CC BY
109
УДК 519.6:539.3 Дата подачи статьи: 10.09.2013
моделирование задач „ динамики тонкостенной стержневой системы
С.А. Чернов, к.т.н., преподаватель (Ульяновский государственный технический университет, ул. Северный Венец, 32, г. Ульяновск, 432027, Россия, 727122@ma^l.ru)
Рассматриваются изгибно-крутильные колебания тонкостенного стержня открытого профиля с одной осью симметрии сечения. При решении задачи колебаний стержня рассматривается статическая задача с добавлением сил инерции масс, то есть используется принцип Даламбера. Масса и жесткость стержня принимаются постоянными. На основе энергетических соотношений при определении перемещений получены матрицы масс в явном виде тонкостенных стержневых конечных элементов, работающих на изгиб и кручение, и пространственного конечного элемента. Выполнены сравнительные расчеты на свободные и вынужденные колебания П-образной плоско-пространственной рамы, образованной стержнями из прокатных швеллера и двутавра. В модели рамы использовались балочные конечные элементы и тонкостенные стержневые, то есть при изгибной форме колебаний без учета инерции кручения стержней и при изгибно-крутильной форме соответственно. Приведены значения низших частот и соответствующих мод из плоскости рам в узлах ригеля при свободных колебаниях, а также максимальных нормальных напряжений в сечениях профилей у заделки рам. Подход к моделированию тонкостенной плоско-пространственной стержневой системы реализован в целевых программах для ЭВМ.
Ключевые слова: тонкостенный стержень, изгибно-крутильные колебания, матрицы жесткости и масс, свободные и вынужденные колебания, программа для ЭВМ.
MODELING DYNAMIC PROBLEMS OF THIN-WALLED FRAMEWORK
Chernov S.A, Ph.D. (Engineering), Lecturer (Ulyanovsk State Technical University, Severny Venets St. 32, Ulyanovsk, 432027, Russian Federation, 727122@mail.ru)
Received 10.09.2013
Аbstract. The article describes the flexural and torsional vibrations of an open profile thin-walled rod with one cross section symmetry axis. When solving the rod vibrations problem the static task is considered with the addition of inertia forces, i.e. using the principle of Dalembert. The weight and stiffness of the rod are accepted as constant. Based on energy relatios the mass matrices are obtained in the explicit form of thin-walled rod finite elements that are in bending and torsion, and also a spatial finite element. The article shows comparative calculations on free and forced vibrations of П-shaped frame that is formed of rolled channel and double tee. The frame model uses beam finite and thin-walled rod elements, i.e., the flexural form of vibrations without considering torsional inertia of the rods and the torsional vibrations form respectively. There are values of the lower frequencies and corresponding modes from frames plane in the beam-column joint with free vibrations, as well as the maximum normal stresses in the profilecross-sections. The method of modeling is implemented in applications computer programs.
Keywords: thin-walled rod, flexural and torsional vibrations, stiffness matrices, masses matrices, free and forced vibrations, computer program.
При решении задач динамики упругих стержневых систем, образованных из стержней сплошного сечения (брус), применяется гипотеза плоских сечений: сечение до и после деформации остается плоским. В матрицах масс балочных конечных элементов (КЭ), используемых в конечно-элементных моделях стержневых систем, инерция кручения стержня обычно не учитывается [1, 2]. В реальных конструкциях стержневых систем, как правило, используются стержни открытого профиля призматической формы: большинство прокатных профилей, а также составных и гнутых профилей, то есть используются тонкостенные стержни. В отличие от обычных стержней сечения тонкостенного стержня при его деформации не остаются плоскими, что исключает возможность использования при расчете тонкостенных стержней гипотезы плоских сечений. В соответствии с теорией тонкостенных стержней В.З. Власова при кручении тонкостенного стержня вследствие депланации ф 'х сечения перемещения в направлении продольной оси X стержня изменяются согласно закону секториальных координат (площадей). Это приводит к уравнению равновесия бимоментов в узле, справедливому только для
плоских рам, образованных из стержней с симметричным сечением и с узловыми соединениями, у которых депланация концов всех сходящихся стержней одна и та же.
