Исследование возможностей программных компонент бортовой вычислительной системы при преобразовании нелинейных систем к эквивалентным линейным Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 861.5.015.2 DOI: 10.20998/2411-0558.2018.24.08

В. Д. ДМИТРИЕНКО, д-р техн. наук, проф., НТУ "ХПИ", А. Ю. ЗАКОВОРОТНЫЙ, д-р техн. наук, проф., НТУ "ХПИ", Н. В. МЕЗЕНЦЕВ, канд. техн. наук, доц., НТУ "ХПИ", Д. М. ГЛАВЧЕВ, асп., НТУ "ХПИ"

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММНЫХ КОМПОНЕНТ БОРТОВОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ К ЭКВИВАЛЕНТНЫМ ЛИНЕЙНЫМ

Исследуются возможности расширения области применения геометрической теории управления (ГТУ). Показано, что применение ГТУ только для части уравнений, описывающих объект, может существенно уменьшить объём вычислений при поиске эквивалентных линейных моделей в форме Бруновского для нелинейных аффинных систем с векторным управлением в пространстве "вход-состояние". Ил.: 1. Библиогр.: 11 назв.

Ключевые слова: геометрическая теория управления; эквивалентные линейные модели; форма Бруновского; пространство "вход-состояние".

Постановка проблемы и анализ литературы. Геометрическая теория управления ГТУ является перспективным методом при поиске оптимальных управлений различными техническими объектами [1 - 10]. В частности, при компьютерном управлении процессами движения дизель-поезда с тяговым асинхронным приводом. Широкому применению этой теории мешают громоздкие аналитические преобразования, связанные с необходимостью вычислений производных и скобок Ли, определением инволютивности распределений, функций преобразования, связывающих переменные в исходных нелинейных моделях объектов управления с переменными моделей в форме Бруновского, и т.д. Большую часть этих преобразований удалось автоматизировать с помощью разработанного специализированного программного обеспечения, позволяющего синтезировать законы управления для нелинейных объектов, в частности, для дизель-поездов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих десятки уравнений [11]. Однако, правые части почти всех систем обыкновенных дифференциальных уравнений содержали не более одного-двух одночленов. Это было связано с тем, что при определении функций преобразования, связывающих переменные линейных и нелинейных уравнений, необходимо решать систему уравнений в частных производных, что в общем случае не является тривиальной

© В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, Н.В. Мезенцев, Д.М. Главчев, 2018

задачей. Поэтому актуальна проверка возможности работы программных компонент при увеличении сложности правых частей уравнений, описывающих нелинейный объект управления.

При разработке программного обеспечения для бортовой вычислительной системы дизель-поезда всё внимание было уделено получению линейных моделей с помощью ГТУ для полных нелинейных моделей исходных объектов управления [3, 5, 10, 11]. Возможности применения ГТУ только для части каналов управления объектом или только для части уравнений, описывающих объект управления, не рассматривались, однако такой подход может существенно уменьшать объем вычислений при поиске эквивалентных линейных моделей (и дальнейшем поиске оптимальных управлений).

Одним из необходимых условий получения линейных эквивалентов в форме Бруновского для нелинейных аффинных систем размерности п с векторным управлением в пространстве "вход-состояние" с помощью статической обратной связи является требование инволютивности распределений М3 (у = 0, р), где р = ктах -1, ктах - наибольший индекс управляемости для клеток Бруновского [1, 11]. Если это требование не выполняется, тогда точная линеаризация нелинейной аффинной системы с помощью статической обратной связи невозможна и необходимо проверять условия возможности линеаризации исходной нелинейной системы в расширенном пространстве, получаемом за счёт введения в систему уравнений объекта управления дополнительных дифференциальных уравнений (интеграторов в цепи управления). Этот подход к получению линейных эквивалентов нелинейных систем называют динамической линеаризацией в пространстве "вход-состояние" с помощью обратной связи. Он фактически сводит динамическую линеаризацию с помощью обратной связи к статической линеаризации в расширенном пространстве. При этом введение интегратора в один из каналов управления меняет свойства пространства, в котором ищется решение задачи статической линеаризации, что приводит к требованиям инволютивности более простых распределений, причём эти требования зависят от числа управлений, входящих в нелинейную математическую модель объекта управления [1, 11]. В связи с этим, в программное обеспечение бортовой информационно-управляющей системы, автоматизирующей процессы управления дизель-поездом, необходимо ввести новые программные компоненты, позволяющие уменьшить объём необходимых вычислений при определении управлений дизель-поездом.

