Метод возмущений в задаче стесненного кручения крыла Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.219

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧЕ СТЕСНЕННОГО КРУЧЕНИЯ КРЫЛА

В.И. Корольков

В трёхмерной постановке представлено решение упругой задачи об определении напряжённо-деформированного состояния сплошного защемлённого стержня произвольного поперечного сечения, нагруженного сосредоточенным крутящим моментом на свободном конце

Ключевые слова: перемещения, деформации, напряжения, стеснённое сечение

Наличие ограничения перемещений в одном из поперечных сечений подверженного крутящему моменту стержня вызывает местный всплеск напряжений и носит название эффекта Сен-Венана. Так как эта зона с точки зрения прочности конструкций является наиболее опасной, то определение уровня напряжений необходимо для повышения несущей способности подобных деталей. Подобных зон в конструкции летательного аппарата значительное число, но наиболее опасной и высоко-нагруженной является зона крепления кессона крыла к центроплану. В связи с тем, что в этой зоне наблюдается значительное изменение жёсткости, то происходит сингулярный всплеск напряжений. Точное знание напряжений в этой зоне необходимо для правильного выбора конструктивного решения. Существующие методы расчёта дают лишь приближённую оценку. Численные методы дают в этой зоне неустойчивое решение. Для выбора оптимального решения необходимо обладать достаточно простым, достоверным решением, позволяющим также оценить и качественную картину напряжений и деформаций.

Так как в данной зоне однозначно возникает трёхмерное напряженно-

деформированное состояние (НДС), то в качестве первого приближения рассмотрим модель в виде сплошного упругого стержня и оценим НДС вблизи стесненного поперечного сечения при кручении сосредоточенным моментом.

1. Постановка задачи

Пусть стержень имеет произвольное поперечное сечение. Боковая поверхность свободна от внешних усилий. Один торец стержня полностью неизменяем. К другому торцу приложена произвольная система сил, статически эквивалентная действию крутящего момента Мкр. Начало декартовой системы координат х0у расположено в центре тяжести неизменяемого сечения, а ось г прямолинейна и прохо-

Корольков Владимир Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, (4732) 249-53-24, когоікоу [email protected]

дит через центры тяжести поперечных сечений.

При отсутствии массовых сил перемещения произвольной точки данного тела должны удовлетворять уравнениям Ламе

тиг,}} + (1+т)и},], = 0, г,у = 1,2,3,

где иг - перемещения произвольной точки стержня, вызванные его деформацией;

1 = Еп/(1 + п)(1 - 2п), т = Е2(1 + п) - коэффициенты Ламе;

Е, V - модуль упругости и коэффициент Пуассона.

Также должны удовлетворяться граничные условия на боковой поверхности

у = 0, г, у = 1,2,3 (1.2)

и на торцах стержня: г = 0; иг = 0 , г, у = 1,2,3

г = I; Цха33ЛО.=Му, Ц(хг23 -уг13)<зЮ = 0, (1.3) а а

Цуг33йа = \\а13&0. = \\а23сП = \\а33сЮ.= 0 , а а а а

где СТ. - составляющие тензора напряжений,

пу - направляющие косинусы нормали к поверхности;

а - площадь поперечного сечения,

I - длина стержня.

Требуется определить напряженное и деформированное состояния стержня.

2. Метод решения

Известно, что вблизи стесненного сечения возникает всплеск напряжений, имеющий затухающий экспоненциальный характер вдоль продольной координаты г. На удалении от стесненного сечения существует однородное напряженное состояние. Следовательно, используя концепцию пограничного слоя, можно получить асимптотическое решение, называемое внутренним, вблизи стесненного сечения и срастить его по методу Ван-Дайка [1] с внешним решением для однородного напряженного состояния. В качестве внешнего решения можно использовать любое известное решение для свободного изгиба стержня заданной геометрии.

Для построения внутреннего разложения введем внутреннюю переменную

Х = -1(1-е~п), (2.1)

где к - малый параметр, характеризующий относительное сужение стрежня; п - некоторая константа.