В общем случае пространственные колебания тонкостенного стержня открытого профиля с не-деформируемым контуром поперечного сечения описываются следующими дифференциальными уравнениями:
Е7у 2 ""+рНг + р^а уфх = 0,
Е1;У''''+ рРу -р^а2 фх = 0, (1)
Е1а ф! ''- ф X + р^ а у 2 - р^ а 2 у + р^г 2ф, = 0,
где точками обозначено дифференцирование компонент вектора перемещений по времени; Е, G -модули упругости и сдвига материала; Зх, Зу, Л, Jm - момент инерции чистого кручения, осевые и секториальный моменты инерции сечения соответственно; р - плотность материала стержня; Е -площадь сечения; ау, аг - координаты центра изгиба (кручения) сечения; г2 - геометрическая характеристика сечения стержня, имеющая линейную
2 2 2 ^ У + ^2
размерность: г = ау + а2 +———.
Изгибная форма колебаний тонкостенного стержня становится невозможной: в каждое уравнение входят линейные перемещения г, у и углы закручивания фх сечения, то есть система дифференциальных уравнений характеризует взаимодействие изгиба в двух плоскостях и кручения вокруг оси стержня, и в общем случае обе формы зависят друг от друга.
В работе [3] рассмотрена задача пространственных колебаний тонкостенного стержня, при решении которой используют принцип Даламбе-ра, то есть рассматривается статическая задача с добавлением сил инерции масс. Масса и жесткость стержня по длине принимаются постоянными. Приведена модель матрицы порядка 12 масс (продольные перемещения пренебрегаются), состоящая из восьмеричных чисел, каждому из которых соответствует инерционный коэффициент.
Рассмотрим тонкостенный стержневой КЭ с одной осью У симметрии сечения, который включает кручение стержня вокруг продольной оси X и изгиб в плоскости Х-1. Эксцентриситет осей сечения КЭ по оси симметрии У и равен ау. Система уравнений (1) распадается на независимый изгиб в плоскости Х-У (1-е уравнение) и уравнения, характеризующие взаимодействие изгиба в плоскости X - 1 и кручение:
'Е1г у"+рРу = 0,
• Е1у 2 '''' + рП + р^а у фх = 0, (2)
Е/ИФХ''- + Р^а у 2 + р^г2 фх = 0.
В соответствии с работой [3] вариация потенциальной энергии деформации стержня равна работе его узловых сил {Рг} на возможных узловых перемещениях 8{1г}. Умножим уравнения (2), характеризующие изгибно-крутильные колебания, на Ъг, 5фх:
I
11( EJy 2""+рП + р ^ а у Фх ) 82 + (3)
0
+ ( ^ЛоФХ " СЗхф'х + р^ а у 2 + р^г 2ф Х) 8фх ] Сх = 0.
Интегрирование уравнения (3) по частям приводит к следующему выражению:
J [EJy z "S( z'') + EJ ф"х 8(фХ ) - GJx фХ§(фХ )]dx +
0
I
+J p[(z'Sz + Fr2 фх 8фх) + Jy z ' S( z ') +
(4)
+¿тФ х5(фХ ) + 2.Р а ^ фх ~]&с. = 0. Величины, характеризующие линейные w и угловые фх перемещения, должны удовлетворять граничным условиям в каждом узле тонкостенного стержня на сами переменные w, фх и на их производные , ф'х. Аналогичные условия в плоском изгибе, в связи с этим
w = {N}{Z w } = {N}[ w w2 w'
w2 ] ;
Фх = {N}{} = (N}[9i1 Фх2 ФХХ Ф:2 f , (5) где {N} - вектор функций формы поля перемещений в том же виде, что и при изгибе стержня.
Подставив выражения (5) в (4) и выполнив дифференцирование по каждой степени свободы, окончательно получим [ Kr ] {Zr} + [ Mr ] {Zr} = 0.
