Операторный метод приведения системы линейных дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению Текст научной статьи по специальности «Математика»

интерполяция и сглаживание. В то же время предложенные подход и алгоритм решения задачи оптимизации (2) требуют лишь монотонности и гладкости функций fc) и g(c), и при выполнении этих условий разработанная компьютерная программа позволяет найти ее численное решение.

Литература

1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

2. Иваницкий А.Ю. Модель посреднической деятельности в торговле // Компьютерные технологии и моделирование: сб. науч. тр. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. Вып. 1. С. 3-11.

ИВАНИЦКИИ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой актуарной и финансовой математики, декан факультета прикладной математики, физики и информационных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

IVANITSKIY ALEXANDER YURYEVICH - candidate of physical and mathematical sciences, professor, head of Actuarial and Financial Mathematics Chair, dean of Applied Mathematics, Physics and Information Technologies Faculty, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

УДК 517.925

Ю.В. МАЛЫШЕВ. П.С. АТАМАНОВ

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ОДНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, факторизованный оператор, однородное и неоднородное уравнения.

Операторный метод применяется для решения однородных, неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Yu.V. MALYSHEV, P.S. ATAMANOV SYMBOLIC METHOD TRANSFORMING THE SYSTEM OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS TO ONE DIFFERENTIAL EQUATION

Key words: linear differential equation, factorized operator, homogeneous and non-homogeneous equations.

Symbolic method is applied to solve homogeneous and non-homogeneous systems of linear differential equations with variable coefficient.

Получены линейные уравнения третьего порядка относительно любой неизвестной функции однородной и неоднородной системы третьего порядка обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

1. Однородные системы. Система

fx1(t ) = a11 (t ) x1 (t ) + a12(t) x2(t ) + a13(t ) x3(t ),

\ x'2 (t) = a21 (t)x1 (t) + a22 (t)x2 (t) + a23 (t)x3 (t),

[x3 (t) = a31 (t ) x1 (t ) + a32 (t ) x2 (t ) + a33 (t ) x3 (t ) с непрерывными и дифференцируемыми функциями üij(f) в некоторой области с помощью оператора D = d/dt приводится к виду [3]

f (D - a11)x1 - a12x2 - a13x3 = 0,

•<— a21 x1 + (D -a22)x2 -a23x3 = 0, (1)

[— a31x1 - a32 x2 + ( D - a33) x3 = 0.

А) Пусть a12 Ф 0 в рассматриваемой области. Исключая неизвестную функцию х2 из системы (1), будем иметь

(Б — о^22)----(Б — ац) — $2

—^(Б — а11) + а3

1 ^

(Б — а22) + а23

(Б — азз) +

а13а32

Х3 = 0,

(2)

х3 = 0.

Сложением равенств системы (2) получается уравнение, в котором присутствуют все коэффициенты системы (1):

1 а32

(Б — а22)------(Б — ац)---(Б — ац) — а21 — а^ х +

(Б — а33 ) — (Б — а22 )--------------------+

13 . а13 а32

х3 = 0.

(3)

1. Пусть а^ = ап Ф 0. Тогда (3) примет следующий вид:

-42 _ы13

1 а32

(Б — а22)-------(Б — ац)-(Б — ац) — а21 — а3

Х + (а32 — а33 + а22 — а23) х3 = 0. (4)

Если выражение функции х3 из (4) подставить в первое уравнение системы (2), то получим дифференциальное уравнение третьего порядка относительно неизвестной функции х1 :

Х1 — [(Б — а22) + а23]_

(Б — а22)-------(Б — аП) — а21

а

1 а32

(Б — а22)---------------(Б — ац)-(Б — ац) — а21 — а3

( а33 — а32 + а23 — а22 Ф 0, а12 = а13 Ф 0 ).

Уравнение (5) решается операторным методом [2].

2. Пусть а13 = 0. Тогда система (2) имеет вид

1

Х = 0.

(5)

(Б — а22)------(Б — а11) — а21

а о

-(Б — а11) + а31

Х — а23 х3 = 0,

Х + (Б — а33) х3 = 0.

