Обобщенная многомерная интерполяция методом наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018 Электротехника, информационные технологии, системы управления № 27 УДК 519.652+519.654+519.613

Д.А. Мустафина1, А.Е. Буракова2, А.И. Мустафин2, А.С. Александрова3

1ООО «Промышленная кибернетика», Пермь, Россия 2ООО «Инфраструктура ТК», Пермь, Россия 3Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия

ОБОБЩЕННАЯ МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Рассмотрен метод наименьших квадратов как способ обобщенной многомерной интерполяции. Интерполятор методом наименьших квадратов является обобщением интерполяции полиномом Лагранжа и обладает всеми ее свойствами. Интерполятор позволяет использовать в интерполяционном многочлене произвольные функции или произвольные комбинации произвольных функций от произвольных переменных или их комбинаций из исходного многомерного их набора. Предложен метод расчета аппроксимирующей зависимости методом наименьших квадратов по алгоритму, подобному расчету интерполятора Лагранжа в обобщенном виде, предложенном в статье. Расширено правило Крамера на случай, когда вторая матрица имеет больше чем один столбец и в том числе для получения произведения обратной матрицы на любую согласованную с ней матрицу без обращения матрицы, в том числе и на единичную, что и дает обратную к исходной матрицу. Показано, что аппроксимация методом наименьших квадратов может быть представлена в виде суммы отношений определителей. Отмечены очевидные, но не используемые в практике преимущества методов - возможность получения одним матричным выражением нескольких корреляционных зависимостей для метода наименьших квадратов и возможность преобразования интерполируемой переменной в интерполяционном полиноме Лагранжа.

Представлен пример применения интерполяции методом наименьших квадратов для случая нахождения двух функциональных зависимостей линейных относительно неизвестных параметров и произвольных известных функций от двух независимых переменных. Получены функциональные зависимости доли нормального пентана и изопентана в изопентановой фракции от технологических параметров (давления и температуры) на промышленной установке изомеризации пентан-гексановой фракции. Полученные результаты могут быть применены для задачи управления температурой верха колонны деизопентанизации с целью поддержания оптимального содержания нормального пентана в отделяемом изопентане, что позволит оптимизировать расход тепловой энергии.

Ключевые слова: многомерная интерполяция, аппроксимация, метод наименьших квадратов, определитель, обращение матриц, умножение обратной матрицы.

D.A. Mustafina1, A.E. Burakova2, A.I. Mustafin2, A.S. Aleksandrova3

1OOO «Promyshlennaia kibernetika», Perm, Russian Federation, 2OOO «Infrastruktura TK», Perm, Russian Federation, 3Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

GENERALIZED MULTIVARIATE INTERPOLATION THROUGH THE LEAST-SQUARE METHOD

The article considers the least-square method as a technique of the generalized multivariate interpolation. The interpolation instrument is the generalization of the Lagrange interpolation with all its features. The interpolator allows us to use in the interpolation polynomial arbitrary functions or arbitrary combinations of arbitrary functions of arbitrary variables or their combinations from the original multidimensional set of them. The authors suggest the method of calculation of the least-square method approximating value by the algorithm similar to the calculation of the Lagrange interpolation instrument. This study develops the Kramer's rule and suggests the method which allows to receive the product of reciprocal matrix and every matrix matched without inversion inclusive identity matrix. It is shown that the least squares approximation can be represented as a sum of determinants relations. The authors describe evident methods advantages which are not used in the practical work - possibility to get by one matrix expression several correlations through the least-square method and to modify the interpolated variable by the Lagrange interpolation instrument.

An example of the application of least squares interpolation is presented for the case of finding two functional dependencies of parameters which are linear with respect to unknowns parameters and arbitrary known functions from two independent variables. Functional dependences of the proportion of normal pentane and isopentane in the isopentane fraction on process parameters (pressure and temperature) on the industrial isomerization unit of the pentane-hexane fraction are obtained. The obtained results can be applied to the task of controlling the temperature of the top of the deisopentanization column in order to maintain the optimum content of normal pentane in the isopentane to be separated, which will allow to optimize the consumption of thermal energy.

Keywords: multivariate interpolation, approximation, least-square method, determinant, matrix inversion, multiplication of the reciprocal matrix.

Введение. Задача многомерной интерполяции наряду с регрессией как вариант аппроксимации при моделировании имеет место во множестве различных областей исследований и управления [1-3]. Существующие методы многомерной интерполяции настолько громоздки, что обычно ограничиваются многочленом первой или второй степени [4, 5], имеют множество ограничений и условий применения [6]. Часто приходится предварительно подбирать замену переменных, преобразующих описывающую функцией поверхность в плоскость [7]. Подход, предложенный в [8], для функций со многими переменными является попыткой обобщения метода Лагранжа, но имеет ряд описанных там же недостатков и логически сложен. Предложенный в данной статье метод логически существенно проще, может сразу учитывать или вводить нелинейности

по зависимым и моделируемым переменным. Метод основан на распространённом среди исследователей методе наименьших квадратов (МНК) [9-12]. Поскольку метод сводится к матричным операциям и вычислению определителей, уделено внимание матричной алгебре.

Метод наименьших квадратов как способ интерполяции. Результат МНК при количестве исходных точек, равном числу искомых коэффициентов, является интерполятором Ь(х). Полученный полином обеспечивает выполнение основного условия интерполяции: Цхг) = уг-.

