Решения модифицированного классического уравнения Янга-Бакстера для алгебры Ли g =sl Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.999

РЕШЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО КЛАССИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЯНГА—БАКСТЕРА ДЛЯ АЛГЕБРЫ ЛИ 0 = С)1

© 2008 Е.И.Коновалова2

В работе приводятся основные понятия теории классических г-матриц. На основе классификации подалгебр в[(3, С), получена классификация тех решений МУБЕ, которые можно представить в виде разности двух проекторов. Кроме того, получена классификация тех решений МУБЕ, которые не представимы в виде разности двух проекторов. Таким образом, получена полная классификация решений МУБЕ для алгебры Ли в[(3, С).

Ключевые слова: модифицированное уравнение Янга—Бакстера, классическая г-матрица, алгебра з1(3, С), классификация подалгебр з1(3, С), решения МУБЕ.

Введение

Метод классической г-матрицы играет важную роль в теории интегрируемых систем. В самой общей постановке определение классической г-матрицы может быть дано следующим образом. Пусть 0 — алгебра Ли над полем комплексных чисел С и Я : 0 ^ 0 — линейный оператор.

Определение 1.1 ( [1]): Говорят, что Я — классическая г-матрица, если скобка

[■х,у]к:=-([Ях,у] + [х,Яу]) (1)

удовлетворяет тождеству Якоби.

Классическая г-матрица задает на алгебре Ли 0 структуру алгебры Ли 0Я с коммутатором [х, _у]#. Алгебру Ли 0 вместе с классической г-матрицей называют двойной алгеброй Ли.

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором А.Н.Пановым.

2Коновалова Елена Игоревна ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Модифицированным классическим уравнением Янга—Бакстера (МУВЕ) называется уравнение

[Ях, Яу] _ Я([Ях,у] + [х, Яу]) = _[х,у]. (2)

Уравнение МУВЕ является достаточным условием для того, чтобы Я являлся классической г-матрицей. Положим Я± = ^(Я±1), где I — тождественный

оператор. Обозначим через Ц--прямую сумму подпространств, д± = 1шЯ±,

Ц = КегЯ+, т± —дополнительные подпространства к 1± в д±. Поскольку т± как линейное пространство изоморфно д± Д±, то будем считать т± алгеброй Ли относительно коммутатора из дД±. Отображение 6я : т+ ^ т-, для которого 0я((Я +1)х) = (Я _ 1)х называют преобразованием Кэли. Справедлива следующая теорема:

Теорема 1.2 ( [1]): 1. Если Я — решение МУВЕ, то выполнены свойства:

1) 1+ идеал в д+, и идеал в д_, 1+ П и = 0;

2) Шшд± + diшiт = Шшд;

3) 6я : т+ ^ т_ есть изоморфизм алгебр Ли без неподвижных точек (т.е. для всякого х е т+, х Ф 0 выполняется: (х + ц) П (0я(х) + и) = 0);

4) (1 _ 6я)т+ + и + i_ = а.

2. Обратно, пусть д — алгебра Ли, д± —ее подалгебры и выполнены условия 1)-4). Тогда формула Я(х) = (1 + 0я)хо + х+ _х_, где х е д, хо е т+, х± е i±, задает решение модифицированного классического уравнения Янга—Бакс-тера (2).

Цель настоящей работы — найти все решения МУВЕ для алгебры Ли з!(3, С) с точностью до эквивалентности. Основной результат сформулирован в теореме 4.2.

Важные для приложений решения МУВЕ строятся следующим образом. Пусть д представлена в виде прямой суммы двух своих подалгебр как линейных подпространств: д = щ + д2, Рг — проектор на д- параллельно дополнительной подалгебре, тогда Я = Р1 _ Р2 — решение уравнения МУВЕ. Теорема классификации таких решений для алгебры Ли д = з!(3, С) сформулирована в теореме 3.3. Более подробно, этот случай изложен в работе [2].

Этот пример показывает, что поиск решений МУВЕ для з!(3, С) следует начинать с изучения ее подалгебр. Классификация подалгебр з!(3, С) приведена в предложении 2.2.

