Решение типа Сен-Венана в задаче изгиба цилиндрического тела концевыми нагрузками Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.9 ББК 22.251

А. А. Илюхин, А. К. Попов

РЕШЕНИЕ ТИПА СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ ИЗГИБА ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА КОНЦЕВЫМИ НАГРУЗКАМИ1

Аннотация. В работе исследован изгиб цилиндрического тела силой, приложенной к торцевому сечению. Решение задачи построено в перемещениях. Найдены компоненты вектора перемещений, тензора силовых и моментных напряжений, удовлетворяющие уравнениям равновесия и граничным условиям на основаниях и боковой поверхности.

Ключевые слова: изгиб, моментная теория упругости, псевдоконтинуум Коссера.

A. A. Ilyukhin, A. K. Popov

SOLUTION OF THE SAINT-VENANT BENDING PROBLEM IN THE CYLINDRICAL BODY END LOAD

Abstract. The problem of bending of the cylindrical body, which occurs as a result of the end of efforts that are appended to the end section. Solution of the problem is constructed in terms of displacements. We have identified the components of the displacement vector, the components of the stress tensor and couple stress tensor, which satisfy the equilibrium equations and boundary conditions on the bases and the lateral surface.

Key words: bending, moment theory of elasticity, the Cosserat pseudocontinuum.

Пусть цилиндрическое тело длиной L закреплено одним концом, а на свободном конце несет нагрузку, статически эквивалентную силе Р, которая направлена перпендикулярно оси тела и приложена в произвольной точке свободного поперечного сечения. Массовые силы и силы на боковой поверхности тела отсутствуют. Начало координат поместим в произвольной точке торцевого сечения. При этом ось Ox направим параллельно оси тела, а ось Ox - параллельно силе Р. Сечение исследуемого стержня предполагается односвязным.

Рис. 1

Задача об упругом равновесии стержня при указанных условиях сводится к нахождению компонент тензора напряжений сг и моментных напряжений ц-, удовлетворяющих в области

занятой телом дифференциальным уравнениям равновесия при отсутствии массовых сил, форму-

1 Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.1885.2011, тема: «Математическое моделирование статики и динамики гибридных механических систем и идентификация их параметров», научный руководитель А. А. Илюхин.

(1)

лам закона Гука, рассматриваемым в рамках моментной теории упругости, а также граничным условиям на основаниях и боковой поверхности цилиндрического тела.

Решение в перемещениях исследуемой задачи будем искать в виде:

и1 = А11Х1 + А12Х2 + А13Х3 +В11Х12 +В12Х1Х2 +В13Х1Х3 +В22Х2 +В23Х2Х3 +В33Х32 +

2 2 2 +хз сп Х1 +С12х1х2+С13х1х3+С22 х2 + С23х2х3+С33 х3

и2 = А21х1 + А22х2 + А23х3 + С11х1 + С12х1х2 + С^х^з + С22х2 +С23х2х3 +С33х3 +

+хз Х1 +^12х1х2+Ь13х1х3+Ь22

О

^23Х2Х3 + Ь33

О)

и3 = А31х1 + А32х2 + А33х3 +Е11х1 +Е12х1х2 +Е13х1х3 +Е22х2 +Е23х2х3 +Е33х3 +

+ Х3 ^11 С^ТЧГ12Х1Х2+1чГ13Х1Х3+1чГ22 С ^ К23Х2 Х3 + N33 С ^^Ф € ' Х2 I

где ф(х ,х) - некоторая функция, подлежащая определению.

р2 = Ар, р = Р / 8,

где 8 - площадь поперечного сечения цилиндрического тела, А-константа, подлежащая определению.

В дальнейшем предполагается, что латинские и греческие индексы принимают значения от 1 до 3, по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирования от 1 до 3. Кинематические соотношения Коши-Грина имеют вид:

_

Уа~ 2

ди„ ди, Л

—

дх, дх„

V 1 биг. <Зсо,

сок = - 65И п кй = —(2)

2 дх 1 дх

Компоненты тензора напряжений во внутренних точках области, занятой телом, должны удовлетворять двум группам уравнений равновесия:

дО:: д\1-- ...

