Метод решения систем линейных алгебраических уравнений для задач моделирования электронных устройств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510:517.9:519.2 Чье Ен Ун,

д. т. н, зав. кафедрой автоматики и системотехники ТОГУ,

тел.: (4212)375-191 Шеин Александр Борисович, к. т. н, доцент кафедры промышленной электроники Чувашского ГУ,

тел.: (83540)22-344

МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ

En Un Chye, A.B. Shein

METHOD OF THE SOLUTION OF SYSTEMS OF THE LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS FOR TASKS OF DESIGN OF ELECTRONIC DEVICES

Аннотация. Предлагается метод решения систем линейных алгебраических уравнений, который отличается от известных методов тем, что его вычислительная схема позволяет находить все возможные решения системы, напрямую связанные с размерностью системы.

Ключевые слова: проектирование электронных устройств, решение систем линейных алгебраических уравнений, вычислительная схема.

Abstract. The method of the solution of systems of the linear algebraic equations which differs from known methods by its computing scheme which allows to find all possible solutions of system directly connected with dimension of system is offered.

Keywords: design of electronic devices, decision of systems of the linear algebraic equations, computing scheme.

Введение

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) находят широкое применение при решении различных научно-технических задач. К ним относятся методы схемотехнического моделирования электронных устройств, так как многие из них, например, расчет нелинейных схем в статическом и переходном режимах работы, параметрический синтез схем и некоторые другие, сводятся к решению систем алгебраических уравнений [1-3].

Поэтому так актуально развивающееся в последние годы направление схемотехнического моделирования, связанное со снижением вычислительных затрат путем разработки специальных методов решения систем уравнений, учитывающих структуру схемы [1].

В задачах схемотехнического моделирования требуется решение СЛАУ вида:

0^11 Xl X2 Х3 ^Ъ ... ^Ъ а1п*п —Ь\ ;

а21Х1 + а22Х2 + а23X3 + ... Ъ а2nXn — Ь2 ;

ап1 х, + ап 2 х2 + ап3 х3 +... + ах — Ьп,

п1 1 п2 2 п3 3 пп п п '

где ак - коэффициенты, Ьi - свободные члены системы, xi - неизвестные, подлежащие определению. Решение этой линейной системы является одной из основных задач линейной алгебры.

I. Постановка задачи

Известно, что методы решения СЛАУ делятся на две группы: точные (без учета ошибок округления) или прямые, когда решение получается за конечное, известное заранее число операций, и итерационные, когда решение получается как предел последовательных приближений [4-7].

Алгоритмически более надежными являются методы первой группы. В них не возникает проблемы сходимости, но область применения некоторых из них ограничена. Из точных методов решения СЛАУ наиболее распространен метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных и приведении исходной системы уравнений к системе уравнений с верхней треугольной матрицей [4-7]. Метод получил название схемы единственного деления.

Большинство других точных методов является модификацией схемы единственного деления Гаусса, отличаясь либо порядком исключения неизвестных, либо способом получения коэффициентов треугольной матрицы. Например, метод оптимального исключения можно рассматривать как видоизменение метода Гаусса, который требует

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

при реализации меньше элементов памяти ЭВМ, так как на каждом шаге преобразуется не вся система, как в методе Гаусса, а только часть ее уравнений. Если использовать только оперативную память ЭВМ, то методом оптимального исключения можно решать системы с числом неизвестных приблизительно в два раза большим, чем по методу Гаусса. Кроме того, так как на каждом шаге исключается та неизвестная, коэффициент при которой имеет наибольшее значение, то это повышает точность вычислений, особенно в плохо обусловленных (с большим разбросом собственных значений) системах уравнений. Метод оптимального исключения близок к методу Гаусса и отличается существенно лишь тем, что обратный ход метода Гаусса здесь видоизменен и соединен с прямым ходом [8].