В отличие от [3] в матрице [Kr] жесткости тонкостенного стержневого КЭ, работающего на изгиб и кручение, использована секториальная жесткость EJa сечения, а не жесткость GJx при кручении:
[Kr ] =
12FJ,
I3 0 dj yi3 Симметрично
6EJ 7 I2 0 4 FJ , I
0 -aJ, yl2 0 bj yl
12EJ 0 6EJ 0 12FJ7
е i2 I3
0 -dJ 0 aj yl2 0
6EJ I2 0 2J i 0 6EJ, I2
0 - aj yl2 0 cj yl 0
dj 0
aj
4 FJ,,
FJ 0 BEJ^ yl
A =-
C =
k2 (chk -1) 2 - 2 chk + kshk'
k ( shk - k ) 2 - 2 chk + kshk
B =
D =
k (kchk - shk ) 2 - 2chk + kshk k3 shk
2 - 2chk + kshk
где k - изгибно-крутильная характеристика тонкостенного стержня: к = ' ^ - безразмерный
коэффициент искажаемости контура сечения стержня замкнутого профиля (ц=1 для сечения стержня открытого профиля).
Матрица жесткости пространственного тонкостенного стержневого КЭ приведена в работе [4].
Инерционные коэффициенты позволили сформировать в явной форме матрицу [Мг] масс тонкостенного стержневого КЭ, работающего на изгиб и кручение, в соответствии с приведенной выше принятой последовательностью и положительными направлениями узловых сил и перемещений: 131 35
-ак
[Mr ] = рF
K
Симметрично
Ill2 aK l
210 105
-aK. У 4 K -aK6 У 6 K
9l 70 -ак 1312 420 -arK 13l 35
K0 -«,K K -a,K K2
1312 420 -ayK12 1 140 -ayK 3 1112 210 2 i 105
_ aK K4 -oKb K 5 aK K6 -aK
■(6)
0
где K1-K16 - коэффициенты, учитывающие инерцию кручения КЭ:
К =
2£ X
shk (12 Л 7kshk , ,, (24 1 — -1 |+--(chk-1)1 — +-
k I к
20
к4 2
К - г 4 1 - — X
М -кshк + - 2^(скк-1) +| у -2 |sh2к
К =
21
6 к
shk I — + — I-(chк -1) I —- + —г +—
1 к 20 ] I к4 к2 12
12 1 1
212
К = — X
К = ^
X
„ 212
М Г3 _6¥12 _
Т12 _ "к7 Л "к4 _ "к7
(М-1) _ — (7М + 3)
( - 2 ) (скк -1) + ^к - к + 2скк)
X
г 21 К = ^ X
shк Г 5 Л 8 ^ ,,
.ТI к7-1]-14 -1) + ^
_..... Г±
4 У к2 20) 30
shk У_
т Л к2
1 + —||_— |(Скк-1)_.
■ ( 2 + -2 скк V *кк (12 +15 скк) + + 6
К =
212
X
212 X
г21
лй£ Л _ 12 ^ + 3kshk _ (chk _1) | _ 24
k 1 k3 Г 20 11 20 k4
К10 - 2 X
' shk ( 6 1) (12 1 V ,, ,, 1 ,„ ,, „ '
_ ТI к2 + 2 Н Р - к2 ]-1) + (^ - 7)
I2 5чкк (к2 ^
-2- - (скк - квкк + -2) (скк-1) + 1 у - 2 I $И2к
г 21
Ки = Г-± X
2-рП -1) + - -
- — -(скк-1)1 - ^^+—skk( 1 + 2 скк) 2к 2) XX 6Х
К12 -
*13 =
212 X 212 X
shk
34 - £)--«(12 -- Ь
shk 1 1 1 4 , „ л ^ сИк 1 1
-1 —т + — I—г (сЛк-1)--+—--
к I к2 121 к4 30 к2 20
г21
К14 = "Т
X
8 5^йк 1
.к2 2к 2
к ( ,, скк
— +-+- I(скк-1)-^А2к(4+к2)^Ак +-
2
К _ г 21 X
^^ - 2 —5 | (скк -1) - — скк + ■ к3 3 к2 1
+ ^^^ | 7 + сйк 1-1-5Й2к + —
к 12 ] I к2 6
К16 =
г 21
X
1 2 ^ 2 shk
- + — I (chk -1) +1 --
2 k2 ^ 4 ' k ( 8 5 shk 1 1 1 к |
-1^^ I-1)-+ sh2к(4+к2)
V к 2к 2 ^ х X 3x1
X = 2 + kskk - 2chk.