—— = О —+ еч <3:к = 0 (3)

5xj 5xj

Подставляя значения компонент вектора перемещений (1) в формулы (2), получим соответствующие представления для компонент симметричного тензора деформаций:

уп = Ап +2ВПХ[ +В12х2 +В13х3 +х3 20ПХ[ + 012х2 + 013х3 Т22 = ^22 + *--12х1 + 2С22Х2 + С*23х3 + х3 Ц.2Х1 + ^22х2 + ¿23х3 у33 = ^¡Х;2 + Е13 + К12х2 + 2х3К13 х1+^22х2+ Е2з+2х3К23 х2+А33+ЗК33х3+2Е33х3 У12=У21=-( 012+2ЬП Х3+В12+2СП Х1 + ф22+Ь12>,+2В22+С12^ +

+ <т23 + Ь13 ^ +

+ В23>+А12+А21) (4)

\ Эф к х ^

7п = Уз1 =т(Р2 + <^2 +2 <53 + ^ > +В13 +2ЕП > +022х2 + ф33Щ3 >2 +

¿. ОХ1

" ^12 + 2(323 > + Е12 + В23 + €з + 2В33 > + А13 + А31)

¡~У32~2^ ^ + ^12Х2 + <0"13 +<^13 +Е12 ^ +Ь22Х2

" + Ь23 > + С23 + 2Е22 % + <[Ь 33 +N23 ^ + ^23 +2С33^ +А23 +А32)

22т^23 ^23^^22 ^2 т 4^33 т ^23 т ^¿23 т ^^ЗЗ ^ ТЛ23 т Л32^

Если среда изотропная, то закон Гука принимает вид:

=ЧТкк + Ц-а Ул + Н + а Ту ^ =65^1* + и-р к^ + г) + |3 к1} (5)

где 5ij - символы Кронекера.

С учетом значений компонент тензора деформаций (4), первого равенства закона Гука (5) получим соответствующие значения компонент тензора силовых напряжений:

ап = +Ш12х1х2 + 1 Ь12+21Ч13 +2 1 + 2|1 Сп Х1Х3+М<Г22Х2 +

+ 21 ]Ч23+Ь22 + 1 + 2ц в12 х2х3 + 1 + 2ц в13+Х Ь23+З1433 х3 + + 1 С12+Е13 +2 1 + 2ц Вп X; + 1 + 2(1 В12+1 2С22+Е23 х2 + + 1 С23+2Е33 + 1 + 2(1 В13 х3 + 1 + 2|1 Ап+1 А22+А33

а22 = ХМ11х12 + ИчГ^х^ + 21 Оп+ТчГ13 + 1 + 2(1 Ь12 х^з +Ш22х22 + 1 012+21Ч23 +2 1 + 2(1 Ь22 х2х3 + 1 013+З1433 + 1 + 2(1 Ь23 х2 + + 1 Е13+2ВП + 1 + 2(1 С12 х1 + 1Е23 +21С22 +1В12 +4цС22 х2 + + 21Е33 + 2(1С23 + 1В13 + 1С23 х3 + Ап+А33 Х+ 1 + 2(1 А22 а33 = 1 + 2ц М11х12 + ^+2ц)|12х1х2 + ^011+Ь12)2^+2(1)|13^х3 + + <Г<?12 +2Ь22 >2 ^+2(1>23 >2х3 + ^+2ц>33 + <Ь +Ь23 ^ + + <Т<Г12 + 2ВП > <С+ 2 ц >13 > + <Т<Г12 + 2С22 > <С+ 2 ц >23 у2 + + + С23 У 2 2 ц>33 ^ + + А22 >+ 2 ц >33 + <Г+ 2 ц у22х22

°12=( 012+2Ьп Х1Х3+ Ь12+2С22 х2х3+ С23 +Ь13 х32

+ В12 +2СП х,+ С13+В23 х3+А12+А21)ц

5Ф , ,

с13 =(Р2Т—+ °

11х1 +С12х1х2+2 С13 +]ЧП х1х3+С22х2+ ]Ч12+2С23 х2х3 +

дх1

(6)

