Численный анализ внутрисистемного конфликта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ВНУТРИСИСТЕМНОГО КОНФЛИКТА

О. В. Пьянков

Рассматривается возможность численного анализа конфликтных взаимоотношений элементов системы. Приводится подход использования знаковых графов для построения модели внутрисистемного конфликта. Разработан алгоритм численного анализа конфликтных взаимоотношений элементов системы

Ключевые слова: конфликт, анализ, система

Системное представление моделируемых объектов, как правило, предполагает их описание в виде конечного набора элементов и взаимоотношений между ними. Среди показателей эффективности функционирования таких систем важное место занимает их сбалансированность, т.е. наличие внутренних конфликтов и компромиссов. К предметным областям, в которых традиционно исследуют сбалансированность систем, относится психология (устойчивость малых групп), биология (пирамиды питания), экономика (транспортные сети и городское хозяйство) [1, 4].

Процесс получения оценок сбалансированно-сти систем включает вычисление оценок баланса для каждого замкнутого контура (цикла) системы. Традиционный подход к решению этой задачи предполагает выделение всех циклов и получение оценок баланса для каждого из них в отдельности [2]. Ниже предлагается алгебраический подход к получению оценок сбалансированности, основанный на вычислениях перманентного многочлена для графов системы и не требующий выделения самих циклов.

Рассмотрим модель системы в виде ориентированного графа 0=(Х, и), где X - множество вершин графа, соответствующих элементам системы, и - множество дуг графа, соответствующих бинарным отношениям между элементами системы. Будем считать, что на графе О задана сигнатура, т. е. каждая дуга снабжена знаком “+” или “-” по следующему правилу: дуга снабжается знаком “+”, если воздействие вызывает “усиление” (при прочих равных условиях увеличение хi приводит к увеличению х/ , и уменьшение х, приводит к уменьшению х), и знаком “-”, если воздействие вызывает “торможение” (при прочих равных условиях увеличение х, приводит к уменьшению х/ и уменьшение х, приводит к увеличению Хт). Если из вершины х, к вершине х/ направлено несколько дуг, предполагается, что все они снабжены одним и тем же знаком.

Для графа О могут быть определены матрицы смежности

• обычная Р=(р/ - квадратная матрица по-

рядка п, в которой значение элемента р/ равно числу дуг, начинающихся в вершине х, и оканчивающихся в вершине х/,

Пьянков Олег Викторович - ВИ МВД России, канд. техн. наук, доцент, e-mail: pyankovoleg@yandex.ru

• с учетом сигнатуры Б=^/ - квадратная матрица порядка п, в которой абсолютное значение элемента равно числу дуг, начинающихся в вершине х, и оканчивающихся в вершине х, и имеет тот же знак, что и дуги.

Наличие положительных (усиливающих) и отрицательных (тормозящих) дуг в орграфе позволяет дать определение сбалансированным и несбалансированным циклам графа, и самому графу [3].

Определение 1. Ориентированный цикл называется сбалансированным (несбалансированным), если количество его дуг, снабженных знаком “-”, четно (нечетно).

Определение 2. Знаковый граф называется сбалансированным, если, все его ориентированные циклы сбалансированы.

Исследование количества сбалансированных и несбалансированных циклов в системе может быть проведено с помощью коэффициентов перманентных многочленов матриц смежности Р и Б, описание которых дано выше.

Введем ряд определений [5, 6].

Определение 3. Перманентом квадратной матрицы А п-го порядка называется величина

рег А=Еат а2Ч2)- ат(п), (1)

где суммирование осуществляется по всем возможным перестановкам 1/ элементов матрицы.

Определение 4. Перманентным многочленом квадратной матрицы А п-го порядка называется многочлен

АО(Л)=рег(Л1+А)=Х‘+а1Х‘~1 + ...+ап .

Обозначим pi и - коэффициенты перманентных многочленов соответственно матриц Р и Б. Тогда в соответствии с [5] коэффициенты pi равны количеству ориентированных циклов длины , в графе О, а для коэффициентов si верно следующее утверждение.