Исключая из нее х3, получим уравнение относительно х1 :

(Б — а33) (Б — а22) (Б — ац) — а21 — а32 (Б — ап) + а31 Х = 0,

а23 _ а12 _ _ а12 _

(6)

(а12 Ф 0, а23 Ф 0, а13 = 0).

3. Пусть а32 = 0. Составив для этого случая систему (2), исключив из нее функцию х1, получим уравнение третьего порядка относительно неизвестной функции х3:

1 Я а —) а — В ) 0-1 а — Б( 1 (Б — а33) Х3 — а13 (Б — а22) + а23

_ а12 _ а31 _ а12 _

х3 = 0,

(7)

(а12 Ф 0, а31 Ф 0, а32 = 0).

В) Пусть а13 Ф 0. Исключая х3 из системы (1), получим

(Б — а33 )-----------(Б — ац) — а3

(Б — а33)—12+а32

_1 “13

Б — ап) + а21 Х + а^23 ч + (Б — а22)

_ а13 _ _ а13 _

х2 = 0,

Сложением равенств системы (8) получим уравнение

х

а

а

12

х1 +

а

а

а

а

12

12

+

а

23

а

а

12

12

а

а

12

12

х

33 а32 + а23 а22

а

X

а

а

12

12

а

а

Х -

1 а23

(Б — а3з)--------(Б — ац)----------------(Б — ац) — а21 — а31

алъ а13

X +

"12“23. + (Б — а22) — (Б — а33) ^ - а3:

а13 а13

х2 = 0.

(9)

а13 а1:

Рассуждая как и при решении системы уравнений при условии, приведенном в п. А, получим еще три уравнения третьего порядка относительно неизвестных функций.

4. Пусть а12 = а13 Ф 0. Получаем уравнение относительно функции х1:

(Б — а33)---------------(Б — ац) — а3

1

х1 — [(Б — а33) + а32]_

1

(Б — а33)-----(Б — ац)----(Б — ац) — а31 — а21

_ а13 а13

( а22 — а23 — а33 + а32 Ф 0 , а12 = а13 Ф 0 ).

5. Пусть а12 = 0. Получаем уравнение относительно х1:

а22 а23 а33 + а32

X = 0 ,

—23( Б — ац ) + а2

Х1 — (Б — а22)--------

(Б — а33 )-------------------(Б — ац ) — а3

х1 = 0 .

(10)

(11)

(а13 Ф 0, а32 Ф 0, а12 = 0).

6. Пусть а23 = 0. В этом случае получается уравнение относительно функции х2:

1 СП а ) а 1 8- 3) 2 2а 1 (Б 1 (Б — а 22 ) х2 — а12 (Б — а33) + а32

_ а13 _ а21 _ а13 _

х2 = 0,

(12)

(а13 Ф 0, а21 Ф 0, а23 = 0).

С) Пусть а31 Ф 0. Исключая функцию х1 из системы, получим

(Б — а11^^32 + а.

12

х2 +

(Б — а22) + 2 — 21 (Б а33) + а23

_ а31 _

(Б — аи)----------(Б — а33) — а13

а

х3 = 0.

х3 = 0,

(13)

Из системы (13) следует

(Б — ап)-+ (Б — а22) +

а21а32

+ аг

1 а21

(Б — ац )--------(Б — а33 ) +----------------------------(Б — а33 ) — а^ + а2

а31 а3

лъъ) 13 23

^31 М31

7. Пусть а31 = - а32 Ф 0. Получаем уравнение относительно неизвестной функции х3:

х3 = 0 .

(14)

[—(Б — а11) + а12]"

1

а л + а о — а^л — а0

(Б — а11)----------(Б — а33) +

+——(Б — а33) — ав + а23

1

(Б — ац)-------------(Б — а33) — а

43

х3 = 0 .

(15)

( аи + а12 а21 а22 Ф 0, а31 = а32 Ф 0).

8. Пусть а32 = 0. Тогда уравнение относительно функции х3 имеет следующий вид:

32 3 а — Б( (Б — а11) (Б — а33) — а13 3 — а^1 (Б — а33) + а23

а12 _ а31 _ 31 СЗ

х3 = 0

(16)

(аХ2 Ф 0, а3! Ф 0, а32 = 0).