+ М13+ЗС33 х3 + В13+2ЕП х,+ Е12+В23 х2+ Е13+2В33 х3+А13+А31)ц

до 2 2

С23 =(Р2Т—+ Ь11Х1 +Ь12Х1Х2 + N12+21-13 Х1Х3 +Ь22х2 +2 N32 +Ь23 х2х3 + <3х2

+ ]Ч23+ЗЬ33 х32+ С13+Е12 х1+ С23+2Е22 х2+ Е

23 + 2С33 х3 +А23 +А32)(1 Аналогично значения компонент тензора моментных напряжений находим из закона Гука (5):

НЧ1 =у Р

Э2у 5х2ох1

~2Ь11х1 -Ь12х2 + КГ12 -2Ь13 х3+Е12-С13

(122 = -V

( д2

р—^--012х1 -2022х2 + N¡2 -2023 х3+Е12-В23

(Зх29х1

(133=у 2ЬП -012 Х;+ Ь12 -2022 х2 + 2 Ь13 -023 х3+С13-В23

(113=- у-р N¡2 -2Ь13 X;- у-р Ь23 -К22 х2 + + |<012-2Ьп у + Р +^-р>^23-зь33^3 + + Р>С-РЖз"2СззЭ

И-31 = \ С+ Р X2 - 21-13 >1 - С+ Р ХзN22 >2 -

- \ С+ Р Х^ N23 > ^12 - 2ЬП X" Р -€+ р Хсзз -е23 > с - 2Сп Х- Р>

^ = С" Р Хз - N11 > + Т С" Р Х°23 "N12 >2

22 2 ^12 I !Х3

+ \ С" Р ХВ33 "Е13 > С+ Р ХВ22 "С12 Э

^32 = С+ Р Хз " N>1 > + 2 Р Х0- "N>2 >

С+РХ°33 -^з>С"Р^22 "^-Ь12^ХЗ +

4 С+ Р ХВ33 "Ев > С" Р ХВ22 - С12 э

в2

^12 Р2^Т+ ~20п+тп Х3-В13-2011Х1-012Х,+2Е11

у + Р +

+ - у-р 2

дх.

2 + 2/-2з + 2]Ч22 х3 +2Е22 2Ь22Х2 С23 Ь12Х1

(7)

И-21 = "

32ф

Эх,

2 +2 М22 Ь23 х3 +2Е22 2Ь22х2 С23 Ь12х1

У+Р -

"2

Р

дх

2+2 N„-0,3 Хз-в^-го^-о^+гЕ,,

Первая группа уравнений равновесия (3) с учетом значений компонент тензора напряжений (6) преобразуется к виду:

2цС13 + 2Шп + 2цЛ^п х1 + 2ц023 + + х2 + + ХЬи + 2Юп + 27М13 + 4(хОп + 2ц022 + \\Ь12 + 2цЛ^13 + 6ц033 х3 + +2 ХВп + цЕ13 + ХС12 + ХЕ13 + 2|хВ22 + А\хВп + 2\хВ33 + (хС12 = О 2(хЬ13 + |х]Ч12 + Ш12 х1 + 2Ш22 + 2(хЬ23 + 2|х]Ч22 х2 + + + + 2цЬп + 4(ХЬ22 + 2ХЬ22 + 6|хЬ33 + 2|х]Ч23 + 2Ш23 ^ + +цВ12 + 2(хСп + (ХЕ23 + ^В12 + 2ХС22 + ХЕ23 + 2(хС33 + 4(ХС22 = О

Лф = - — + 21Ы1Ъ + 2цОп + 4цЛ/"13 + 2Юп +

№

+ + гкОп + 2\хЬ22 + 4(Х;У23 + 2ХЬ22 + 21М23 ^ + + + 2\хЬ13 + 6Ш33 + 2Ю13 + 2цЛ/"п + 2цЛГ22 + 12цЛ^33 + 21Ь23 ^ + +2\хЕ22 +ХС23 + 4ЦЕ33 +2 ХЕ33 +2 \х.Еп + |хВ13 + ХВ13 + цС23)