Имеются матрицы исходных данных:

х1 У1

^ = х2 и Уь = У2

х3 Уз

х4 х4

Квадратной матрицей X и матрицей-столбцом У для расчета интерполяционного полинома третей степени методом наименьших квадратов будут:

X

1 Х1 Х1 Х1

3

1 х2 х2 1 х3 х3 1 х4 х|

х23

х333

х43

У1 У2 Уз

х4

При подстановке в многочлен у = а0 + а1 ■ х + а2 ■ х + а3 ■ х элемен-

ап

тов вектора - столбца рассчитанных МНК [2] -

а,

а3

(XX)-1 (X У),

где X' транспонированная матрица X, и при группировке членов по уI по лучим выражение:

^ У1( хз х4) ■ (х2 х4) ■ ( х2 х3) ■ (х х4) ■ (х х3) ■ ( х х2)

- у2(х3 - х4)■ (х1 - х4)■ (х1 - х3)■ (х- х4)■ (х- х3)■ (х- х1)+ + у3( х2 - х4) ■ (х1 - х4) ■ (х1 - х2) ■ (х - х4) ■ (х - х2) ■ (х - х1) --~ у4 (х2 -~ хз) ■ (х-^ -~ хз) ■ (х-^ -~ х2) ■ (х -~ хз) ■ (х -~ х2) ■ (х -~ х-^)

У = ■

(х3 х4) ■ (х2 х4) ■ (х2 хз) ■ (х1 х4) ^ (х1 хз) ^ (х1 х2)

(1)

а

2

Его дальнейшее упрощение дает интерполяцию полиномом Лагранжа:

У = у _ (х-х4)• (х-х3)• (х-х2) + у _ (х-х4)• (х-х3)• (Х-Хд) +

(Х1 Х4) • (Х1 Х3) • (Х1 х2)

(Х2 Х4) • (Х2 Х3) • (Х2 х1) (2)

(х - х4) • (х - х2) • (х - х1) (х - х3) • (х - х2) • (х - х1) + у3---+ у4--.

(х3- "х4) •(х3 - х2) • (х3 -х1) (х4 -х3) •(х4 - х2) •(х4 ■ - х1)

Таким образом, интерполятор Лагранжа является другой формой записи интерполяции МНК функции одной переменной.

Определитель матрицы X есть знаменатель в правой части уравнения (1):

1 х1

1 Х2

1 Х3

1х

х2 х3

2 3 х2 х2 2 3 Х3 Х3

3 •4

х

( Х3 х4 ) • ( Х2 х4 ) • ( Х2 Х3 ) • ( Х1 х4 ) • ( Х1 Х3 ) • ( Х1 Х2 ).

Определители матриц, полученных заменой г-й строки в исходной матрице X на вектор V — [1 х х2 х3], дают числители соответствующих выражений при в уравнении (1). К примеру, для у1

1 х Х х3

1 Х2 х2 Х3

1 х3 х32 х33

1 Х4 х2 Х4

— (Х3 Х4) • (Х2 Х4) • (х2 Х3) • (х Х4) • (х Х3) • (х Х2)-

Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа 3-го порядка может быть записан в виде:

у=-

1 х х2 х3

1 Х2 х,

22 х23

1 х3 х32 х33

23 4 х4.

1 Х4 Х[

+ у2'ёе1

1 Хц Х| Х|

1 х х 2 х3

1 х3 х32 х33

23 1 х4 х4 х4

+ у3-ёе1

1 Х1 Х| Х|

1 х2 х22 х23

1 х х 2 х3

1 х4 х42 х43

+у4-ёе1

1 х1 х12 х13

1 х2 х22 х23 1 х х 2 х3

ёе1

1 х1

1 х2 х2

1 х3 х32

1 х4 х

х12 х13 2 х23

2 х3

4 х4

(3)

Отношение определителей обладает свойством базисных полиномов Лагранжа:

- для i-й узловой точки отношение определителей i-го коэффициента равно единице, так как определитель в числителе равен определителю в знаменателе;

- для i-й узловой точки отношение определителей j-го коэффициента при j Ф i равно нулю, так как определитель числителя имеет в этом случае две одинаковые строки.

При получении интерполяционного полинома МНК соответственно выполняется и условие единственности интерполяционного полинома.

Однако отметим, что при равенстве количества точек количеству искомых переменных, т.е. при интерполяции, имеет место равенство:

(X'X)-1 (X Y) = (X)-1 (Y). (4)

Таким образом, (1) и, соответственно, (3) можно получить простым решением системы алгебраических линейных уравнений.

Обобщение метода. МНК применим для аппроксимации произвольным набором комбинаций функций произвольного набора переменных из исходного набора Xbasic [9]. Кроме того, в МНК может использоваться и преобразование пространства по координате у, например для линеаризации. В этом случае в качестве матрицы Y используется матрица преобразованных уг.

