CC BY
14
Рис. 5
Данные фильмы позволяют преподавателю сократить время изложения данного материала, повысить наглядность, и, в конечном счете, помогает студентам усвоить материал, ведь в нужное время масштабируемый и динамично прорисовывающийся график гораздо наглядней статичной картинки на доске.
Полученные таким образом фильмы в формате .SWF могут быть продемонстрированы с помощью ПК, на котором установлен Flash или Flash Player. Если на ПК не установлен ни один из этих пакетов, то при подготовке фильма в среде Flash его можно экспортировать в формате .EXE, что позволит продемонстрировать фильм на любом ПК, работающем на платформе Windows.
Следует отметить, что все материалы, описанные в данной статье, могут быть использованы не только во время аудиторных занятий, но и предлагаться студентам для самостоятельной работы. Студенты могут иметь доступ к этим материалам через интернет или получать материалы на электронных носителях для использования при выполнении домашних заданий и самостоятельного изучения теоретического материала.
В заключение можно сказать, что использование новых информационных технологий на занятиях по математическому анализу способствует улучшению качества преподавания и, как следствие, повышению знаний учащихся и скорости их получения.
А.К. Попов
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ В РАМКАХ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассмотрим задачу об упругом равновесии стержня под действием растягивающих усилий статически эквивалентных силе Р и моментов статически эквивалентных моменту М, параллельных оси стержня, и приложенных в центре тяжести свободного торцевого сечения. Рассматриваемый стержень с прямолинейной осью и перпендикулярными к ней основаниями подвержен осевому растяжению и кручению. Массовыми силами пренебрегаем. Предположим, что выражения для физических компонент тензора напряжений и моментных напряжений имеют вид:
=Р (!)
В выражении (1) и (2):
= m (2)
Г М
Р = - , 1X1 = -
Я 8
где Р - сила, эквивалентная растягивающим усилиям; М - крутящий момент сил распределенных на торце; 8 - площадь поперечного сечения стержня.
Тогда будем считать, что р - плотность распределения сил, т - плотность распределения моментов.
Выбраненные значения компонент тензора напряжений (1) и моментных напряжений (2) удовлетворяют двум группам уравнений равновесия: первая группа уравнений равновесия:
<Эст дет „ Эст„
— = О
да дах -+-+-^ = 0
5xj <5х2 <Эх3 вторая группа уравнений равновесия:
9xj <Эх2 5х3 д<зхх д<зхх дахх
12 _|__2 2 _j__3 2 _ Q (3^
5xj Sx2 5х3
'".LI <>
' -H--—+ ст — er = 0
<5xj 3x2 öx3
Кроме того, если мы рассматриваем задачу в терминах компонент тензора напряжений, то эти компоненты должны удовлетворять двум группам уравнений совместности деформаций в напряжениях.
Первая группа уравнений совместности деформаций, записанная в напряжениях и выраженная через физические компоненты тензора напряжений и тензора моментных напряжений имеет вид:
3 2а 8 _ .
Н-а ^XlX2 И 1 " °х2Х1 + о. ^о.. 2 Х + ^
Sxj XlX2 X2Xl ЗХ + 2ЦЙХ
2а Э г -|
---^ х =о
ЗХ, + 2[х 0х2 L х=х= J
Э г П 2а ¿5 - U. — а СТХ х — U. + CX СТХ х ч---2 X + IL СТХ х
L Х1Хз ХзХ1 J ЗХ + 2(Х <Эх3 XlXl
2tx 0 -i , r>
X ст_ + ст_ = О
ЗХ + 2ц 3x3 "" X2X2 ХзХз 2а ¿5
И 1 " <^XlX
ЗХ + 2ц Sxj L x=x= x'x' x=x= J gx2
— [ О а ;>Х2Хз - О а ;>ХзХ2 ] + [ О а ^>XiX2 - а ^^ ]
2а[х
¿^[С-а>л - С+ «>А] + а>Л - С-аХх,]-
2а[х
2v ж.-.+^хзхз >2ецХ2Х2 ]=о
+ ^ >2гцХЛ >0 2tX 0 + °х2х2 >2 ц >jXj ] + А а>Л )
ЗХ + 2ц 0x1 L 3 3 -I йх
2-Л1
д
¿Эх,,
[ ц-а аХ1Хз- ц + а аХзХ1] + ^-[ ц + а аХ2Х1 - ц-а аХ1Х2 ] -
2ац
V Зs^-2v
а Г
ц-а а,
а
е + иХ2Х2 + иХз
2Хз - И + « <*ХзХ2 ]
"2вцХ1Х1 =0 2а д
дх2
2а О г
---Л а +
ЗА, + 2ц Эх3 Ь
2а 5 г
-;--— ^ ахх +а
за, + 2ц Эх21-
ЗА + 2ц с5х3
2 Л, + ц
а.