9. Пусть а21 = 0. Для этого случая получаем уравнение относительно функции х2:

+

X

а

13

а

а

а

13

32

13

Хо —

2

а

а

31

31

а

31

х

3

а

а

31

032 (Б - а11) + а12 Х2 (Б - а11) (Б - а33) - а13

_ а31 _ _ а31 _

——(Б - а22)х2 = 0 ,

(17)

(а23 Ф 0, а31 Ф 0, а21 = 0). Пример 1. Найти общее решение системы уравнений

,1 1

х =— х2 — х3,

' 2 + 2

Хт =-Х2 Н X ,

І

х3 =------------х ■

Решение. Система удовлетворяет ограничениям уравнения (17):

1

Б\ - £|б + і

—I Б +— I х = 0

х2 + 5 х2 = 0 или С Б3 + 5 Б2 | х2 = 0 ■

І

2

І

После факторизации [1]

^Б +1 ^(Б + —|Бх2 = 0 или Б-1Б/4Бх2 = 0 ; х2 = С^ + ^^2 + С3.

Функцию х3 определяем из второго уравнения системы:

1 ( , 2 \ 3С1 С2 „

Х3 = —I Хт + — х2 I/ или X = L?---т- + С3.

2

Л--э — Лл ~ Лл

3 21 2 / 2 С помощью первого уравнения вычисляем

С1/ С2

Х1 =--^ -т:т.

С4 С2

Ответ: функции X! =--------------------

1 2 2/

2 21і

С2

3С, с2 ^

і--3+С3 со-

х2 = С!? н2-2 + С3, х3 =-21 /3 3 3 2 2/3

ставляют общее решение системы.

2. Общий случай для однородной системы. Преобразуем систему уравнений (8) при а12 ф 0 , а13 ф 0:

1 СП 1 1 СП 1 В і Х1 - а12 Б + 013 "а12 I ~ а13 а32 033 + 1

_ а13 _ а13 а12 ч а13 ] а12

х2 = 0,

а23 (Б - ап) + а21 Х1 + Гб -\а22 - а12а23 11 х2 = 0

_ а13 _ _ 1 а13 Л

(18)

а121 а,

а12а23

22----------, то система (18) примет сле-

дующий вид:

(Б - азз)-(Б - а11) - а31

а13

х1 - (Б - а)х2 = 0,

-(Б - Оц) + а2!

(19)

х1 + (Б - Ь)х2 = 0.

Замечания: 1) (Б-а)х2 = еиБе “х2, и = |аЛ ; если е мх2 = г(/), то (Б-а)х2 = е“Бг;

„-и „

2) (Б -Ь)Х2 = (Б -Ь)єиє~их2 = еи (Б -Ь + и>_иХ2 = еи (Б -ф, с = Ь - и'.

а

23

— Х^ -

2

2

І

І

а

а

12

13

а

13

а

а

а

С учетом замечаний и умножения обоих уравнений системы (19) на еи получим систему относительно функций x-i(t) и z(t):

(D - аъъ)---(D - й,п) -031

r u

—ізЄ

а12

-u а

- e а

-^3(D - ап) + a2

Xj - Dz = 0, Xj + (D - c)z = 0.

j

(20)

Применив к первому уравнению системы оператор О - с - с • , ко второму - опера-

тор Б и сложив оба уравнения, получим интегро-дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции Х\:

О - с - с ' — 1 ОН

D ¡ а.

(D -азз) (D - а11) -азі 1 - D 1 a —^(D - ап) + а21 1 II О

_ а13 _ _ а13 _

а12а23

в нем с = Ь - а, Ь = а22 —12 23, а = .^1 -.И! + а33 _ а1зДз2 , и =| а&, а12 Ф 0, а[3 Ф 0.

а13 а13 а12 а12

После преобразований уравнение (21) будет линейным дифференциальным уравнением четвертого порядка с переменными коэффициентами.

3. О факторизации оператора линейного уравнения четвертого порядка.

Пусть уравнение приведено к виду

х(/г) (?) + а1 (?) х'" (?) + а2 (?)х " (?) + а3 (?)х ' (?) + а4 (/)х(/) = / (?). (22)

Через оператор Б = й / й? оно представляется как равенство

[Б4 + а1(/)О3 + а2(?)Б2 + а3(?)О + а4(/)]х(/) = /(?). (23)

Пусть линейному оператору уравнения (23) соответствует некоторый факторизованный оператор, т.е.