Целью статьи является исследование возможностей программных компонент бортовой вычислительной системы при преобразовании

нелинейных систем к эквивалентным линейным и обоснование разработки новых программных компонент, расширяющих область применения ГТУ и минимизирующих объём необходимых вычислений при определении управлений нелинейными динамическими объектами с помощью ГТУ.

Раздел 1. Применение ГТУ при линеаризации полной математической модели объекта управления.

Пусть объект управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

dx1 йг

йг

йг

йг йх.

— а11х2;

— ^21X3X5 + ^22 + ^23X2 + 0^24Х2 + ^25Х + ^26Х^ + ^27Х^ ?

— 031X3 + 032 Х4;

— 041X4 + 042 Х3 + Х6

(1)

йг dx6 йг

5 _ 6

— a51X2 + °52 ;

X

3

— a61X6 + 062 X2 X3 + и2,

где х — (X!X,...,X6) - вектор фазовых переменных исходного объекта; 0п,012,■■■062 - постоянные коэффициенты; м1 и - управления.

С системой объекта управления связаны следующие векторные

поля:

X (х) —

§1 — 011 X2

2 2 3

§2 — a21X3 X5 + a22 + 023 X2 + 024 X2 + 025 + 026 X1 + °27 X1

§3 aз1Xз + °32 X4

§4 a4\X4 + 042 X3

x6

§5 — a51X2 + 052

X,

§6 °61 X6 + 062 X2 X3

11 —

0, 0, 0, 1, 0, 0

Ъ —

0, 0, 0, 0, 0, 1

Из вида системы уравнений (1) следует, что наибольший индекс управляемости для клеток Бруновского kmax должен быть не меньше

четырёх. Поэтому для получения математической модели объекта управления в форме Бруновского необходимо выполнение условия инволютивности для распределений MJ ,j = 0,kmax -1.

Распределение M0 = span(yb y2), где span( Y1, Y2) - линейная оболочка векторов Y1 и Y2 , инволютивно в силу постоянства компонент рассматриваемых векторов. Проверим теперь

инволютивность

M1 = span{Yi,Y2, LxYi, L^}, где LXY1, соответствующих векторов вдоль векторного поля X :

LXY2

распределения производные Ли

LxYi = [ X, Yi ] J-Y X=-f^Yi =

-x -x -x

-gi -gi

-x1 -x?

-g 2 -g 2

-x1 -X2

-g 6 -g 6

-xi -x2

-gi

-x6 -g 2

-x6

-g 6

-x6

0

0

0

1

0

0

0 a11 0 0 0 0 0 0

a25 + 2a26 X1 + 3 a 27 X1 a23 + 2a24 X2 a21 X6 0 0 a21 x3 0 0

0 0 a31 a32 0 0 0 _ - a32

0 0 a42 a41 0 0 1 - a41

0 a51 - (a52x6 / X32) 0 0 a52 / x3 0 0

0 a62 X3 a62 X2 0 0 a61 0 0

LxY2 = [X, Y2] II - Y X --Y2 = --x -y2 = 0 x - a21x3 0 0- 052 X3 - a61

Для проверки инволютивности распределения M1 необходимо вычислить скобки Ли [LxY1, LxY2] :

[LXY1, LXY2 ] =

-LxY2 l y -

LXY1

-LxY1 x

LXY2 =

T

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 - а21 0 0 0 0 а31а32

0 0 0 0 0 0 - а32 0

0 0 0 0 0 0 - а41 0

0 0 а52 /х32 0 0 0 0 - (а32а52 /х52)

0 0 0 0 0 0 0 0

и сформировать матрицу распределения М1 с дополнительным столбцом.

М1 =

0 0 0 0 0

0 0 0 - а21х3 а21а32

0 0 - а32 0 0

1 0 - а41 0 0

0 0 0 - 052 а32а52 х2

х3

0 1 0 - а61 0

Проверка инволютивности распределения М1 показывает, что оно не является инволютивным. Вводим в систему уравнений объекта (1)

дополнительное уравнение —- = v2, Щ = х7 . В результате получим

Л

следующую систему уравнений:

Лх1

Л

= а11х2;

Лх,

Л Лх3 Л Лх^ Л Лх.

2 _ 2 2 3.

= а21Х3 Х5 + а22 + а23Х2 + а24 Х2 + а25 Х1 + а26 Х1 + а27 Х1 ;

= а31Х3 + а32 Х4;

— а41Х4 + а42 Х3 +

(2)

Л

Лх6 Л Лх^ Л

5 __-^6

= а51х2 + а52 ;

= аб1хб + аб2 х2 х3 + х7;

= V,.