Будем пользоваться следующими обозначениями: д = 5[(3, С), О = 8Ь(3, С), А = А^(д);

дх = {у е д : [у, х] = 0} — централизатор элемента х в алгебре д; дК = {у е д : [у, К] = 0} — централизатор подпространства К в алгебре д; Ох = {# е О : Adg(x) = х} — централизатор элемента х в группе О; погш0(К) = {х е д : [х, К] с К} — нормализатор подпространства К алгебры д;

А^ = {Ф е А : Фф с ^ — нормализатор подалгебры f в группе А; Оf = {# е О : я^1 с ^ — нормализатор подалгебры f в группе О;

F(X) = —Xf — автоморфизм Картана (X е g);

F(X) = —X, где X — транспонирование относительно побочной диагонали); f — подалгебра g, f — подалгебра, сопряженная f относительно F; fk — верхний индекс означает размерность подалгебры;

[eij}\j=l - стандартный базис в gl(3,С), hn = вп — егг, hi3 = en — в33, Й23 = = e22 — езз;

h — подалгебра Картана;

n± — подалгебра верхне (нижне) треугольных нильпотентных матриц;

b± — подалгебра верхне (нижне) треугольных матриц (подалгебра Бореля);

m = Cei3 + Се2з —нильпотентная подалгебра;

m = Cei2 + Cei3 —подалгебра, сопряженная m относительно F;

Ai = Chi2 + Cei2 + Ce2i и Ai = Chi3 + C(ei2 + e23) + C(e2i + e32) — изоморфны

sl(2, С);

* * \ ' 0 * * s

Р' = * * * , Р' = 0 ** — подалгебра, сопряженная Р' относитель-

, 0 0 0 / 0 **

но Ff;

' * * 0

Р' = * * 0 — подалгебра, сопряженная Р' относительно F;

ч * * 0

/ * * * N

Р = * * * — параболическая подалгебра;

V 0 0 * ,

г * * * N

Р = 0 * * — параболическая подалгебра, сопряженная Р относительно

0 * * ,

Ff;

E — единичная матрица, E' —матрица с единицами по побочной диагонали.

1. Классификация подалгебр ^1(3, С)

Определение 2.1: Будем говорить, что подалгебра | сопряжена подалгебре У, если существует ф е Ли1:(з[(3, С)) такой, что | = ф(Ю.

Классификация подалгебр £[(3, С) с точностью до сопряжения вытекает из [3] и может быть сформулирована в виде предложения:

Предложение 2.2: Всякая подалгебра | с л[(3, С), dimf ^ 2 сопряжена в смысле определения 2.1 одной из следующих подалгебр (в обозначении ^ верхний индекс означает размерность подалгебры): 1.

2. ^ = С(Й12 - Й2э) + Сад

3. т = Се13 + Се23;

4. ^ = С(в12 + ^23) + С^13.

5. f2 = С(^1ец + ~к.2е22 + ~^3е3ъ) + Се13, для некоторых Х-, таких что X, ф Ху,

г Ф ), 2 Х- = 0; две подалгебры вида |2, отвечающие наборам (Х;, Х2, Х3)

сопряжены, если (Х;, Х2, Х3) = с(Ха(;), Ха(2), Ха(3)), где о или тождественная подстановка, или подстановка (1,3) и с — ненулевая константа;

110

' + Сй1Э;

6. ^ = С

0 0

1 0

0 -2

7. ^ = С(йх3 + Й2э) + Се1э;

8. ^ = СЙ13 + С(е12 + е23);

9. А1 = Сй12 + Се12 + Се21;

10. а; = СЙ13 + С(е12 + е23) + С(е21 + ¿32);

11. п+ - подалгебра верхнетреугольных нильпотентных матриц; 1 1 0

12. = т + С

0 0

1 0

0 _2

13. Ц = т + СЙ0, где й0 е й0 Ф 0 (две подалгебры т + Сй0 и т + Сй0 изоморфны тогда и только тогда, когда ^0 = ой0, где о подстановка (1,2));

14. = & + Се;3;

15. ^ = С(е;2 + ¿23) + Се;3 + СЙ13;

16. ^ = & + Се;2 + Се21;

17. £ = т +

18. ^ = п+ + Сй0, для некоторого й0 е й0 Ф 0;

19. Ь+;

20. р';

21. р — параболическая подалгебра.