Для интерполяции МНК имеются матрицы исходных данных:

Уа1 УЪ1 " уа2 уЪ2 Уа3 УЪ3 уа4 уЪ4_

Требуется получить интерполяционный многочлен для преобразованной зависимой переменной уа. Матрицы для расчета интерполяционных полиномов МНК имеют вид:

Л (X) f2 (X) f3 (X1) f4 (X1)! ГMdirect (уa1 )"

f1 (X2) f2 (X2) f3 (X2) f4 (X2) = ^ ^2)

f1 ( X3 ) f2 (X3 ) f3 (X3 ) f4 (X3 ) , m direct (уа 3 ) .

f1 (X4 ) f2 (X4 ) f3 (X4 ) f4 (X4 )J |_^direct (уа4)_ 34

X1 ха1 хЪ1 xc1 41 хе1 Y1

Xb - X 2 - ха2 хЪ2 хс2 Ч 2 хе2 , Yъ - Y2 -

X 3 ха3 хЪ3 хс3 Ч 3 хе3 Y3

X 4 ха4 хЪ4 хс4 Ч 4 хе4 Y4

у —

Xm

Операции, аналогичные получению полинома третьей степени, изложенные в первой части статьи, дадут интерполятор для зависимой моделируемой переменной уа, подобный интерполятору Лагранжа:

Ь( X) — ип

( 4

X

г—1

(уа, МХ

тХ1 л

ёе![Хт ]

1Л

(5)

— и„

ёе1[Хт ]

4

X и<&еС (уа1 )ёе1[ХтХ, ]

где ха...хе - независимые переменные; иёкесь игеуег8е - прямая и соответствующая ей обратная функции преобразования интерполируемых переменных уа; /(Х) - функция или произвольная комбинация каких-либо функций переменных или произвольной комбинации переменных из набора Х, к примеру, ха • 8т(хс) • ехр(- хЛ /5), в том числе может быть

и единицей, но только одна из них. Следует использовать функции, гладкие в области определения интерполятора; ХтХг - матрицы, полученные из матрицы Хт заменой г-й строки вектором

V — /Х) /2 (Х) ¡3 (Х) /4 (Х)].

К примеру:

" / (Х! ) /2 (Х! ) /3 (Х! ) /4 (Х! )"

/ (Х) /2 (Х) /3(Х) /4(Х)

/1 (Х 3) /2 (Х 3) /3 (Х 3) /4 (Х 3)

/ (Х4) /2 (Х4) /3 (Х4) /4 (Х4)

[ХтХ 2 ] —

Каждый базисный многочлен

[ ХтХ1 ]

также обладает свойства-

ёе1 [ Хт ]

ми базисного полинома Лагранжа: равен единице для узловой точки Х = Хг и нулю для всех остальных узлов Х = Х) при] Ф г.

При искажении координаты у значения полученного интерполятора в узловых точках Ь(Хг) = уг для любых функций преобразования. Для других значений вектора Х Ф Хг, г = 1..к, значения Ь(Х) для разных функций преобразования будут различны, так как многочлен в каждом случае получается иной. Если брать и^гейМ, к примеру, степенной функцией, то полученный многочлен может иметь любую степень и, соответственно, может быть бесконечно дифференцируемым. Таким образом, через заданное количество точек строится кривая линия (поверхность) другого

1

г—1

порядка. Полином единственный для данной функции преобразования, но различных функций существует бесконечное множество.

Интерполяционный многочлен Лагранжа с преобразованием у имеет следующий вид:

Г \

L( X) = /ге

Ё Л^ееД У1 ) П

X - X;

I=0

= 0 X: — Х-

' * }

(6)

Методы расчета коэффициентов (оценок). Поскольку расчёт интерполяционного полинома (5) сводится к трудоемким вычислениям определителей с тем же результатом, использование МНК становится предпочтительным, а поскольку МНК использует матричные операции [13], для некоторых обобщений сделаем небольшое отступление в матричную алгебру.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений: У = ХЛ,

У1 а1 ' Ха1 + а2 ХЫ + а3 Хс1 а1 Хс1 ХЬ1 Хс1

где У = У 2 = а1 Ха 2 + а2 ХЬ 2 + а3 Хс 2 , л = а 2 , X = Хс 2 ХЬ 2 Хс 2

_ Уз _ а1 Ха 3 + а 2 ХЬ 3 + а3 Хс 3 _ а3 _ _ Хс 3 ХЬ 3 Хс 3 _

известны методы:

- по правилу Крамера [14]:

а.

1

ёе^ X ]

У1 ХЬ1 Хс1

У 2 ХЬ2 Хс2

_ У3 ХЬ3 Хс3

Ха1 У1 Хс1

Ха 2 У 2 Хс2

_ Ха3 У3 Хс3

Ха1 ХЬ1 У1

Ха2 ХЬ2 У 2

_ Ха 3 ХЬ3 У3

(7)

- с использованием обратной матрицы:

а1 " У1"

а2 = х-1 У 2

_а3 _ _ У3 _

а

а

2

что дает равенство:

X -1 • Y = X

-1

У1

у 2

у з

1

ёе1[ X ]

У1 ХЬ1 хс1

ёе1 У 2 ХЪ2 Хс 2

_ Уз ХЬ3 Хс3

Ха1 У1 Хс1

Ха 2 У 2 Хс2

_ Ха 3 Уз Хс3

Ха1 ХЬ1 У1

ёе1 Ха 2 ХЬ2 У2

_ Ха 3 ХЬ3 Уз

(9)

Из правила умножения матриц [13, 14] следует: элементы столбцов (строк) второго (первого) сомножителя участвуют только в выражениях для вычисления элементов соответствующих столбцов (строк) матрицы-произведения. Из этого следует, что изменение элементов столбца (строки), дополнение, удаление, перемена мест столбцов (строк) второго (первого) сомножителя изменяют элементы столбца (строки), добавляют, удаляют, меняют местами соответствующие столбцы (строки) в результирующей матрице, не меняя значения элементов других столбцов (строк).

Исходя из этого:

1. Равенство (9) справедливо и для умножения обратной матрицы на любую согласованную с произвольным количеством столбцов и к каждому может быть применено правило Крамера.