Аналогично записывается вторая группа уравнений равновесия (3):

(8)

д

Р —Аф = 2 -^з+Ьп+Ь22+ЗЬзз

дх2

Р^Лф = 2 С11 +С22 +ЗС33

дх1

-К-

Ь13-С23 =0

Граничные условия на боковой поверхности стержня имеют вид: °1кП1 + °2кП2 = 0 ШкП1 + ^2кП2 = 0

(9)

(10)

Первые два равенства первой группы граничных условий (10) и третье равенство второй

группы граничных условий (10) не зависят от функции ф(х'х и представляют собой сумму двух функций, стоящих при компонентах П1 и п2 вектора нормали к боковой поверхности цилиндрического тела. Каждая из этих функций является полиномом соответствующих переменных, коэффициенты которых подлежат определению. Следовательно, выполняются следующие равенства:

мп =0 Ып =0 А Ь12 +21^13 +2 Л + 2ц Сп =0 М22 =0 2Л М23+Ь22 + Л + 2у С12 =0

к + 2ц С13 +/1 Ь23+ЗМ33 =0 /I С12+Е13 +2 Я + 2/( Вп=0 А+ 2// В12+Я 2С22+Е23 = 0^С23+2Е33 + и2цВ13=0 1 + 2$, Ап + 1 А22 + А33 =0 ^12 +2Ьц = О Ь12 + 2й22 = О С23+Ь13=0 В12 + 2Сп=0 С13+В23=0 А12+А21=0 2^11 + ^з ) 2^>12 = 0 ^12 + Ж23 >2 С+ ^>22 = О ^13+ЗМ33>^+2ц>23=0 Я^з+2В11>^+2//>2=0 +А33> ^+2//>22 =0 (П) АЕ23 + 2ЯС22 + ЯВ12 + 4//С22 = О 2(ЯЕ33 + //С23) + Я(В13 + С23) = О

^12 -2ЬП Х+Р>С-Р>^23 -ЗЬ33 >о С13-мп=0 N¡2 -2Ь13 =0 СС11 - В12 О С" Р Х23 - 2С33 > 0 2С23-М12=0 Ь23-М22=0

ОХС33-^зХ+Р^22-^ = 0 С"РХВ33 "Е13 >С+РХВ22 "С12 >0

Компоненты вектора напряжений на основании х3 = 0 цилиндрического тела должны удовлетворять соотношениям:

У1=-Р у2=у3=о

р

2

1

2

V, = /ст13с!8 = |(р2|^ + 011122 +012112 +022111)^8-

Б Б

5х1

+ |(В13+2ЕИ 82 + Е12+В23 81 +(А13+А31)8)цё8 = -Р

= |(р2^- + Ь11122+Ь12112+Ь22111+ С13+Е12 82 + С23 + 2Е22 81 +(А23+А32)8)цё8 = 0

8 8 ох2

V, = |сг33ё8 = 11 + 2|х Мп122+ 1 + 2|х ]Ч121123с18 + (12)

+ С12 +2ВП + 1 + 2|х Е13 82 + ^В12+2С22 + 1 + 2|х Е23^|ё8 +

+ |((^11+А22>+^+2^1>33)8+^+2^1>22111)ё8 = 0

8

где и ^ - статические моменты поперечного сечения стержня относительно осей х и х2 , и 122 - осевые моменты инерции сечения относительно осей х и х2, 112 - центробежный момент инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х и х2.

Компоненты вектора напряжений в поперечном сечении стержня х3 = Е соответственно равны V; = Р , У2 = У3 = 0 что приводят к следующим интегральным соотношениям:

X = |ст13ё8= |(р2 —+ 0п122+012112+2 013+Ки 82х3+0221п + N¡2 + 2623 +

Я Я

+ |(К13+З033 вьч В13+2ЕИ 82 + Е12+В23 Е13+2В33 8Ь + (А13 +А31)8)цс18 =Р

я

У2 = |ст23с18 = |(р2—®- + Ьп122 +Ь12112 + К12+2Ь13 82Ь + Ь221и+2 М22+Ь23 81Ь)цё8 +

|(^23 +ЗЬ33 >2 + Сз +Е12 > + <23 +2Е22 > + Сз +2С33 > + (А23 +А32)8)цс18 = 0 (13)