где V! = щ.

С системой уравнений (2) связаны следующие векторные поля:

х

3

А А

X (х ) =

Г =

§1 — а11х2

_ 2 2 3

§2 — а21х3 х5 + а22 + а23 х2 + а24 х2 + а25 Х1 + а26 Х1 + а27 Х1

§3 = а31х3 + а32 х4

§4 = а41х4 + а42 х3

= х.

§5 = а51х2 + а52

х3

§6 = а61х6 + а62 х2 х3 + х7 §7 = 0

Т

0, 0, 0, 1, 0, 0, 0

Г =

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1

где X — (х1, х2 х7 ).

Проверки инволютивности распределений М0, М1 показали, что

распределения

они

т2

инволютивны.

т* -ж- ▼г* т2

Инволютивны

и

МГ1 — 8рап{Гх , Ьх* Г1 , IX* Г }, М§2 — 8раи{Г2, Ьх*Г2, ь\Г }, где Г* , Г2

- векторы управлений для расширенной системы дифференциальных уравнений (2).

Из инволютивности распределений М0 , М|, М3 , М3 следует, что

система уравнений (2) может быть преобразована к канонической форме Бруновского, которая имеет две клетки с индексами управляемости к1 — 4 и к 2 — 3 :

Ж

■ —

2+1 '

— и,

1 — 1, 2, 3, 5, 6; Ж27

(3)

— и2.

Л Л

Для системы уравнений (3), существуют преобразования: г1 — Т1(х) — Т1(х1, х2,...,х7) и 2Ъ — Т2(х) — Т2(х1, х2,..., х7), с помощью которых, выполняя дифференцирование функций Т1(х) и Т2(х) вдоль векторного поля х1 — х + и1 Г1 + и2Г2 , несложно определить

2 2 , 2 3 ^ • ^ 2 7

Ж

— 22 — Ьх1 Т (X ) — Ьх* Т[(х ) + и Ь}/. Т1(X ) + и2Т(х ); (4)

dt2 = Z3 = LXi (Lx* T*()) = l2x. (T*(X*)) + u*LY** (LX* (T*(x*)) + + u2ly* (Lx* Ti(x*));

d z

3 = z4 = Lxi (L2X. Ti(x*)) = LLX* (T*(x )) + u*LY. (Lx. (Ti(x )))

Ui L, ( L* (TAx ))) +

dt ^ x - - x v IV ^, i x v 1V (6)

Y2* (L2X*

+ u2Ly* (L2x, Ti(x-));

^ = U* = Lxi (L\* Ti (x* )) = L4x, (Ti (x* )) + u*LYi, (L3X. T* (x* )) +

+u2Ly* (LXT*(x*));

(7)

d Zr & & & &

= Z6 = LX* T2(x ) = Lx* T2(x ) + Ui L* T2(x ) + U2Ly* T2(x ); (8)

d z,

-t6 = z7 = Lx* (Lx. T2(x*)) = L2X. (T2(x*)) + u*Ly. (Lx.T2{x")) +

d z7

+ u2LY2(Lx* T2(x ));

= u2 = Lx* (LX* T2(x*)) = T(x )) + u*Ly. (LxT(x*)) +

dt ^ x - - x — - " (*0) + u2Lr (LX T2(x* )),

где Lx* Tk(x*), Lx. Tk(x*), Ly. Tk(x*), Ly; Tk(x*), k = * 2 -

производные Ли функций Tk (x ) вдоль векторных полей X*, X , Y**, Y2* ; LG - кратные производные Ли вдоль векторного поля G (G = X*, Y*,Y2*), m = 2, 3.

Из системы уравнений в форме Бруновского (3) следует, что переменные z*, z2, z3, z5 и z6 не зависят от управлений u* и u2.

Исходя из этого, следует что в выражениях (4) - (6), (8), (9)

* *

коэффициенты при управления u* и u2 равны нулю:

Ly* T*( x* ) = Ly* T*( x* ) = LY*(LX* T*( x* )) =

* 2 * (**)

Д A Д A Д \ /

= Ly* (Lx*T*(x )) = Ly**(Lx*T*(x )) = Ly* (L2X*T*(x )) = 0; Ly* T2( x* ) = LY2. T2( x* ) = Ly* ( L^ T2( x* )) =

= Ly* ( Lx. T2( x* )) = 0.