Запишем внутреннее разложение перемещений в виде ряда, обозначив

и = и1, V = и2,ж = и3 :

и' = киК х, у, с) + к 2и2( х, у, с), V* = £у'( х, у, с) + к 2v2( х, у, с), ж' = Щ( х, у, с) + к2 w2( х, у, с).

(2.2)

Затем, произведя замену переменных в уравнениях (1.1) и подставив в них разложения (2.2), получим, приравняв члены при одинаковых степенях к, систему шести уравнений: д 2и1 д 2У1 д 2 w1

дХ

/ип

ип

дс2

д 2 V,

дс2

дс2

- 2ип

- 2ип

дс2

д 2 щ

с

д 2 у

дс2

= 0;

■х + (1 + и) с + (1 + и)

(2.3)

д 2 V!

дхдс д 2 w1 дудс

ди1

-ип—1 = 0; дс

дУ1 А ип—1 = 0; дХ

д 2 V д 2 ж дж>

(1 + 2и)п-----------г— 2(1 + 2и)п-------— - (1 + 2и)п------+

дс2 дс2 дс

+(1+и)т-

дх

' дщ дух

дх ду

=0.

Решение первых трех уравнений (2.3), удовлетворяющее граничным условиям (1.3) при г=0, будет иметь вид и = а1(х,у)с; у1 = Ъг(х,у)%; ж1 = с1(х,у)с (2.4) Подставим (2.4) в оставшиеся уравнения системы (2.3) и, удовлетворяя граничным условиям (1.3) на торце г=0, получим

1 ( 1+и дс1 (х, у)

и2 =-\ а1(х у)----------------Г

2 ^ пи Эх

у2 =1 [ъ,( х, у)-Я+идс-( х,у)

2 2 \ пи Эу

+ 0^2 (х, у)с

+Ъ2(x, У)Х

1

= —

22

(

С (х, у) -

1+и

п(1+2и) ^ дх

Эа1 (х, у) + ЭЪ1 (х, у)

ду

с2 +

+ c2(x, у)с

(2.5)

Неизвестные функции поперечных коор-

динат а1, а

*2 , Ъ1 , Ъ2 ■

с1, с2 можно определить из

условий сращивания внешнего и внутреннего (2.2) разложений:

(и0)г =(и')0;(у0)г =(у')0;(ж0)г =(ж')0, (2.6)

где индекс ' означает разложение по внутренней координате (2.1), а “0” - по внешней координате г.

Записав условие сращивания (2.6) и приравняв члены одного порядка к, получим шесть уравнений относительно шести неизвестных функций, решением которых получим внутреннее разложение.

Далее, используя процедуру сращивания [1], можно получить составное равномерно пригодное для всего стержня решение. Однако составное решение может быть не единственным. Отличаться решения могут в зоне сращивания. Выбор определенным образом константы п, введенной во внутреннюю переменную (2.1), дает возможность определить составное разложение единственным образом.

Логично использовать для этого принцип минимума потенциальной энергии деформации стержня [2]

ЭЭ/ дп = 0, (2.7)

I 1 3

где Э = |Ц— ^Г у£г ]3аё1 - потенциальная

0 а 2 г , у=1

энергия деформации стержня; еу - составляющие тензора деформаций.

Уравнение (2.7) однозначно определяет константу п, которая является характеристикой эффекта стеснения.

3. Решение

Пространственная задача свободного кручения сплошных слабоконических стержней произвольного поперечного сечения решена Д.Ю.Пановым [3] методом малого параметра. Поэтому используем это решение в качестве внешнего разложения.

Так же, как и в работе [3], будем рассматривать стержень, боковая поверхность которого определяется уравнением

/(х(1 - кг ) у(1 - кг ))= 0

Или / (£,)) = 0, если ввести вспомогательные переменные X = х(1 - кг) и ) = у(1 - кг). Третья вспомогательная переменная £ совпадает с осью г.