2. Разложение £[(3, С) в прямую сумму двух подалгебр

Изложим общую схему классификации. Пусть имеется два разложения алгебры £[(3, С) в прямую сумму двух подалгебр как линейных подпространств: £[(3, С) = д; +д2, £[(3, С) = д; +д2. Во избежание двойного пересчета везде далее будем считать, что dimgl ^ dimg2 (diшg'l ^ dimg2).

Определение 3.1: Будем говорить, что два разложения сопряжены, если существует Ф е Аи1:(£[(3, С)) такой, что Ф(д;) = д'; и Ф(д2) = д2.

Пусть теперь д1 одна из подалгебр из формулировки предложения 2.1, такая, что dimgl ^ 4.

Определение 3.2: Подалгебру д2 назовем дополнительной к д;, если д; +д2 = £[(3, С). Обозначим через Х01 множество дополнительных подалгебр к д1.

Разобьем задачу классификации на следующие две задачи:

Задача А: Выяснить, для каких д; множество Х01 пусто. Если Х01 Ф 0 дать описание Х01.

Задача Б: Обозначим через А01 = Когш^д;. Описать орбиты присоединенного действия А01 : Х01 — Х01.

Множество пар (д;,д2), где д; —одна из подалгебр предложения 2.2 размерности меньше 5, а д2 — представитель -орбиты в Хд;, является полным списком всех разложений д = д; + д2, diшgl ^ д2 с точностью до сопряжения.

Теорема 3.3 ( [2]): Пусть д; и д2 - две подалгебры £[(3,С), £[(3,С) =

= д1 + д2 - прямая сумма подалгебр как линейных подпространств. Утверждается, что:

А. Для всякой подалгебры д; множество Хд; не пусто.

Б. Для всякой подалгебры д;, dimgl = 2, кроме подалгебры сопряженной '4, существует ровно одна орбита присоединенного действия : Хд; — Хд;. Если подалгебра д; сопряжена f4, то существуют две орбиты присоединенного действия на Х01 .

Если подалгебра д; сопряжена п+, А; или А;, то существует одна орбита присоединенного действия : Хд; — Хд;. Для всех остальных подалгебр д1 размерности 3, существует две орбиты присоединенного действия на Х01 . Если подалгебра д; сопряжена то существует две орбиты присоединенного действия : Хд; — Хд;. Если д; сопряжена f4 или '3, то существует три орбиты присоединенного действия на Х01 .

С. Пусть д;, д2 две подалгебры такие, что £[(3,С) = д; + д2. Тогда пара (д1, д2) сопряжена одной из следующих пар или паре, которая получается перестановкой слагаемых:

1. д; = д2 = Трт, где Т =

1 0 0

0 1

2. д; = = С(Й12 _ Й23) + Се;3, д2 = ТрТ, где Т =

3. д; = Ц = С(е;2 + ¿23) + Се;3, д2 = ТрТ, где Т =

0 0 1

= ^ = '3

д2 = ТрТ, где Т =

1 1

1 0 ;

0 0

0 1 4

1 0 = Е';

0 0 ]

к таких что

0 1 1 0 1 0 1 0 0

5. д; = т, д2 = ТрТгде Т = Е';

1 1 0

0 1 0

0 0 _2

1 1 0

0 1 0

0 0-2

6. д; = '4 = С

7. д; = '4 = С

+ Се;3, д2 = ТрТ, где Т = Е';

+ Се;3, д2 = ТрТгде Т =

0 0 1 1 1 0 1 0 0

8. 01 = % = С 2

1 0 0 0 1 0

0 0-2

+ Се13, 02 = ТрТ-1, где Т =

9. й1 = f2 = СЙ13 + С(е12 + е23), 02 = ТрТ-1, где Т =

10. 01 = ^ = т + С

0 0 1 1 1 0 10 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0

11. Й1 = 12 = т + С

1 1 0

0 1 0

0 0 -2 а0 0 0 0 р0 0 0 0 у0

02 = р';

У0 ф 0, й2 = р';

12. 01

= ^ = & + Се13, 02 = Тр'Т-1, где Т =

13. ш = £ = СЙ13 + С

14. 01

15. 01

0 1 0 0 0 1 .0 0 0.

