Микрополярная модель деформации естественно-закрученного цилиндрического тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

А.А. Илюхин, А.К. Попов

МИКРОПОЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИИ

ЕСТЕСТВЕННО-ЗАКРУЧЕННОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА*

Исследовано растяжение естественно-закрученного цилиндрического тела силой, приложенной к торцевому сечению и возникающие в результате этого эффекты. Решение задачи построено в перемещениях. Найдены компоненты вектора перемещений, тензора силовых и моментных напряжений, удовлетворяющие уравнениям равновесия и граничным условиям на основаниях и боковой поверхности. Определено среднее значение кручения для всего поперечного сечения исследуемого цилиндрического тела. Граничные условия на боковой поверхности естественно-закрученного цилиндрического тела привели к нахождению функции, определяющей депланацию поперечного сечения тела из задачи Неймана для уравнения Лапласа.

Микрополярная модель; растяжение; естественно-закрученный стержень.

A.A. Ilyukhin, A.K. Popov

MICROPOLAR MODEL OF DEFORMATION NATURAL THE TWIRLED

CYLINDRICAL BODY

In work stretching natural the twirled cylindrical body is investigated by the force attached to face section and effects resulting it. The solution of a task is constructed in movings. Components of a vector of movings, a tensor of the power and momentny tension, satisfying to the equations of balance and boundary conditions on the bases and a lateral surface are found. Average value of torsion for all cross-section section of a studied cylindrical body is defined. Boundary conditions on a lateral surface natural the twirled cylindrical body led to finding of function defining a deplanatsiya of cross-section section of a body from Neumann's task for Laplas's equation.

Micropolar model; the stretching; natural the twirled core.

В работах В.Я. Принца, Н.К. Гутаковского и других сотрудников Института полупроводников СОРАН в г. Новосибирске по исследованию напряженно-деформированного состояния кристаллов, по формированию различных наноструктур оказалось весьма полезным учитывать и вращательное взаимодействие частиц, которое несмотря на относительную малость по сравнению с классическим взаимодействием, оказывает влияние на устойчивость структур [4]. Исследование конфигураций молекул ДНК с помощью механического подхода к формированию определенного типа устойчивых их состояний [2, 3] выявило большую сопротивляемость к разрушению конфигурации, что подтвердили исследования в рамках моментной теории упругости [3]. В монографии [1] приведены решения ряда задач моментной теории упругости. Однако ряд классических задач остались нерешенными. Одной из таких нерешенных задач является задача, решение которой приводится в данной статье.

Рассмотрим задачу об упругом равновесии стержня под действием растягивающих усилий, приложенных к торцевому сечению и статически эквивалентных силе Р, параллельной оси стержня и приложенной в центре тяжести свободного торцевого сечения. Рассматриваемый стержень подвержен осевому растяжению.

* Данная статья написана при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.1885.2011.

Массовыми силами пренебрегаем. Задача об упругом равновесии стержня при указанных условиях сводится к нахождению компонент тензоров напряжений, удовлетворяющих в области, занятой телом, дифференциальным уравнениям равновесия при отсутствии массовых сил и граничным условиям.

Начало координат выберем в центре тяжести одного из сечений, оси х и у направим по главным осям сечения, а за ось г примем ось стержня. При описании деформации упругой микрополярной среды будем использовать криволи-

12 3

нейные координаты х , х , х , связанные с декартовыми координатами х, у, ъ соотношениями

х1 = х + г0 уг, х2 = у -т0 хг, х3 = г, х = х1 — т0 х2 х3, у = х2 + г0 х1 х3, г = х3. Величину т0 называем естественной круткой и будем считать её малой. Символы Кристоффеля А^ второго рода равны: Г1 = Г1 = Г1 = Г1 = Г1 = Г2 = Г2 = Г2 = Г2 = Г2 = 0

1 11 1 12 1 13 1 22 1 33 1 11 1 12 1 22 1 23 1 33

гг3 _ Т~'3 _ 7_'3 _ Т~'3 _ 7_'3 _ Т~'3 _ А 7~'1 __7~'2 _

Г 11 = Г 12 = Г 13 = Г 22 = Г 23 = Г 33 = 0, Г 23 = — Т0 Г 13 = Т0.