В качестве малого параметра используем величину относительного изменения поперечных размеров на единицу длины стержня, или относительное сужение стержня к. Будем считать в дальнейшем величину к настолько малой, что величиной к2 можно пренебрегать по сравнению с к в первой степени, если это специально не оговорено.

2

2

2

Запишем внутреннее разложение перемещений вида (2.7), учитывая в нем к второго порядка малости.

и1 = ки[( х, у, с) + к 2 и 2( х, у, с),

V' = ^(х, у, с) + к 2 V 2( х, у, с), (3.1)

ж' = кж1( х, у, с) + к 2 ж2( х, у, с).

Подставив в (3.1) компоненты перемещений (2.11) и (2.12), получим внутреннее разложение. Для определения шести неизвестных

функций

Ь,

^, Ъ2-.

необходимо ис-

пользовать условия сращивания (2.6). Для этого приравняем внутреннее разложение (3.1), выраженное через внешнюю переменную 2, и внешнее разложение [3] по внутренней переменной с (2.5)

а

с

с

2

аі(х, у)(і - е п)+1 а^х, у)(і - е п)2 -11 +т у) (і - е п)2 + ка 2(х, у)(і - е п )= - ту(і - е п)+ кіР^х, у),

2 2 пт ах п

М х, у)(і - е-пг)+ 2 М х, у)(і - е-пг )2 - | ^у) (і - е-пг )2 ++кЬ2( х, у)(і - е-пг ) =

2 2 пт Эу

(3.2)

= — тх(і-е ж)+ ктР2(х,у),

с1(ху)(і-е~ш)+ 1с1(x,у)(і-е~ш )2 -- (1"Ьт ) ("^у) + ^у)^(і-е~Ш )2 + кс2(x,у)(і-е~ш) = ^Ф(ху),

2 2 п(1 + 2т) V Эх Эу )

где т - относительное закручивание стержня на единицу длины;

Р1 (х, у) = у(х 2 + у 2 )+ хФ(х, у) - (1 - 2п) | Фёх + к1 (у)

р2(x, у) = -2х(х2 + у2)+ x,у)-(1 -Цу+ 1„Лх)

Ф(х, у) - функция кручения.

Функции у) и ^2 (х) подбираются из условия

Э Гх

эу

Л Э г у + —

Эх

| Ф( х, у)йх + ^( у) +— | Ф( х, у)йу + ^( х)

= 0

(3.3)

Будем считать, что в переходной зоне, где происходит сращивание (1 + е~пг )@ 1. Тогда равенства (3.2) можно переписать в виде

3 а1(х, у) -1у) + /аДх, у) =-+кр(х, у),

2 2 пт Эх п

3 Ь1(х, у) -1 + кЬ (х, у)=-1іх+кТ>(х, у),

2 2 пт Эу п

2 с.< х, у) - \ піт (^ ) + кС2(х,. у) =

= ТФ(х, у)

Приравняв члены с одинаковыми степенями к, найдем неизвестные функции

2 1 1 1 + и Эс,(х, у)

а\ (х,у) = ---у + -----------^ ^ ;

3 п 3 пи Эх а2 (х, у) = У (х, у);

Ъ,( х, У) =-^ + 3 ;

3 п 3 п ду

Ъ2( х, у) = тР2( х, у)

С2 (х, у) = 0.

Для определения С1(х, у) имеем уравне-

ние

3 1 (і+т)2 [ э 2 с1 + э 2 с1 ^

с1---------------

2

6 п т (і+2т )

+

2

= ТФ( х, у)

V Эх2 Эу2 ,

_ Э 2Ф Э2 Ф

У читывая, что —— +--------— , находим

ёх2 ёу

2

2

с1 = ~УФ и соответственно получаем

2 1 2 1 + и Эф

а1 = ---у + -у---------т-;

3 п 9 пи Эх

2 1 2 1 + и ЭФ

Ъ1 =-----ух + —у---------.