Б + а1 (/ )Б + а2 (?)Б + а3 (?)Б + а4 (/) =

= [Б - М'(/)][Б - V '(Г)][Б - м'ШО - у '(/)], где функции и(?), у(0, м(?), у(?) - непрерывные и дифференцируемые до четвертого порядка в некоторой области. Тогда, опуская аргумент функций, уравнение (23) представим в виде

(Б - и ')(Б - у)(Б - w')(Б-у')х = / . (24)

Задача состоит в нахождении и', V, w', у' через коэффициенты уравнения (22).

Раскрываем операторы в левой части уравнения (24), собираем слагаемые, содержащие х, X, X', X' ' , х^. Приравнивая левые части уравнений (22) и (24), приходим к системе уравнений, которой удовлетворяют элементы и', V, w', у" факторизованного оператора:

У ' + 5 = -а1,

- 3у '' + 51 у ' + s2 = а2,

" - 3у '" + 251у " - 52у ' + 53 = а3,

у (1У) + 5 у '"' 5 у " 5 у ' = п •

1-у + 51у - 52у - 53у = а4;

в ней 51 = и' + V' + w' , 52 = иV + и V + у'м/ - V" - 2w" , 53 = и’ V + у'м/’ + WV - иУм" - V. Пример 2. Операторным методом найти общее решение системы

(25)

, 1 1

X, = — х2 + — x3, 1 t t

1 3

2

x2 = — X,------------------x2 +----------X-

t t t

11

X3 =-X, +— X2.

3 t t

a

13

Решение. Для применения в формуле (21) вычисляем а = 1//, Ь = -1//, с = -2//, и = 1п/. Получаем уравнение

°+1 - Н ] 7 (070+7 > + 0 7 (20+7 Ь0,

Х.,+ Ч + д _ - - Д_,(1 щ + х. + Щ

1 7 72 г3 Г2 Ч 7 72

Умножая последнее равенство на г2, применяя к полученному оператор О, приходим к уравнению четвертого порядка

7 4 4

•(IV) _|_ у.тм у" V*' — П

1 Х1 ± — X--------------------— Х1 — О .

Пусть линейный оператор уравнения факторизуется:

Б 4 + - Б3 + 4- Б 2 - 4- Б = (Б - и' )(Б - V ' )(Б - м ' )(Б -у ') . г г2 г3 По системе (25) находим, что

1 2 4

’ ’ ’ п,’

и =— , V =------, м =----, у = 0 .

г г г

Решаем операторное уравнение

Б+7 I Б+7 I Б+? ]Бх- = °-

2 С3

Функция х1 = Сл + С21п/+ —3 + С4 является его общим решением. Функции х2 и х3,

г

соответственно, будут иметь вид

С С

х2 = С^г + С61пг +—7 + С§, х3 = С9г + Сю 1пг +—31 + С12 .

г г

Подстановкой функций х1, х2, х3 в систему уравнений находятся связи между Сг, г = 112:

С1 = С5 = С9 = 0, С2 = С6 = С10, С7 = 2,5С3,

С8 = С2 + С4, С11 = -0,5С3, С12 = 2С2 + С4.

Тогда система функций

С 2 5С 0 5С

х1 = С21пг + —3 + С4, х2 = С21пг + ’ 3 3 + С2 + С4, х3 = С21п г + ’ 3 3 + 2С2 + С4

является общим решением системы уравнений. Если полагать С2 = С1, С3 = С2, С4 = С3, то ответ имеет следующий вид:

” — С —

х1 = С11п г +—3^+С3,

, 2,5С ^ ^

х2 = С11п г +—3—+ С1 + С3,

0,5с2 ^

х3 = С11п г +—3—+ 2С1 + С3.