Имеются матрицы:

а11 а12 а13 Ьц Ь12 Ь13 Ь14

А = а21 а 22 а23 и В = Ь21 Ь22 Ь23 Ь24

_а31 а32 а33 _ Ь31 Ь32 Ь33 Ь34

Требуется получить результирующую матрицу C = А-1- B. Элементом матрицы будет отношение двух определителей: знаменатель - определитель исходной матрицы А, а числитель - определитель матрицы, полученной из А заменой г-го столбца ]-м столбцом матрицы В:

С = А-1 • В = 1 х

ап а12 а13

а21 а22 а23

_а31 а32 а33 _

~ьп а12 а13 Ь12 а12 а13 "¿13 а12 а13 "Ь14 а12 а13

Ь21 а22 а23 Ь22 а22 а23 Ь23 а22 а23 Ь24 а22 а23

_Ь31 а32 а33 _ _Ь32 а32 а33 _ Ь33 а32 а33 _ _Ь34 а32 а33

~ап Ь„ а13 _а11 Ь12 а13 "а11 Ь13 а13 "а11 Ь14 а13

а21 К а23 а21 Ь22 а23 а21 Ь23 а23 а21 Ь24 а23

_а31 Ь31 а33 _а31 Ь32 а33 _ _а31 Ь33 а33 _ _а31 Ь34 а33

" ап а12 ь„' " ап а12 Ь12 " " а11 а12 Ь13 " " а11 а12 Ь14

а21 а22 Ь21 а21 а22 Ь22 а21 а22 Ь23 а21 а22 Ь24

_а31 а32 Ь31 _ _а31 а32 Ь32 _ _а31 а32 Ь33 _ _а31 а32 Ь34

Следовательно, умножение обратной к А матрицы на матрицу В можно делать без обращения матрицы А по методу Крамера, распространенному, таким образом, на операции с матрицами.

Использование в этой операции вместо матрицы В единичной матрицы Е дает обратную к А матрицу. Получился более формализованный метод обращения матриц через матрицу алгебраических дополнений. Так, например, числитель элемента обратной матрицы

А"12,3

а11 0 а13

а21 0 а23

_а31 1 а33 _

"ап а12 а13

а21 а22 а23

_а31 а32 а33

есть элемент транспонированной матрицы алгебраических дополнений, вычисляемых не через минор с соответствующим знаком и последующим транспонированием, а как определитель матрицы, полученной заменой 2-го столбца матрицы А 3-м столбцом единичной матрицы.

2. Матрица У, а, соответственно, и ХУ могут иметь несколько столбцов. В этом случае одним матричным выражением А=(ХХ)- ■ ХУ может быть получено несколько регрессионных зависимостей или интерполяционных полиномов для одной матрицы Х.

Таким образом, матрицу оценок МНК можно получить и без обращения матрицы X X и сразу, к примеру, для двух зависимых переменных:

х

а11 а12

а21 а22 =

а31 а32 _

х У11 х х12 х х13 х У12 х х12 х х13

ёе! х У21 х х22 х х23 ёе! х У 22 х х22 х х23

х У31 х х32 х х33 _ х У 32 х х32 х х33 _

х х11 х У11 х х13 х х11 х' У12 х х13

ёе! х х21 х У21 х х23 ёе! х х21 х' У22 х х23

х х31 х У31 х х33 _ х х31 х' У32 х х33 _

х х11 х х21 х У11 х х11 х х21 х У12

ёе! х х21 х х22 х У21 ёе! х х21 х х22 х У 22

_ х' х31 х х32 х У31 _ _ х' х31 х х32 х У 32 _

(10)

где ау - элементы матрицы коэффициентов двух регрессий; х ху - элементы матрицы XX; хуу - элементы матрицы X У.

В знаменателе элементов матрицы-столбца оценок - определитель матрицы XX, а в числителе - определитель матрицы, полученной заменой в матрице XX соответствующего столбца на соответствующий столбец двухстолбцевой матрицы X У.

Расчет аппроксимируемой МНК величины у = а1 ■ х1 + а2 ■ х2 + а3 ■ х3 при получении коэффициентов по (10) для заданного вектора

X =[х1

3 ] выглядит следующим образом:

у = -

х1 ■ ёе! х У11 х х12 х х13 х У21 х х22 х х23 х У31 х х32 х х33 + х2 ■ ёе! х х 1 х У11 х х13 х х21 х У21 х х23 х х31 х У31 х х33 + х3 ■ ёе! х х11 х х21 х У11 х х21 х х22 х У21 х х31 х х32 х У31

х х11 х х 2 х х13 х' х21 х' х22 х' х23 х х31 х х32 х х33

Поскольку метод Лагранжа и МНК - разные формы одного и того же, то и расчет аппроксимируемой величины по модели МНК можно записать и в форме Лагранжа, без расчета оценок, через операции с определителями:

" х, х2 х3 " " х' хп х' хи х' х13" " х' хи х'х21 х' хи

х' У11 ■ ёе! х' х21 х' х22 х' х23 + х' У21 ■ ёе! х1 х2 х3 + У31 ■ ёе! х' х21 х'х22 х' х21

х' х31 х' х32 х' х33 х' х31 х' х31 х' х33 х1 х2 х3

л32

Поскольку вычисление определителей - это трудоемкий процесс, использование последнего маловероятно.

1

х

у

Примечание: отсутствие свободного члена объясняется использованием стандартизированных (центрированных и нормированных) переменных.

