Определение компонент вектора Дарбу в результате деформации цилиндрического тела в рамках моментной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 ББК 22.251

А. К. Попов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА ДАРБУ В РЕЗУЛЬТАТЕ ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА В РАМКАХ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ1

Аннотация. В результате исследования задач растяжения, кручения и изгиба цилиндрического тела силой и крутящими моментами, соответственно, приложенными к торцевому сечению, в работе найдены компоненты вектора Дарбу. Решение задачи построено на основании исследований [2], [3], [5].

Ключевые слова: растяжение, изгиб, кручение, моментная теория упругости, псевдоконтинуум Коссера, вектор Дарбу.

A. K. Popov

RECEIVING THE COMPONENT OF THE VECTOR DARBU AS A RESULT OF DEFORMATION THE CYLINDRICAL BODIES IN THE FRAMEWORK OF THE MOMENT THEORY OF ELASTICITY

Abstract. As a result of research problems of stretching, torsion and a bend of a cylindrical body force and torques, respectively, enclosed to face section, in work found components of a vector of Darbu. The solution of a task is constructed on the basis of researches [2], [3], [5].

Key words: stretching, bend, torsion, moment theory of elasticity, the Cosserat pseudoconti-nuum, Darbu's vector.

При выводе обобщенных соотношений Кирхгофа в результате исследования деформации цилиндрического тела можно непосредственно из решения задачи Сен-Венана (из найденных мо-ментных и силовых напряжений) найти относительное удлинение, кривизны и кручение в точке оси стержня, соответствующей центру тяжести торца, рассматриваемого элемента.

Выпишем основные формулы, необходимые при выводе обобщенных соотношений Кирхгофа.

Относительное удлинение оси стержня имеет вид:

дщ _

" ~~ Узз|х1=х2=0 •

х, -х? -О

е = —^ Зх,

В дальнейшем предполагается, что латинские и греческие индексы принимают значения от 1 до 3, по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирования от 1 до 3.

Из геометрических соображений тензор деформации у^ представим в виде:

(1)

Из соотношения (1) получаем, что

диъ

Узз=т--6кзз юк- (2)

ох3

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или в правом базисе с единичным определителем метрики) компоненты тензора Леви-Чивиты с индексами I. \. к

равны 0, если среди индексов есть хотя бы два одинаковых; равны 1, если тройка чисел ^ k является четной перестановкой чисел 1, 2, 3; и равны -1, если тройка чисел ^ k является нечетной перестановкой чисел 1, 2, 3.

Учитывая соотношения (2) получаем:

1 Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.1885.2011, тема: «Математическое моделирование статики и динамики гибридных механических систем и идентификация их параметров», научный руководитель А. А. Илюхин.

Узз =

ди3 Эх,

(3)

Взаимосвязь компонент тензора деформаций у ^, тензора изгиба-кручения К с компонентами тензора силовых и моментных напряжений, соответственно, для изотропной среды имеет вид [1], [4]:

1 I

1ц =-.— й + а - И-а

4ац 1

2ц(ЗХ + 2ц) е

-^т^5^'

где а. р. е, .'., ц — упругие постоянные, - символы Кронекера.

Закон Гука для элементов главной диагонали тензора деформации имеет вид:

1а

1

X

кк'

2ц 2ц(31 + 2ц)

С учетом формул (3) и (6) относительное удлинение оси стержня примет вид:

е = -

Х + ц

ц 31 + 2ц

I

2ц 31 + 2ц

"(°11 +о2з)

(4)

(5)

(6)

(7)

Угол закручивания на единицу длины определяется формулой:

(

3 =

2 дх.

лл

ди2 ди1

дх2]]

(8)

Применяя формулу (1) к соотношению (8), получим:

2 <3х,

Т12+6к12 %-Т21+ек21 ®к

=0 ^

1А

2

у12-у21+2«3

(9)

X, =Хт =0

Компоненты тензоры изгиба-кручения К^ вычисляются по формуле:

5юj

к,, =-.