В некоторых программах схемотехнического моделирования используется компактная схема Гаусса, называемая также методом Ьи-разложения или методом треугольных сомножителей [9]. В основе метода лежит представление матрицы системы в виде произведения нижней Ь и верхней и треугольных матриц. Тогда вместо решения СЛАУ методом полной обратной матрицы решение системы можно получить в два этапа. На первом этапе с помощью нижней матрицы Ь, содержащей единичную диагональ, получают систему с верхней треугольной матрицей и, а на втором этапе с помощью матрицы и получают решение системы как при обратном ходе в схеме единственного деления. При этом процесс получения матриц Ь и и эквивалентен прямому ходу в схеме Гаусса и представляет собой последовательность шагов, каждый из которых соответствует исключению очередного неизвестного в схеме Гаусса.

Перечисленные методы имеют достоинства и недостатки, подробно изложенные, например, в работах [1, 2, 4-9]. Но их общий недостаток заключается в том, что, как правило, методы дают единственное решение СЛАУ, так как основаны на схеме единственного деления, в то время как система может иметь множество решений. Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать, совместна ли данная система уравнений или нет, в случае совместности установить число решений, а также указать способ найти все эти решения [10].

Предлагается метод решения систем линейных алгебраических уравнений, который отличается от известных методов тем, что его вычислительная схема позволяет находить все возможные решения системы, напрямую связанные с размерностью системы [11].

III. Схема метода

Поясним схему метода на примере решения системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными

a^wX а13Хз x4 — , (1) Xi I Х2 I а2з Х3 I x4 — b2, (2)

a^iXj I аз2Х21 аззХ31 аз4Х4 — Ьз, (3)

a4i Xj I а42 Х2 I а4з Хз I x4 — b4 * (4)

Первый проход: умножаем уравнение (1) на коэффициент а21, а уравнение (2) на коэффициент ап и вычитаем вновь полученное уравнение (2) из вновь полученного уравнения (1) (если изменить порядок следования уравнений и вычитать вновь полученное уравнение (1) из вновь полученного уравнения (2), то результат останется прежним); затем умножаем уравнение (1) на коэффициент аз1, а уравнение (3) на коэффициент а11 и вычитаем вновь полученное уравнение (3) из вновь полученного уравнения (1); наконец, умножаем уравнение (1) на коэффициент а41, а уравнение (4) на коэффициент а11 и вычитаем вновь полученное уравнение (4) из вновь полученного уравнения (1).

В результате приходим к системе уравнений

а22Х2 ^ а2з^Хз ^ а24Х4 — b2 ^• (5)

?(l)v ^/^v ^/Л1^ —Ф)- (6)

(7)

где верхние индексы в скобках обозначают номер прохода и одновременно количество преобразований соответствующего коэффициента,

аз2 Х2 + азз Хз + аз4 Х4 — Ьз ;

а42Х2 ^ а4ъХз ^а'| )'Х| b4 ),

т(1) —

• а(1)—,

а22 — а12а21 — а11а22 • а2з — а1за21 — а11а2з •

а24) — а14а21 — а11а24 • — а12аз1 — а11аз2 • аъъ — а1заз1 — а11азз • ^з! — а14аз1 — а11аз4 • а12а41 а11 а42 • а4з' а1за41 а11 а4з •

а'1,' — а,„а„, — а,,а„ ■

44 14 41 11 44 -

ь21} = °21ь1- аиь2;

Ь31) = а31Ь1 - а11Ь3 ; Ь41) = а41Ь1 - а11Ь4 .

Второй проход: поступаем с уравнениями (5), (6) и (7) точно так же, как и с уравнениями (1), (2), (3) и (4).

В результате второго прохода имеем систему уравнений:

43Х + а34) Х4 = Ь32); (8) 43Х + °44) Х4=ь42), (9)

где

азз' — а21з)аз2) — а^ • аз^' — а^ — аМ •

а(2) — а(1)а(1) — а(1)а(1) • а(2) — а(1)а(1) — а(1)а(1) • "4з — "2з"42 "2^4^ "44 _ "24 "42 "22"44 '

# — а (1)b(1)— а(1)Ь(1); # — а (1)b(1) — а ЩО *

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Третий проход: преобразуем уравнения (8) и (9) так же, как и уравнения (5), (6) и (7).