4. Неоднородные системы. Система

Г х1 (г) = аи (г) х1 (г) + а12 (г) х2 (г) + ап (г) х3 (г)+/1 (г),

<! х2 (г) = а21 (г) х1 (г) + а22 (г) х2 (г) + а23 (г) х3 (г)+/2 (г),

[х3 (г) = а31 (г) х1 (г) + а32 (г) х2 (г) + а33 (г) х3 (г)+/3 (г) с непрерывными и дифференцируемыми функциями а¿,(г), /(г) в некоторой области с помощью оператора Б = приводится к виду

ГСО - ап)х —аих2 — а!зхз = /1;

< — а21 х1 + (О - а22)х2 - а23х3 = /2,

[— аз1 х1 - аз2х2 + (О - а33)хз = /зА) Полагая а12 Ф 0, исключим х2 из системы:

1 я а — а — в С^1 С^1 а — в 1 х1 — а13 (° — а22) + а23

_ а12 _ _ а12 _

/1

х3 = (О а22) + /2

— аз2 (О — ап) + аз1 1 + а1заз2 (О — азз) + -^^

2 сзТ _ а12 _

(26)

(27)

хз = 32 /1 + Уз-

Сложением равенств системы (27) получим

1 а32

(О — а22)-----(О — ац) — а21-------(О — ац) — аз

х+

+

а13а32

+ (О — азз) — (О — а22 ) —13— а2з

/1

х3 = (О — а22)------------+ /2 /1 + ./в-

(28)

5. Частные случаи. 1. Пусть а12 = а13 Ф 0. Тогда равенство (28) примет следующий вид:

1 а32

(О — а22)---------(О — ац)-(О — ац) — а21 — аз

х +

/ а

+ (аз2 — азз + а22 — а23 )х3 = (О — а22 ) ~ + Л 32/1 + /3 -

(29)

12 12

С помощью системы (27) и равенства (29) получаем линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами относительно неиз-

вестной (

)ункции х1:

(О — а22 )-----(О — ац) — а2

х1 — [(О — а22) + а23 ]_

1

азз — азо + а^з — а^

1 аз2

(О — а22)------------------------------(О — ац)-(О — ац) — а21 — а

зз з2 2з 22 х1 —

— (О — а22)~~1 + 32/1 — /2 — /з [■-(О — а22)_~1---------+ /2--

21 з1 /1

(30)

( а33 — а32 + а23 — а22 Ф 0 , а12 = а13 Ф 0 ).

Если уравнение (30) факторизуется, то его можно решать операторным методом. 2. Пусть а13 = 0. Из системы (27) следует уравнение третьего порядка относительно функции х1:

(О — азз)---------

(О — а22)-------------(О — ац) — а2

х1 — (О — а22) ~~1 — /2 ^ —

—32( О — а11) + аз

С1 = /з /1, ( а12 Ф 0 , а23 Ф 0 , а13 = 0).

(31)

3. Пусть а32 = 0. По системе (27) получаем уравнение относительно неизвестной функции хз:

(О — а22 )-----------(О — ац) — а2

-----[(В — азз)хз — /з] -

(О — а22)----------+ а2

/1

= (О а22) “ + /2, ( а12 Ф 0, а31 Ф 0, а32 = 0).

(32)

а

12

а

12

а

а

12

12

а

а

а

а

12

12

12

12

а

12

х

а

12

х

а

а

12

12

а

23

12

12

12

12

х

3

а

а

а

12

31

12

а

В) Исключая х3 из системы при а13 Ф 0, получим равенства:

I I I О, СП I I Х1- —12 (О — —33) + —32

_ —13 _ _ —13 _

/1

Х2 — (О —33) + /3

- —23 (О - —11) + —21 х1 + —12—23 /^ \ + (О - —22) Х2 — /2 - — /1

_ —13 _ _ —13 _ —13

(33)

Сложение равенств (33) приведет к соотношению, в котором присутствуют все коэффициенты системы (26) и функции правых частей:

1 а23

(В — а33)----(В — ац) — а31-----(В — ац) — а2

—12—23

+ (° - а22) - (О - аъъ) —12 - аъ2

а

Х2 - (О - а33)/ + /ъ 23 /1 + Л'

(34)

“13 “13

4. Пусть а12 = а13 Ф 0. Тогда из уравнения (34) и системы (33) получим уравнение третьего порядка относительно функции х1:

(О — а33)--(О — —ц) — а3

Х1 - [(О - —33) + —32І"

1

—22 - —23 - —33 + —

33

(О — —33)--------(О — —її) — —31-----------------(О — —11) — —2

- (В - а33) -/ - /ъ + -—^ А1 - А2 1 — (О - а33) -/ + /ъ.