Используя матрицу (6), можно сформировать матрицу порядка 14 масс пространственного тонкостенного стержневого КЭ с эксцентриситетами
осей сечения ау и а2: [Мг ] = рЕ
Мп М'г1
М21 М22
где
мп =
Симметрично
131 35
0
1112 210
м,,
I 0
6
0 91
70
131 4
35
-ау к К
1112 210 ау К3 I3 105
0 аг К3 0 I3 105
-ау К4 К -ау К6 а К6 К7 г 6 7
С 0 0 00
М„
0 —
0
1312 "420
91 70 -О, К8 1312 420
0
ау К9
-ау К8
К,„
-ау К12
К
0
_ ^ 420
_ау К3 _
140 0
-а, К13
1312 420
0
0 "140
-а3, К9
К
-ау К13
0 131
35
0 0 131 35
0 а к -ау К К2
0 0 1112 210 ау К12 I3 105
0 ш2 210 0 -аг К12 0
0 к4 ау К4 К16 -ау К6
;Симметрично
105
Для сечения с двумя осями симметрии система уравнений (1) распадается на три независимых уравнения:
'Ыуг"" -к р + = 0,
.Е/ ИФГ" ^хФ"+р^г2 фх = 0, где первые два характеризуют изгибную форму колебаний в плоскостях Х-1 и Х-У соответственно, а третье - чисто крутильную форму колебаний. Решение задачи свободных колебаний тонкостенного стержня позволяет определить минимальную частоту из этих трех форм колебаний.
Решение задач динамики стержневой системы методом конечных элементов реализовано в специализированных программах, разработанных автором и зарегистрированных в Реестре программ
£
,"4
00
X
г 4
0
а К„
аи К9
а. К8
а. К3
К 9 =
аи К12
аи К13
аи К9
аи К13
0
3
г" 6
7
для ЭВМ (свид. №№ 2012619735 и 2012619736), ориентированных на решение частных, то есть объектно-ориентированных задач, что позволило построить эффективный вычислительный алгоритм при простоте и минимуме исходных данных.
Общая характеристика программ: ЭВМ - IBM PC-совместимый ПК; язык - Fortran; ОС - Windows; объем - 21,0 Кб и 25,4 Кб исходного текста соответственно.
Программы предназначены для вычисления частот и форм свободных колебаний и амплитудных значений напряженно-деформированного состояния при вынужденных колебаниях с использованием в конечно-элементной модели стержневой системы пространственных балочных и (или) тонкостенных стержневых КЭ. Данные программы обеспечивают выполнение следующих функций:
- расчет стержневой системы, образованной из стержней сплошного сечения и (или) тонкостенных стержней открытого или замкнутого профиля;
- расчет с распределенной массой КЭ и (или) с учетом сосредоточенных масс;
- учет произвольных шарниров в местной и (или) в общей системах координат.
Численная реализация задач динамики стержневой системы выполнена в стандартной конечно-элементной постановке [1, 4]. Предлагаемые программы имеют некоторые особенности реализации.
Минимум исходной информации и простота ее подготовки обеспечиваются одинаковым количеством степеней свободы в узлах модели стержневой системы. В связи с этим при совместном использовании балочных и тонкостенных стержневых КЭ в программах предусмотрена модификация матриц жесткости балочных КЭ: в матрицу жесткости вводятся фиктивные (недостающие 7-я и 14-я) степени свободы, соответствующие депла-нации сечения, путем присваивания нуля всем элементам матрицы соответствующей строки и столбца. При решении разрешающей системы уравнений выполняется проверка матрицы коэффициентов при неизвестных на наличие таких уравнений (0=0) по нулевым элементам на главной диагонали. Проще не исключать эти уравнения, а элементам главной диагонали присвоить числа, отличные от нуля. В результате решения системы уравнений соответствующие перемещения будут равны нулю.
Учет произвольных шарниров выполняется процедурой конденсации (редуцирования) как для матриц жесткости, так и для матриц масс. Для матриц масс данная процедура приближенная, но достаточно точная [4].
В отличие от [1] при анализе свободных колебаний используется следующий подход к формированию системы линейных уравнений вычисле-
ния характеристической матрицы [Н]: [ К* ][Н]= =[ М ° ], где [ К* ] - матрица коэффициентов системы уравнений равновесия; [ М ° ] - матрица свободных членов.