я

У3 = |а33с!8 = |^+2^>11122 + С+2Ц>12112 + С<011+Ь12>2С+2Ц>1з>М8 +

я я

++2Ь22 >2 ^+2ц>23 ^+2Ц>33 +ь23 +

я

++ 2В„ > С+ 2^>13 > + СС + 2С22 > С+ 2^>23 >8 +

я

+ /(+ С23 >2 2^>33 + (+ А22 >+ 2^1 >33)8 + <С+ 2^>221п = 0

я

Из равенств (8),(9),(12),(13) получаем следующие взаимосвязи между константами:

Аг = ^33 = = ^11 = -Аз = ^12 = ^13 = ^22 = ^23 = ^33 = ®

^11 = Л?12 =^13 =^22 =^23 =Л^33 = 0 Ап = -А21,А22 = Ап,В23 = -С13,

(1 + 1 В13

А1 = Аг = Аз =Аг = Аз = Аз =0 ^23 = Аз>^12 = 25п Аз =

2 ц + Л. Ап Вп 2у(Л. + ц)-Р(Л. + 2М) 2(ЗУ-1 Вп

зз =--:-' 22 =-:-' зз =-:-> (14)

А АУ АУ

Компоненты моментов внутренних сил на поперечном сечении цилиндрического тела х3 = 0 с учетом взаимосвязи (14) принимают вид:

М; = М3 = 0 , М2 = -РЕ,

или

М1 = |(х2а33 + ц31)с18 = I С12 + 2Ви + 1 + 2ц Е13 112 + Аи+А22 Х + 1 + 2ц А33 81=0

я

М2 = |(-х1ст33+ц32)а8 = - I С12 +2ВИ + 1+1 С12 + 2ВИ + 1 + 2)1 Е13 2ц Е13 122-

я

Аи + А22 1+ 1 + 2ц А33 в2+- у + р 2В33-Е13 - у-р 2В22-С12 8=-РЬ (15)

Зф Зф^ дх2 2 дх1

- + 2Е„ > - С + В23 >1 + + А31 > + V - В23 >= О

1П I 112 /V I I I V I р ^33 V р "'-'И 12

м, = {(х^з, - х2а31 + Ц33 = (|р(х ^ - х2 + + Е12+ <23 + 2Е22 % + ^23 + а32 ^ -

Аналогично выглядят граничные условия при х3 = Е :

м

М; = М2 = М3 = О

1 = /(Х2СТ33 -Х3СТ32 +М-31)с18

= I С12 + 2ВП + \ + 2\1 Е13 112+ X В13+с23 +2 \ + 2\1 Е33 8Д.+ Аи+А22 Х + Х + 2\1 А33 81 =0 М2 = ^-х^зз +Ьст31 + ¡а32= - X С12+2Вп + Х + X С12+2Вп + 1 + 2ц Е13 2ц Е13 122-

я

- X В13+с23 +2 1 + 2ц Е33 в^ + вХзУ; -

33

М3 = {(х^з, - х2о31 + ц33)<18 = (|р(х, ^ - х2 + <£3 + Е12 % + <23 + 2Е22 % + ^23 + А32 ^ -

- €з +2ЕП >2 " +В23 >1 + €з +2В33 >Ь + ^з +А31 +V -В23 >= О

Учитывая взаимосвязь равенств (15) и (16), получим:

X С12 +2ВП + Х + 2\х. Е13 1и + X В12+2С22 + Х + 2\х. Е23 1„=0 Л В13 + С23 +2 /1 + 2// Е33 = 0

- /I С12 + 2ВП + Л + 2ц Е13 122- Л В12 + 2С22 + Л + 2ц Е23 112-

- Ап+А22 Л+ Л + 2/л А33 У + Р 2В33 -Е13 - у-р 2В22-С12 в =-РЬ

(Р Т —1ц—122 + С13+Е12 122 + С23+2Е22 112 —

" +2Е11 >2 " €2 +В23 >)А +V <13 "В23 >= О

(16)