В результате третьего прохода получаем уравнение:

= Ь3), (10)

где

Т(3) = п (2 )п(2) _ пШ2) . , (3) = п (2 Ь(2) _ пШ2)

Л*) - ГМ)Г,\2) _ гМ'гМ' ■ А^ - п\2)у\2> - гМ'К2'

"44 — "34 "43 "33 44 ? и4 ~ "43 3 "33 у4 •

Делим уравнение (10) на коэффициент п44. В результате находим:

Х4 " п(3) .

"44

(11)

Подставляя значение х4 в уравнения (8) и (9), находим значения х3: 1

Х3(1) - (2) ) П34)х4 ) . п33

(Ь(2)_ п(2)х )

3(2) (2)Г4 "44 Л4/-

(12)

(13)

Подстановка значений х4 и х3^, определенных равенствами (11) и (12), а затем х4 и х3(2),

определенных равенствами (11) и (13), в уравнения (5), (6) и (7) дает все шесть значений х2:

х2(1) — " х2(2) — " х2(3) — " х2(4) — " х2(5) — ■

х и) — -

1 Л!! "23Л3(1) п24х4,

П ' 22

1 (1)

0(1) п(1)х п33 х3(1) п34 х4

п32

1 п(Т) "42 № 43 3(1) п44 х4

1 п1 22 _п(1)х , А "23Л3(2) _ п24 х4

1 6.(1 _п (1)х , А 33 3(2) (1)

п® "32 »3 п34 х4

1 6.(1 (1) (1)

"42 »4 п43 х3(2) п44 х4

);

); ); );

Так как неизвестные х4, х3 и х2 определены, то подстановка их в уравнения (1), (2), (3) и (4) позволяет найти все 4 • 2 • 6 — 48 значений :

4 »

х1(1) —-»1 П12х2(1) _П13 х3(1) П14

П1 1

х1(2) —

П21

- (»3

2 П22 х2(1) П23 х3(1) П24 х4 / ;

х1(3) — п »3 п32 х2(1) п33 х3(1) п34 х4

);

31

х1(4) — (р4 _ П42х2(1) _ П43х3(1) _ П44х4 ) ;

п41

х1(5) — '»1 () пл1х1(^\ °АХА

12 2(1) "13Х3(2) 1^4

11

х1(б) — V 2 П22х2(1) П23х3(2) П24х4 /; П21

— 1

1(6)— —(»: п

21

± ь

п31

Г Ь

>41

ь

'1(7)

х1(8) — 1»4 П42 х2(1) П43 х3(2) П44 х4'; П41

3 и32Л2(1) "33Л3(2) "34л4

);

х1(9) — \Ь1 п12х2(2) п13х3(1) п14х4 '; П11

х1(10) — »2 п22 х2(2) п23 х3(1) П24 х4';

- (»3

п31

- (»4

х1 (11) — \»3 п32х2(2) п33х3(1) п34 х4 ';

);

х1 (12) — 1»4 П42 х2(2) П43 х3(1) П44х4/. плл

п11

х1(13) — » п}->х~>(о) °ахА

12Х2(2) 3(2) 1^4 / '

^ (»2

П21

- (»3

п31

- (»4

);

х1(14) — п »2 П22х2(2) П23х3(2) П24х4 ';

х1 (15) — »3 п32 х2(2) п33 х3(2) п34х 4/;

пп

х1(1б) \»4 п42 х2(2) п43 х3(2) п44 х4/;

плл

^ к

х1(17) — '»1 п^1Х~1 () пл лХл

12Л2(3) "13Л3(1) 1^4

);

х1(18) — п »2 п22х2(3) п23х3(1) п24х4) ;

х1 (19) — п »3 п32х2(3) п33х3(1) п34х4 ';

п21 п31 1

п11

); );

х1(20) — »4 п42 х2(3) п43 х3(1) п44 х4/; п41

п12х2(3) _п13 х3(2) _п14х4

х1(22) — {»2 п22 х2(3) п23 х3(2) п24 х4/; п21

х1 (23) — »3 п32 х2(3) п33 х3(2) п34 х4

1 (25)

1

1 (»._

х1 (24) — »4 п42 х2(3) п43 х3(2) п44 х4';

п41

).