При этом, коэффициенты при управлениях и* и и2 в уравнениях (7) и (10) не равны нулю:

lYi* (L\* Ti( х*))=(|4,LX*Y1*) *0;

TV yLx* Ti(x )) = 'LX

(13)

ly2* (lx* Ti(x )) = {^x*'Lx*Y2j *0; Ly* (LX* T2(x*)) = (0^1*) * 0; Lr (L' T2(x*)) = №,l2x.Y¡\ * 0.

(14)

Соотношения (11) - (14) в компактной форме описывают 10 дифференциальных уравнений в частных производных и четыре дифференциальных неравенства, с помощью которых можно определить

функции преобразования T1(х ) и T2 (х ) . Эти функции в общем случае

могут зависеть от семи компонент вектора х = (x ,%2 ,...,x7). Из первых двух дифференциальных уравнений имеем:

V T1(x-) = /М£>.у;) = ¿^==Щх1.0+Мх>.0 +

Yl \ дх I *=1 дх* ох1 дх2

Л и« и« и« и«

+ д T1( х). 0+dT^ .1+dT^. 0. 0+dT^. 0=0.

дх3 дх4 дх5 дх6 дх7

V T1( х-) =№ А = ¿ ^ .у2, = ¿ ^. 0 + . 1 = 0.

у \ дх / г=1 дх* г=1 дх, дх7

Отсюда следует, что функция T1 (х ) не зависит от аргументов x4 и

Для дальнейшего анализа функции Т1(х ) используют из соотношения (11) следующие четыре дифференциальных уравнения в частных производных, в которых используются производные Ли первого и второго порядка:

Ьу; (Ьх* Т1(х*)) — /^Х) — 0; (15)

Ly* (Lx* ^(х*)) J^.L^) = 0; (16)

ly: ( l2x* T1( x* )) 4^,l2xy) - О;

\дx

ly; (LX* T1(x*)) -1^,l2x-y*) - О

(17) (1B)

где

j Y* - Г X* Y*-\ - X* дХ Y* - дХ Y* -LX*Y1 - [X -Y1] X Y1 - T* Y1 -

дx дx дx

О, О, -a32, a41, О, О, О

* * * дХ * I h

L.Y* - Г X , Y2] - - —- Y2 - О, О, О, О, О, -1, О

дл

Теперь можно вычислить L2. Y* и j} *Y* :

L\*V* - Г X *, LyY* ] -

дx

дg1

X*-

дx1 дx7

дg2 дg2

дx1 дX2

дg7 дg7

дx1 дx2

ах_

дx

дx7 дg2

дx7

дg7

дx7

L *Y* - -X* 1

ах_

дx

L * Y1* -

О

О

- а32

- a41

О

О

О

О a11 О О О О

а25 + 2а26 x1 + 3a27 x1 a23 + 2a24 x2 a21x5 О a21x3 О

О О a31 a32 О О

- - О О a42 a41 О О

О a51 x6 - a52 x2 x3 О О 052 x3

О a62 x3 a62 x2 О О a61

О О О О О О

-- О, a21x5a32, -(a31a32 + a32a41), - (a32 2 a42 + a4j ),(a32 x6 a52 2 ),-(a3

О О

- а

- а, О О О

32

41

x3

T

О

1

Аналогичным образом вычисляется Ьх.У2 :

ь\Г2 = [хХ,ьху2* ] = х - хьхУ2 =

дх

дх

0, 0, 0, 0, а52, а61, 0

х3

Далее, становится возможным вычислить 1ЬхУ* и 1ЬхУ* • Поскольку эти выражения громоздки, то мы их не приводим.

Из соотношения (5) ЬУ * (Ь * Т1(х )) = 0 имеем:

У1 х

Ьу;(Ьх* 7|(х*)) = ^|Тк Ьх,У^ = (дХ*-,|0 0 -аз2 -а42 0 0 ^ = дТ1( х *) дТ1( х *), ч п

- 14 '-(-032) + " Ч-а4!) = 0.

дх3

дх4

Поскольку Т1 (х ) не зависит от х4 , то оно не зависит и от х3. Теперь используем из соотношений (5) и (11) равенство

ЬУ* (Ь2 Т1(х )) = 0:

дТ1

дТ1

Ьу- (Ьх Т.( х )) Ц^, Ьх*У2) = (^-К|0 0 0 0 0 -1 0|) =

х* х х*

7

= £ Тх ) . 0 + Тх ) (-1) = 0.