Утверждение 1. Значения коэффициентов равно разности количества сбалансированных и несбалансированных циклов длины i в графе О.

Доказательство. Коэффициент является суммой главных рег-миноров порядка i матрицы Б. Тогда, как следует из (1) и определения матрицы Б, все рег-миноры, основание которых составляют строки (столбцы), соответствующие вершинам, не составляющим ориентированный цикл, равны 0. Абсолютное значение остальных рег-миноров равно количеству циклов длины i (с учетом кратности), проходящих через соответствующие вершины и имеют знак “+”, если число отрицательных со-

множителей четно, т. е. циклы сбалансированы, или знак если число отрицательных сомножителей нечетно, т. е. циклы несбалансированны. Из этого непосредственно вытекает утверждение теоремы.

По значениям коэффициентов рг и с помощью методов линейной алгебры могут быть найдены следующие величины:

Ь, = (р+в)/2 -

количество сбалансированных циклов длины г,

пг = (Рг - я)/2 -

количество несбалансированных циклов длины г,

Ь(О) = (Хр,+Хь’)/2 - (2)

общее количество сбалансированных циклов, п(О) = (Хр, -Е8)/2 - (3)

общее количество несбалансированных циклов (суммирование в (2) и (3) осуществляется по всем значениям г=1...п).

Использование машинного расчета относительных оценок основано на следующем утверждении.

Утверждение 2. Количество сбалансированных и несбалансированных циклов в знаковом графе определяется следующим образом:

Ь(О) = (рег(1+Р) + рег(1+Б))/2 -1, п(О) =(рег(1+Р) - рег(1+Б))/2.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно подставить в формулы (2) и (3) следующие равенства:

Хр, = рег(1+Р) - 1, (4)

Хs1 = рег(1+Б) - 1. (5)

Для проверки справедливости равенства (4) достаточно в перманентном многочлене Ра(Я) принять собственное значение Я равным единице. Действительно:

Ро(Л=1)=рег (Л1+Р) = Г+р11п-1 +...+рп =1+Хр,, Откуда непосредственно вытекает (4). Аналогично доказывается (5).

Как правило, для характеризации сбалансированности систем используются относительные оценки [7]:

Б(О) = Ь(0)/( Ь(в)+п(в)), (6)

Б’(О) = Ь(0)/п(0), (7)

значения которых, могут быть легко получены по значениям коэффициентов перманентного многочлена.

Для сбалансированной системы Б(0)=1, а Б’(О) не определено.

Однако для прямого расчета перманента матрицы размера п требуется произвести (п-1)3п! умножений, т.е. чрезвычайно велико.

В связи с этим предлагается вычислять перманент методом Райзера, который заключает в себе (п-1)(2п-1) умножений [5].

Вычисление значения перманента матрицы смежности 8 осуществляется по следующей формуле Райзера:

п —1 п

рег(?)=2(-1)' 2 Пг, (X)

где г1 (Х) - сумма элементов /-ой строки матрицы Х,

Лп-1 - совокупность всех подматриц 8 размера п3(п-1).

Для применения этой формулы на ЭВМ необходима процедура выделения всех подматриц X в матрице А. Эту процедуру, рассмотрим на следующем примере. Пусть дана квадратная матрица А размера п=3:

а11 а12 а13

А = а21 а22 а23

_а31 а32 а33

тогда при 1=0:

Л3:

X (3) =

"11 "12 "13

а21 а22 а23

а31 а32 а33.

г1=а11

r2=a21+a22+a23,

Гз=аз1+аз2+азз.

при 1=1 Л2:

Х(2):

" а11 а12 "а11 а13 а12 а13

а21 а22 , х22) = а 21 а 23 , х32) = а22 а 23

_ а31 а32. а31 а33. _а32 а 33.

г1 a11+a12, Г1—a11+a13, г1 a12+a13,

Г2=а21+а22, r2=a2l+a2з, ^=а22+а23,

rз=aзl+aз2. Гз=аз1+аз2. Гз=аз2+азз.

при 1=2 Ль

X () =

r1=a11, r1=a12, r1=a13,

Г2=а12, r2=a22, r2=a2з,

^=а1з. rз=a2з. rз=aзз.