п12х2(4) п13х3(1) п14х4 ) .

21

31

11

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Х1(26)

Я21

- (»3

2 а22 Х2(4) а23 Х3(1) а24 Х4/;

Х1(27)= »3 а32Х2(4) а33Х3(1) Я34Х4/; а31

= _1_ (Ь _ _ _ •

Х1 (->о ^ уЬ ,/| а лп х~и\ _ а /1-2 _ а /I /I х I;

1(28)

Х1(29) =

4 42 2(4) 43 3(1) 4^ 4

);

аи - (*2

а12 Х2(4) а13 Х3(2) а14 Х4';

);

Х1 (30) {»2 а22 Х2(4) а23 Х3(2) а24 Х4';

а21

Х1(31) = (Ь3 _а32Х2(4) _а33Х3(2) _ а34Х4 );

- (»4

Х1(32) а V4 а42Х2(4) а43Х3(2) а44Х4 ' ;

);

Х1(33) =

а12Х2(5) а13Х3(1) а14Х4 ) ;

Х1(34) = (Ь2 а22Х2(5) а23Х3(1) а24Х4 ); а 21

Х1(35) = (»3 _а32Х2(5) _а33Х3(1) _а34Х4 );

а

31

к

Я41 1 к

Х1(36) = 1»4 а42 Х2(5) а43 Х3(1) а44 Х4

а41

Х1(37) = »1 а12 Х2(5) а13 Х3(2) а14 Х4 а11

); );

Хл{

= ~ (»2

а21

1(38) = \»2 а22 Х2(5) а23 Х3(2) а24 Х4

^ (»3

Х1(39) = \»3 а32 Х2(5) а33 Х3(2) а34 Х4 а31

);

= ^ (»4

а41

1(40) = »4 а42 Х2(5) а43 Х3(2) а44 Х4

^ к

Х1(41) = »1 а12 Х2(6) а13 Х3(1) а14 Х4

а11

);

Хи

= ^ (»2"

а21

1(42) = \Ь2 а22 Х2(6) а23 Х3(1) а24 Х4

);

^ (»3

а31

1-»

Х1(43) = »3 а32 Х2(6) а33 Х3(1) а34 Х4

а31

Х1(44) = \»4 а42 Х2(6) а43 Х3(1) а44 Х4

а41

); );

Х1(45) =

а12 Х2(6) а13 Х3(2) а14 Х4/;

(»2 а22 Х2(6) а23 Х3(2) а24 Х4 ) ;

'21

= (»3 _ а32Х2(6) _ а33Х3(2) _ а34Х4 ) ; а31

(»4 _ а42Х2(6) _ а43Х3(2) _ а44Х4 )•

Х1 (48) = \»4 а42Х2(6) а43Х3(2) а44Х4) а41

Рассмотрим примеры реализации метода.

Пример 1. Требуется решить систему четырех уравнений с коэффициентами

а11 = 2; а12 = 1; а13 = _5 ; а14 = 1; Ъ1 = 8 а21 = 1; а22 = _3; а23 = 0; а24 = _ 6; »2 = 9; а31 = 0 ; а32 = 2; а33 = _1; а34 = 2 ; »3 = _5 ;

а41 = 1; а42 = 4 ; а43 = _7 ; а44 = 6 ; »4 = 0 .

Определитель системы отличен от нуля: d = 27, поэтому к системе применимо правило Крамера. Значения неизвестных будут иметь числителями определители d1 = 81, d2 = -108, d3 = -27, d4 = 27. Таким образом, Х1 = 3, Х2 = -4, Х3 = -1, Х4 = 1 будут решением этой системы и притом единственным.

