Динамическая линеаризация с помощью обратной связи математической модели тягового привода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9:629.42

В.Д. ДМИТРИЕНКО, д-р техн. наук, НТУ “ХПИ”,

А.Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, НТУ “ХПИ”

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ

СВЯЗИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЯГОВОГО ПРИВОДА

Розглянуті питання отримання лінійної математичної моделі тягового асинхронного привода у формі Бруновского на основі лінеаризації за допомогою зворотного зв’язку.

The questions receipts of linear mathematical model of hauling asynchronous drive are considered in form Brunovskogo on the basis of feedback linearization.

Постановка проблемы и анализ литературы. Вопросам совершенствования систем управления тягового подвижного состава железных дорог Украины, а также стран дальнего и ближнего зарубежья уделяется большое внимание. Это связано, в первую очередь, с существенной энергоемкостью технологических процессов перевозки грузов и пассажиров с помощью железнодорожного транспорта, необходимостью повышения надежности тягового подвижного состава, увеличения средней скорости движения составов и т.д. Американские, японские и европейские фирмы создали для тягового подвижного состава бортовые вычислительные системы, хранящие программы управления силовым оборудованием локомотивов, дизель- и электропоездов на маршрутах любой протяженности. С помощью таких бортовых систем существенно улучшается работа силового оборудования тягового подвижного состава, что приводит к значительной экономии энергетических ресурсов. Однако в полном объеме проблема оптимального управления тяговым подвижным составом не решена, поскольку не решена проблема синтеза оптимальных систем управления для объектов, описываемых нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений выше второго - третьего порядка. В настоящее время существует целый ряд методов [1 - 10], позволяющих выполнять синтез регуляторов для нелинейных объектов, однако они все обладают существенными недостатками и их использование для синтеза оптимальных систем управления тяговым подвижным составом затруднено, особенно если речь идет об управлении приводом переменного тока. Трудности синтеза систем управления для нелинейных объектов привели к разработке методов линеаризации исходных нелинейных систем и последующему применению хорошо разработанной теории линейных систем управления. Однако наиболее часто применяемая линеаризация по Тейлору, позволяющая линеаризовать систему в достаточно малой окрестности выбранной рабочей точки, практически неприменима для сложных объектов и, в частности, для управления тяговым приводом переменного тока.

Поскольку хорошо разработанная теория управления линейными системами постоянно привлекает внимание и используется специалистами для управления нелинейными объектами, то в последнее время были разработаны новые методы линеаризации на основе геометрических методов и геометрической теории управления [11 - 15]. Эти методы позволяют выполнить линеаризацию нелинейных систем управления с помощью обратной связи в пространстве “вход-состояние” и “вход-выход”. По данной тематике имеется большое число публикаций, однако широкого практического применения эти методы пока не нашли из-за существенного разрыва между полученными теоретическими результатами и практическими задачами синтеза систем управления реальными объектами.

Целью статьи является решение задачи линеаризации математической модели тягового асинхронного привода на основе инволютивных распределений геометрической теории управления.

Задача определения эквивалентной линейной системы управления для нелинейной системы вида

йх т

— = Р(х) + Хикак(х), х є М с Яп, (1)

й к=1

где х = (х, х2, ■■■ ’Хп) - вектор фазовых координат нелинейной системы управления на гладком многообразии М размерности п; Р(х), Ок (х) -гладкие векторные поля на многообразии М, которые в локальных системах

п д п д координат имеют вид Р (х) = ^ф ,■ (х)------ и Ок (х) = V (х)----; ф ,■ (х),

_ ;=і ' дxJ у=і к дху

(х), ] = 1, п - гладкие функции векторного аргумента х, определенные в

локальных системах координат на многообразии М; ик, к = 1,т - управления, может быть сформулирована следующим образам [15].

Необходимо найти такую гладкую замену координат г = г(х), г є Я” и управлений V = у(ы, х), (V = (у15 у2, ..., Ут), и = (и1, и2, ■■■, ит)), что система уравнений (1) приводится в новой системе координат к некоторой ей эквивалентной управляемой линейной системе

йг

— = Аг + Bv, г є Я”, V є Ят, т < п . (2)

й

Здесь матрицы А и В имеют соответственно размеры п х п и п х т и являются блочно-диагональными матрицами А = blockdiag[A1, ...,Ар, ..., Ат ], В =

= blockdiag [В, ...Вр, ...,Вт ], где

0 1 0 . .. 0 0

0 0 1 . .. 0 0

Ар = В р =

0 0 0. .. 1 0

0 0 0. .. 0 Чр х Чр 1

р = 1,т,

Чр

х 1

Ч^, р = 1, т - индексы управляемости линейной системы управления (2),

т

У чр = п. При т = 1, т.е. при скалярном управлении, система уравнений (2)

р=1

относительно легко сводится к канонической форме

дх1 ЛИ

&?2

ЛИ

Лг

(3)

п-1

Л

Л

получившей название формы Бруновского. В случае векторного управления пространство Яп представляется в виде прямой суммы подпространств меньшей размерности

т

яп = © яр.