Пример применения. На промышленной установке изомеризации пентан-гексановой фракции имеется процесс деизопентанизации - отгон изопентана из сырья путем ректификации. Стоит задача управления температурой верха колонны деизопентанизации с целью поддержания оптимального содержания нормального пентана в отделяемом изопен-тане [15-18]. Избыточное содержание нормального пентана снижает ресурс высокооктановых компонентов завода, а низкое содержание требует избыточного расхода тепловой энергии. Приведены результаты определения зависимостей доли нормального пентана в отделяемом изо-пентане от температуры и давления верха колонны деизопентанизации интерполяцией МНК. В табл. 1 приведены исходные данные для моделирования, где н_С5 - нормальный пентан, 1_С5 - изопентан.

Таблица 1

Исходные данные для моделирования

№ п/п Температура верха, Т, °С Избыточное давление, Ризе, кгс/см2 Температура верха, Т, К Абсолютное давление, Рабс, кПа Доля Н_С5 Доля 1_С5

1 70,00 2,242 343,15 325,009 0,40088 0,59912

2 70,00 2,278 343,15 328,629 0,35289 0,64711

3 65,00 1,866 338,15 287,518 0,35096 0,64904

4 63,12 1,700 336,27 270,947 0,38374 0,61626

5 57,47 1,300 330,62 231,049 0,38305 0,61695

6 56,60 1,300 329,75 231,057 0,28552 0,71448

7 50,00 0,908 323,15 191,971 0,25292 0,74708

8 62,36 1,700 335,51 270,941 0,29672 0,70328

9 66,21 2,000 339,36 300,902 0,29844 0,70156

10 69,79 2,300 342,94 330,848 0,30056 0,69944

11 75,00 2,894 348,15 390,107 0,17123 0,82877

12 75,00 2,893 348,15 390,024 0,17224 0,82776

13 44,97 0,677 318,12 168,845 0,16404 0,83596

14 49,97 0,953 323,12 196,424 0,16545 0,83455

15 49,84 0,806 322,99 181,726 0,44161 0,55839

16 53,68 1,027 326,83 203,810 0,44355 0,55645

17 57,78 1,285 330,93 229,575 0,44544 0,55456

18 62,28 1,596 335,43 260,636 0,44757 0,55243

19 69,63 2,173 342,78 318,168 0,45101 0,54899

20 67,73 1,739 340,88 274,875 0,88017 0,11983

21 63,06 1,402 336,21 241,245 0,87994 0,12006

22 67,37 1,711 340,52 272,075 0,88094 0,11906

23 76,83 2,494 349,98 350,199 0,88295 0,11705

24 66,94 1,678 340,09 268,792 0,88201 0,11799

25 73,95 2,239 347,10 324,717 0,88388 0,11612

26 70,94 1,988 344,09 299,718 0,88313 0,11687

27 41,20 0,525 314,35 153,762 0,08090 0,91910

С учетом [19, 20] была построена модель вида: * = Я1 • /1 (Т, Р) + а2 • /2 (Т, Р) + а3 • / (Т, Р) + а4 • /4 (Т, Р) + а5 • /5 (Т, Р); У 2 = Ь • /г(Т, Р) + ¿2 • /2 (Т, Р) + ¿3 • /з(Т, Р) + Ь • /4 (Т, Р) + Ь5 • /5 (Т, Р), где у\, у2 - доля нормального пентана и изопентана соответственно в изопентановой фракции;

/ (Т Р) =_^_•

- 2,689 • 1п(Т) • Т - 791 +17,41 • Т + 0,3127861 • 10-5 - 5Т3'

_1_;

- 2,689 • 1п(Т)Т - 791 + 17,41Т + 0,3127861-10-5 - 5Т3 '

/4(Т, Р) =-Т-5--;

- 2,689 • 1п(Т)Т - 791 + 17,41Т + 0,3127861^ 10-5 - 5Т3

/,(Т, Р) =

/5 (Т, Р)

Т3

- 2,689 • 1п(Т)Т - 791 + 17,41Т + 0,3127861 10-5 - 5Т3 Значения функций /1(Т,Р), />(Т,Р), /3(Т,Р), /4(Т,Р), /5(Т,Р), используемые для интерполяции методом МНК зависимости доли нормального пентана и изопентана в изопентановой фракции от технологических параметров (давления и температуры), приведены в табл. 2.

Таблица 2

Исходные данные для интерполяции МНК

№ п/п Доля н_С5 Доля 1_С5 /1(Т,Р) /2(Т,Р) /3(Т,Р) /4(Т,Р) /5(Т,Р)

1 0,35289 0,64711 -25,70 -25,89 -0,012924 -4,435 -522230,3

2 0,25292 0,74708 -21,17 -23,27 -0,012461 -4,027 -420489,9

3 0,17123 0,82877 -27,06 -26,55 -0,013029 -4,536 -549789,6

4 0,88017 0,11983 -24,65 -25,60 -0,012876 -4,389 -510031,8

5 0,08090 0,91910 -19,35 -22,10 -0,012227 -3,844 -379819,0

Полученные в результате коэффициенты модели построенной интерполяцией МНК приведены в табл. 3.

Таблица 3 Коэффициенты модели

Интерполяция МНК

А/ в,

1,02068772 -1,02068772

13,94068214 -16,62975614

5864,418647 -6655,415647

-101,4246726 118,8352526

-2,58824Е-05 2,90103Е-05

Значения долей нормального пентана и изопентана, рассчитанные по полученной модели, и исходные значения, а также абсолютная ошибка приведены в табл. 4.