= п+, Й2 = ТЬ+Т-1 = 6-, где Т = Б';

,10 0

= А, Й2 = Т 6 + Т-1, где Т =

0 1 1

0 1 0 1 0 0

' -1

+ Се13, 02 = Тр'Т-1, где Т = Б';

16. 01

17. 01

18. ш

= , 02 = Т 6+Т-1, где Т = = |3 = т + С

0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1

= Ц = т + С

1 1 0

0 1 0

0 0 -2 ,

а0 0 0

0 р0 0

0 0 у0

02 = ТЬ+Т 1 = 6-, где Т = Б'; , а0 Ф р0, 02 = ТЬ+Т-1,

где Т =

0 1 0 0 1 0 1 0 1

19. 01 = 13 = & + Се13, 02 = ТЬ+Т-1, где Т =

0 1 1 1 1 0 1 0 0

20. 01 = Й = СЙ13 + С

где Т =

13

0 1 1 0 1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0

+ Се13, 02 = ТЬ+Т-1,

21. Й1 = Ц = Ц + Сб12 + Св21, 02 = Т?2т-1, где Т =

1 0 0 0 1 0 1 1 1

22. й1 = = Ц + т, 02 = Т-1, где Т =

23. А1 = Й = п+ + С

а0 0 0 0 р0 0 0 0 у0

1 0 0 0 1 0 .10 1,

02 = ТЙТ-1, где Т =

24. й1 = ^ = Ц + Се12 + Се21, 02 = ТТ^Т-1, где Т =

0 0 1 0 1 0 110 1 0 0 0 1 0 1 0 1

25. 01 = = п+ + Сй1, 02 = п- + Сй2, где Н1,й2 е Ц, й1 Ф Ск2.

3. Решения MYBE, не представимые в виде разности проекторов

Определение 4.1: Будем говорить, что решение МУВЕ Я1 сопряжено решению Я2, если существует ф е Ли1:(£[(3, С)) такой, что Я1 = фЯ2ф-1.

В следующей теореме построены семейства решений МУВЕ, которые не представимы в виде разности двух проекторов.

Теорема 4.2: Всякое решение Я : £[(3, С) ^ £1(3, С) модифицированного уравнения Янга—Бакстера для 0 = £[(3, С), не представимое в виде разности двух проекторов, сопряжено одному из следующих решений:

(«ц(3 - с) + 4с«33 \

«11 «12 «13 3(1 + с) «12 «13

1. Я «21 «22 «23 = -«21 - 2«32 «11 - «зз «23 + 2«12

«31 «32 «33, э -4«и + «зз(1 - Зс)

-«31 -«32 3(1 + с) )

\

где 2«и = 0, с ф 0, с Ф -1.

(«ц(3 - с) + 4с«33 \

«11 «12 «13 3(1 + с) «12 «13

2. Я «21 «22 «23 = 2«32 - «21 «11 - «33 «23 - 2«12

«31 «32 «33, э -4«ц + «зз(1 - Зс)

-«31 -«32 3(1 + с) )

\

где 2«и = 0, с ф 0, с Ф -1.

«11 «12 «13 ' «'11 -«12 «13 - 2«23

3. Я «21 «22 «23 -«21 «'22 "«23 ,

«31 «32 «33, -«31 -«32 «33

где

, _ «и - 2а21 + с{ап + 1а22 + 2а21 ~ 2«12) 11 " 1-Зс

, _ «22 ~ 2«12 + с(4«ц - «22 + 4«12 ~ 4«21) 22 ~ 1 - Зс

«33 + 2а12 + 2а21 + с(-4«ц + азз + 2а21 - 2а12)

1 -3с

2 «и = 0,

с Ф 0,

4. Я

а11 а21 а31

а12 а13 а22 а23 а32 а33

а33

-ЙЦ -«12 Н--«13

С

где 2 «и = 0, с ф 0.

5. Я

«11 а21

«31

а12 «13 «22 «23 «32 «33,

-«21 -«31

-«11 +

«22 «32

«23 -«33

«33

с - 1 «21

«11 +

"«31

«12 С

с- 1

-«32

«33

«13

«23 1 +с 1-е

«33

где 2 «ц = 0, с ф 0, с ф 1.

