CC BY
20
43/2005
Вестник Ставропольского государственного университета
МНТЕН
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ПОЧТИ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ПРИ ПОМОЩИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
П.К. Корнеев
CALCULATING THE DETERMINANTS OF ALMOST TRIANGULAR MATRIXES BY MEANS OF CONTINUED FRACTIONS
Korneev P.K.
The article presents the factoring of finite ascending continued fractions for the calculation of almost triangular matrixes. Basing on the result there has been derived the expansion into the finite ascending continued fraction of the first or the last coordinate of the vector for solving the system of liner algebraic equations with almost triangular matrix.
В статье для вычисления значений определителей почти треугольных матриц строится представление в виде произведения конечных восходящих цепных дробей. На основе этого результата получено разложение в конечную восходящую цепную дробь первой либо последней координатыi вектора решения системыi линейных алгебраических уравнений с почти треугольной матрицей.
УДК 519.61
1. Вычислим значение определителя левой почти треугольной матрицы
А - =
а11 а12 0 . . 0 0
а21 а22 а23 . . 0 0
а31 а32 а33 . . 0 0
а--1,1 а--1,2 а--1,3 . . а--1,--1 а--1,-
а-1 а-2 а-3 . . а-,--1 а--
(1)
Вычитая первый столбец, умноженный на а12 / ап , из второго столбца и разложив полученный определитель по элементам первой строки, будем иметь
А п = а11 'Д „-1,
где Дп-1 - определитель того же типа, что А п .
Продолжая этот процесс, получим следующий результат
А - =ПB
(2)
где
Bi = аll,
B2 = а 22 -
Bl
"42 >
B3 — а,
B2
Д
B- = а----х
(3)
B--1
х а
- а-,--2 --а
—--• а
--1,- --2,-- 1
B--2
-1 B
1—1
а
21
а
а
32
31
а
а
23
12
а
Корнеев П.К.
«Вычисление определителей почти треугольных матриц при помощи цепных дробей»
Здесь В1 (I = 3,4,...,п) являются восходящими цепными дробями.
Для значения определителя (1) можно получить и другое представление
А п =П А
где
(4)
а ,
1 I __1 I __п-1, п
Вп = апп , ^п-1 = ап-1, п—1 ^ ап, п—1 :
В 2 = а 2 2
п— 2 п — 2, п— 2
а
• а
п 1, п 2
- а„
Вп
■ • а ,,
п, п 1
(10)
.А — а , .А 1 — а , 1
п пп п 1 п 1,п 1
Ап—2 = ап— 2,п—2
а
п,п 1
а
- а„
, "п—2, п—1 , п—1, п'
Ап—1 Ап
А1 = а11 —
—— • а
- а3
12
•а
23
-«34 • • •
А
п—1,п'
(5)
2. Для значения определителя правой почти треугольной матрицы
(6)
а11 а12 а13 . .. а1п
а21 а22 а23 . .. а2 п
Ап = 0 а32 а33 . .. а3п
0 0 0. .. апп
получается следующие представления:
А п =ПС,
I=п
где
а12
С1 = ап, С2 = а22 — ' а21' С1
а23 а13
С3 = азз, —-— • аз2 -— • а21, С2 С1
С = ап—1, п ~ ап—2,п
Сп = апп С ' ап,п—1 -■ • а Сп—1
п, п— 1 ^ "п—1, п— 2
п—1 Сп—2
_ ап—3, п ~ ~ а1п .
С ' ап—1,п— 2 ••• С ' а21' Сп—3 С1
1
1
Ап =П А.
(7)
(8)
(9)
- а.
- аг
- а.
В = а11 В2'а21 В3 •а32 В4 'а43 ...
- аи
п, п 1
Вп
Сг(I = 3,4,...,п), Вг(I = п — 2,п — 3, ...,1)
являются восходящими цепными дробями.
К вычислению определителей почти треугольных матриц сводятся многие задачи: определение коэффициентов ряда, получающегося при делении двух сходящихся степенных рядов, когда у знаменателя-ряда отсутствуют нули [2]; нахождение чисел Бернулли; применение итерационных процессов, построенных на основе теоремы Кё-нига [1], и др.
3. Пусть дана система линейных уравнений
Ах = /, (11)
где А - левая почти треугольная матрица размерностью п х п, х и / - п -мерные векторы.
По формулам Крамера имеем Ач
х1 =А"'
п
(12)
где согласно формулам (4) и (5)
А1 =ПАI х
1 а 1 а -1- а а У1 . '"12 л '"23 л '"34 ••• > '"п—1,1
V А2
А
Ап
(13)
А п =П А-.
Подставив представления (4) и (13) в формулу (12), получим следующий результат:
-=п
п
а
п 1,п 2
а
а
а
41
2
3
4
-=п
х
3
4
1=п
1=п
43/2005
Вестник Ставропольского государственного университета
Л /2 _ а /з А1 А2
• а
Ап
(14)
где А1 вычисляются по формулам (5). Остальные координаты хг(/ = 2,3, ...,п) вектора решения х системы (11) находятся с помощью прямой подстановки.
4. Пусть дана система линейных уравнений
Ах _ /, (15)
где А - правая почти треугольная матрица размерностью п х п , х и / - п -мерные векторы.
Здесь мы получим разложение в восходящую цепную дробь последней координаты хп вектора решения х :
х _ Лп Лп-1 а -/п - 2 а - - /1 а .
_ С С п,п-1 с п-1,п-2 ••• с ' 21'
Сп Сп-1 Сп - 2 С1
(16)
где Сг- (/' _ 1,2,...,п) вычисляются по формулам (8).
Остальные координаты
х{ (/' _ п -1, п - 2, ...,1) находятся с помощью обратной подстановки.
Аналогично можно получить разложение в восходящую цепную дробь первой координаты х1 вектора решения х :
х ^ азГ-" тт^п, п-1,(17)
Б Б
б3
где Б (/ _ 1,2,...,п) находятся по формулам (10).
ЛИТЕРАТУРА
1. Березин И.С., Житков Н.П. Методы вычислений. Т.1. - М.: Наука, 1966.
2. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. - М.: Гос. изд-во физмат. лит., 1961.
Об авторе
Корнеев Петр Кириллович, доцент кафедры прикладной математики и информатики СГУ. Область научных интересов - вычислительная математика.
х1 _