11

Закон Гука для элементов главной диагонали тензора изгиба-кручения К получаемый из

равенства (5) имеет вид:

- £ Каа " 2у Цаа ^^ + ^

Цкк-

(10)

Из равенства (10) следует, что

Кээ — -

е + у

"^33

V Зе + 2у 2\ Зе + 2у Применяя к формуле (9) соотношения (10) и (11) получим:

9 = к

^11+^22 •

33к=х2=о 2 5х, Эх

+ 1 9у12 ^721

(11)

(12)

Из равенства (4) получим выражения для у19 и у 91:

12 " ¡21-

ц + а о12 - ц - а о21 ц + а о21 - ц - а о12

1\2 =-;-- У21 = ■

4ац

Подставляя формулы (11) и (13) в равенство (12), получим:

8

4ац

е + у Э =-ц33

V Зе + 2у

2у Зе + 2у

НИ +Ц-2

4ц

^12 5°21 V ^3 ^3 !

(13)

(14)

X, =Хт =0

а

33

х,=х„=0

х,=х„=0

1~ 2

1~ 2

х,=х,=0

'2

8

1

х, =х, =0

х,=х,=0

'2

'2

Выражения для компонент кривизны представленные через производные от напряжений имеют вид:

Хгз ~'

32и,

х1-х2-0

Хгз — представляет собой кривизну проекции на плоскость (у, г). Учитывая формулу (1) из равенство (15), получим:

Хгз ~"

д

(Щ КС!ХЪ;

д

= "| Тз2+ек32 ®к

^32

дх?

■+ е

к32

^к дх7

х, =х, =0

(15)

(16)

Формула (16) определяет кривизну проекции на плоскость (у, z) в виде:

Хгз ~"

32

ч5х3

+к

31

(17)

Из равенств (4) и (5) получим, что:

_ Ц + а <?32~ °гз _ У + Р М-31 М-13

У32 _ . К31 _ "

4ац

4 (Зу

(18)

Подставляя выражение (18) в соотношение (17), получим выражение для проекции компонент кривизны на плоскость (у, z):

Ц-а да23 Ц + а да32 у+Р ц31 у~р ц13

Хгз ~~

4ац дх3 4ац дх3

4ру

4ру

(19)

Кривизна проекции на плоскость z) имеет вид:

_д\ Х13 - 2 •

5х3

^ х1=х2=0

Х13 ~~ представляет собой кривизну проекции на плоскость (х, г). Применяя равенство (1) в формулу (20), получим:

Х13 ~

[ д (дщ ^

у5х3 ^(Зхд

х1=х2=0

Эх,

Уз1 + ек31 юк

Эх,

=к31

Эх,

(20)

х, =х, =0

Из формул (4) и (5), получим, что:

ц + а о31- ц-а о13 V+р ц32 - V~р ц23

Уз1 — — ■

4ац

4ру

(21)

(22)

Подставляя равенства (22) в соотношение (21), получим выражение для проекции компонент кривизны на плоскость z):

Х13 ~~

ц + а 9с31 ц-а 9с13 у + Р у-Р

М-32 77 М-23

4ац дх3 4ац Эх3 4рV

4Ру

(23)

Для определения угла закручивания 9 и значений %13, %23 компонент кривизны проекций на плоскости (у, z) и z) соответственно используем определенные в статьях [2], [3], [5] компонент тензора напряжений и моментных напряжений.

В задаче растяжения цилиндрического тела компоненты тензора напряжений и момент-ных напряжений имеют вид [5]:

°11 = °22 = °12 = °21 = °13 = °31 = °23 = °32 = 0> °33 = Р> М-11 М-22- М-33 — М-12 — М-21 — М-13 — М-31 — М-23 — М-32 —

(24)

В задаче кручения цилиндрического тела компоненты тензора напряжений и моментных напряжений имеют вид [2]:

цМк

а11=а22=азЗ=а12=а21=а (л Л

Т + 2у8

9ф х1;х2

9Х[

цМк

Т + 2у8

Зф х1;х2

Эх,

2

х х - ')

х,=х„=0

Ни =

УМк Б + 2у8

( Д2

д ф х1;х2 дх2дх1

--1

Наг =

уМк Э2Ф х1;х2

Т + 2у8

Эх,

,Ц22 = ■

= И21 = "