/

-«11 +

6. Я

«11 «21 «31

«12 «13 «22 «23 «32 «33,

2а у - 2с

"«21 "«31

«33

-«22 +

«12 2|3

у - 2с «32

«33

у

где 2 ац = 0, а + |3 + у = О, с Ф 0, с Ф -.

' 1 - 2с

-«п

«13

«23 у + 2с у - 2с

«33

7. Я

«11 «21 «31

«12 «13 «22 «23 «32 «33,

1 + 2с

-«21

-«31

«12 -«22 -«32

«13

2«12 - «23 2с - 1

-——Я11 + «22 1 + 2с

где 2 «« = 0, с ф О, с ф --.

8. Я «11 «21 «12 «22 «13 «23 = -«11 -«21 «11 й12+ 27 -«22 «13 2«12 - «23

«31 «32 «33, .-«31 -«32 -«33 /

где 2 «и = 0, с ф 0.

«11 «12 «13 '«11 а'12 «13 - 2«23

9. Я «21 «22 «23 = -«21 «22 -«23 ,

«31 «32 «33, ,-«31 -«32 «33 '

где

^1(«11 - 2«21 + с(2«22 - 2«12 - «11 + 2«21)) + ^2(2«21 - «11 - с«ц)

(1 - с)(Л.1 - Х2) '

«33 =

, _ \\{-Аса22 + Ъса\2 - а \2) + А,2(-4са21 + 4сап - ап(\ ~ с)) Й12 " (1 " - Л2)

, _ («22 + са22 - 2ап) + Л.2(2<Ж12 - «22 - 2саи + са2г ~ 2сап + 2са2\) 42 ~ 1 - Зс

, \\(еа\\ - 2са21 - 3са22 + 2са\2 - яц + 2а21 а22) '33 = (1 - с)()ч - Хг) +

Л2(3сац - 2са21 - СЯ22 + 2са12 - ац + Я22 - 2а12)

(1 - с)(Х1 - Х2)

Еай = 0, с^О,

а11 а12 а13 Га'ц а12 а13 - 4а23Ч

10. Я а21 а22 а23 = -а21 а22 -а23

«31 а32 а33 -а31 -а32 а33

где

2са12 + 7сац - 8са21 + 4сазз + ац - 4а21

а12 =

«12(5 - с) 1+с

с + 1

+ 8ац - 8а21 + 4азз,

2са12 + а11(9с + 3) + а21(-8с - 4) + а33(5с + 1)

" Г77 '

-4са12 + а11(-16с - 4) + а21(16с + 8) + а33(-9с - 1)

1 + с

^ ац = 0, с Ф 0, с Ф -1.

а11 а12 а13 Га'ц а12 а' 13

11. Я а21 а22 а23 = -а21 а22 -а23

а31 а32 а33 -а31 -а32 а33

где

-4азз - 5аи - 2а2з + 2аз2

(2 - 4с)азз + (4 - 2с)(ац + а2з) + (2 + 2с)аз2 - 3са12 12 = 3^ '

(2 - 4с)а33 + (4 - 2с)(ац + а23) + (2 + 2с)а32 - 6са12 + 3са13

~Ъс :

, -а33 + ац - 2а23 + 2а32

2 ац = 0, с Ф 0.

5«33 +4ап + 4Й23 - 4Й32 3

12. Я

а11 а12 а13

а21 а22 а23 а31 а32 а33)

'а'п

а21 а22 "а31 -а32

-а12 а13 - 2а23 '

-а23 а33

а11 =

а33 =

а11 =

а13 =

а22 =

а33 =

где

а'п = (1 + 2с)ац - «21(2 + с) + 2са\2 + сазз, а'22 = ац(2с - 1) - са21 + а^(с - 2) + (с - 1)азз, а'ъъ = -4сац + 2а21(1 + с) - 2а12(с - 1) - азз(2с - 1),

Е аи = 0, с Ф 0.

а11 а12 а1з ' а'и -а12 а1з - 2а12

13. Я а21 а22 а2з = -а21 а22 -а2з

аз1 аз2 азз, -аз1 -аз2 азз ^

где

а22 =

(-5с + 2)ац + 2аз2(с + 2) - 2а2з(с - 2) - 4сазз Зс + 2 :

ац (-2 + с) + 2саз2 - (4 + 2с)а2з - (2 + с)азз Зс + 2 '

4сац - 4аз2(с + 1) + 4са2з + азз(5с + 2)

зс + 2

2

Еай = 0, с ф 0, сФ--.