Решение системы уравнений обеспечивается не исключением зависимых уравнений в матрицах [К] и [М] жесткости и масс конструкции, соответствующих условиям кинематического закрепления задачи [1], а связями, накладываемыми на узловые перемещения. Этот способ заключается в том, что размер матриц [К] и [М] не изменяется, а сами матрицы модифицируются путем присваивания строкам и столбцам, соответствующим кинематическим закреплениям задачи, нулевых значений, а компоненту главной диагонали -единицы. В результате получим матрицы [ К* ], [ М ° ]. Нулевые строки характеристической матрицы [Н] не участвуют в итерационном процессе определения собственных значений, но это обстоятельство должно быть предусмотрено в соответствующей подпрограмме. Однако при исключении зависимых уравнений можно использовать практически все стандартные программы определения собственных значений.
В программах предусмотрено формирование матриц масс КЭ как с учетом инерции растяжения-сжатия, так и без учета, путем присваивания соответствующим элементам нулевых значений. Так, расчет балки с заделкой концов с учетом инерции растяжения-сжатия приводит к большим ошибкам округления вычислений, так как продольная жесткость стержня значительно больше изгибной.
Аналогично в матрице жесткости тонкостенного стержня жесткостные характеристики, соответствующие кручению, значительно больше изгиб-ных. Точность вычислений можно повысить, если решать разрешающую систему уравнений равновесия с двойной точностью. Предлагается алгоритм преобразования (развертывания) элементов матрицы из обычной точности в 4 байта в двойную в 8 байт, при котором обе матрицы с обычной FMG и двойной точностью DFMG совпадают. Преобразование выполняется с использованием файла прямого доступа внешней памяти ЭВМ и заключается в следующем.
В подпрограмме преобразования каждая запись во внешней памяти преобразуется в две записи, каждая из которых той же длины, но каждому элементу матрицы отводится по 8 байт. В цикле 1 четным элементам массива FMG присваиваются нули. В цикле 2 по числу записей KNY из внешней памяти из файла прямого доступа считывается последняя запись, элементы которой присваиваются нечетным элементам массива FMG (рис. 1).
Очевидно, преобразование элементов матрицы в двойную точность необходимо выполнять снизу. Длина преобразованного таким образом массива
FMG увеличивается вдвое, в связи с чем увеличивается вдвое и число записей в файле. На рисунке 1 длина одной записи равна шести (в качестве примера).
FMG (4 байта) DFMG (8 байт)
1 * * * * * * IS * 0 * 0 * 0
2 * * * * * * \ * 0 * 0 * 0
2j * 0 * 0 * 0
1 * 0 * 0 * 0
. . . . . . . . . .
1 2 3 4 5 6 KNY . . . . . .
\ . . . . . .
\ . . . . . .
\ . . . . . .
\ . . . . . .
KNY S 1 0 2 0 3 0
4 0 5 0 6 0
Рис. 1. Схема преобразования элементов матрицы в двойную точность
Fig. 1. A diagram for matrix elements conversion to double precision
Единицы измерения силы и длины могут быть выбраны расчетчиком и определяются соответствующими единицами измерения модуля упругости материала.
По программе, созданной автором, выполнены сравнительные расчеты на свободные колебания П-образной рамы, образованной стержнями из швеллера № 12 (^=13,3 см2; Jx=3,63 см4; Jy=304,00 см4; Jг=31,20 см4; Jш=768,30 см6; ау=3,02 см), и рамы, образованной стержнями из двутавра № 12 (^=14,70 см2 ; Jx =4,24 см4; Jy =350,00 см4; Jz =27,90 см4; Jш=1353,00 см6; ау =0) со сторонами по 3 м с использованием балочных КЭ, то есть без учета инерции кручения стержней, и тонкостенных стержневых КЭ при изгибно-крутильной форме колебаний (рис. 2).
По программе, разработанной автором, выполнены расчеты рам на вынужденные колебания. Основные результаты сравнительных расчетов вариантов рам приведены в таблице, где нормальные напряжения в верхней полке сечения профиля у заделки рамы в узле 1 определены при вынужденных колебаниях рам с частотой ю=10 с-1 возмущающей силы в 1 кН, приложенной в узле 7.
Моделирование рамы тонкостенными стержневыми КЭ приводит к уменьшению значений частот свободных колебаний и увеличению значений нормальных напряжений при вынужденных колебаниях в сравнении с моделированием рамы балочными КЭ без учета инерции кручения.