Таблица 4

Тестирование полученных моделей

№ Исходные данные Интерполяция МНК Д

п/п Доля Доля Доля Доля Доля Доля

н_С5 1_С5 н_С5 ЦС5 н_С5 ЦС5

1 0,40088 0,59912 0,4032 0,5968 -0,00230 0,00230

2 0,35289 0,64711 0,3529 0,6471 0,00000 0,00000

3 0,35096 0,64904 0,3455 0,6545 0,00542 -0,00542

4 0,38374 0,61626 0,3797 0,6203 0,00403 -0,00403

5 0,38305 0,61695 0,3821 0,6179 0,00097 -0,00097

6 0,28552 0,71448 0,2777 0,7223 0,00787 -0,00787

7 0,25292 0,74708 0,2529 0,7471 0,00000 0,00000

8 0,29672 0,70328 0,2867 0,7133 0,01004 -0,01004

9 0,29844 0,70156 0,2903 0,7097 0,00810 -0,00810

10 0,30056 0,69944 0,2972 0,7028 0,00339 -0,00339

11 0,17123 0,82877 0,1712 0,8288 0,00000 0,00000

12 0,17224 0,82776 0,1723 0,8277 -0,00009 0,00009

13 0,16404 0,83596 0,1657 0,8343 -0,00162 0,00162

14 0,16545 0,83455 0,1546 0,8454 0,01086 -0,01086

15 0,44161 0,55839 0,4591 0,5409 -0,01753 0,01753

16 0,44355 0,55645 0,4523 0,5477 -0,00880 0,00880

17 0,44544 0,55456 0,4480 0,5520 -0,00253 0,00253

18 0,44757 0,55243 0,4470 0,5530 0,00052 -0,00052

19 0,45101 0,54899 0,4547 0,5453 -0,00374 0,00374

20 0,88017 0,11983 0,8802 0,1198 0,00000 0,00000

21 0,87994 0,12006 0,8804 0,1196 -0,00050 0,00050

22 0,88094 0,11906 0,8808 0,1192 0,00017 -0,00017

23 0,88295 0,11705 0,8962 0,1038 -0,01323 0,01323

24 0,88201 0,11799 0,8817 0,1183 0,00034 -0,00034

25 0,88388 0,11612 0,8907 0,1093 -0,00681 0,00681

26 0,88313 0,11687 0,8855 0,1145 -0,00234 0,00234

27 0,08090 0,91910 0,0809 0,9191 0,00000 0,00000

В табл. 4 курсивом выделены точки, по которым строилась модель интерполяцией МНК, интерполируемые значения для этих точек совпадают с исходными данными. Модель, построенная путем интерполяции МНК, выдает значение доли нормального пентана и изопентана в изопен-тановой фракции от технологических параметров (давления и температуры) с СКО 0.00705 от тестовой выборки.

Результаты и выводы. Показано, что интерполяция полиномом Лагранжа есть частный случай аппроксимации методом наименьших квадратов - только одной переменной, только степенным полиномом, только для количества точек, равных количеству коэффициентов, и без использования преобразования интерполируемой переменной.

Предложен метод решения некоторых задач, требующих обращения матрицы, минуя использование этой операции, в том числе расчет оценок методом наименьших квадратов, а также логически более формализованный метод обращения матрицы.

Отмечено, что одним матричным выражением МНК А = (XX)-1-(X У) можно получить несколько регрессионных зависимостей или интерполяционных полиномов, когда матрица У имеет несколько столбцов. Также отмечено, что в интерполятор Лагранжа может быть введено преобразование для интерполируемой переменной. Показано, что расчет аппроксимируемой величины методом наименьших квадратов может быть представлен в виде, подобном интерполяционному полиному.

Предложенный метод интерполяции универсален по количеству переменных, по составу и виду членов полинома, но он не является, на наш взгляд, лучшим решением для этой задачи, так как рассчитывает интерполируемую величину через громоздкие расчеты определителей, а для получения многочлена в явном виде требуются дополнительные операции приведения к полиномиальному виду. Интерполяция же методом наименьших квадратов либо простым решением систем линейных уравнений при количестве точек, равному количеству коэффициентов, по результату идентична, также универсальна и сразу дает коэффициенты многочлена, соответственно, является предпочтительной.

Представлен пример применения интерполяции МНК для нахождения функциональных зависимостей долей нормального пентана и изопентана в изопентановой фракции от технологических параметров (давления и температуры) промышленной установки изомеризации пентан-гексановой фракции. Высокая точность предсказания модели, построенной методом интерполяции по 5 точкам, объясняется использованием предложенного метода для адаптации теоретически обоснованной модели технологического процесса [19, 20].

Библиографический список

1. Аналитический обзор научных работ по проблемам математического моделирования, идентификации и управления технологическими процессами в производстве формалина / А.Г. Шумихин, СЛ. Кондрашов, Д. А. Mельков, M.^ Зорин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Химическая технология и биотехнология. - 2017. - M 1. - С. 7-3б.

2. Терехин А. А., Даденков Д. А. Обзор способов идентификации параметров асинхронного электропривода // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. -2017. - M 22. - С. 55-бб.

3. Жмако О.А., Голиков К.А., Чуприн E.H. Применение метода наименьших квадратов в физико-химических методах анализа // Инновационные технологии в науке и образовании. - 2015. - M 3. - С. 20-22.