р=1

(4)

Каждое из подпространств Яр является подпространством состояний для р-й подсистемы декомпозированной исходной системы в пространстве Яп. Размерность подпространств, а следовательно, и размерности линейных подсистем в системе управления (2) однозначно определяется индексами

управляемости чр, р = 1, т линейной системы (2). Каждая линейная

подсистема уравнений имеет одно управление и структуру системы уравнений вида (3), где число дифференциальных уравнений равно индексу управляемости. Говорят также, что индексы управляемости определяют структуру клеток Бруновского для канонической формы линейной системы с векторным управлением. Понятно, что решение, полученное при совместном интегрировании т независимых линейных подсистем уравнений, являющихся результатом декомпозиции исходной нелинейной системы уравнений в

= г

3

= г

п

некоторой области V n пространства Rn, не может в самом общем случае

R

совпадать с решением нелинейной системы (1) в этой же области V n .

R

Для перехода от нелинейной системы уравнений (1) к канонической форме Бруновского необходимо не только определить индексы управляемости qp (p = 1, m), но и некоторые дополнительные условия (условия

инволютивности [15]), связанные с совместным интегрированием векторных полей на многообразии М.

Определение 1. Пусть заданы: некоторая точка на n-мерном гладком

многообразии М класса Ск, к > 3 и целое число m (1 < m < n); касательное пространство TMq; TSq - m-мерное подпространство пространства TMq.

Распределением класса Cr, 1 < r < к или m-мерным распределением (или дифференциальной системой размерности m) на многообразии М называется отображение

А: M ^ TSq, Aq = TSq с TMq,

где А - подпространство векторного пространства TMq, а точка х имеет окрестность Ux с такими Cr векторными полями X1,...,Xq на ней, что векторы X1(x*),...,Xq(x*) образуют базис подпространства TSq для каждой

*

точки x е U.

Определение 2. Распределение А называется инволютивным, если для

*

всех точек x е U

[X^, Xl](x*) еА(x*), 1 < к, l < q ,

где [X^,, X! ] - скобки Ли векторных полей Xk, X!.

Введем распределение А0 векторных полей G1(x), G2(x), ..., Gm(x) нелинейной системы (1)

Ao = span {G1(x), G2(x), ..., Gm(x)} = span {G(x)},

где span - линейная оболочка G1, G2, ..., Gm векторов в точке x, т.е. это минимальное пространство, порожденное этим набором векторов. Введем также распределение A F

AF = А0 + F = span {F (x) + G( x)},

где - распределение, смещенное на векторное поле F относительно распределения А 0.

Определим с помощью распределений Д0 и A F следующие два семейства распределений:

Д0

AJ = span (A7\[Af , AJ-1]};

: Ао;

M0 =А0;

А” = У А1;

j=о

MJ = span {Mj-1,[F, MJ-1]}; (5)

о

м ” = у MJ, j=о

где [Ж, С] - скобки Ли двух векторных полей Ж, б; это векторное поле, характеризующее степень «связанности» на многообразии М полей Ж и С. В рассматриваемом случае они характеризуют возможность или ее отсутствие для совместного интегрирования, задаваемых векторными полями Р и С на гладком многообразии М, уравнений в частных производных. Скобки Ли для векторных полей Ж, С, которые на многообразии М в локальной системе

п д п д

Р (х) = ^Ф; (х)т— , С(х) = ; (х)^

;=1 дх] ]=\ дс]

координат имеют вид определяются следующим образом

” « -у,■ (x) дф,■ (x) -

[F, G]( x) = £ (£ (ф, (x)-V, (x) )) —

j=i 1~1 -x, -x, -xi

(б)

В матричной форме выражение (6) можно записать следующим образом

(7)

5^( x)^

[F, G]( x) = F (x) - -F^ G( x),

где

-F (x) -x

дфі( x)

-xx

-фn(x)

-xx

-x

дфі( x)^

-x

-x„

-фп (x)

-x„

-G( x) -x

-Vi( x)

-xx

gVnCx) -xx

-x„

-V n (x)

-x„

F(x) = (фі(x), ..., фп(x))т; G(x) = (Vi(x), ..., Vn (x))т .

В работе [15] доказано, что для локальной линеаризации с помощью аналитической обратной связи и замены координат нелинейной системы уравнений (1) в окрестности ихо с М некоторой точки равновесия х0,

необходимо выполнение следующих условий:

о

1. Каждое распределение Ы] являются инволютивным, 0 < ]' < р, где Р= ^тах _1 и ктах - наибольший индекс управляемости, т.е. наибольший размер клетки Бруновского в матрице А:

kmax = max(kq, q = 1, m),

q

kq = card{rj > q, 0 < j < n -m, r0 = m0, Г’ = mj -mj-t}, q = 1,m, (В)

где card - кардинальное число (число элементов, для которых справедливо неравенство r > q ).