— ъ —ъ I ал.

(35)

13 13 13

( а22 — а23 — а33 + а32 Ф 0 , а12 = а13 Ф 0 ).

5. Пусть а12 = 0. Из системы (33) следует линейное уравнение третьего порядка относительно неизвестной функции х1:

-----(О — —ц) + —21

—11

X — (О — —22 )--------------

(О - —33)-(О - —11) - —31

—11

(О —33) 2 /3 1— —23/1 /2, ( —13 Ф 0, —32 Ф 0, —12 — 0)'

(36)

6. Пусть а23 = 0. Тогда из системы (33) получим уравнение относительно функции х2:

(О - —33)---(О - —11) - —31

—13

/1

1

■[(О - —22 )Х2 - /2 ] -

(О - а33)—+ а3

— (О - —33)— + /,, ( —13 Ф 0, —21 Ф 0, —23 — °)-

(37)

С) Исключая х1 из системы при а31 Ф 0, получим равенства

(В - ап)-------+ а1;

х2 +

(О — ац)-----------(О — —33) — —у

х3 — (О - а11^^/^ + /1 =

—21—32 + (О —22) Х2 — —21 (О — —33 ) + —23

_ —31 _ _ —31 _

х — /2 -— и

После сложения равенств (38) следует соотношение

—21—32

+ (О — —22) — (О — —11)--------------—1

Х2 +

(О—ап)—(О——33) — —13 —21 (О——33) — —23

/3

(38)

Х3 — (О - —п)^+/1 + /2 --21 /3. (39)

—

13

13

13

+

X

—

13

32

X

—

—

13

13

Хі —

а

32

Хо =

2

а

а

21

13

а

13

а

а

а

31

31

31

а

31

а

а

31

31

+

а

а

а

а

31

31

31

31

7. Пусть а31 = а32 Ф 0. С помощью равенств (38) и (39) получим линейное уравнение третьего порядка относительно функции х3:

- [( D - аи) + а12\-

1

а21 — а22 + ац — аі2

(D — а11)----------(D — а33) —

а

31

-( D — азз) — аіз — а2з

Хз + (D — а11^^^3----21 f3 + f1 + f2 f +

аЪ1 а*Х 1

( D — ац )------------(D — азз) — а^

хз -(D—а11)^^^+f

(40)

( а21 — а22 + а11 — а12 Ф 0, а31 = а32 Ф 0).

8. Пусть а32 = 0. Из системы (38) следует уравнение относительно неизвестной функции х3:

(D а22 )

(D — ац)-------------(D — азз) — а1

хз— ( D——f f—

-(D — азз ) + а2

хз - f2----21 Аз, ( а12 Ф 0 , аз1 Ф 0 , аз2 - 0 ).

(41)

9. Пусть а21 = 0. Из системы (38) следует уравнение относительно неизвестной функции х2:

(D — ац)-----+ а1 '

х2 +

(D — ац)---------( D — азз) — а^

1 f

Х [(D — а22)Х2 — f2 ] — (D — а11) ~ + f1 , ( а2з Ф 0 , аз1 Ф 0 , а21 — 0 ). (42)

Пример 3. Найти общее решение системы

,1 1 2

X- — — Х2---Хз +t ,

1 t t

, 2 2

Х2 — Х2 + Х3,

2 t t

3 2

Хз — X- — t .

3 t

Решение. В системе a23 = 2/t, a31 = -3/t, a21 = 0. Составим уравнение по формуле (42) для вычисления функции Х2:

1

------Хо +

Dl - i)D+1

1

—l D +— I x-> — D—+1 .

t y

з

После применения операторов получим уравнение

x2' + 5х2 — —12 или | Dз + 5D 2 |х2 — —12 ,

1

1 Y D ■ 4 C

D + -J^D + — jDx2 ——12 или -D—Dt Dx2 ——12.

Функция х2 ——— + C-t +—3L + сз является общим решением уравнения. По второму

t

5 з 3 ~ C2 ~ _

уравнению системы находим x3 — ——t + — C1t-3 + C3. По первому уравнению сис-

6 2

213

темы получим х1 — —-----^ t----3 .