4. Утешев А.Ю., Тамасян Г.Ш. К задаче полиномиального интерполирования с кратными узлами // Вестник Санкт-Петербург. ун-та. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2010. -M 3. - С. 7б-85.

5. Use B-spline interpolation fitting baseline for low concentration 2, б-di-tertbutyl p-cresol determination in jet fuels by differential pulse volt-ammetry / D.S. Wen, H. Wen, Y.G. Shi, B. Su, Z.C. Li, G.Z. Fan // 2nd International Conference on New Material and Chemical Industry (NMCI2017); 1S-20 November. - Sanya, 2017. DOI: 10.1088/1757-S99X/292/1/012071

6. Крепкогорский В.Л. О многомерных методах интерполяции // Известия высших учебных заведений. Mатематика. - 1999. - M 11. -С. 41-49.

7. Калиткин H.H. Численные методы. - M.: Шука, 1978. - 512 с.

8. Тараник В.А. Применение «интерполяционного многочлена Лагранжа» для функций со многими переменными // ScienceRise. -2015. - M 8. - С. б9-7б.

9. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. -M.: Физматлит, 2003. - 304 с.

10. Выгодский M„H. Справочник по высшей математике. - M.: АСТ, 2003. - 991 с.

11. Белов А.Г. Вероятностно-статистический подход к методу наименьших квадратов // Прикладная математика и информатика. -2010. - № 3. - С. 76-85.

12. Мусатов М.В., Львов А.А. Анализ моделей метода наименьших квадратов и методов получения оценок // Вестник Саратов. гос. техн. ун-та. - 2009. - Т. 4, № 2. - С. 137-140.

13. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Кн. 1. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 366 с.

14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1970. - 720 с.

15. Chuzlov V.A., Chekantsev N.V., Ivanchina E.D. Development of Complex Mathematical Model of Light Naphtha Isomerization and Rectification Processes // Chemistry and Chemical Engineering in XXI century: XV International Scientific Conference / dedicated to Prof. L.P. Kulyov; 26-29 May. - Tomsk, 2014. DOI: 10.1016/j.proche.2014.10.040

16. Efficiency improvement of the light gasoline fractions isomeriza-tion by mathematical modeling / V.A. Chuzlov, E.D. Ivanchina, N.V. Chekantsev, K.V. Molotov // International Conference on Oil and Gas Engineering; 25-30 April. - Omsk, 2015. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.07.305

17. Improving gasoline quality produced from MIDOR light naphtha isomerization unit / M.F. Mohamed, W.M. Shehata, A.A. Abdel Halim, F.K. Gad // Egyptian Journal of Petroleum. - 2017. - Vol. 26(1). - P. 111-124. DOI: 10.1016/j.ejpe.2016.02.009

18. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей / пер. с англ. под ред. Б.И. Соколова. - 3-е изд., перераб. и доп. -Л.: Химия, 1982. - 592 с.

19. Optimal Technological Parameters of Diesel Fuel Hydroisomerization Unit Work Investigation by Means of Mathematical Modelling Method / N. Belinskaya, E. Ivanchina, E. Ivashkina, E. Frantsina, G. Silko // Procedia Chemistry. - 2014. - Vol. 10. - P. 258-266. DOI: 10.1016/j.proche.2014.10.043

20. Расчеты основных процессов и аппаратов нефтепереработки: справочник / под ред. Е.Н. Судакова. - М.: Химия, 1979. - 568 с.

References

1. Shumikhin A.G., Kondrashov S.N., Mel'kov D.A., Zorin M.P. Analiticheskii obzor nauchnykh rabot po problemam matematicheskogo modelirovaniia, identifikatsii i upravleniia tekhnologicheskimi protsessami

HA. Mycma^una, A.E. EypaKOBa, A.H. Mycma^un, A.C. AieKcandpoBa

v proizvodstve formalina [Analitical review of scientific papers on the mathematical modeling identification and control of technological processes in the production of formalin]. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Khimicheskaia techno-logiia i biotekhnologiia, 2017, no. 1, pp. 7-36.

2. Terekhin A.A., Dadenkov D.A. Obzor sposobov identifikatsii parametrov asinkhronnogo elektroprivoda [Review of identification methods of induction motor parameters]. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Elektrotekhnika, informatsionnye tekhnologii, sistemy upravleniia, 2017, no. 22, pp. 55-66.

3. Zhmako O.A., Golikov K.A., Chuprin E.N. Primenenie metoda naimen'shikh kvadratov v fiziko-khimicheskikh metodakh analiza [The application of the method of least squares in the physical and chemical methods of analysis]. Innovatsionnye tekhnologii v nauke i obrazovanii, 2015, no. 3, pp. 20-22.

4. Uteshev A.Iu., Tamasian G.Sh. K zadache polinomial'nogo interpolirovaniia s kratnymi uzlami [On polynomial interpolation problem with multiple interpolation points]. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Prikladnaia matematika. Informatika. Protsessy upravleniia, 2010, no. 3, pp. 76-85.

5. Wen D.S., Wen H., Shi Y.G., Su B., Li Z.C., Fan G.Z. Use B-spline interpolation fitting baseline for low concentration 2, 6-di-tertbutyl p-cresol determination in jet fuels by differential pulse voltammetry. 2nd International Conference on New Material and Chemical Industry (NMCI2017); 18-20 November. Sanya, 2017. DOI: 10.1088/1757-899X/292/1/012071

6. Krepkogorskii V.L. O mnogomernykh metodakh interpoliatsii [On multidimensional methods of interpolation]. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika, 1999, no. 11, pp. 41-49.

7. Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical analisis]. Moscow: Nauka, 1978. 512 p.

8. Taranik V.A. Primenenie "interpoliatsionnogo mnogochlena Lagranzha" dlia funktsii so mnogimi peremennymi [Application of "interpolation multiliner of lagrange" for functions with many variables]. ScienceRise, 2015, no. 8, pp. 69-76.

9. Turchak L.I., Plotnikov P.V. Osnovy chislennykh metodov [Bases of numerical methods]. Moscow: Fizmatlit, 2003. 304 p.

10. Vygodskii M.Ia. Spravochnik po vysshei matematike [Handbook of Higher Mathematics]. Moscow: ACT, 2003. 991 p.

11. Belov A.G. Veroiatnostno-statisticheskii podkhod k metodu naimen'shikh kvadratov [Probabilistic-statistical approach to the method of least squares]. Prikladnaia matematika i informatika, 2010, no. 3, pp. 76-85.

12. Musatov M.V., L'vov A.A. Analiz modelei metoda naimen'shikh kvadratov i metodov polucheniia otsenok [Analysis of LS models and method of obtaining estimates]. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2009, vol. 4, no. 2, pp. 137-140.

13. Dreiper N., Smit G. Prikladnoi regressionnyi analiz. Kniga 1 [Applied regression analisis. Book 1]. Moscow: Finansy i statistika, 1986. 366 p.

14. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlia nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Mathematical handbook for scientist and engineers]. Moscow: Nauka, 1970. 720 p.

15. Chuzlov V.A., Chekantsev N.V., Ivanchina E.D. Development of Complex Mathematical Model of Light Naphtha Isomerization and Rectification Processes. Chemistry and Chemical Engineering in XXI century: XVInternational Scientific Conference. Dedicated to Prof. L.P. Kulyov; 26-29 May. Tomsk, 2014. DOI: 10.1016/j.proche.2014.10.040

16. Chuzlov V.A., E.D., Ivanchina N.V. Chekantsev, K.V. Molotov Efficiency improvement of the light gasoline fractions isomerization by mathematical modeling. International Conference on Oil and Gas Engineering; 25-30April. Omsk, 2015. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.07.305

17. Mohamed M.F., Shehata W.M., Abdel Halim A.A., Gad F.K. Improving gasoline quality produced from MIDOR light naphtha isomerization unit. Egyptian Journal of Petroleum, 2017, vol. 26(1), pp. 111-124. DOI: 10.1016/j.ejpe.2016.02.009

18. Rid R., Prausnits Dzh., Shervud T. Svoistva gazov i zhidkostei [Properties of gases and liquids]. 2nd ed. Ed. B.I. Sokolov. Leningrad: Khimiia, 1982. 592 p.

19. Belinskaya N., Ivanchina E., Ivashkina E., Frantsina E., Silko G. Optimal Technological Parameters of Diesel Fuel Hydroisomerization Unit Work Investigation by Means of Mathematical Modelling Method. Procedia Chemistry, 2014, vol. 10, pp. 258-266. DOI: 10.1016/j.proche.2014.10.043

20. Raschety osnovnykh protsessov i apparatov neftepererabotki [Calculations of the main processes and apparatus of oil refining]. Ed. E.N. Sudakova. Moscow, Khimiia, 1979. 568 p.

Сведения об авторах

Мустафина Дарья Александровна (Пермь, Россия) - кандидат физико-математических наук, старший эксперт, ООО «Промышленная кибернетика» (614000, Пермь, ул. Луначарского, 85, e-mail: dmustafina@yandex .ru).

Буракова Алёна Евгеньевна (Пермь, Россия) - руководитель группы моделирования технологических процессов центра высокотехнологичных решений, ООО «Инфраструктура ТК» (614016, Пермь, ул. Глеба Успенского, 15а, e-mail: alenka.byrakova@yandex.ru).

Мустафин Александр Иванович (Пермь, Россия) - главный специалист центра высокотехнологичных решений, ООО «Инфраструктура ТК» (614016, Пермь, ул. Глеба Успенского, 15а, e-mail: aleksandr.mustafin@infra.ru).

Александрова Анна Сергеевна (Пермь, Россия) - старший преподаватель кафедры «Автоматизация технологических процессов» Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: boyarshinovaann@gmail.com).

About the authors

Mustafina Daria Alexandrovna (Perm, Russian Federation) is a Ph. D. in

Physics and Mathematics, Senior Expert, OOO "Promyshlennaia kibernetika", (614000, Perm, 85, Lunacharskij st., e-mail: dmustafina@yandex.ru).

Burakova Alena Evgenievna (Perm, Russian Federation) is a group chief of modeling of technological processes, the High-Tech Solutions Center, OOO "Infrastruktura TK", (614016, Perm, 15а, Gleb Uspenskij str., e-mail: alenka.byrakova@yandex.ru)

Mustafin Aleksandr Ivanovich (Perm, Russian Federation) is a chief specialist of the High-Tech Solutions Center, OOO "Infrastruktura TK", (Gleb Uspenskij str., Perm, 614016, e-mail: aleksandr.mustafin@infra.ru).

Aleksandrova Anna Sergeevna (Perm, Russian Federation) is a Senior Lecturer department of automation technological processes Perm National Research Polytechnic University (614990, Perm, 29, Komsomolsky pr., e-mail: boyarshinovaann@gmail.com).

Получено 09.07.2018