— 2 Л, + ц аХзХз]
5
<Эх,
(5)
Вторая группа уравнений совместности деформаций записанная в напряжениях и выражен ная через физические компоненты тензора моментных напряжений имеет вид:
д г п 2(3 д
сЭх,
■[ ^-(3 цХХ2 - у + (3 цХгХ1] +
Зе + 2у дк.^
2 6 + V ц,
е Цх
2(3
5
^ |- 13 31-1 Зе + 2у <Эх3
2 В 5 с
■[8[цХ1Х1+цХзХз]-2 8 + У цХ2Х2] + -^-[ V + (3 ЦХ[Х2- V —(3 ЦХ2Х1] = 0
д г ^ ^ п 8
2 е + У цхл -8
д_ <Эх0
= О = 0
Зе + 2v дх.1
^ [ с- Р Хх3 - +р Хх2 ]+¿7 [ ^+Р Х2 - С- р X«, ] =0
5 [ с- р Хх2 - ^+р К ] ■+ ['^+1р Х3 - С- р >ХЗХ1 ] = о
<Эх
2(3
5
[е СХ1 + ^х2х2 >2 <+ V >ХзХз ] + —- [ ^ + (3 >Х[Хз - (3 >ХзХ[ ] =
Зе + 2v дх.1
дх.,
= 0
дх.п
[ с- р Хх3 - ^+р хХ1 ] ■+ [ ■^+■ р >л - с- р хХ2 ] - о
<Эх
-[€-рХх3-^+РХХ2] +
2(3
5
2
2(3
Зе + 2у (Эх,
[2 <+у>Х2Х2 -е <Гхл +цХзХз
д
Зе + 2у йх2 I-8 С* + ^ )2 С+ у X. ] + ^ ['ОIР X. " С" Р X. ] = 0 (6>
Запишем граничные условия на боковой поверхности стержня:
Р1 = ст^г^ (7)
т; = ^^ (8)
Третьей компонента п3 вектора нормали к боковой поверхности стержня равна нулю.
Считаем, что внешние силы на боковой поверхности отсутствуют.
А внешние силы на основаниях стержня (торцах стержня):
Р1 = Р2 = О; р3 = Р (9)
т = т2 = О; т3 = т (Ю)
Боковая поверхность стержня свободна от внешних сил, что справедливо, так как на стержень воздействуют только осевые растягивающие силы и моменты сил, приложенные на конце стержня. Равенства (9) и (10) показывают, что на основаниях стержня приложены равномерно распределенные растягивающие усилия интенсивности р и моменты сил интенсивности т. В соответствии с принципом Сен-Венана, при достаточно большой длине призматического тела по сравнению с размерами его оснований, можно смягчить граничные условия на основаниях таким образом, чтобы главный вектор и главный момент сил, приложенных к основаниям, имели заданные значения: при этом действительное распределение сил на основаниях практически не оказывает влияния на части тела, находящиеся вдали от них [4].