13 C11 C2

---------1------Г

2 2 213

а

21

а

+

а

а

з1

з1

а

12

з1

з1

а

21

а

а

_ ~з!

з1

Х

а

а

з1

з1

а

а

2з

з

Ответ: функции

С1 С

Хі —-------------------? —

1 2 2 ?3 С Х2 —----------+ Сі? +—— + С,

2/

С

х, — — ? +

3 6

3С/ С.

2 2/

3 + Сз

являются общим решением системы.

6. Общий случай для неоднородной системы. Пусть коэффициенты системы (26) не удовлетворяют условиям ни одного из рассмотренных 9 случаев. Получим дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций системы (26) в общем случае.

Систему (33) приведем к следующему виду при а12 Ф 0, а13 Ф 0:

(Б — а,,)------(Б — “ц) — аз

х1 — (Б — а) х2 — ■°13(Д — а33)^^ + О13 /3,

а

-^(Б — а11) + а2 а,

23 13

«131 а

а121 а

(43)

Х1 + (Б — Ь)х2 — /2 23 /1 ,

а13 І а12 І а13а32 і а12а23

где а — —131 — I + а33 — 13 32 , Ь — а22 —1^3

**12 Ч“13 / 12 13

Рассуждая как и при решении системы уравнений при условии, приведенном в п. 2, получим интегро-дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции х1:

Г, ' 1 І

Б—с—с -— 1 —13-

Б) а^

1 \ — и

— I Б — с — с'- 1 1 а1зЄ

1 о тн а о —) е— & 0 ьн а л— циа Б( 1 — Бе-и а23 —^(Б — ап) + а21

_ а13 _ _ а13 _

Х —

Б) а1.

(Б — азз)^-^ + У3

+ Ве-и\/2 — ^ /1

(44)

(а12 Ф 0, а13 Ф 0, с — Ь — а , и — | а & ).

Уравнение (44) преобразуется в линейное неоднородное уравнение четвертого порядка с переменными коэффициентами относительно неизвестной функции Х1.

Аналогично получается уравнение относительно функции х2:

Б - с — с'.± І ^

Б) ап

— I Б — с — с'-—1 “2зЄ и

(Б азз) (Б а22) а32 — Бе-и аЛъ (Б — а22 ) + а12

3 2 а2 1 1 3 2 сз

Б) ап

(Б — азз)/" + /з

+ Бв-и\/1 — ^ /2

(45)

/А А а13а21 а21 а2 3 а23а31

(а21 Ф0 , а23 Ф0, с — а11 —+ —--------------------------23 + 23 31 — і

І а23 а21 и — Л--------------+ а,, —

V а23 а21 а21

Приведем уравнение относительно неизвестной функции Хз:

б '1 I “з1Є~

Б — с — с-- 1 31

23

-а,

21 23

аа

&).

Б ) а3

і \ —и

— |Б — с — с'- 1 1 аз1Є

(Б — а11) (Б — азз) — а1з —Бе-и а —21(Б — а33) + а23

_ а31 _ _ а31 _

Б) а,

(Б — + /1

+ Бе-и| /2 — ^ /з

(46)

3

а

13

а

а

а

а

а

13

12

13

12

а

13

а

а

13

13

Х-, =

2

а

а

23

23

33

а

21

Х

3

а

а

31

31

а21а32 . а32

Ф 0, а32 Ф 0, с — а22-----------------------------\------------------+

''31, “12“31

и — Г| О31 _«з^ + «^ _).

I «31 «32 «32 1

Пример 4. Найти общее решение системы

,1 1

Х1 — — х2 +— Х3 +1,

,13 4

Х2 — - X---Х2 +-Х3 _ 1,

2 1 1 1

, 1 1

Х3 — - Х + — Х2.

3 1 1

Решение. В системе «12 = -1//, «13 = 1/1 применима формула (44). Вычисляем с = 0, и = 1п/. Из формулы (44) получаем линейное уравнение третьего порядка

III , 5 II 5 I г\

х, +— х, —— х, — 0 .

