CC BY
50
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том VI 1975 '
мз
УДК 629.735.33.015.4
МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ ОТКРЫТОГО ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ ПРИ КРУЧЕНИИ
Ю. И. Иванов
Получено приближенное выражение для матрицы жесткости элемента тонкостенного стержня с открытым профилем при кручении, основанное на линейной аппроксимации бимомента по длине элемента. В тех случаях, когда жесткостью чистого кручения можно пренебречь, полученное выражение в рамках теории В. 3. Власова является точным. Показано, что для свойственных авиационным конструкциям соотношений между изгибно-крутильной жесткостью и жесткостью чистого кручения, погрешности расчета по приближенной формуле оказываются пренебрежимо малыми. На примерах иллюстрируется возможность использования полученных результатов в методе конечного элемента и некоторые особенности его применения к расчету стержней на кручение.
1. При кручении тонкостенного стержня открытого профиля нормальные напряжения и постоянные по толщине стенки касательные напряжения определяются в главных обобщенных координатах по формулам (см. [1])
0(2. я) = ^-■»(«), т(г, «) = — ^^5ю(5), (1)
'<0 и/а> ,
где В (г) = | ашс?/7 — бимомент; 1т = | со2 йР — секториальный момент
инерции; о>($) — секториальная площадь, определяющая характер депланации поперечного сечения; //й=|х8с?ш — крутящий момент;
р
•5« ($) = | 0)8^5 — секториальный статический момент; 8 (х) —толщина стенки.
Между бимоментом В и крутящим моментом Яш существует зависимость
£-//.. (2)
Наряду с изгибно-крутильной деформацией тонкостенный стержень испытывает также деформацию чистого кручения (по Сен-Венану),
Возникающие при этом касательные напряжения, переменные по толщине стенки, приводятся в поперечном сечении к крутящему моменту Нк. Суммарный крутящий момент в поперечном сечении
н = нш + нк.
Для правила знаков, принятого в работе [1], положительной единичной депланации (на которой положительный бимомент совершает положительную работу) соответствует мера депланации
0'= — 1. В дальнейшем в качестве меры депланации вводится обобщенное перемещение
ф = — 9'.
Положительные направления внутренних обобщенных усилий и соответствующих им обобщенных перемещений показаны на фиг. 1, а.
2. Рассматривается конечный элемент в виде тонкостенного цилиндрического стержня открытого профиля длиной I с постоянными по длине геометрическими и жесткостными характеристиками. Стержень ограничен сечениями sat (фиг. 1, б). Ось z является осью стержня. Принимаются следующие упрощающие допущения статического характера:
1) внешние (по отношению к элементу) силы приложены лишь в концевых сечениях в виде обобщенных сил Hs, Bs, Ht и Bt. Положительные направления этих сил показаны на фиг. 1, б. В этом случае
Н = /У» -f- Нк = const (3)
Я-Я,= -Я,; (4)
2) бимомент В изменяется по длине элемента по линейному закону
B(z) = — Bs + Haz. (5)
Из сопоставления (5) и (2) и с учетом (3) получаем, что в пределах элемента
Яш = const, Як = const. (6)
Выражениями (5) и (6) дается некоторая аппроксимация напряженного состояния тонкостенного стержня.
Обобщенным внешним силам соответствуют обобщенные перемещения 0^, 0* и <!>,. Перемещение 6 есть угол поворота сечения,
перемещение ф определено выше. Положительные направления обобщенных перемещений показаны на фиг. 1, б.
3. Матрицу жесткости элемента, устанавливающую связь между усилиями и перемещениями в концевых сечениях, получим, воспользовавшись принципом стационарности полной потенциальной энергии и аппроксимациями (5) и (6). Полную потенциальную энергию запишем в виде
Э = U— А, (7)
где U — энергия деформации, А — работа внешних сил на заданных перемещениях.
Поскольку деформация сдвига срединной поверхности стержня равна нулю, выражение для энергии деформации примет вид
U=lJ\§°'bdS}dz + -^. (8)
О “
Первое слагаемое в выражении (8) соответствует работе нормальных напряжений о, а второе — работе касательных напряжений чистого кручения. С учетом (1) и (5) после интегрирования и элементарных преобразований получим
и=2щв‘--^в‘н- + -^н1*ъкн1 (9>
Работу внешних сил в общем случае деформации элемента запишем как
или с учетом (4) — (6)
А = (0, - 0, + Ь1) Н* + (0, - в,) Нк + (ф4 - ф,) Bs. (10)
Заметим, что энергия деформации (9) и работа внешних сил (10) выражены через три обобщенные силы Bs, Нт и Як.
