ -х х / -К* х, х.

(42)

5 2

л_2

det 2 =

-124-23х4 а124х2

х4 а«9Д

- а23а524 2 ------

х22 х2

= 2а124а23а524 .

х

2

Таким образом, при х2 Ф 0 и х4 Ф 0 преобразования (19), (20), (25), (26), (35), (36) существуют.

у1 =Т1(х) = у4 =Т2(х) = х5;

* " -Т (х*) * 2

у2 =Ь*Т1(х ) = ^^--------------X =а11х1 + а21х1 + а124х2х4;

1=1 дх1

Т Г, 'Ч ^ дТ5(х*)

у 5 = Ь V*Т5(х ) = ^---------Т------

х 1=1 -хг

V* х4

хг =а51х1 + а524 ;

х9

6 д(Ь 2ТЛх ))

у3 =Ьх*1(х ) = Ь *(Ь Кх )) = £---------х;'=(-11 + 2-12х1).

г=1

-г,

. (-^ ^Х^ + -^2*1 + —124X2*4) + -124*4 (-21*2 + -23*31) + -124*2 (-41*4 + -(у );

о * * X. 1 — V“ V * 2 •

у =Ь2Х*Т2(х ) = Ьу (Ьу Т2 (х )) = £------------------------X,- =

6 ,д(ЬуТ2(х*))

1=1

= -51 (- и *1 + - 12X1 + -124X2 Х4 ) +

- -

524

(-21X2+-23X31)+—(-41X4+-6).

2 У

Из вида уравнений (19), (20), (25), (26), (35), (36) следует, что управления у, у 2 для системы уравнений в форме Бруновского (18) определяются из выражений (35), (36):

V = Ь\*Т (х*) + щЬ^ (Ь2хТ (х*)) + и2*Ьу. (Ь2хТ (х*));

У2 = Ь3х*Т2 (х*) + «Ь* (Ь2х Т2 (х*)) + и* Ьу (Ь2х Т2 (х*)).

(43)

Систему уравнений (18) можно использовать для определения

**

2 и «

**

оптимальных управлений уг, у 2. Затем, зная у^ и У2 - определить и2 и « из

у 2 . затем, зная у^ и У2

системы уравнений (43), а потом найти и1 и и2 :

Ьу, (Ь\2Т^(х*))(У2-Ь3х*Т2(х))-Ьу, (Ь2хТ2(х*))(У1 -Ых* 1 (х))

1 ^* (Ь2Х2 Т^(х* ))

у -Ь3х*Т1(х)-и2^2 (Ь2хТ^(х*)

т

* 1*1

и =« ; и2 = | и — .

х

4

2

2

*

2

1

Сравнение процессов в математических моделях асинхронного привода (1), (2), (16) и (18) в разных режимах работы привода подтвердило правильность линеаризации обратной связью исходной модели (1) и работоспособность модели объекта в форме Бруновского.

Выводы. Таким образом, впервые средствами дифференциальной геометрии получена работоспособная математическая модель асинхронного привода в канонической форме Бруновского, которую можно использовать для синтеза системы управления асинхронным приводом.

Список литературы: 1. Методы классической и современной теории автоматического

управления: Учебник в 5-и томах. Т. 5: Методы современной теории управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 784 с. 2. Краснощёченко В.И., Грищенко А.П. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. - 520 с. 3. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учебное пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с. 4. Kim D.P. Automatic Control. Theory Nonlinear and Multivariable System. - Seol: Harnol, 2000. - 558 p. 5. Marino R., Tomei P. Nonlinear Control Design. - Prentice Hall Europe, 1995. - 39б p. б. Краснощёченко В.И. Синтез регуляторов для нелинейных систем, приводимых к канонической форме Бруновского // Труды МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 1997. - № 569. - С. 28 - 33. 7. Краснощёченко В.И. О линейных эквивалентах нелинейных систем // Труды МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 1999. - N° 575. - С. З9 - 45. S. Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Динамическая линеаризация с помощью обратной связи математической модели тягового привода // Вісник НТУ «ХПІ». Збірник наукових праць. Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Харків: НТУ «ХПІ». - 200б. - № 40. -С. 49-57. 9. Сандлер А.С., Сарбатов Р.С. Автоматическое частотное управление асинхронными двигателями. - М.: Энергия, 1974. - З28 с.

Поступила в редакцию 25.04.2007