Проекции пьп2,п3 вектора нормали п к боковой поверхности естественно-закрученного стержня определяются выражениями

^х . 2 1 \ / л \

п1 =-, п2 =--, п3 = т0(х п1 — хп2). (1)

Решение в перемещениях поставленной задачи будем искать в виде

и1 = А11х + А12 х + А13 х + т 0( Бп х

+ Б12 х2 + Б 13 х + +В11 (х1 )2 + В12х1 х2 + В13х1 х3 + В22 (х2 )2 + В23х2х3 + В33 (х3 )2);

и 2 — А21 х + А22 х + А23 х + т0 (С* 11 (х 2 + С12 х х + ^21 х + Б22 х + Б23х3 + С13х1 х3 + С22 (х2 2 +

С23 х х + С33 ^ х3 2 ); и3 = А31 х1 + А32х2 + А33х3 + т0 (рф + Е13х1 х3 + Е23х2х3 + Е33 (х3 2 2 ,

где ф = ф (х1, х2 2 - некоторая функция, подлежащая определению.

Кинематические соотношения, закон Гука и уравнения равновесия микрополярной среды при отсутствии массовых сил и моментов имеют вид [4]

у.. = и.. — ек.. Щ, Щ =1 еЛг — г тки ), к.. = ^--Гк. щ,

у, . 2 (I Эх' 'к т) 1 Эх. 1 к

(2)

.

= МЛк+(—а 2у.+(+а 2 у., = ккк+(—в 2к1+(+в 2к1, = 0

^+е1к а к = 0.

(3)

где уу, Ку, о у, Цу - компоненты ковариантного соответственно тензора деформаций, изгиба-кручения, напряжений и напряжений; И; и Юк, £Бк1 - ковариант-

ные компоненты вектора перемещений и контравариантные компоненты псевдовектора собственного микроповорота и тензора Леви-Чивиты.

Предполагается, что латинские индексы принимают значения от 1 до 3 и по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до 3.

Так как уравнения равновесия, учитывая равенства (2) и (3), представлены в виде разложения в ряд по степеням параметра Т0 , то коэффициенты, стоящие при

соответствующих степенях параметра Т0 , должны равняться нулю. Учитывая не-

12 3

зависимость компонент х ,х ,х друг от друга, константы, стоящие при соответствующих независимых переменных, также приравняем нулю:

2 (А + 2 л )ВП + (А + л )(Cl2 + Elз)+л (2 (Ви + Bзз)-3 А,з ) = 0; 2 (А + 2л )C22 + (А + л )( + E2з)+ Л (2 (CП + Cзз) + 3 43 ) = 0; 2 л ( + 2 (Cзз + Дз)) + 2 (А + 2 л )ЕВ +(л + 2 А В + 4 (А + л )C22 = 0;

(4)

4(А + л)Д1 +(л + 2А) C12 + 2(А + 2л)E13 + 2л(22 + 2(В33 -А23)) = 0;

2С33 - E23 = 0E13 -2 B33 = 0,E13 + 2(B33 - Л23) = 0, 2(C33 + Д3)+ E23 = 0;

(3 V + в )( - 2Bзз) + ( + в )A2з-(V - в )(Cl2 - B22 ) = 0;

(3 V + в )( - 2 Cзз) -(V + в )Alз-(V - в )(Bl2 - Cп ) = 0. Граничные условия на основании х3=0 естественно-закрученного стержня:

1о^5 = |о2^5 = |а3зdS = 0, |( х2о33 + л31)dS = |(-х:о33 + л32)d5 = я я я х я (5)

= |(х.о32 - х2о31 + л33)dS = 0. я

Граничные условия на основании х3= £ естественно-закрученного стержня: ^0^5 = J'о2зdS = 0, Jо•ззdS = Р, |( х2о 33 + л31М5 = | (-х1о33 + Лз2)d5 =

г (6)

= J(х1о32 - х2о31 + л33^5 = 0.