Рассмотрим единичное деформированное состояние 0*=1,
0, —= ф, = 0. Выражение (Ю) для этого состояния принимает вид
А = -Нт-Нк. (11)
Подставляя (9) и (11) в (7) и приравнивая нулю частные производи ные дЭ/дВ£, дЭ¡дНю и дЭ)дНк, получим систему уравнений
I
Р 2 Е1,
р>_______________
3 2 Е1
Р
* ____________
01а п« -
3£/ш
-1,
Я„ = 0; //•----------1;
решением которой будет
6 £/
(О
/3 >
А
пш=--
12 £/,„
/3
Як
с?/,.
В соответствии с этим решением и с учетом (4) и (5) получим следующие выражения для усилий в концевых сечениях элемента:
Нш
Нг
МЕГ
р 12 Е1, ' ~~Р~
+
01а .
01,
5,=
6 Е1Ю Р 6 Е1Ш
Р
(12)
Усилия (12) образуют столбец матрицы жесткости элемента стержня, соответствующий перемещению 0^=1.
Поступая аналогичным образом для других единичных деформированных состояний, определим три остальных столбца матрицы жесткости элемента. В итоге получим уравнения равновесия элемента в виде ‘
Я, (а + с) — Ь | — (а + с) | - Ь
В, — Ь | 2 й; Ь | а
-(а + с) | Ъ \ (а + с) \ ь
В< — Ь ; й 1 ъ 1 24
I
(13)
где величины а, Ь, с, (I, входящие в элементы матрицы жесткости, имеют вид
а =
й =
12 Е1т Р 2 ЕГ
Ь =
б£/ш
Р
ОГд I '
(14)
Коэффициентами а, Ь и й описывается изгибно-крутильная жесткость стержня, коэффициентом с — жесткость чистого кручения. Матрица жесткости в выражении (13) допускает такую запись:
К = к» +Кк =
а - Ь — а — Ь с 0 — с 0
— Ъ 2 й Ь й + 0 0 0 0
— а Ь а Ь — с 0 с 0
— Ь й Ь 2й 0 0 0 0
(15)
т. е. жесткость стержня равна сумме изгибно-крутильной жесткости и жесткости чистого кручения, определенных независимо друг от друга. Это свойство является следствием допущений (5) и (6).
Матрица изгибно-крутильной жесткости Кш совпадает с матрицей жесткости, полученной в работе [2] из дифференциального уравнения изгибного кручения при 6/^ = 0. В той же работе дается точное выражение матрицы жесткости для случая й1аф0, которое получено на’ основании соотношений метода начальных параметров [1]. Матрица (15), являясь приближенной, отличается от точной матрицы, приведенной в работе [2], однако ниже будет показано, что по крайней мере для значений коэффициента к — 1 У 01 ¿¡Е1Ш<1, свойственных тонкостенным авиационным конструкциям, погрешности расчета при использовании матрицы (15)являются пренебрежимо малыми. С другой стороны, выражения для коэффициентов матрицы (15) являются намного более простыми, чем в случае точной матрицы. Эти обстоятельства указывают на целесообразность использования матрицы (15) в практических расчетах.
Внутренние усилия в элементе на основании (13) и с учетом (4) и (5) определяются по формулам
Н = (а-\-с)( 0, 0^) + М'Ы- ФЛ. I
В(г) = (Ь — ог)(0,- в,) + (*« —2</)ф4 + (&г — й)% I
причем
Нт = а (в, — 0,) + Ь (ф, + ф,),
#к = с(е,-0,).
4. Точность решений, получаемых с помощью матрицы (15), оценим на двух характерных примерах.
Пример 1. Концевые сечения стержня свободны от бимоментов. Условия на концах имеют вид:
В3 = 0, 0,5 = 0 при 2 = 0;
В( = 0, Н3 = Н при г — 1.
С учетом этого из (13) получаем следующую систему уравнений:
2 4- ЬЬ( -{- — 0;
+ (а + с)Ьг+- = 77;
+ ЬЬ( + 2 й$( = 0.
Решая ее и используя соотношения (12) и (16), найдем
ВМ-О.
Полученное решение совпадает с точным (см. [1]) и показывает, что в стержне реализуется состояние чистого кручения. Таким образом, использование матрицы (15) дает точное решение в, тех случаях, когда отсутствует стеснение депланации поперечных сечений.
Пример 2. Концевые сечения стержня остаются плоскими. Условия на концах имеют вид:
Ф, = 0,. 0, = О при 2 = 0;
<1^ = 0, Н = Н при 2 = 1.
Единственное неизвестное перемещение 6, найдем из третьего уравнения системы (13), которое в данном случае запишем как
Н = (а 4- с) 0,.
Из этого уравнения и на основании (16) получим
Из последнего выражения видно, что функция В (г) является кососимметричной относительно точки 2 = //2. Точность полученного решения оценим по величинам угла поворота и бимомента. В сечении t при 2 = / с учетом (14) найдем
Точные значения этих величин равны (см. [1])
Рассматривая случай, когда оценим величины отношений
Воспользовавшись разложениями функций с\\1г к в ряды
по £ и удерживая члены до порядка к2 включительно, найдем
Как видно, и в данном предельном случае, для которого характерно полное стеснение депланаций по концам стержня, погрешности расчета являются чрезвычайно малыми.