¿=1

х

6

¿ ф 6

Отсюда следует, что Т1(х*) не зависит и от х6 (а также и от

Х3 , Х4 , Х7 ).

Далее, используем последние два соотношения (11). В первую очередь берём более простое:

V 4- Т1( х')) = ^Тр .ьхж)=

х*2

дТ1(х )

х*

а

0 0 0 0 ^ а61 0

х3

дТ1(х ) . 0 + дТ1(х ) . 0 + дТ1(х ) . аз! = 0

х1

х2

х5 х3

Т

Отсюда следует, что Т1(х) не зависит от х5. Рассмотрим следующее соотношение:

(Ь\. Т(х')) = 0 = (^Ьх-У*

Поскольку Т1(х) может зависеть только от х1 и х2, а первая компонента производной ¿^.У* нулевая, то Т1(х) не зависит от х2, то

есть Т1(х*) ° Т1(х1) .

Непосредственная проверка неравенств (13) с помощью

3 * 3

х* 1 х*

3 * 3 *

производных Ли Ly,Yi и L.Y2 показывает, что неравенства

выполняются.

Зная, что T*(x* ) = z* и зависит от x* можно предположить, что z* = x*. При этом выполняются все соотношения (**) и (*3). Из равенства z* = x* и соотношений (4) - (6) несложно получить соотношения, связывающие переменные z2, z3, z4 линейной модели и переменные модели (2):

z* = x*; z 2 = a** x2;

z3 — a** (@27x* + ^26x* + ^25x* + a24x^^ + a23x2 + ^22 + ^2*x3x6

z4 — a**x2(3a27x* + 2a26x* + a25 ) + a** (a23 + 2a24x2) * (a27x* + a26x* + + a25 x* + a24 + a23 x2 + a22 + a2* x3 x6) + aua2* x3( x7 + a6* x6 + a62 x2 x3) +

a**a2* x6( a3* x3 + a32 x4)-

Аналогичным образом определяется функция T2( x* ) и соотношения, связывающие переменные z5 , z6 и z7 линейной модели в форме Бруновского с переменными модели (2). Только при определении функции T2(x*) вместо соотношений (4) - (7) и (*2), (*3), которые

применялись при определении функции преобразования T*( x* ), используются выражения (8) - (*0), (*2) и (*4).

Для проверки адекватности линейной модели объекта управления в форме Бруновского, сравнивались результаты моделирования объекта в различных его режимах работы, полученные с помощью исходной

модели (1) и линейной модели. Во всех экспериментах результаты моделирования с помощью двух различных моделей совпадали. В качестве примера на рис. 1 приведены кривые изменения скорости дизель-поезда при его разгоне до скорости 60 км/час, на ровном участке пути, Цифрой 1 на рис.1 обозначены результаты моделирования с помощью модели (1), а цифрой 2 - с помощью линейной модели в форме Бруновского. Результаты моделирования подтверждают эквивалентности полученной линейной модели в форме Бруновского исходной модели (1) объекта управления.

Рис. 1. Кривые изменения скорости дизель-поезда при его разгоне до 60 км/час.

Кривая 1, получена с помощью исходной модели (1), а кривая 2 получена с помощью эквивалентной линейной модели в форме Бруновского. Поскольку кривые 1 и 2 совпадают и на рисунке они были бы неотличимы, то они искусственно сдвинуты по вертикали друг относительно друга.

Таким образом, приведённые рассчёты, связанные с получением эквивалентной линейной модели в форме Бруновского, показывают, что увеличение минимального числа одночленов в правых частях почти всех уравнений исходного объекта до двух-трёх (вместо одного-двух) не сказывается на роботоспособности ГТУ при получении эквивалентных линейных моделей в форме Бруновского. Разработанные программные компоненты позволяют не только расширить область применения ГТУ на

объекты, содержащие десятки уравнений, но и расширить ограничения, накладываемых на число одночленов в правых частях этих уравнений.

Раздел 2. Исследование по применению ГТУ к части уравнений объектов управления.

Применение ГТУ с целью приведения к форме Бруновского только части уравнений объекта управления может существенно уменьшить объём необходимых вычислений. Покажем это на примере объекта (1). Первое уравнение в системе (1) является линейным и соответствует форме Бруновского, поэтому исключим его из процесса линеаризации. С объектом линеаризации будут связаны следующие векторные поля:

х 1( х1) =

г _ 2 2 3

12 = а21х3 х5 + а22 + а23х2 + а24 х2 + а25х1 + а26 х1 + а27х1

/3 = а31х3 + а32 х4 /4 = а41х4 + а42 х3 х6

/5 = а51х2 + а52

х

/6 = а61х6 + а62 х2 х3

У1 = |0 0 1 0 0| ■

У1 = |0 0 0

0 11

где х = (х2,х3,---,х6) .