а11 а12 а1з ' а'п а12 а1з

14. Я а21 а22 а2з = -а21 а22 а2з

аз1 аз2 азз, -аз1 -аз2 азз

где

2ап(с22 - с12 - 1) + азз(с22 + с21 - с12 - сц)

а11,

а22 =

-2ац(с22 - 1 + с12) + азз(2 - сп - с12 - с21 - с22)

а22,

4с12а11 - 2(1 - сп - с12)

азз,

2 ац = 0, сц, с12, с21, с22 е С, с = (1 - сп)(с22 - 1) + с21с12 Ф 0.

15. Я

а11 а12 а1з

а21 а22 а2з аз1 аз2 азз.

2са1 х + ац а12 а1з

-а21 2с^1 х + а22 а2з -аз1 -аз2 2су1 + азз

где а1,2, в 1,2, У1,2, с е С, а1,2 + 01,2 + 71,2 = 0, £ аи = 0, с Ф 0, с Ф 1, ацУ2 - а2азз

х=

(1 - с)(а1 у2 - а2У1)'

Доказательство: Найдем подалгебры 1±, д± в £[(Э,С), удовлетворяющие условиям теоремы 1.2. Заметим, что в случае, когда ц = д+, из п. 2) теоремы 1.2 следует, что = и, и следовательно, из п. 4) теоремы 1.2 вытекает,

а11 =

азз =

а11 =

с

с

азз =

с

что g = g+ + g_. Таким образом, g представлена в виде суммы двух своих подалгебр, тогда R — разность проекторов. Поэтому случай, когда i+ = g+, далее не рассматриваем.

Чтобы избежать двойного пересчета, везде далее будем считать, что dim i+ ^ dim i_. Подалгебра i+ может иметь размерность 2, 3 или 4. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

1. Пусть i+ —подалгебра размерности 2. Будем считать, что подалгебра i+ равна одной из восьми двумерных подалгебр из предложения 2.2. По п. 2) теоремы 1.2 dimg_ + dimi+ = dimg, следовательно, dimg_ = 6. По

предложению 2.2, подалгебра g_ сопряжена параболической подалгебре p = / \

* * *

* * * . Все собственные идеалы подалгебры p исчерпываются иде-0 0 * J

алом размерности два ii = m = Cei3 + Се23, идеалом размерности три i2 = 10 0

+ m и идеалом размерности 5 i3 = Ai + m = p'. Поскольку

С

0 1 0 0 0 -2 .

dimg+ + dimi- = 8 (см. п. 2 теоремы 1.2), то подалгебра 0+ может иметь размерность 3, 5 или 6. Подалгебра 0+ вкладывается в погт5[(з,с)(Ч+). Вычислим нормализаторы i+, результаты вычислений занесем в таблицу: 1,а). Пусть dimi- = 2, следовательно, dimg+ = 6. Так как 0+ с погт5[(з,с)0+),

Таблица

V+ normsI(3,C)(i+) dim(norm(i+))

ь Ь 2

f? = С(Й12 " йгз) + Се13 £ = f) + Сев 3

т = Се в + 02з Р 6

fl = C(ei2 + е23) + Се13 СЙ1з + п+ 4

% 0 0

f3 = С 0 %2 0 + Се13 f? = ь + Се13 3

,0 0 13

(11 О4) П 0 0

f4 = С 0 1 0 + Се13 С 0 1 0 + т 3

[о 0 -2J [о 0 -2)

fi = С(Й13 + йгз) + Се13 f) + т 4

^ = СЙ1з + С(е12 + е23) f2 Tfi 2

то dim(norms[(зIc)(i+)) ^ 6. Из таблицы видно, что это возможно только в одном случае i+ = т. Поскольку dimg+ = 6, то 0+ = р. Итак, i+ = т =

0 0 * / * * *

0 0 * , g+ = p = * * * . Поскольку g_ сопряжена p, то существу

1 0 0 0 J , 0 0 * J

ет автоморфизм ф е Ли1:(£[(3, С)) такой, что = ф(р), 1- = ф(т). Возможны два случая: 1) подалгебра и сопряжена относительно присоединенного дей-