5. Применение метода конечного элемента к расчету стержней на кручение с использованием полученной выше матрицы жесткости элементов рассмотрим на примере, изображенном на фиг. 2, а и б. Геометрические и жесткостные характеристики стержня следующие: /«> = 0,218-10—3 м6, /к = 0,169-10~4 м4, 1 = 6 м, Е =
= 0,2-109 кН/м2, (? = 0,8-108 кН/м2. В сечении 2 = 0,2 I приложен сосредоточенный крутящий момент Н— 1 кН-м, на участке 0,2/-< -<2:<0,6/ действует распределенный крутящий момент к=1 кН, в сечении 2=0,81 приложен сосредоточенный бимомент В = 1 кН-м2. В сечении 2 = 0 условия закрепления следующие: 0 = 0, <|> = 0. Эти условия остаются неизменными. В сечении г = / рассматриваются три варианта граничных условий:
Н = 0, В = 0 (сечение свободно);
0 = 0, В = 0; 0 = 0, ф = 0.
На фиг. 2, б показан основной вариант принятой дискретной модели стержня с указанием номеров узлов и нагрузки в узлах. Решение данного примера выполнено на ЭЦВМ с помощью универсальной программы расчета стержней на кручение. Результаты расчета представлены на фиг. 3.
Варианты расчленения участка 0,2 1<г< Варианты граничных условий на конце г»
<0,6/: --------Дг = 0,025 —-----точ- = I: --- свободный;----------8 = 0, В “ 0;
ное решение —.— 9 = 0, ф — 0,
Фиг. 4 Фиг. 3
Процедура приведения распределенной нагрузки к сосредоточенным усилиям в узлах приводит к погрешностям, величина которых зависит от выбранного шага между узлами той части стержня, где приложена распределенная нагрузка. Для выяснения величин и характера этих погрешностей рассмотренный выше стержень с граничными условиями 6 = 0 и 5 = 0 при 2 = / дополнительно рассчитан при следующих значениях шага на интервале 0,2/•<£<; -<0,6/: Дг = 0,1/, 0,05/ и 0,025/ (обозначим полученные при этом дискретные модели соответственно номерами / = 2, 3 и 4. Решение, показанное на фиг. 3, соответствует шагу Дг = 0,2/ (/=1). По мере уменьшения шага решение монотонно сходится, а в случае Дг = = 0,025/, можно считать, что сходимость практически достигнута.
Углы поворота и депланации
j 10* .0(4) 0d) 0(4) 0(2) 0(4) 0(3) 0<4> 4,(2) 4/3) ■^r
2 0,425 0,971 0.993 0,998 —0,544 0,964 0,991 0,998
3 0,998 0,973 0,994 0,999 —0,336 0.988 0,997 0,999
4 1,127 0,982 0,996 0,997 0,133 0,888 0,974 0,995
5 0,704 0,989 0,997 1,0 0,555 0,985 0,997 0,999
6 — - — — 0,602 0,991 0,998 1.0
Таблица 2 Бимоменты В
Таблица 3 Крутящие моменты Н
j ß(4) [kH«m2] ß(i) ß<4) ß(2) BW Bm ß( 4)
1 —3,768 0,979 0,995 0,999
2 -0,183 0,650 0,918 0,984
3 1,461 1,035 1,008 1,001
4 1,725 1,020 1,005 1,001
5 (слева) 1,344 1,012 1,003 1.0
J H<4> ffi 2) Д<3)
[kH-m] tf<4> У/4» //4)
1 3.035 0,995 0,999 1.0
6 —0,365 1,036 1,011 1,003
В табл. 1—3 приводятся значения искомых величин, полученные для Дг = 0,025/ (г = 4), и даны величины отношений вида 0<*>/0(4) для ¿=1, 2, 3. Из этих данных следует, что расчленение участка с распределенной нагрузкой на четыре элемента (¿ = 2) позволяет получить результаты, отличие которых от более точных (/ = 3, 4) составляет примерно 1%.
На фиг. 4 показаны графики крутящего момента на участке, где приложен внешний распределенный момент. Как видно, значение, вычисляемое для конечного элемента, можно рассматривать в качестве действительного значения крутящего момента в средней точке элемента. Если пользоваться этим правилом, то действительное распределение крутящего момента на рассматриваемом участке можно получить, расчленив этот участок всего на два элемента.
ЛИТЕРАТУРА
1. В л а с о в В. 3. Тонкостенные упругие стержни. М., Физмат-гиз, 1959.
2. Argyrls J. H., Radaj D. Steifigkeitsmatrizen dünnwandiger Stäbe und Stabsysteme, Ing.-Arch., 40, N 3, 1971.
Рукопись поступила 261HI 1974 г.