Определяем возможность преобразования указанной нелинейной системы уравнений с полями х1, У1, У к линейной форме Бруновского. Для этого необходимо, чтобы последовательность распределений М0, М1 и М2 была инволютивна. Посколько векторные поля У1 и У,1 постоянны, то распределение М0 = 8раи(у/,у2) инволютивно. Условие инволютивности распределения М1 не выполняется. Поэтому, необходимо вводить интегратор, введём его во второй канал, связанный с

управлением и2 : ^ = х7. систему уравнений:

йх7 йг

= ^2. В результате получим следующую

йх

йг

йхз

йг

йх 4

2 2 2 3

= «21хзх5 + а22 + а23х2 + а24 х2 + а25 х1 + а26 х1 + а27 х1 ;

- аз1хз + аз2 х4;

йг

йх

йг

— а41х4 + а42 хз + ,

5 х6 = а51х2 + а52 ;

хз

йх

йг

йх7

йг

6 = а61х6 + а62 х2 хз + х7;

= ^2,

где и = щ.

С расширенной системой уравнений связаны векторные поля:

_е 2 2 з

./2 = а21хз х5 + а22 + а2зх2 + а24 х2 + а25 х1 + а26 х1 + а27 х1

/з = аз1хз + аз2 х4

/4 — а41х4 + а42 хз

X1 =

г __х6

/5 = а51х2 + а52

х.

/6 = а61х6 + а62 х2 хз + х7 /7 = 0

У/ = |0 0 1 0 0 0| , У2 = |0 0 0 0 0 1 .

Для расширенной модели объекта управления распределение М0 инволютивно, а для определения инволютивности распределения М1

1* 1*

необходимо вычислить производные Ли: Ь У , Ь У? :

X1 X1

Ьх!У? = [X1, У11*] =

дУ1Г*_ Х1 _дх1 У1* = эх1 У1

дх

дх

У11 = -

дх

У1 =

а25 + 2а24 Х2 а21Х5 0 0 а31Х3 0 0 0

0 а31 а32 0 0 0 0 - а32

0 а42 а41 0 0 0 1 - а41

а51 а52 Х6 0 0 а52 0 0 = 0

а62 Х3 Х3 а62 Х2 0 0 Х3 а61 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

ьх1 ¥1 * = [ X}, ¥1 * ] = д¥2- х1 - дх1 ¥1

Х1 2 1 1 2 J дх 1 Эх 2

* I |Т

= - 0 0 0 0 -1 0 .

Поскольку все компоненты распределения М1 постоянны, то оно инволютивно.

Проверка распределения М2 на инволютивность, показывает, что оно инволютивно.

Из инволютивности вышеуказанных распределений следует, что система уравнений рассматриваемого объекта может быть приведена к канонической форме Бруновского, которая имеет две клетки с индексами управляемости к} = к2 = 3 :

ёЧк =

Ж ёд4

= Чк+1, к = 2, 3, 5, 6; ё ч7

Ж

= и.

Ж

= ип

(19)

Для этой системы уравнений в форме Бруновского существуют функции преобразования Т^ = (х2, х3,..., х7) и Т* = (х2, х3,..., х7), с

помощью которых по аналогии с первым разделом статьи несложно определить связь между переменными исходной нелинейной модели и эквивалентной модели в форме Бруновского. Метод определения этих функций преобразования описан выше для линейной модели (3) и объекта управления (2). Поскольку в рассматриваемом случае получены две клетки Бруновского с индексами управляемости, равными трём, то объём вычислений в этом случае существенно меньше, поскольку нет необходимости определять инволютивность распределения М 3 , вычислять производные Ли третьего порядка и решать систему уравнений в частных производных более высокого порядка. Это позволяет сделать вывод, что применение ГТУ с целью приведения к форме Бруновского только части уравнений объекта управления может существенно уменьшить объём необходимых вычислений при получении эквивалентной линейной модели. В связи с этим в программное

обеспечение бортовой вычислительной системы, обеспечивающее диалоговый режим работы необходимо включить программные компоненты, позволяющие выделять из полных моделей объекта его части, к которым возможно применение геометрической теории управления.