5

Из формул (5) и (6) две группы граничных условий на основаниях естественно-закрученного стержня представлены следующим образом:

((( + В1з) А + 2 (А + 2 л )Е33 )£ + (011 + ^22 )А )*0 + ( + А22 )А + (А + 2 л )Аз = р

2((А( + 2С22) + (А + 2л)ЕИ)1п + У5Г0 (-(2( - А^)£)-2Д3 -2В33£) + +5(V(( - Д3 - В12) + 2(С11 - С33))- в(2( + С33) + А13 - В12 -Е2Ъ)-уА13)) = 0;

2(- (А (С12 + 2В11) + (А + 2л) Е13) 122 + у5Т0 (- (2 (С33 + А13) £)- 2023 - 2С33£) + +5 (V(С12 + 2В33 - А* - 2В22 - Е13)- в(В22 + В33) + А23 + С12 + Е13)-УА23 )) = 0; РТ + л (( + 2А11) 122 + (-В23 + 2А22 )1ц) + -5 ( - В2Ъ ) = 0;

Г0{ дф(Х ) d5 = -(((зз + Дз) + Е23 )£ + В23 )т0 + 4з )р;

Г01дф ( Х ) d5 = -(( (зз -Аз) + Е13 )£ + Д3 )т0 + А13 )Р;

Первая группа граничных условий на боковой поверхности естественно-закрученного стержня имеет вид

(а1к + т0 х2а3к )п1 + (а2к — т0 х'аЪк )п2 = 0. (8)

Третье уравнение первой группы граничных условий на боковой поверхности естественно-закрученного стержня с учетом равенств (4) и (7) сводится к условиям Неймана:

Э ( (х1, х2 2 Э п

= -^[((— (2А11 + C1з 2м + 31 А11 + (31 + 2 ц 2А22 + (4 ц + 3 X )АЪЪ ) х1 — MPl

— (С23 + 3 • А12 + А212цх2 — (2 С33 + Е23 2 цх3 — Б+ ((В13 + 3 • А21 + А12 2цх1 +

+ (ß (2 A22 - B23 )- (3А + 2ß )An - 3 А A22 - (4ß + 3А ) A33 )х2

dx2

- ß (2B33 + £13 ) x3 - ß • D13) ]•

(9)

Задача определения функции ф (х1, х2 2 есть, таким образом, задача Неймана

(9) для уравнения Пуассона:

Лф = (2 ц (А21 — А12 2 — (1 + ц 2(С23 + В13 2 — 2 (X +2 • ц 2Е33)/ ^А. (10)

С учетом взаимосвязей между константами (6),(8) равенство (11) преобразуется к виду Лф=0.

Вторая группа граничных условий на боковой поверхности естественно закрученного стержня имеет вид

(цХк + т0 х 2цЪк )п + (ц2к — т0 хуцЪк )п2 = 0. (11)

Первое и второе равенства (11), в результате интегрирования по контуру I примут вид

Эф (х1, х 2 2

Эх "

= [С1 + [ — ((2 (С11 — С33 2 + Е23 — В1г — А13 2у + ( — 2 (С33 + С11 2В12 + Е23 — А13 ) +

(х 122

+ ((2 (С33 — С11 ) + В12 — Е23 + А13 2 V + в (2 (С33 + Си 2 — Е23 — В„ + А„ 22^^]т0 +

+ V С13 • х 2 + х 1( — ( + в 2 I —!— [ 2 ц (А12 — А21 2+ (X + ц 2(С 23 + В13 2+ 2 (X + 2 ц 2Е 23 ]) + 2 Vц • р1 /

+ (В13 — с 23 22 +(2 (А12 — А212 — (В13 + С 23 22у)];

Эф (х1, х2 2

Эх2

+((---a.+* - +<-(+».+A.+.+„* ^+

(Х2 )2

+ (( - 2B33 + 2B22 + Е1г - С12 )v + (-2B22 + C12 - 2B33 + A23 + )))-]То + plB23х1 --х2[(B,3 -C23)) + (2 ( - A.2) + Ba + C23)) + (+в)^ßp[2 ß ( - A21 ) + (А + ß) (C23 + Ba) + 2 (А + 2ß) £33 ]j]].

Для разрешимости граничной задачи Неймана (9) должна выполняться взаимосвязь В13 - С23 = 2 ( - А21 ).