3 п 9 пи Эу

Составное решение, удовлетворяющее поставленной задаче на всем отрезке [0, I], будет определяться следующим образом [4]

и = и + и -

V = V + V - V

(и' )0,

■УГ-

0 , г ( г )0

Ж = Ж + ж - ж J .

Подставив разложения перемещений в (3.4), получим равномерно пригодное решение задачи с точностью до к2.

и = -туг +

3п

у +

21 + т эф

3 т Эх

+

+ 2ктуг 2 + кр (1 - е п2)

(3.5)

V = -тхг +-----------

3п

,2

х -

2і+т эф

3 т Эу

(1 - е > ■

2кх2 + ктР2 (1 - е пг)

(3.4)

ж = |уф(1 - е пг)+1 уф(1 - е пг)2 + куР3(х,у),

ЭФ ЭФ

где Р3 (х, у) = -2Ф( х, у) - х -у —,

Эх Эу

Используя известные формулы линейной теории упругости, найдем напряжения, соответствующие полученной системе перемещений (3.5)

01 =

4 Я+£^.Э^(1-е-« )е-« + 2 іт?ф(2 - е-« )е~п + 2кт«(—-у1(1-е)-кіРх— + у — 1е~пг - 2к1тФе 9 п Эх2 1 ^ 3 1 ^ ^ V Эх V ' \ Эх ' Эу)

(1 - е~т )е~т + ктт ^Эф+х|

012 = -(1 - е~пж

9 п ЭхЭу

ГҐ^ ЭФ | і

+ х'х + \ ~Эх ~ у) у

022 = 41+тТЭ^ф(1 -е~пг )е~пг + 21рф(2-е~пг )е-пг + 2ктт{—+ х1(1-е~п)-кірх— + у —)е~пг -2к1тФе

9 п Эу2 3 V Эу ) V Эх Эу )

023 =тр1 - е ~пг)+ 33 ттЭф(1 - е ~пг)+ 3 тт-Эф(1 - е ~пг )2 + 33 тр2 - е ~пг )е ~пг +

+ — (1 + т)т-—(2е п - 1)е п + кттР2е п - 3ктт|.Эф + х| - ктт

9 эу V эу )

Г Э2Ф Э2Ф і

х^г + у

ЭхЭу Эу 2

- кттхі,

(1 + 2т)даф(2 - е_пг е_пг - 2ктрх+ у Э—) - 2ктт— + 2к1тФ2у(1 - е~пг )-

033 3

0 і ЭФ ЭФ | -т

- кЯт\ х---------+ у 1е .

Эх Эу

Условие (2.7) дает возможность однозначно определить константу п.

Таким образом, выражениями (3.5) и (3.6) полностью определяется решение задачи стесненного кручения стержня заданной геометрии.

ПРИЗМАТИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ

Полученные решения (3.5) и (3.6) показывают, что при стесненном кручении стержней малой конусности все напряжения и перемещения отличны от нуля. Рассмотрим теперь предельный случай перехода слабоконического стержня в призматический. То есть устремим в решениях (3.5) и (3.6) параметр к к нулю.

Тогда получим для призматических стержней перемещения и напряжения в виде:

1 Г 2 1 + тЭФ

и = -туг +--т\ у--------------

3п V 3 т Эх

1 Г 21+тЭФ

V = -тхг----т\ х--------------

3п V 3 т Эу

w = - т—1 - е)+ 1 тф(1 - е-п- )2

2

3 ' ' 3

Получаем, что и призматический стержень в зоне стеснения имеет сложное напряженное состояние. А на удалении от этой зоны е~пг стремится к нулю и выражения (3.7) и

(3.8) дают решение Сен-Венана.