Покажем двоичное представление чисел от 1

а11 а12 а13

а12 X (1) = , х 2 _ а22 X (1) = , ^ 3 _ а23

_а13 _ _а23 _ _а33 _

до 7 (7=2п -1) в таблице 1

Таблица 1

Десятичное число ¿3 ¿2 ¿1 Му

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 2

4 1 0 0 1

5 1 0 1 2

6 1 1 0 2

7 1 1 1 3

і=0

хєЛі=1

Из двоичного представления можно увидеть связь разрядов ^, d2, dз двоичных чисел со столбцами матриц X. Так, например, при 1=0 [n-t=3=Edv] сумму элементов строк матрицы Х(3) можно найти как:

Г!=^-аП+ d2•al2+ dз'alз,

1*2 dl•a2l+ d2•a22+ dз'a2з,

Г3 dl-aзl+ d2•aз2+ dз'aзз.

n

или ri = 2 dv • aiv , (8)

v=1

где значения dv берутся из строки таблицы, для которой выполняется условие: n-t = Edv.

Подобным же образом можно найти rt для всех матриц X.

Таким образом, алгоритм расчета перманента матрицы метом Райзера будет следующим:

1) сформировать таблицу представления десятичных чисел от 1 до 2n-1 (где n - размер матрицы) в двоичном виде;

2) для t=0 найти в таблице строку, в которой Edv=n-t;

3) по формуле (1) найти ri для всех i=1...п;

4) произведение ri внести в память (сложить);

5) при отсутствии в таблице других строк удовлетворяющих условию Edv=n-t, число из памяти умножить на (-1f и внести в буфер (сложить). При наличии таких строк повторить пункты 2-5;

6) увеличить t на единицу;

7) проверить условие t<n, при выполнении повторить пункты 2-6, при невыполнении число в буфере и будет являться перманентом матрицы.

Данный процесс представлен как процедура Perm.

procedure Perm(A)

[заполняем массив D двоичными числами dn]

D ^ dn per ^ 0

for t=0 to n do I i ^ 1 R ^ 0

if Edt = n-t then

Г = £ dv • aIV

V=1 І ^ І + 1 R ^ R + ri

per ^ per + + R • (-1)t

Разработанный метод и алгоритм расчета оценок сбалансированности позволяет исследовать системы с большим числом элементов.

Поскольку считается, что система для успешного функционирования должна быть, как можно больше сбалансирована, то с этой целью возможны следующие стратегии (процедуры изменяющие систему):

1. Добавить/удалить вершину в графе (элемент системы) и дуги к ней.

2. Изменить на определенное время знак дуги.

3. Добавить/удалить дугу.

4. Добавить/удалить контур.

Это позволит улучшить сбалансированность системы, тем самым повысить эффективность её функционирования.

Литература

1. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. -М.: Наука, 1986. - 496 с.

2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978. - 432 с.

3. Harary F. On the Notion of Balance of a Signed Graph.// Michigan Math. J.2, 1954.

4. Светлов В.А. Введение в единую теорию анализа и разрешения конфликтов: Учебное пособие. - М.: Либроко, 2009. - 304 с.

5. Минк Х. Перманенты.- М.: Мир, 1982.-213 с.

6. Цветкович Д. Спектры графов. Теория и применение./ Д. Цветкович, М. Дуб, Х. Захс - Киев: Наукова думка, 1984. - 384 с.

7. Меньших В.В., Пьянков О.В. Оценки взаимоотношений подсистем в системах охраны и безопасности. -Сборник материалов Всероссийской научнопрактической конференции «Современные проблемы борьбы с преступностью», ч.2, ВИ МВД РФ - 2003г.

Воронежский институт МВД России THE NUMERICAL ANALYSIS OF THE INTERSYSTEM CONFLICT

O.V. Pyankov

The numerical analysis possibility of disputed mutual system elements relations is considered. The approach of use of sign graphs for intersystem conflict model construction is resulted. The method and algorithm of the numerical analysis of disputed mutual relations of system elements is developed

Key words: the conflict, the analysis, system