Таким образом, каждая из двух групп граничных условий на боковой поверхности естественно-закрученного стержня приводит к одинаковой для каждой из групп задаче Неймана для уравнения Лапласа (10). Первые граничные условия (8) и третье граничное условие (11) на боковой поверхности естественно-закрученного стержня удовлетворяются тождественно выбором констант. В результате получаем следующие взаимосвязи между константами:

Ап = -

А Р1

2л (3Л + 2ц)

, А22 =

АР1

-, Азз =

= (А + л ) Р1

п = (Р - Р1 )(А + 2л) В =

¡—У 0 0 , и 23

2цтаЛ

2л (3Л + 2ц)'"33 л (3Л + 2ц)'

Р1 ((3 А + 2л )Т - /р А ) (3 А + 2л )л 1Р + 2 (3 А + 2л '

С = - В тт = -

С 13 _ В 23 , и 11 _

2цт0

Остальные константы равны нулю.

При совпадении р и р. компоненты вектора перемещений и вектора собственного микроповорота примут вид

= А р1 ^ _ Р1 ((3 А + 2л )Т - /р А)

2л (3Л + 2ц)

А Р1

х + г„

2л (3Л + 2ц)

Х Тр.

(3А + 2л )л/р + 2 (3 А + 2л Р1 ((3 А + 2л )Т - 1р А ) (3 А + 2л )л 1Р + 2 (3 А + 2л '

(А + л) Р1 3 / 1 2 \

- 7 \ х3 + т0 р, -т (х1, х2 ).

л (3Л + 2ц) ^ >

В результате получаем значения компонент тензора напряжений:

аз3 = Рр^П =а22 =а12 =а21 = 0; ( ^ -/-л -2\ ( „ 1 , о т Л . Л А

Т Р.

Т Р.

дт(х',х2) ( Р. ((3А + 2 л)Т- /рА)

ах "

дт(х', х2)

- + -

АР1

дх2

(3 А + 2 л) л 1р + 2 (3 А + 2л)у5 л (3Л + 2ц)

Р. ((33 А + 2 л )Т - /рА) + АР. (3 А + 2 л) л 1Р + 2(3 А + 2 л )^5 л (3Л + 2ц)

х ^

ц;

ц.

И значения компонент тензора моментных напряжений:

г

^11 = Р^Т)

((3А + 2 л)Т - /ра)

д >

--—I--

дх2дх1 (3 А + 2 л) л /р + 2 (3 А + 2 л )5

^22 = РУТ0

цзз =

ц12 ц21

((33А + 2 л)т - 1ра)

д 2т

(3 А + 2 л )л!р + 2 (3 А + 2 л)5 дх'дх1

2р. (А/р - (3А + 2 л)Т)) _

(3А + 2л)л/р + 2(3А + 2 л)5 '

(

Т0 Р1

(V+в ^-<--в ^

(

M13 = Mi = Wl

= vPi

дф ((A + 2f)T - Ipk)

dx1 (3 A + 2 f)f Ip + 2 (3 A + 2/u)vS'

дф ((33 A + 2fi)T - Ip A)

A

T0 M23 M32

(

\

дх2 (3Х + 2ц)ц1р + 2(3 X + 2 ц)

Следовательно, в каждой точке стержня мы получили чистый сдвиг, определяемый компонентами тензора напряжений а13, а31, о23, о32. Можно видеть,

что относительно напряжений возникают нормальные напряжения, действующие между продольными волокнами стержня или в направлении самих волокон. Также возникают искажения плоскостей поперечных сечений (депланация поперечного сечения стержня), поскольку уп, у22, у33, у12, у21 не обращаются в нуль. Формулы, определяющие компоненты тензора напряжений, имеют вид

а 33 = р ап = а 22 = о^ = а 21 = 0;

(

а = а 31 = p % о

а 23 а 32 P Т 0

дф (x1, x2 )

дХ

P дф (xl, Х2)

Г dx2

- x

f I -1

T

\

\

-+ x

-1

T

Среднее значение кручения для всего поперечного сечения равно

т =

i г

S J

Krr dS =

Pi (Alp - (3 A + 2 f )T )

S ((3 A + 2 f )fIp + 2 (3 A + 2 fi )vS )

X - \Г •• ■ - г- / Г- - р

Вывод. Формулы, получившиеся с учетом моментных напряжений отличаются тем, что: 1. Депланация поперечного сечения стержня определяется не только соответствующими классическому случаю компонентами силовых напряжений а13, а31, а23, а32, но и компонентами моментных напряжений ¡л11, р.22, ^12,

р.21. 2. Первая и вторая компоненты вектора перемещений зависят не только от

величины растягивающих усилий р, но и от геометрии стержня. 3. Среднее значение кручения для всего поперечного сечения зависит не только от полярного момента и величины Т, но и от площади поперечного сечения S.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Основы механики вязкоупругой микрополярной жидкости. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2009. - 128 с.