т

-пг

2

Г = |у^фф (1 - е - е + 2 1уф(2 - е -пг )е -

9 п Эх2 3

4 1 +и Э 2Ф Г12 = -----~у

9 п дхду

(1 - е -■= \ -

Г22 = -

4 Я+иуд^Ф_(1 -ее-« + 2 1^пф(2-е-пг)е 9 п ^-2 У ^ ^ У Г

ЭУ

Г13 = -иУ(1 -е_пг)+ 2иу^ЭФ(1 -е_пг)+ 3иу^ЭФ(1 -е_пг)2 -2и^У(2-е_пг)г"

Эх

дх

+ 2(Л + и)удФ (2е"« - 1)е-пг,

Г23 =и^х(1 - е _пг)+ 2 иу ^ЭФ(1 - е ~пг)+1 иу^фф (1 - е ~пг )2 + 2 и^х(2 - е ~пг )е ~пг +

ЭУ

+ 2(1 + и)У—(2е-пг - 1)е-9 Эу л

2

^33 —

33 3

(1 + 2и)^пф(2 - е ~пг ) _пг.

(3.8)

Если рассмотреть закрепленное сечение 2=0, то получим, что здесь нормальные напряжения могут даже превышать касательные, а касательное напряжение г12 , как и следовало ожидать, равно нулю. Причем, наибольшим из нормальных напряжений будет продольное напряжение Г33 , так как

Г

33

Г

Г

22

= 1 + 2 ии

1

Например, при коэффициенте Пуассона п=1/3 продольное нормальное напряжение Г33 будет в два раза больше поперечных.

СТЕРЖНИ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

Рассмотрим подробнее решение задачи для некоторых конкретных областей поперечного сечения О

Пусть область О представляет собой эллипс с полуосями а и в в сечении 2=0 и определяется уравнением

/х,)>=4+)-1,

а2 Ъ

где Х = X (1 - К2), ) = У (1 - К2).

Функция кручения для данной области, как известно, имеет вид

ф(Х,))=С)Х,

где С = -(а 2 - Ъ 2 )/(а 2 + Ъ 2 )

А относительный угол закручивания стержня на единицу длины равен

у =

М2 (а 2 + Ъ 2) пиа 3Ъ3

Функции и Н2(£) выберем из условия

(3.3), раскрывая которое, получим

1 ^, с-2 2\ Э*1 ЭН2

-С(Х2 +)2) + ^ + ^ = 0.

2 Э) ЭХ

Отсюда Н1 =-1 С)3, Н2 =-1 С£3, или отбра-6 6

сывая члены, содержащие К в квадрате и в более высоких степенях; получаем

Н1 =1 Су 3(1 - 3К2), Н2 =-1 Сх3 (1 - 3К2). 66

Используя формулы (3.5), запишем выражения для перемещений

и = -уу2(1 - 2К2)+— уу{\ + 21+и С 1(1 - е-п*2 Уп2 + 3п ^ 3 и у

3 У2 Л - е-"2 )-

+ КУСу

х2 -1 — V II х2 —

-2 Куу(х2 + у2 )-(1 - е~п2)

(3.9)

3п

и = у2(1 - 2К2)^:1 у 1 -21+иС Ц-е~п2У

3 и

п2

+ КУх

+1 Кус(х2 + у2 )-(1 - е п2),

О = 2тСху{1 - е~п2)+1^Сху(1 - е~п2 ) -

- 4КтСхуг.

Для напряжений из формул (3.9) получим:

+

11

+

аи = 21пУ0ху(2 - е-п2 )е _п2 + 2КиУху(С-1)(1 - е _п2)- 4К1тСхуе ~ г12 = —1 + и У1 -е~п2 )~п2 + Кит[(С + 1)х2 +(С-1)у2]1 -е~п2)

9п

иу(1-е-п)+33 иУу(1- е"”г)+:3и^Су(1 - е~п )2 - -3 ) - е-п ]е~п2 + 9 (Л+и)уc(2e-”г -1^

- 4ку.уп(С -1) + китпСу

х2-'2Ч х2 -3У2

е ж -—к/иуу(х2 + у2 )е

Уху (2 - е _пг )г ~т + 2киУу(С +1)(1 - е “”2)- 4к11Сху<

3

(3.10)

Г22 = _ '

Г23 = и)х(1 - е~ш)+ 2 иСх(1 - е~пг)+ - иСх(1 - е)2 + 2/пух^ - е~п2 )~пг + — (Л + и)Уx(2e-1)2"

- 4кутх2 • (С +1)+ китпСх

+1 китпх(х2 + у2 )е

(1 + 2и)тСху(2 - е_пг )е_пг - 2К)1Схуе~пг + 2кУССу[п(1 - е~ш )-1]-8кууСсу.