0 0 0

ствия 8Ь(3, С) подалгебре Се31 + Се32 =

0 0 0 0

т. е. найдется элемент

g е 8Ц3, С) такой, что и = Ad„(Сeзl + Сеэ2) и и) 1- сопряжена относитель-

но присоединенного действия 8Ь(3, С) подалгебре Се21 + Се31 =

0 0 0 * 0 0 * 0 0

т.е. найдется элемент g е 8Ц3, С) такой, что и = Adg(Сe2l + С^). Элемент g е 8Ь(3, С) можно представить в виде g = Ь+wЬ-, где Ь+ принадлежит группе верхнетреугольных матриц В + , Ь-е В-, w — элемент группы Вейля. В случае 1),

1- = Ad„(Сeзl + С^32) = Adь+wЬ- (Се31 + С^) = Adь+w(Сeзl + Се32)

(3)

Согдасно п. 1) теоремы 1.2, пересечение 1+ П1- нулевое, следовательно, 1+ П Adw(Сeзl + Се32) = {0}. Это возможно только тогда, когда w принадлежит

0 1 0

подгруппе перестановок, порожденных элементом

1 0 0 0 0 1

Продолжая

(3), получаем 1- = Adь+w(Се31 + Се32) = Adь+ (Се31 + Се32). Тогда имеем

Adb+ -1 (1-) = Се31 + Се32, Adь+_l (1+) = 1+.

Заменяя оператор Я на сопряженный Adь+_l(Я)Adь+, получаем, что 1+ = т, д+ = р, 1- = Се31 + Се32, д- = Ь- + Се12. Следовательно, А+/1+, й-/1- рав-

автоморфизм 5/(2, С) на

5/(2, С). Известно, что у автоморфизма простой алгебры Ли есть неподвижная точка, что противоречит условию теоремы 1.2, следовательно, в этом случае оператор Я построить нельзя. В случае п),

* * 0 * * 0 * * 0

ны * * 0 , тогда 6я * * 0 = * * 0

, 0 0 * , , 0 0 0 , 0 0 0 )

1- = Ad„(Сe2l + Се31) = Мь+„ь_ (€«21 + С^О = Adь+w(Сe2l + С^О-

(4)

Согласно п. 1 теоремы 1.2, пересечение 1+ П 1- нулевое, следовательно, 1+ + П Adw(Сe2l + Сй3') = {0}. Это возможно, когда w принадлежит набору

' 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4

е = 0 1 0 , (12) = 1 0 0 , (13) = 0 0 1 , (12)(13) = 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

Элемент w можно представить как произведение двух перестановок w = о+

/ \ * * *

+о-, где О+ принадлежит группе Р+ =

* * * 0 0 *

о- принадлежит группе

Р_ =

* 0 0

* * *

* * *

. Продолжая равенство (4), получаем i- = Adb+W(£e2i + Cesi) = Adfo+a+a_ (C*21 + Cesi) = Adb+a+ (Ce2i + Cesi).

Тогда Ada+ -1^+ -i(i-) = Ce2i +Cesi, Ada+-i¿+-i(i+) = i+. Заменяя оператор R на сопряженный Ada -iъ -i(R)Adb+a+, получаем, что i+ = m, g+ = p, i- = Ce2i + Cesi,

g- = b_ + Ce2i. Следовательно, g+/i+ =

/ * * 0 / * 0 0

* * 0 , fl-/i- = 0 * *

, 0 0 * J 1 0 * * ,

/ * * 0 / * 0 0

0R : * * 0 —> 0 * *

, 0 0 * J 1 0 * * J

, автоморфизм без неподвижных точек (см. п. 3 теоремы 1.2). Автоморфизм представим следующим образом:

/ i А 0 А 0 \ ' i 0 0 \ / 0 0 0 " / -2 0 0

0R + 0 i 0 = 0 0*(А) ) + С 0 i 0

\ ч 0 0 0 / 1 0 0 -2 J ) \ 0 \ 0 0 i j

где с е С*, А е з[(2,С) и 6* : з[(2,С) —> £[(2,С) — автоморфизм алгебры 5[(2, С). Алгебра з[(2, С), с точностью до присоединенного действия группой Р+ П Р-, имеет четыре автоморфизма: 1) 6* = ¡д — тождественный автоморфизм, 2) 6* = Adw, где w = | 0 0 3) 6* = F, где F — внешний

автоморфизм (см. обозначения), 4) 6* = F■ Adw. Заметим, что во втором и третьем случаях у автоморфизма есть неподвижная точка (например,

0 0 0 1 0 1 .0 0 0.