2. Илюхин А.А., Тимошенко Д.В. Математическая модель замкнутых молекул ДНК // Известия Саратовского университета. - 2008. - Т. 8. - Вып. 3. - С. 32-40.

3. Илюхин А.А., Тимошенко Д.В. Решение задачи о деформации естественно-закрученного и растяжимого стержня и применение его к исследованию условий замкнутости молекул ДНК // Механика твердого тела. - 2008. - Вып. 38. - С. 161-167.

4. Илюхин А.А., Щепин Н.Н. К моментной теории упругих стержней // Изв. вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. 2001. Спецвыпуск. - С. 92-94.

5. Шкутин Л.И. Численный анализ разветвленных форм изгиба арок // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - Т. 42, № 4. - С. 155-160.

Статью рекомендовал к опубликованию д.ф.-м.н., профессор Г.В. Куповых.

Илюхин Александр Алексеевич - Таганрогский государственный педагогический институт имени А.П. Чехова; e-mail: aleilyukhin@yandex.ru; 347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48; тел.: 89043465321; кафедра математического анализа; зав. кафедрой, д.ф.-м.н.; профессор.

Попов Алексей Константинович - e-mail: ASDAlexey@yandex.ru; тел.: 89526058875; кафедра математического анализа; аспирант.

Ilyukhin Alexander Alexeyevich - Anton Chekhov Taganrog State Pedagogical Institute; e-mail: aleilyukhin@yandex.ru; 48, Initiative street, Taganrog, 347936, Russia; phone: +79043465321; department of mathematical analysis; head of the department, dr. of phys.-math. sc.; professor.

Popov Alexey Konstantinovich - e-mail: ASDAlexey@yandex.ru; phone: +79526058875; department of mathematical analysis; postgraduate studies.

УДК 681.586.72:543.27.08

С.А. Богданов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ МНОГОЗАРЯДНЫХ ПРИМЕСНЫХ ЦЕНТРОВ НА ВОЛЬТ-АМПЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНТАКТОВ МЕТАЛЛ-ПОЛУПРОВОДНИК С БАРЬЕРОМ ШОТТКИ

Предложена математическая модель и проведено моделирование влияния многозарядных примесных центров на вольт-амперные характеристики контактов металл-полупроводник с барьером Шоттки. Разработанная математическая модель учитывает квантово-механические эффекты при переносе носителей заряда в контактах металл-полупроводник с барьером Шоттки и позволяет прогнозировать их вольт-амперные характеристики. Результаты моделирования хорошо согласуются с известными из литературы экспериментальными данными. Разработанная математическая модель может быть использована в системах автоматизированного проектирования элементов интегральных микросхем.

Диод Шоттки; потенциал; уравнение Пуассона; вольт-амперная характеристика.

S.A. Bogdanov

THE SIMULATION OF MULTIPLE-CHARGE CENTERS INFLUENCE ON VOLT-AMPERE CHARACTERISTICS OF METAL-SEMICONDUCTOR JUNCTIONS WITH SCHOTTKY BARRIER

The mathematical model and the simulation of the multiple-charge centers influence on metal-semiconductor junctions with Schottky barrier volt-ampere characteristics are made in this work. The developed mathematical model takes into account quantum mechanical effects during the charge carriers transfer in metal-semiconductor junctions with Schottky barrier and allows forecasting their volt-ampere characteristics. The simulation results meet the experimental data from famous literary sources. The developed mathematical model can be used in computer aided design of integrated circuits elements.

Schottky diode; potential; Poisson equation; volt-ampere characteristic.

Необходимость моделирования технологических процессов и приборов обусловлена сложностью протекающих физических процессов, их многомерностью, нестационарным и неравновесным характером. Кроме того, с переходом к нано-метрическим размерам резко усилилась взаимосвязь между электрофизическими характеристиками элементов твердотельной электроники и технологическими режимами их производства. Очевидно, что математическое моделирование элементов и технологических процессов сверх- и ультрабольших интегральных схем становится той областью, где достижения фундаментальных наук дают непосредственный экономический эффект.