Для нахождения коэффициента п запишем уравнение (2.14)

п 444 а 2 Ъ 2 С 21 2 + 2 I +

81 (и

2

+п2\а2

3 (с+1)(2^1 - б2 )-81 В2 -118 В2

(С-1)(2А1 + А3) + 3 АА3 + 2 А2 + -4 А32

16Ъ2 (С -1)(4 А1 + А2 )-

+ пК- - ^ 41+1) а 2 (С +1)+]

27 (и У + Ъ 2 (С -1)

- — I ^ +11 С2 = 0, 27 ( и

(3.11)

где

4=-И С -1 - 21с;

1 9 3 9 и

Л = 1 (С - 1) + пС;

7

А3 =-С + - + - — С;

3 9 3 9 и

В1 = 4С + 21 ^ + 1)С-1; 1 3 (и у

В2 = С + -1 ^ +1 |С - 2.

3 (и

Разрешить уравнение (3.11) относительно п не представляет труда. Решению задачи удовлетворяет только действительный положительный корень.

Параметр п является важной характеристикой эффекта стеснения, обуславливающей не только величину зоны распространения краевого эффекта от стеснения, но и интенсивность и характер изменения напряжений в этой зоне. Кроме того, параметр п дает возможность проводить качественный анализ напряженно-деформированного состояния мате-

риала в области влияния эффекта стеснения от геометрических размеров стержня, характеристик материала. Так, исходя из уравнения (3.11), можно заключить, что п, а следовательно и эффект стеснения, в случае призматического стержня не зависит от его длины, подтверждая тем самым гипотезу Сен-Венана. Конусность же имеет некоторое, но не сильное, влияние на параметр п. Это хорошо видно на графике зависимости безразмерного коэффициента п*=п*а от безразмерного же параметра конусности к*=к*1, при Ъ/а=0.5 (рис.1). Эта зависимость имеет практически линейный вид при любом значении коэффициента Пуассона. Небольшое увеличение п с возрастанием конусности стержня и обуславливает некоторое уменьшение зоны стеснения. Уменьшение же нормального напряжения а33 в стесненном сечении 2=0 с увеличением конусности подтверждает вывод Е.П.Гроссмана [5] о том, что эффект стеснения и эффект конусности создают при кручении нормальные напряжения разных знаков.

2

2

е

+

Зависимости безразмерного коэффициента п* от отношения полуосей эллипса при кручении призматического стержня, дают возможность сделать некоторые качественные выводы: во-первых, коэффициент п* имеет минимальное значение при Ъ/а=0.85-0.9, т.е. стержни с таким соотношением полуосей имеют наибольшую зону распространения краевого эффекта от стеснения; во-вторых, с увеличением коэффициента Пуассона зона краевого эффекта, в связи с возрастанием п*, уменьшается, а нормальные напряжения несколько возрастают; в-третьих, у круглого стержня (Ъ/а^-1) и очень тонкой пластинки (Ъ/а^-0), как и следовало ожидать, эффект стеснения исчезает, т.к. коэффициент п *^-<х>.

Сравнение графиков распределения нормального безразмерного напряжения

о33 *= а33*а31М2

вдоль линии АВ призматического стержня эллиптического сечения при следующих расчетных данных:

у=0.32, Ъ/а=0.5, а/Ъ=0.25, х/а=0.75, у/а=-0.33 (рис. 2) показывает, что о33 имеет одинаковый характер поведения во всех трех сравниваемых решениях. Расхождение наблюдается в численных значениях и достигает между представленным в работе решением и решением Н.В.Зволинского [6] в стесненном сечении 25%. С результатами А.Феппля [2] различие значительно меньше.