/ /2

Оно факторизуется и операторное уравнение имеет вид

о+6 У О _1 к — о.

с,

Функция х —~4г + С21 + С3 - его общее решение. Для вычисления функции х2 соста-

15

вим уравнение (45). В нем с — —, и — _41п/. Получим следующее уравнение:

(IV) +12 ™ + 20 » —15

Ал “Г Ал “Г « Ал — Л .

2 / /2 /2

12 С С

Функция х2 — — + —3^ + —6 + С7/ + С8 - его общее решение. По формуле (46) составим уравнение для вычисления х3, в ней с = -5/1, и = 1п1. Уравнение имеет следующий вид:

(IV) , 7 т /л

х3 +--Х3 — 0 .

3 /

По системе (25) получаем операторное уравнение

О + Ю»Ох3 — 0.

С

Функция х3 — —9 + С10/2 + С11 / + С12 - его общее решение. Подставив х1, х2, х3 в систему,

найдем связи между произвольными постоянными: С5 = 0, С6 = 3С1, С8 = -С3, С9 = -С1,

5 7

С11 = С7, С12 = -С3, С2 — — . Применив связи в функциях х1, х2, х3, общее ре-

С —-

^10

12 12 шение системы составим в следующем виде:

х, — —г2 + С1+С3,

1 12 г4 3

г2 3С1 ^ ^

Хл ——\—■—+ С7г—С3,

2 4 г4 7 3

Х3 — —г2 — С+С7г — С3.

3 12 г4 7 3

а

а

а

а

а

31

32 31

32

Литература

1. Малышев Ю.В., Атаманов П. С. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. 176 с.

2. Малышев Ю.В., Атаманов П.С. О решении системы линейных дифференциальных уравнений операторным методом // Вестник Чувашского университета. 2011. № 3. С. 155-159.

3. Малышев Ю.В., Атаманов П.С. Факторизованные операторы и системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Диф. уравнения. 2011. № 16. С. 54-61.

МАЛЫШЕВ ЮРИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Казанский национальный исследовательский технологический университет, Россия, Казань ([email protected]).

MALYSHEV YURIY VALENTINOVICH - doctor of physical and mathematical sciences, professor of Higher Mathematics Chair, Kazan National Research Technological University, Russia, Kazan.

АТАМАНОВ ПЕТР СТЕПАНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).

ATAmAnOV PETR STEPANOVICH - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Higher Mathematics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

УДК 38.24.01

А.А. НАЗАРОВ, В.В. НИКИТИН

АЛГОРИТМ ПОИСКА НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИМИТИРУЮЩИХ СОЦИАЛЬНО-ЭКОН ОМИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ

РЕГИОНА’

Ключевые слова: региональная экономика, системный анализ, имитационное моделирование.

Предложен вариант имитационной модели региональной социальной экономической системы. Дано описание концепции. Разработан набор параметров, характеризующих систему. Модельная структура системы представлена в виде системы нелинейных уравнений. Рассмотрен авторский подход к поиску модельного решения.

A.A. NAZAROV, V.V. NIKITIN ALGORITHM OF SEARCHING FOR OF THE MOST PROBABLE DECISION OF THE NONLINEAR EQUATIONS SYSTEM, IMITATING SOCIAL AND ECONOMIC CONDITION OF THE REGION

Key words: regional economics, system analysis, simulation modeling.

The offered variant to simulation model of the regional social economic system. It is given description to concepts. The designed set parameter, characterizing system. The vodel structure of the system is presented in the manner of the nonlinear equations systems. The author's approach of searching for of the model decision is considered.

При исследовании социально-экономических объектов, например региональной экономической системы, необходимо для начала выявить и описать модель исследуемой структуры, определить способы и вид системы взаимодействия на основе обратных связей и построить систему нелинейных одновременных уравнений, определяющих математическую модель исследуемого объекта.

В работах В.Л. Макарова, А.Р. Бахтизина и других ученых ЦЭМИ РАН [1, 3, 4] достаточно много внимания уделено построению агентоориентированных моделей экономики страны, основанных на CGE (Computable General Equilibrium models) подходе. Но, несомненно, экономическая деятельность входящих в эти модели отдельных регионов

* Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект № 11-06-00066а).