2. dim(MP(x) =AP(x) = L0(x)) = n Vx eUXQ, где dim( ) - размерность соответствующего математического объекта.

В случае неинволютивности распределений MJ (j = 0, n - m) точная линеаризация возможна за счет увеличения размерности пространства и получения инволютивных распределений уже на расширенном пространстве.

Рассмотрим возможность применения описанного метода для линеаризации математической модели тягового асинхронного привода дизель -поезда. В первом приближении два тяговых двигателя дизель-поезда можно заменить одним эквивалентным, математическую модель которого запишем следующим образом:

dy

—1 = й^Уі + al3^3 + «і; dt

dy7

—Г2 = й22У 2 + a24^4 + u2; dt

■ = a31y1 + a33y3 + a345y 4Q; (9)

dy3

dt

= a42y 2 + a44y4 + a435y3Q;

dy 4

йґ

йЮ 2

- = -«51^-«52^ + «514^1^4 + «523^ 2^3.

аґ

где у15 у2, у3, у4 - потокосцепления двигателя; иь и2 - управления; «и,а13, ...,а523 - постоянные коэффициента, определяемые параметрами асинхронного двигателя; Ю - угловая скорость вращения двигателя. Если ввести новые переменные хі = У, і = 1, 4; X = Ю, то система уравнений (9) преобразуется к виду

dx

dt

dx2

dt

dx3

dt

dx

= a11x1 + a13x3 + u1;

■ = a22X2 + a24X4 + U2;

■ = a31x1 + a33x3 + a345x4x5;

(1G)

— a42X2 + a44X4 + a435X3X5 ;

dt

dx5 2

—5 = -a51x5 - a52x5 + a514x1x4 + a523x2x3.

dt 51 5 52 5 514 1 4 523 2 3

С системой уравнений (10) связаны следующие векторные поля:

{ П V -1- n V ^ ^ Г G 1

X (x) =

a22X2 + a24X4

a3lxx + a^x + a^AxAx.

3 3 3

345^4-^5

a42X2 + ^aaXa + a^-^^X^X^

44x4

435x3 x5

2

v ^51X5 ^52X5 + a^ 14X] x^ + a523X2X3 j

; Y1( x) =

G

G

G

vGJ

; Yj( x) =

1

G

G

vGJ

Распределение MG = span{Y,Y2} является инвалютивным, dim M° = 2 .

Определим распределение M1 = span{Y15Y2,LxY1,LxY2}, где LxY1, LxY2

- производные Ли векторных полей Yj и Y2 вдоль векторного поля X. Известно, что производная Ли LxY совпадает с коммутатором данных векторных полей: LXY = [X, Y]. Поэтому для определения M1 несложно получить

LXY = [ X, Y ](x) =

M1 = span

Г a11 ^ Г G 1

G 2 2 a

= 3 a ; LxY2 = [ X, Y ](x) = G

G 2 4 a

V a514x4 J V a523X3 J

1 G a11 G

G 1 G a22

G G 3 a G ; dimM1 = = 4.

G G G 2 4 a

G G a514X4 a523x3

Для инволютивности распределения М1 необходимо выполнение условия [15] гапк(Г1,Г2,ЬхУ1,ЬхУ2,\Х1,Xу-]) = 4, где Xг-,Ху- - векторные поля

из семейства (К1,Г2,^ХГ1,ЬхУ2). Имеем:

У К2] = у ад] = у ьху2] = У2, ^х^,] = У2 ад] = 0. (11)

Однако гапк(Р1,Р2,ЬхУ1,ЬхУ2,[ЬхУ1,ЬхЬ2]) = 5 . Поэтому распределение М1 не является инволютивным. При этом подраспределения М]1 = 8рап{У1,У2,ЬхУ1} и М1 = 8рап{У1,У2,ЬхУ1} в силу соотношения (11) является инволютивными и имеют одинаковые размерности, равные 3. Введем дополнительную координату в канал, связанный с управлением и2 :

$х ж ж

*6 = и2, — = и2, и = и . т

Расширенная модель объекта будет иметь следующие векторные поля:

а11х1 + а Х

X (х) =

13х3

a22x2 + аПАхА + х,

24х 4

х6

а31х1 + а33х3 + а345х4 х5

а42Х2 + а44Х4 + а435Х3 Х5 2

а 1X5 а^ оХ^ + а^] aXi Хд + а^~) 'зХ^ х-

52 5

514 1 4

523 2 3

; Yi (х) =

(1 1 (01

0 0

0 А ; Yj( х) = 0

0 0

0 0

,0 V , 1 V

Г)# ❖ ❖ Г)

Для новой модели M = span(I1,Y2*) - инволютивно; dimM = 2 = m0;

1Н< Н<Н<Н<Н< 1^!