В первом случае, оператор 6* имеет вид: 6*(А) = А. Оператор

во втором случае, элемент

принадлежит (x + i+) П (6(x) + i-)).

0R

ass

«п + Т a2i 0

ai2

0

ass

«22 + — О

0

0

+

«33 2

-^0 0

0 0

ass

-— о

2

0 ass

0

0

ass

0 «11 + —

0

a2i

ai2

a22 +

«зз 2

+ c

ass 0 0

0 о

2

о о

2

не имеет неподвижных точек тогда и только тогда, когда с е С*, с Ф -1. Алгебру 5[(3, С) можно представить в следующем виде: £[(3, С) = (1 - 6#)ш+ + 1+ + 1-, решение уравнения Янга—Бакстера записывается в виде: Я(х) =

= (1 + 6Я)хо + х+ - х-, где х е в[(3, С), хо е т+, х± = 1±. Тогда

«и(3 - с) + 4с«ээ

Я

«11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33

3(1 + с)

-«21 - 2«32 -«31

«12 «11 - «33

3

-«32

«13 «23 + 2«12

-4ап + а33(1 - 3с) 3(1 + с)

где 2 «ц = 0, с ф 0, с ф -1.

В четвертом случае, оператор 6* имеет вид: 6*(А) = -А, где А —транспонирование относительно побочной диагонали. Оператор

6я

«33 «11 + т

«21 0

«12

о

«33 п «22 + — 0

о о

о о

( «33 2

+

о

о

о о

«33 -— 0 2 о

п й33

0 -«22 - —

«12

о

«21

"«11

«33 2

«33

+с

«33 о о

о «33 2 о о

о «33 2 ^

не имеет неподвижных точек тогда и только тогда, когда с е С*, с ф -1. Алгебру £[(3, С) можно представить в следующем виде: £[(3, С) = (1 - 6я)т+ + 1+ + и, решение уравнения Янга—Бакстера записывается в виде: Я(х) = = (1 + 6Я)хо + х+ - х-, где х е в[(3, С), хо е т+, х± = 1±. Тогда

< «11(3 - с) + 4с«33

Я

«11 «12 «13

«21 «22 «23 «31 «32 «33

3(1 + с)

2«32 - «21 -«31

«12 «11 ~ «33

3

«32

«13 «23 - 2«12

-4«ц + «33(1 - 3с)

3(1 + с)

где 2 «и = о, с Ф о, с Ф -1.

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Литература

[1] Рейман, А.Г. Интегрируемые системы / А.Г. Рейман, М.А. Семенов— тян—Шанский - М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 352 с.

[2] Коновалова, Е.И. Разложение £[(3, С) в прямую сумму подалгебр Ли как линейных подпространств / Е.И. Коновалова // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2007. - №7(57). -С. 63-72.

[3] Баранник, А.Ф. Подалгебры афинной алгебры АЮЬ(Ъ, К.) / А.Ф.Баран-ник, Ю.Д.Москаленко, В.И. Фущич Препринт 89-65. - Киев: Математический институт Академии наук Украины, 1989.

SOLUTIONS OF MODIFIED YANG-BAXTER EQUATON OF LIE ALGEBRA g = sl(3, C)3

© 2008 E.I. Konovalova4

In the paper a basic notion of classical r-matrix theory is given. Based on subalgebra sl(3, C) classification of MYBE solves that may be represented as a difference of two projectors is obtained. Thus, a full classification of MYBE solves for the Lie algebra sl(3, C) is given.

Keywords and phrases: modified Yang-Baxters equation (MYBE), classical r-matrix, Lie algebra sl(3, C), classification of subalgebras sl(3, C), MYBE solves.

Поступила в редакцию 18/ VIII/2008; Paper received 18/ VIII/2008.

в окончательном варианте — 18/VIII/2008. Paper accepted 18/VIII/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. A.N. Panov.

4Konovalova Elena Igorevna ([email protected]), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.