УМк Б + 2у8

д ф х1;х2 9х[9х2

- + 1

уМк Э2ф хрх2 Т + 2у8 дк*

(25)

2уМк

Ип = Из1 = И23 = Из2 = 0=ИзЗ = „ -

Т + 2уй

В результате исследования изгибающих деформаций цилиндрического тела получены компоненты тензора напряжений и моментных напряжений [3]:

°11 =°22 =°12 =°, , Эф ц(Т-1р)х1

°23 = °32 = р2(т---;-Г"^ + 2к2Х2)^

Эх2 ц! -2у8 РзБЬБ! Я + 2ц (I + Х- -I2 х1+Я2+ 1 + 2\1 ц + Х, 8[ ЗХ + 2ц 122|х + 8(3 Х + 2ц -82ц112 ЗХ + 2ц

. Эф

013=031=Р2(^ +

2к2 -

2у8(Т-1 ) ц1р(Т-Т) И Т-1р

Эх, ^ 112Ц1р-2У8 112Ц1„-2У8 КТ-1Р) ф^Рц + Х^-р^Ь

I,

(5р -2У8^)2 8, ^| + 2цТ)|2ц + 8Р<Г+2ц^82ц112 <[Х + 2Ц>

(

Цп = Р2У

Э2Ф ц(Т-1р)

+ —--—^1,ц22 =-р2У

Эх2Эх, -2у8

2уц(Т-1р)

Э2Ф Ц(Т-1Р)

ох^ -2У8

Шз =-

Р-зз т 'И-13 Р-31

Б^ЬРг + ^" Р :У1Х+ Р >1^+ и) ■- Р С+:Ж" Р Э

4у

^ + 2ц>2ц + 8Р 2ц2ц^

Р-32

^Ьр, (2у-1)(А, + Ц)-Р Х + 2ц у-Р - 2Рц-Х У-Р - ц + Х, у + Р 4У в! 3Х + 2ц 122Ц + 8Р и2Ц ^2Ц112 3Х + 2ц

(

У + Р

Т-1

( -2 \ ^ + 2к2

КТ-1)

92ф „,

—7 + 2к2+---

< 1и 112Л-2у8

2У8

Ш1=РгИ + Р

2

а2Ф

\

2+2к2

-С-Р

02ф

2 +2к2 +-

ТЧ КТ-1Р) Г +

112 112(1р-2У8)р Ц,

(26)

Так как в формулах (7), (14), (19) и (23) каждая из компонент тензора напряжений и мо-ментных напряжений является суперпозицией соответствующих компонент задач растяжения, кручения и изгиба цилиндрического тела [2], [3], [5], то, следовательно, значения компонент тензора силовых и моментных напряжений, полученные из формул (24)-(26), как сумма соответствующих компонент примет вид:

х,+

.Эф м(Т-1р)х1

оп = о22 = о 12 = 0,о23 = о32 = р2(----ь2к2х2)ц +

цМк

Эх2 ц1р -

(Лг. ^ ^ А

Б + 2у8

Эф

, л2

Зх,

- + х.

а33 =р + -

р281Д Х + 2[1 ц + Х -X2 хх+Х2 + Х + 2ц ц + Х 31 +2ц 122ц + 8(3 Х + 2ц -82ц112 31 +2ц

Оп = а,, =■

КТ-1Р) цТ-2У8

ох1

2к2-

2у8(Т-1р) ц!р(Т-1р) И<Н>

112^1р-2у8)112^1р-2У8) I 1 у 2 р ц +1 Р 8Ь 8; ^& + 2ц1|2ц + 8Р<Г+2ц^82ц112 <ГХ + 2ц^):

х3)Ц +

цМк

Т + 2у8

цп = р2у

( д\ | М(Т-1Р) А

дх2дхх ¡и! - 2ув

у

(

ц22 = -р2У

52Ф

М(Т-1Р)

9Х2ЭХ1 |Л - 2У8

Т + 2ув

УМ„

Т + 2у8 2уМ„

д ф х1;х2 дх2дх1

92ф х1;х2 9x^2

--1

- + 1

М23 =

^32 =

2уц(Т-1р)