M = span(Yx ,Y2 ,L * Y,L * Y2 }- инволютивно; dimM = 4 = mx; M = = span(Yj , Y* , L * Y1 , L * Y2 , L2 * Y* , L2 * Y2 }.

2*

Несложные вычисления показывают, что распределение М инволютивно, при этом т2 = ШшМ2* = 6 . Таким образом, инволютивность

0* 1* 2*

распределений М0*, М1*, М 2* и их размерности указывают на возможность решения задачи линеаризации с помощью обратной связи. Поскольку т = 2, тг = 4 и т = 6, то из выражений (8) следует: г0 = т0 = 2,

г1 = т1 - т0 = 2, г2 = т2 - т1 = 2, а также к1 = к2 = 3, т.е. индексы управляемости равны трем и имеется две клетки канонической формы Бруновского.

Теперь несложно записать исходную математическую модель в форме Бруновского

0

dУ1 = У2 = X T (x) + Ul Yl*Tll (x) + U2Y2*Tll (x); dt

^ = У3 = X *2T/ (x) + Ul Yl* X *Tjl (x) + U2Y2* X *Tjl (x); dt

dy3 = u* = X *3T/( x) + ulYl* X *2Tll( x) + u2Y2* X *2Tll( x); dt

= у5 = X T (x) + Ul Yl*Tl2 (x) + uj'T (x);

^5 = Уб = X *2Tl2( x) + UlYl* X *Tl2( x) + U2Y2* X nTl2( x); dt

dy^ = u* = X T (x) + ul Yl* X *2Tl2 (x) + u2 Y2* X *2Tl2 (x), dt

где 2J1(x) и 2J2(x) - неизвестные функции, которые могут быть определены по хорошо разработанной методике [15]. Имея математическую модель двигателя в форме Бруновского и зная функции T^(x) и Z[2(x) можно выполнить синтез регулятора для линейного объекта, а затем использовать его для управления объектом, описываемым системой нелинейных уравнений.

Выводы. Таким образом, на основе инволютивных распределений геометрической теории управления выполнена динамическая линеаризация математической модели тягового асинхронного привода с помощью обратной связи. Полученную модель предполагается в дальнейшем использовать для синтеза системы управления тяговым приводом.

Список литературы: 1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Крaсoвскoгo. - М.: Наука, 1987. - 712 с. 2. Бушв В.И., Князев ИЛ. Робастное оптимальное управление // Автоматика и телемеханика. - 1991. - № 3. - С. 15 - 22. 3. Zhukovskiy V.I., SalukvadzeM.E. The Vector-Valued Maximin. - New York etc.: Acаdem. Press, 1994. - 404 p.

4. Zhou K, Doyle J.C., Clover K. Robust and optimal control // Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995. - 59б p. 5. Нейронні мережі в системах автоматизації / В.І. Aрхaнгельськuй, I.M. Бг^аєнш, Г.Г. Грaбoвськuй, M.O. Рюмшт. - К.: Техніка, 1999. - 3б4 с. б. Башняшв O.M., Гаращенш Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість та структурна оптимізація динамічних систем. - К.: Київський університет, 2000. - 197 с. 7. Гaбaсoв Р., Кур^тс^а Ф.M., Балашевт И.В. Синтез оптимальных замкнутых систем // Кибернетика и системный анализ. - 2002. - №» 3. - С. 100 - 119.

5. ^машт^т B.M., См^тв Д.A. Нейронные сети и их применение в системах управления и

связи. - М.: Горячая линия. - Телеком, 2002. - 94 с. 9. Ергфеев A.A. Теория автоматического управления. - СПб.: Политехника, 2003. - 302 с. 10. Muрoшнuк И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. - СПб.: Питер, 200б. - 272 с. 11. Su R. On the linear equivalents of nonlinear systems // Syst. and Cont. letter. - 1982. - Vol. 2. - №2 1. - P. 48 - 52. 12. Byrnes C., Isidori A. A survey of recent developments in nonlinear control theory // Proc. of the I IFAC Symp. Robot Conf., Barselona, Nov. б - 8. - 1985. - P. 287 - 291. 13. Крастщёченш В.И. О линейных эквивалентах нелинейных систем // Труды МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 1999. - 575.

- С. 39 - 45. 14. Крaснoщёченкo В.И. Синтез регуляторов для нелинейных систем, приводимых к канонической форме Бруновского // Труды МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 1997. - 569. - С. 28 - 33.

15. Крaснoщёченкo В.И., Крuщенкo A.n. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. - 520 с.

Пoступuлa в редaкцuю 25.10.2006