(17)

Х<Г13+С23>2<Г+2ц>33 Е13 +2В33 =

2р /Л

Первое и второе равенства второй группы граничных условий (10) с учетом формул для компонент вектора нормали к контуру поперечного сечения можно представить в виде:

^ I Эш х I с!х - ур —+ у-р 2ЕП-В13 - у + р 2Е22 -С23 - у + р рД<р —+ у Е12-С13 х2 —1 +

Эх

Эх,

2

—— ур —+ у-р 2ЕП-В13 - у + Р 2Е22 -С23 - у + р рАф —+ у Е12-С13 х2 -^- = 0

ОХо

9х1

2

С* ( X ] ¿X

— ур—+ у Е12-В23 у-р 2Е22-С23 + у + р 2ЕП-В13 - у + Р рДф — —1 +

^ г 2 I №

Ят ^ |с!х

1 + у Е12_в23 х1+ 2Е22-С23 + у + р 2ЕП-В13 - у + Р рАф — —-

ох2 I ох2 2 ) №

Равенства (18) после интегрирования по контуру Ь примут вид:

Эф _ 1 Эх1 ур Эф 1

(18)

Эх,

ур

у-р 2ЕП-В13 - у + р 2Е22-С23 - у + р рАф + у Е12-С13 х2-урс1

х,

у Е12-В23 х1 + у + р В13-2ЕП + у-Р 2Е22-С23 - у + р рАф -^--урс2

(19)

где С, С2 - константы, возникающие в результате интегрирования равенств (19).

Условия Неймана (19) для функции ф(х1,х2), полученные из второй группы граничных условий, должны совпадать с условиями Неймана, полученными из первой группы граничных условий:

Эф дп

= - — [(011х12+012х1х2+2 013+Кп х^з + 022х2 + N,,+20,3 х2хз +

+ N,3+3033 х32+ В13+2ЕП х,+ Е12+В23 х2+ Е13 +2В33 х3 + А13 + А31)П1 +

+(Ь11х12+Ь12х1х2 + ]Ч12+2Ь13 х1х3+Ь22х2+2 ]Ч22 + Ь23 х2х3 + + 1Ч2з+ЗЬзз х32+ С13+Е12 х,+ С23+2Е22 х2 + <[23+2Сзз>,+А2з+Аз2)п2]

(20)

В результате из формул (19) и (20), с учетом равенств (14) получим:

ур

ур

у-Р 2ЕП-В13 - у + р 2Е22-С23 - у + Р рАср + у Е^-С^ Хг-урс;

- В13+2ЕП х1 + Е12 +В23 х2+А13+А31

л2

у Е12-В23 х1 + у + р В13-2ЕП + у-Р 2Е22-С23 - у + р рДср -^--урс2 =

- С13 +Е12 х1 + С23 +2Е22 х2 +А23 +А32

Приравнивая коэффициенты в обоих равенствах для —, стоящие при соответствующих

дп

переменных х1, х2, х3, получим:

— у-Р 2ЕП-В13 - у + Р 2Е22 -С23 +2 у + р (Еп+Е22) = В13+2ЕП 2у

Р

^13 — -^23 С1 — А13 + А31 С2 ~ А23+А32

Р

(21)

2\

у + Р В13 — 2ЕП + у-Р 2Е22 -С23 +2 у + р (Еп+Е22) = С23+2Е2

В результате с учетом равенств (17) и (21) получаем следующие значения констант:

112У1р28Ь

А23 ~ СгР А32,А

2 ^ 31 + 2ц 122\1 + $Р 1 + 2ц -82|\112 3 Л + 2 // [1 + 1 /12р28Ь

В

8] 31 + 2ц 122ц + $/3 1 + 2ц -82ц/12 31 + 2ц ^р^Ь

'11 - '^12 - а21'а.13 - с;р А31

4 ^ 31 + 2ц 122\1 + '&Р 1 + 2\1 -82ц/12 31 + 2ц

В12 = 0,В13 =0,В22 =-

В33 --

8]Р28Ь ^у(Я + ц) - р <С+ 2ц

4 ^ ^к + 2ц >2ц + 2ц >82ц/12 + 2 ц ^

В23 ~

^-12 ~

4 ^ ф + 2ц >2ц + ^ 2ц >82ц/12 ф + 2 ц ^ 81Яр28Ь

с„=о,

С22 - 0=С23 - 0,С33 - О

Е„ =

2^ ^Х + 2ц^2Ц + 8/?^+2Ц^82Ц/12 <Г1 + 2Ц^ 2у8С13 + ц(2/12Е22 + (/22 - /„ )Е12 + 1рС13) + цр2(Т - ^ - 82с2 - 1р)

Е13 -

2^12 <£+Ь>28Ь

^ ф.+2ц >2ц+(+ 2ц +2 Ц >

Е23 - 0,Е33 - 0 Ви - С33 -С22-Си - Е23 -вц - Оп - 013 - 022 - 023 -033 -0

^1=^12=^3=^22=^23=^33=0

(22)

Используя формулы (21) и третье уравнение равновесия (15), получим

А(р = -2(Еп+Е22)/р2

(23)

Ераничная задача для определения функции ф х1; х2 является задачей Неймана (19) для уравнения Пуассона (23).

Используя равенства (20) и учитывая формулу

Е13+2В33 = 2р///Е

присутствующую в равенствах (17), получим следующую взаимосвязь:

2 /22 2\х + ЪХ -/12 ЪХ+2\х + Х + 2\х

Р2 Ь2 ц + Х 8 г

В результате найденные компоненты вектора перемещений поставленной задачи приобретают вид:

__/12\р28Ь_

2 в; ЗХ + 2ц /22(х + ЭЭ Х + 2|х в2(л/12 ЗХ + 2ц

8^Хр281_/ 2

х1 —

4 в; ЗХ + 2ц 122\х + вр 1 + 2\х — Э2(х/12 ЗХ + 2ц З^БЬ 2У(Л, + (Х) - р Х + 2|х

Х2 +®23Х2Х3

4 в; ЗХ + 2ц /22ц + в|3 Х + 2ц — Э2(л/12 ЗХ + 2ц V

8; 2Рц-Х у-р р28Ь __

4^(ЗХ + 2ц /22ц + 8Р<С+2Ц^82Ц/12 + 3 _ _/12?ф28Ь___

в^р^Ь

-Х1Х2 + С13Х1Х3

<Г+Х^>2р28Ь

Ц =__-__ ^

2у8С13 + Ц(2/12Е22 +(/22 -/„) Е12 +/ С13) + №2(Т-81С1 -82С2 -/ )

2 ц/12 <Г+Х^р28Ь

Х1 ~I- ^^Е^ 2 ^^ 2

х,х3 +Е22х2 +р2ф^,х2

Из найденных компонент вектора перемещений и значений постоянных (2) с учетом формул (5) - (7), можно определить компоненты тензора напряжений, моментных напряжений, компоненты тензора изгиба кручения.

В сравнении со случаем изгиба прямолинейного стержня [2] в данной работе, депланацию поперечного сечения стержня вызывают не только компоненты тензора силовых напряжений

013, С> 2з, но и компоненты тензора моментных напряжений |ХП, [122 , [1и, [Л,21. Аналогично определена депланация в работе [3]. Также можно заметить, что изгиб прямолинейного цилиндрического тела напрямую зависит от величины значений статических моментов инерции, причем ^ и

Б 2 одновременно в нуль не обращаются.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пальмов, В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости / В. А. Пальмов // ПММ, 1964. - Т. 28. - № 3. - С. 401 - 408.

2. Лурье, А. И. Задача Сен-Венана для стержней, близких к призматическим / А. И. Лурье, Г. Ю. Джанелидзе. - ДАН. - Т. XXIV. - № 1-№ 3. - 1939.

3. Илюхин, А. А. Растяжение микрополярного естественно закрученного стержня // А. А. Илюхин, А. К. Попов. - Научно-технический вестник Поволжья. - 2011. - № 6. - С. 37-42.