Согласно предложенному методу, последовательно находим:

1) а22) = 7; а23) = _5 ; а« = 13; 41 = _4;

^33 2; ^34 4; а42) 7 ; 43 9 ; а44 11; »« = _10; »« = 10; »41)= 8;

2) а33) = 6; а34) = _24; а§ = _28;

¿) = _14 ; »32)= _30 ; = 14;

44

, "4

3) а44 = 756; = 756;

4) Х4 =1;

5) Х3 = Х3(1) = Х3(2) = _1 ;

6) Х2 = Х2(1) = Х2(2) = Х2(3) =

= Х2(4) = Х2(5) = Х2(6 ) = _ 4 ;

7) Х1 = Х1(1) = Х1(2) = Х1(3) = = Х1(4) = ••• = Х1 (48) = 3 •

Метод подтверждает единственность решения системы уравнений и при этом показывает неопределенность неизвестного Х1 для некоторых, например третьего, уравнений системы, так как

«31 = 0.

Решение системы уравнений по схеме единственного деления Гаусса дает такой же результат, но при этом количество длинных операций (умножения и деления), необходимых для реализации метода Гаусса, значительно превышает их количе-

41

31

11

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ство в предлагаемом методе. Это связано с тем, что прямой ход в предлагаемом методе требует намного меньше операций, чем аналогичный в методе Гаусса. При этом обратный ход сопоставим по количеству операций с методом Гаусса, если используются не все уравнения промежуточных систем, а только какое-либо одно, например первое.

лю и поэтому правило Крамера неприменимо. Ранг матрицы из коэффициентов равен трем - в правом верхнем углу этой матрицы расположен отличный от нуля минор третьего порядка. Ранг расширенной матрицы также равен трем, т. е. система уравнений совместна.

Находим:

Пример 2. Требуется решить систему четырех уравнений с коэффициентами

ап — 1; а12 = 1; аи = _2; ам = 1; » = 1;

а21 = 1; а22 = _3 ; а23 = 1; а24 = 1; »2 = 0 ;

а31 = 4 ; а32 = _1; а33 = _1; а34 — _1; »3 = 1; а41 — 4 ; а42 — 3; а43 — 4 ; а44 — 1; »4 — 2 •

Последовательно находим: 1)

,0) - .

*33

$ =

^(1) _

- _7 • лЛ1) - ^ • /71-1-1 - 1 •

— I , 1^34 — ^ , — 1 ,

,0) = .

23

(1) _-

42

£ = < 7(1) _

-<43

— 4 ; а44 — 5 ;

7(1) = . 32 _ ■

(1) _ .

= 1; »3(1) — 3; = 2

2)

а33) —13; а32) = _20; а^ = 13;

,(2) -.

,(2) _ -

а44) — _20;

»32) — _7 ; = _7 ;

3) а44) — 0; »443) — 0;

4) Х4 = (Т

Для неизвестного Х4 возникает неопределенность вида 0/0. Поэтому неизвестное Х4 становится свободным и может принимать любые значения. При этом количество решений системы уравнений стремится к бесконечности.

Пусть х4 = 1, тогда имеем:

а) Х3 = Х3(1) = Х3(2) = 1 ;

б) Х2 = Х2(1) = ... = Х2(6) = 1;

в) Х1 = х1(1) = ... = х1(48) = 1 .

Метод показывает, что количество решений может быть бесконечно большое, но при этом каждому значению х4 ставит в соответствие определенное решение системы с конкретными значениями х3, х2 и х1.

Пример 3. Для системы четырех уравнений заданы коэффициенты

аи = 4 ; аХ2 — 1; аи — _2 ; а14 — 1; »1 — 3 ;

а21 = 1 ; а22 = _2 ; а23 = _1 ; а24 = 2 ; »2 = 2 ;

а31 = 2; а32 — 5; а33 — 0; а34 — _1; »3 — _1;

а41 — 3 ; а42 — 3 ; а43 — 1 ; а44 — 3 ; »4 — 1 .

Требуется решить систему уравнений с учетом того, что хотя число уравнений равно числу неизвестных, но определитель системы равен ну-

1) а212) — 9;

7(1) =. 433 ~

22

1(1) = ( 34

а(1) ='

"23 а(1) = _

а(1) =

24

1(1) = -43 _

а3^ = _18

а(2) = 72 ■ и44 ' ^ :

04 = 15; — _5 ; = 10; = 5;

2) а33) = 0; а32) — 72; — 0; »3(2) — 0; »42) — 0;

3) а® — 0; »43) — 0; 4) Х4 = 0.