ХТХ
2 2
О
Считая закрепленным бесконечно малый элемент на оси Ох3 около начала координат, имеем, равенство нулю компонент вектора перемещений ц2- и3 и компонент вектора собственного
микроповорота , ¿о2 - со3 ■
В выражениях для физических компонент ковариантного тензора напряжений и моментных напряжений, представимых в виде (1) и (2) воспользуемся законом Гука моментной теории упругости [5]:
УХ:Х:
^ + а - Ц-а °х 4ац
v + ß ~ v-ß К
4ßv
А. 8 а
2и(3л I 2u) 1J°XkXk
^iiM-XtXt
2v(3s + 2v)
(11) (12)
Получим из равенств (1)и (11) соответствующие значения физических компонент тензора деформации:
YxlSl YxoXo
Ар
У =1
ХзХз ц(за + 2Ц)
2ц(ЗХ + 2ц)
Ух X = Тх X = Тх X = Ух х = Ух X =Ух X = О
(13)
2Х3 < х3х2
А из равенств (2) и (12) - соответствующие значения физических компонент псевдотензора тензора изгиба - кручения:
ет
к = к,. =
2v(3s + 2г>) к,.= к,. = к,.= к,.= к,. = к,.=0
к,.
т( Г. + V)
г>(3е + 2г>)
(14)
Из геометрических соображений несимметричный тензор деформации YxjXj представим в
виде:
"У Xj Xj
дх.
— fckji
(15)
где £к- тензор Леви-Чивита.
Взаимосвязь компонент тензора изгиба - кручения и псевдовектора собственного микроповорота [3] имеет вид:
ЭШХ:
Кх. к" Эхi
(16)
Подставляя в геометрические соотношения для несимметричного тензора деформаций (15), значения физических компонент тензора деформации (13) получим:
Т Dtj Dtj-
(17)
Формулы физических компонент псевдотензора изгиба - кручения (14) будем рассматривать в виде системы дифференциальных уравнений для определения компонент псевдовектора собственного микроповорота:
1 2
2 1
2 3
3 2
(18)
Решая систему дифференциальных уравнений (18), получим значения компонент псевдовектора собственного микроповорота:
(19)
где с1, с2, с3 - произвольные постоянные требующие определения.
Учитывая равенство нулю компонент псевдовектора собственного микроповорота , С&2, 7 в начале координат, соответствующие произвольные постоянные сь с2, с3 равны:
^^ с 0
Подставляя значения произвольных постоянных в (19), получаем результирующие выражения для компонент псевдовектора собственного микроповорота СО ^, ¿¿Ь. ¿¿Ь :
ыу =
йК =
2У(3В + 2лв)
впъ 2 Лг(Зс+21>}
= —-——х3
х-,
(20)
Система дифференциальных уравнений (17), с учетом формул для компонент псевдовектора собственного микроповорота (20) преобразуется к виду:
(21)
Для нахождения компонент вектора перемещений, найдем решения трех систем дифференциальных уравнений вида:
(22)
Из первой системы дифференциальных уравнений (22), получим: их,= а11Х1 + и*(Х2,Хз)
* / Л
их, = а12Х2Х3 + МХ1,Хз)
* . .
их = а13Х2Х3 + ™ДХ1,Х2)
(30)
Приравнивая первое и второе равенства (23) получим:
а11Х1 + и*(Х2,Хз) = а12Х2Х3 +
Следовательно,
и*(Х2,Х3) = а12Х2Х3 + f (Х3) (24)
у! (х15 Х3 )= аихх + / (Х3) (2 5)
Приравнивая первое и третье равенства (23) получим:
апХ1 + и*(Х2,Х3) = а13Х2Х3 + w1(Хl,Х2)
Следовательно,
и*(Х2,Х3) = а13Х2Х3 + §(Х2) (26)
Ч (Х2,Х3 )= а11Х1 + ё(Х2) (27)
Из равенств (24) и (26), получаем:
а12 = а13 (28)
Приравнивая второе и третье равенства (23), и учитывая равенства (25),(27),(28) получим:
1 (Х3 )= ё(Х2 )= С4 Следовательно, первая компонента вектора перемещений имеет вид:
иХ1 = а11Х1 + а12Х2Х3 + С4 (29)
Из второй системы дифференциальных уравнений (22), получим:
иХ2 = а21Х1Х3 + и2(Х2'Х3) 1 Г ч
= а22Х2 + У2(Х1,Х3)
1 , .