Выводы. Проведенные исследования, связанные с получение линейных моделей в форме Бруновского эквивалентных нелинейным моделям, показали, что существующие программные компоненты бортовой вычислительной системы позволяют не только расширить область применения ГТУ на объекты управления, описываемые десятками обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, но и ослабить ограничения, накладываемые на число одночленов в правых частях этих уравнений.

Исследование возможностей применения ГТУ только для части уравнений, описывающих нелинейный объект управления, показало, что такой подход может существенно уменьшить объем вычислений при поиске эквивалентных линейных моделей в форме Бруновского. Кроме того, такой подход расширяет и область применения ГТУ на объекты, преобразования математических моделей которых к нелинейной форме невозможно или трудоёмко. В связи с этим, в программное обеспечение бортовой вычислительной системы, обеспечивающее диалоговый режим работы, необходимо включить программные компоненты, обеспечивающие выделение из полных моделей подсистем дифференциальных уравнений, к которым эффективно применение средств ГТУ.

Список литературы:

1. Краснощёченко В.Н. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза / В.И. Краснощёченко, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2005. -520 с.

2. Kim D.P. Automatic Control. Theory Nonlinear and Multivariable System / D.P. Kim. -Seal: Harnol, 2000. - 558 p.

3. Дмитриенко В.Д. Моделирование и оптимизация процессов управления движением дизель-поездов / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный. - Харьков: НТМТ, 2013. -248 с.

4. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2 Многомерные нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: учебное пособие / Д.П. Ким. - М.: ФИЗМАТЛИТ,

2004. - 464 с.

5. Дмитриенко В.Д. Преобразование нелинейных систем управления к эквивалентным линейным в канонической форме Бруновского / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный // Электротехнические системы и комплексы. - Магнитогорск: МГТУ, 2014. - № 4 (25). - C. 8 - 14.

6. Аграчев, А.А. Геометрическая теория управления / А.А. Аграчев. - М.: Физматлит,

2005. - 392 с.

7. Блох А.М. Введение в аспекты теории геометрического управления / Механика и управление. Междисциплинарная прикладная математика, том 24. Спрингер, Нью Йорк, 2015. - С. 199-233.

8. Сачков Ю. Геометрическая теория управления / Ю. Сачков. - М.: СИНТЕГ, 2013. -394 с.

9. Зоефельд, Джеффри А., Теория геометрического управления: нелинейная динамика и приложения. Университет штата Сан-Хосе, 2016. - 150 с.

10. Дмитриенко В.Д. Линеаризация математической модели, описывающей процессы управления подвижным совставом, методами дифференциальной геометрии / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный, Д.М. Главчев // Вюник НТУ "ХП1". - Харшв: НТУ "ХП1", 2017. - Вип. 21 (1243). - С. 38-53.

11. Заковоротный А. Ю. Синтез автоматизированной системы управления подвижным составом на основе геометрической теории управления и нейронных сетей: дис. ... д-ра техн. наук: спец. 05.13.07 / Александр Юрьевич Заковоротный; Нац. техн. ун-т "Харьков. политехн. ин-т". - Харьков, 2017. - 433 с.

References:

1. Krasnoshechenko, V.N., and Krishenko, A.P. (2005), Nonlinear systems: geometrical method of analysis and synthesis, Bauman Moscow State Technical University (BMSTU), Moskow, 520 p.

2. Kim, D.P. (2000), Automatic Control. Theory Nonlinear and Multivariable System, Harnol, Seal: 558 p.

3. Dmitrienko, V.D., and Zakovorotny, A.Y. (2013), Modelling and optimization of management processes of diesel trains, НТМТ, Kharkiv, 248 p.

4. Kim, D.P. (2004), Theory of automatic control. T. 2 Multidimensional nonlinear, optimal and adaptive systems, FYSMATLIT, Moskow, 464 р.

5. Dmitrienko, V.D., and Zakovorotny, A.Y. (2014), "Converting the nonlinear control systems equivalent to the linear canonical Brunovsky form", Electrical systems and complexes, MSTU, Magnitogorsk; No 4 (25), pp. 8-14.

6. Agrachev, A.A. (2005), Geometric control theory. Agrachev, Fizmatlit, Moscow, 392 p.

7. Bloch, A.M. (2015) "An Introduction to Aspects of Geometric Control Theory",

Nonholonomic Mechanics and Control. Interdisciplinary Applied Mathematics", Vol 24. Springer, New York, pp. 199-233.

8. Sachkov, Y. (2013), Geometric control theory, SYNTEG, Moscow, 394 p.

9. Zoehfeld, Geoffrey, A. (2016), Geometric Control Theory: Nonlinear Dynamics and Applications, University of San Jose, Master's Theses, 150 р.