Мзз =-Р2 -—,

2ув - ¡и1р Т + 2У8

Ни = Нэ1 = °> З^Ьр, ^(Х + ц) - Р 2ц)Ь У[+ р ^

4У^^Х + 2ц]]|2Ц + 8Р^Г+2Ц^82Ц112 <ГХ + 2ц^

^Ьр, + ц) - р 2ц р ^

4У^^Х + 2ц1|2Ц + 8Р^Г+2Ц^82Ц112 <ГХ + 2ц^

И21="

- у-С

^.^..И II +

112 ЪА-М

(27)

уМк 32ф х1;х2 Т + 2уБ ёх* '

В результате из формулы (14), учитывая равенства (27) угол закручивания на единицу длины равен:

8 + V

V Зе + 2у

2уц(Т-1 ) 2уМк -Р2+;

2у8-Ц1 Т + 2У8

8

2у Зе + 2у

( (

2р2у

V V

иСГ-1р)

Ц1р-2У8

2уМк Т + 2у8

х2 +

+

2

Относительное удлинение оси цилиндрического тела, учитывая формулы (7) и (27) равно:

Х + ц

е = -

ц ЗХ + 2ц

р^!^] X + 2 ц, ц+Х-Х2Х1+Х2+Х + 2Ц Ц + Х ^

Р"

8; ЗХ + 2ц 122ц + 8|3 Х + 2ц -82ц112 ЗХ + 2ц

Из формулы (19), учитывая равенства (27) кривизна проекции на плоскость (у, 7) равна:

Хгз = 0.

Аналогично из формулы (23) кривизна проекции на плоскость (х, 7) равна:

Хаз ~

ц + Х -2(Зц + Х V —Р ^р^Ь

ЗХ + 2ц 122ц + 8Р Х + 2ц -82ц112 ЗХ + 2ц

З^Ьрг (2у-1)(А, + ц)-Р Х + 2ц у-0 - 2Рц-Х у-0 - ц+Х у+Р

16Ру2 ^ ЗХ + 2ц 122ц + 8Р Х + 2ц -82ц112 ЗХ + 2ц Б^Ьрг 2у(?1 + ц)-р Х + 2ц +Х у + Р - (2у-1)(А + ц)-р Х + 2ц у-р

16Ру2 ^^ + 2ц>2Ц + 8Р<С+2Ц^82Ц112 +

(29)

Вывод. Полученные значения компонент вектора Дарбу приводят к определению поведения цилиндрического тела под действием растягивающих, изгибающих усилий и крутящих моментов. Одновременно заметим, что цилиндрическое тело под действием изгибающих усилий будет закручиваться. В результате чего угол закручивания на единицу длины определяется не только в результате кручения, но и в результате изгиба. Причем среднее значение кручения для всего поперечного сечения зависит не только от полярного момента инерции и величины Т, но и от площади поперечного сечения 8. Следовательно, степень закручивания (28) зависит от геометрии цилиндрического тела. В отличие от компонент кривизны (29), вклад в которые привносит только изгиб цилиндрического тела.

2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аэро, Э. Л. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц / Э. Л. Аэро, Е. В. Кувшинский // ФТТ. - 1960. - Т. 2. - С. 1399-1409.

2. Илюхин, А. А. Кручение стержня в рамках псевдоконтинуума Коссера / А. А. Илюхин, А. К. Попов // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2011. - № 1. Естественные науки. - С. 43-50.

3. Илюхин, А. А. Решение типа Сен-Венана в задаче изгиба цилиндрического тела концевыми нагрузками / А. А. Илюхин, А. К Попов // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. -2012. - № 1. Физико-математические и естественные науки. - Таганрог: Изд. отдел ГОУВПО «Таганрог. гос. пед. ин-та», 2012 (см. данный сборник).

4. Пальмов, В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. - 1964. - Т. 28. -№ 3. - С. 401 - 408.

5. Попов, А. К. Осевое растяжение стержня в рамках моментной теории упругости // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2011. - № 1. Естественные науки. - С 54-60.