Неизвестное Х4 неопределенно, становится свободным и может принимать любые значения. Опуская тривиальное решение х4 — 0, при котором х3(1) — 0/0 и х3(2) — 0/0, принимаем значение х4 = 1. Тогда имеем: — _ 72/0 — число/0. Таким образом, з х3(Х) и х3(2) также становятся свободными. Пусть х3(1) — 2; х3(2) = 3. Тогда имеем:

Х2(1) = 2/9

Х2(2) = 2/3

Х

2(3)

— 2/3;

х2(4) = _4 / 9 ; х2(5) = _8 / 9 ; Х2(6) = 4 / 9 .

Подставляя значения неизвестных Х4 , Х3 и Х2 в уравнения для неизвестного Х1 , получим 48 его значений, приведенных в табл. 1 .

Т а б л и ц а 1

т х1(т) т х1 (т) т х1(т)

1 14/9 17 4/3 33 31/18

2 14/9 18 10/3 34 2/9

3 5/9 19 -5/3 35 20/9

4 20/9 20 4/3 36 26/9

5 37/18 21 11/6 37 20/9

6 23/9 22 13/3 38 11/9

7 5/9 23 -5/3 39 20/9

8 23/9 24 5/3 40 29/9

9 5/3 25 29/18 41 25/18

10 10/3 26 10/9 42 26/9

11 5/3 27 10/9 43 10/9

12 8/3 28 22/9 44 14/9

13 13/6 29 19/9 45 17/9

14 5/3 30 19/9 46 35/9

15 5/3 31 10/9 47 -10/9

16 3 32 25/9 48 17/9

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Если значения х4 — 1; х3^ — 2 ; х3(2) — 3 ;

х2(1) — _ 2 / 9 ; х2(2) — 2 / 3 ; х2(3) — 2/3;

х2(4) — _4/9 ; х2(5) — _8/9; х2(6) — 4/9 подставить

в исходную систему уравнений, то получим те же самые значения неизвестного хь Следовательно, метод работает правильно.

Из примеров видно, что предлагаемый метод является достаточно общим. Он позволяет решать СЛАУ для основных случаев, имеющих место в практике: 1) когда система уравнений является совместной и определенной, т. е. обладает одним-единственным решением; 2) когда система уравнений является совместной и неопределенной, если решений больше чем одно. Последний случай возникает, например, при решении задач параметрического синтеза схем электронных устройств. Кроме того, метод относится к группе точных методов, так как не содержит математических операций, приводящих к накоплению ошибки. Он позволяет решать любую систему линейных уравнений без перестановок последних, так как в отличие от известных точных методов не содержит операции деления на опорный (ведущий) коэффициент, который может оказаться нулевым, а основан на операции умножения на смежные коэффициенты уравнений систем. Метод позволяет находить все множество решений, которое система уравнений может иметь, и при этом «показывает», какое из решений имеет место, а какое нет. Если система уравнений является совместной и определенной, то метод дает единственное решение системы, и т. д.

Заключение

Предлагаемый метод прост, удобен в реализации и является весьма перспективным для реше-

ния самых разнообразных научно-технических

задач, которые используют решение СЛАУ.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ильин В. Н. Основы автоматизации схемотехнического проектирования. М. : Энергия, 1979. 392 с.

2. Автоматизация схемотехнического проектирования / В.Н.Ильин, В.Т. и др. М. : Радио и связь, 1987. 368 с.

3. Чье Ен Ун. Схемотехника. Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2007. 383 с.

4. Фадеев Д. К., Фадеев В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. : Физматиз, 1969. 734 с.

5. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М. : Физматиз, 1963. 660 с.

6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М. : Наука, 1980. 976 с.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1978. 832 с.

8. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 1. М. : Наука, 1976. 304 с.

9. Чуа Л. О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы. М. : Энергия, 1980. 640 с.

10.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М. : Наука, 1971. 432 с.

11.Шеин А. Б., Лазарева Н. М. Методы проектирования электронных устройств. М. : Инфра-Инженерия, 2011. 456 с.