Решения Н.В.Зволинского, А.Феппля и

С.П.Тимошенко [7] не удовлетворяют всем уравнениям статической теории упругости. В первом решении не удовлетворяются точно уравнения равновесия, а в других двух решениях не выполняются условия совместности деформаций, т.е. они являются приближенными решениями. Решение, представленное в данной работе, имеет более общий характер, т.к. оно справедливо для стержней произвольного поперечного сечения как призматических, так и имеющих отклонение от призма-тичности. Завышение же продольного нормального напряжения по сравнению с другими решениями объясняется возможно тем, что не полностью удовлетворяются граничные условия (2.2) на боковой поверхности стержня вблизи стесненного сечения 2=0.

На рис.3 даны сравнительные графики распределения безразмерных нормальных и касательных напряжений а* = а у • а3 / М г

вдоль оси 2 при кручении призматического эллиптического стержня. Расчетные данные прежние. Нормальное поперечное напряжение а**2 будет равно а*, т.к. стержень имеет постоянное по длине сечение.

Важным в практическом плане является предельный случай вырождения эллипса в круг. Решение для круглого сечения можно получить, положив в (3.9) и (3.10) С=0.

решение (3.10) решение А.Фёппля

решение

Н.В.Зволинского

z/a

Рис. 2. Сравнительные графики распределения безразмерного продольного нормального

*

напряжения а33 при кручении эллиптического стержня

а

33

2/а

0,75

1,5

2,25

Рис. 3 Сравнительные графики распределения нормальных и касательных напряжений вдоль оси 2 при кручении эллиптического цилиндра

3

и = ~Т?2 + — ту(1 - в п )е п ,

3п (3.12)

V = Ж2 - — £х(1 - в~пг )в~пг ,

3п

ю =0,

& 11= & 22 = & 12 = & 3 3=0,

2

а =-ту+т??е п - - тту(2 - е п )е п,

23 (3.13)

а23 = и™ -т^е~ш + — 1лтх(2 - в~пг )е~ш.

Выражения (3.12) и (3.13) имеют зависимость от стеснения. Однако, как отмечалось раньше в случае круглого сечения п ® ¥, и, следовательно, выражения (3.12) и (3.13) превращаются в решение свободного кручения. Это полностью подтверждается на практике.

Таким образом, так как для многих видов поперечных сечений функция кручения Ф(£,ц) известна, то, следовательно, для них также несложно записать выражения для перемещений и напряжений при стесненном кручении.

Представленное решение позволяет оценить уровень всех напряжений и деформаций,

в зависимости от формы сечения и упругих характеристик материала. Так как получено решение упругой задачи, то записав аналогично решения для других нагрузок и применив принцип суперпозиции, получим решение для реального случая нагружения.

Литература

1. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.- М.: Мир, 1967. -310с.

2. Феппль А., Феппль Л. Сила и деформация. Т.2. - М.; Л.:ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 408с.

3. Панов Д.Ю. О кручении стержней, близких к призматическим// Докл. АН СССР.- 1939. Т.20,№4.- С.251-254.

4. Найфе А.Х. Введение в методы возмущений.-М.:Мир, 1984.-536с.

5. Гроссман Е.П. Расчёт на прочность лонжеронных крыльев// Труды ЦАГИ.- 1947.- Вып.628.-77с.

6. Зволинский Н.В. Приближённое решение задачи кручения упругого цилиндрического бруса с одним неизменяемым сечением// Изв. АН СССР, ОТН. 1939.- №8. -С.91-100.

7. Тимошенко С.П. Теория упругости. - М.; Л.: Гостех-издат,1934. - 451.

Воронежский государственный технический университет

THE PERTURBATION METHOD IN THE PROBLEM OF CONSTRAINED TORSION

OF THE WING

V.I. Korolkov

In the three-dimensional formulation to solving the problem of determining theelastic stress-strain state of solid clamped rod of arbitrary cross section loaded byconcentrated torque at the free end.

Keywords: displacement, strain, stress, constrained by section.