10. Dmitrienko, V.D., Zakavorotny, A.Yu., and Glavchev D.M. (2017), "Linearization of a mathematical model describing the processes of control of a rolling stock, methods of differential geometry", Herald of NTU "KhPI", NTU "KhPI", Kharkiv, No. 21 (1243), pp. 3853.

11. Zakovorotny, A.Y. (2017), Synthesis of an automated control system for rolling stock on the basis of geometric control theory and neural networks [Electronic resource]: dis. ... Dr. techn. Sciences: spec. 05.13.07, Alexander Yuryevich Zakovorotny; NTU "Kharkov Polytechnic Institute", Kharkov, 433 p.

Статью представил д-р техн. наук, проф. НТУ "ХПИ" Серков А.А.

Поступила (received) 29.04.2018

Dmitrienko Valerii, Dr. Tech. Sci., Professor

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel.: +38 (057) 707-61-98, e-mail: valdmitrienko@gmail.com

ORCID ID: 0000-0003-2523-595X

Zakovorotniy Alexandr, Dr. Tech. Sci., Docent

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel.: +38 (097) 967-32-71, e-mail: arcade@i.ua

ORCID ID: 0000-0003-4415-838X

Mezentsev Nickolay, Cand. Tech. Sci., Docent

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002

Tel.: +38 (098) 859-88-98, e-mail: besitzer@i.ua

ORCID ID: 0000-0001-7834-2797

Dmytro Hlavchev, master

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute" Str. Kirpicheva, 2, Kharkiv, Ukraine, 61002 Tel: +380993049807, e-mail: dmitriyglavchev@gmail.com ORCID ID: 0000-0003-4248-4819

УДК 861.5.015.2

Дослвдження можливостей програмних компонент бортовоТ обчислювальноТ системи при перетворенш нелшшних систем до еквiвалентних .liiiiiiiiiix / Дмитрieнко В.Д., Заковоротний О.Ю., Мезенцев Н.В., Главчев Д.М. // Вюник НТУ "ХП1". CepiH: 1нформатика i моделювання. - Харк1в: НТУ "ХШ". - 2018. - № 24 (1300). - С. 80 - 98.

Дослвджуються можливостi розширення обласп застосування геометрично! Teopii' керування (ГТК). Показано, що застосування ГТК пльки для частини каналiв управлшня об'ектом або для частини рiвнянь, що описують об'ект, може ютотно зменшити обсяг обчислень при пошуку еквiвалентних лiнiйних моделей в формi Бруновського для нелiнiйних афiнних систем з векторним керуванням в просторi "вхвд-стан". 1л.: 1. Бiблiогр .: 11 назв.

Ключовi слова: геометрична теорiя керування; еквiвалентнi лшшш моделi; форма Бруновського; простiр "вхвд-стан".

УДК 861.5.015.2

Исследование возможностей программных компонент бортовой вычислительной системы при преобразовании нелинейных систем к эквивалентным линейным / Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю., Мезенцев Н.В., Главчев Д.М. // Вестник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. -Харьков: НТУ "ХПИ". - 2018. - № 24 (1300). - С. 80 - 98.

Исследуются возможности расширения области применения геометрической теории управления (ГТУ). Показано, что применение ГТУ только для части уравнений, описывающих объект, может существенно уменьшить объём вычислений при поиске эквивалентных линейных моделей в форме Бруновского для нелинейных аффинных систем с векторным управлением в пространстве "вход-состояние". Ил.: 1. Библиогр.: 11 назв.

Ключевые слова: геометрическая теория управления; эквивалентные линейные модели; форма Бруновского; пространство "вход-состояние".

UDK 861.5.015.2

Investigation of the capabilities of software components of an on-board computer system in the transformation of nonlinear systems to equivalent linear / Dmitrienko V.D., Zakovorotny A.Y., Mezentsev N.V., Hlavchev D.M. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modeling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2018. - № 24 (1300). - P. 80 - 98.

The possibilities of expanding the scope of the geometric control theory (GCT) are being investigated. The article shows that the use of GCT only for part of the control channels of the object or for part of the equations describing the object can significantly reduce the amount of computation when searching for equivalent linear models in the form of Brunovsky for nonlinear affine systems with vector control in the input-state space. Figs.: 1. Refs.: 11 titles.

Keywords: geometric control theory; equivalent linear models; the form of Brunovsky; space "input-state".