= а23Х1Х3 + ^^2(Х1,Х2)
Приравнивая первое и второе равенства (30) получим:
а21Х1Х3 + и2 (Х 2,Х3) а22Х2 + У2(Х1,Х3)
Следовательно,
и2 (Х2 ' Х3 )= а22Х2 + Я(Х3) (31)
у2(Х1,Х3) = а21Х1Х3 + я(Х3) (32)
Приравнивая второе и третье равенства (30) получим:
а22Х2 + У*(Х'Х) = ^ХХ + w1(x,x)
Следовательно,
у2(х2,х3) = а23Х1Х3 + к(Х1) (33)
w1(x2,x3) = а22Х2 + к(Х) (34)
Из равенств (32) и (33), получаем:
^21 = ^23 (3 5 )
Приравнивая первое и третье равенства (62) и учитывая равенства (31), (34), (35), получим:
Я(Х3) = к(Х1) = е5
Следовательно, вторая компонента вектора перемещений имеет вид:
иХ2 = а22Х2 + а21Х1Х3 + С5
Из третьей системы дифференциальных уравнений (22), получим:
их3 = а31Х1Х2 + из(Х2>Хз)
их3 = а32Х1Х2 + ^3 (Х1, Х3 ) (3?)
их3 =аззхз + ^(Х1,Х2) Приравнивая первое и третье равенства (37) получим:
Следовательно,
u*(x2,x3) = а33х3 + d(x2) (38)
w^(x1?x2) = a^XjX,, + d(x2) (39)
Приравнивая второе и третье равенства (37) получим:
Следовательно,
а32Х1Х2 + v^(x1,x3) = а33х3 + w*(xl5x2)
v^(xl5x3) = а33х3 + e(Xj)
3У Ч.33Л3
w^(x1,x2) = a32XjX2 + e(Xj)
(40)
(41)
Из равенств (39) и (41), получаем:
«31 = «зг <42)
Приравнивая первое и второе равенства (37) и учитывая равенства (38), (40), (42), получим:
ё(х2) = е(х1) = сб
Следовательно, третья компонента вектора перемещений имеет вид:
их3 = а33х3 + а^х^ + сб (43)
В формулах (21) и (22) соответствующие постоянные равны:
Ар (е + х>)т &т
2ix(3X + 2ix) v(3s + 2г.) 2v(3s + 2г.)
(s + \)}т _ Ар _ s т
v(3e + 2г.) 2(х(ЗА + 2(х) 2v(3s + 2г.)
s т s т р(А + ц)
(44)
"" 2v(3s + 2г.) 023 2v(3s + 2г.) ^ ц(ЗА + 2ц)
Из равенства (22), учитывая значения постоянных (28), получаем:
(е + \))т sm tittti , 0 „
—i-1-=- или s + 2г> m — O
v(3s + 2г.) 2v(3e + 2г.)
Аналогично из равенств (35) и (42) получим: s + г. m s m
v 3s + 2г. 2v(3e + 2г.)
s m s m
или 3e + 2x> m = О
или 2sm = О
2v 3s + 2г> 2v(3s + 2г.)
Значит в каждом из полученных равенств плотность распределения моментов m равна нулю. Следовательно, компоненты тензора моментных напряжений (28) равны нулю.
Вывод. В рамках задачи об упругом равновесии стержня под действием растягивающих усилий статически эквивалентных силе Р, возникают только силовые напряжения, а соответствующих моментных напряжений при растяжении не возникает.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т. 2.
2. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.
3. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28. № 3.
4. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. О принципе Сен-Венана и Фрагмена-Линделефе для решений и субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа в неограниченных областях // Математическая физика и нелинейная механика. 1984. Т. 2 (36). С. 91-98.
5. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, N.Y., Toronto et al: Pergamon-Press, 1986.
«12 =