При анализе колебаний плоско-пространственной тонкостенной стержневой системы с использованием тонкостенных стержневых КЭ рассмат-
а)
Z 0
У0
б)
Рис. 2. Конечно-элементная модель и 1-я форма свободных колебаний рамы (швеллер): а - балочные КЭ; б - тонкостенные стержневые КЭ
Fig. 2. The finite element model and the 1st form offree vibrations of the framework (rolled channel)
риваются взаимодействие изгиба в двух плоскостях и кручение вокруг оси стержня, что полнее отражает более сложные моды упругих колебаний, нежели простые моды изгиба из плоскости стержневой системы.
Основные результаты динамических расчетов П-образной рамы
The main results of dynamic calculations of П-tipe framework
Колебание Параметр расчета Швеллер № 12 Двутавр № 12
Балочный КЭ Тонкостенный КЭ Балочный КЭ Тонко-стен-ный КЭ
Свободное Низшая круговая частота, с-1 52,93 1,78 54,03 5,22
Значение моды в узлах ригеля: 4-7, см 6,513 9,444 6,513 8,968
6,818 3,144 6,818 9,715
6,819 -3,140 6,818 9,713
6,514 -9,439 6,513 8,962
Вынужденное Напряжение, МПа 27,1 30,1 23,4 35,8
Следует отметить, что неплоскую тонкостенную раму можно рассматривать как плоскую только в том случае, если наибольший вертикальный эксцентриситет в узле рамы не превосходит половину высоты наименьшего из элементов, а наибольший горизонтальный эксцентриситет не превышает удвоенную толщину стенки наименьшего из элементов, сходящихся в узле.
Теории расчета в полной мере удовлетворяют и пространственные тонкостенные стержневые системы, у которых стержни, образующие узел сопряжения, расположены в одной плоскости. На практике на этапе поверочных расчетов произвольной пространственной тонкостенной стержневой системы часто пользуются так называемой технической теорией тонкостенных стержней, основанной на гипотезах о недеформируемости контура поперечного сечения, то есть использовании-ем балочных КЭ в расчетной схеме. При точном расчете пространственная стержневая система рассматривается как оболочка.
Литература
1. Мяченков В.И., Мальцев В.П., Майборода В.П. [и др.]. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: справочник. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.
2. Чернявский А.О. Метод конечных элементов. Основы практического применения. М.: Машиностроение, 2007. 106 с.
3. Иванов А.А. Исследование напряженно-деформированного состояния рам из тонкостенных стержней методом конечных элементов (Применительно к рамам автомобилей и полуприцепов), дис. ... канд. техн. наук. 1973. 160 с.
4. Чернов С.А., Дьяков И.Ф. К расчету пространственной тонкостенной стержневой системы // Автоматизация и современные технологии. 2008. № 2. С. 3-7.
5. Голованов А.П., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: Физматлит, 2006. 392 с.
References
1. Myachenkov V.I., Maltsev V.P., Mayboroda V.P. [et al.]. Raschety mashinostroitelnykh konstruktsiy metodom konechnykh elementov [Calculating engineering constructions using the finite element method]. Guide. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1989, 520 p.
2. Chernyavskiy A.O. Metod konechnykh elementov. Osnovy prakticheskogo primeneniya [The finite element method. Practical using]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2007, 106 p.
3. Ivanov A.A. Issledovanie napryazhenno-deformirovanno-go sostoyanija ram iz tonkostennykh sterzhney metodom konechnykh elementov (Primenitelno k ramam avtomobiley i poluprits-epov) [The research of stressed-deformed state of thin-walled rod frameworks using the finite element method (applying to car and semitrailer frameworks)]. PhD thesis, Leningrad, 1973, 160 p.
4. Chernov S.A., Dyakov I.F. Calculation of the spatial thin-walled rod system. Avtomatizatsiya i sovremennye tekhnologii [Automation and modern technologies]. Mashinostroenie Publ., 2008, no. 2, pp. 3-7 (in Russ.).
5. Golovanov A.P., Tyuleneva O.N., Shigabutdinov A.F. Metod konechnykh elementov v statike i dinamike tonkostennykh konstruktsiy [The finite element method in statics and dynamicks of thin-walled frameworks]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006, 392 p.
