Кручение стержня в рамках псевдоконтинуума Коссера Текст научной статьи по специальности «Физика»

Раздел II. Математический анализ

А.А. Илюхин, А.К. Попов

КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ В РАМКАХ ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА

Рассмотрим упругий прямолинейный призматический стержень с постоянным поперечным сечением произвольной формы. Пусть к основаниям однородного изотропного стержня приложены силы, приводящие к скручивающим парам. Кроме того, массовые силы отсутствуют, и боковая поверхность стержня свободна от внешних сил.

Поместим начало прямоугольной системы координат в центре масс торцевого сечения стержня и направим ось ох3 параллельно образующим боковой поверхности, а оси ох! и ох2 возьмем на одном из оснований стержня по направлениям главных центральных осей инерции исследуемого стержня.

Задача об упругом равновесии призматического тела при указанных условиях сводится к нахождению величине*^, иявляющихся физическими компонентами тензора напряжений и

тензора моментных напряжений соответственно, и удовлетворяющих в области, занятой телом, двум группам дифференциальных уравнений равновесия и граничным условия на боковой поверхности.

Первая группа уравнений равновесия:

(!)

И вторая группа уравнений равновесия:

¿и

за __^^

г и.

Й1-1

¿1;

¿1;

= о

¿11 ¿11

¿11 _ _

¿4-

— — + <3- т

= О

(2)

а и.

+■ о_ —с- т = О

¿л, -т1аг

¿X! ¿1г

Первая группа граничных условий на боковой поверхности стержня[1] имеют вид:

СУ

Л| л|

• п , + ст.. ..

П,

п2 =0

п2 =0

п2 =0

(3)

Вторая группа граничных условий на боковой поверхности стержня [6] имеют вид: Кх,л, • П1 + М-Л

Н-л-.л", - П! + Н-д

- п2 = О

-п2 = О

(4)

п2 =0

И л,л, • + Ил.л,

Где П]_, П; являются компонентами внешней нормали к контуру поперечного сечения исследуемого прямолинейного стержня.

Заметим, что в уравнениях (3), (4) отсутствуют третьи слагаемые, что связано с равенством нулю третьей компоненты вектора нормали к боковой поверхности стержня. Решение в перемещениях поставленной задачи будем искать в виде:

11) = -ТХ2Х3 и2 = ТХ^з и3=тср(х1,х2) (5)

л. л

1л2

где т - постоянная величина, называемая степенью закручивания, а ^ [х;. х: ] - некоторая функция, подлежащая определению.

Перемещения и и и2 в (5) отвечают за поворот поперечных сечений, где соответствующее произведение тх3 является углом закручивания поперечного сечения на расстоянии х3 от начала координат.

Перемещение и3 в (5) показывает, что поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются, причем все сечения одинаково, т.е. происходит депланация поперечных сечений определяемая функцией ф(х1з х0) .

Будем рассматривать представленную выше задачу в рамках псевдоконтинуума Коссера. Вектор собственного микроповорота в рамках псевдоконтинуума связывается с вектором перемещений следующим образом [4]:

со = Tot.ii

И может быть представлен в виде взаимосвязи компонент вектора собственного микроповорота (¿>-л и компонент вектора перемещений

где - Тензор Леви-Чивиты.

При наличии в произведении повторяющихся латинских индексов подразумевается суммирования от 1 до 3.

В результате из (5) и (6), получаем выражения для компонент псевдовектора собственного микроповорота в рамках псевдоконтинуума Коссера, выраженные через компоненты вектора перемещений

(7)

Взаимосвязь компонент тензора деформаций"/,. ,. с вектором перемещений и псевдовекто-

ром собственного микроповорота имеет вид [6]:

"V

(8)

Компоненты тензора деформации /^.^применительно к рассматриваемому случаю (5) пре образуются к виду:

ГХ2Х2

Гж1*2

^з1! : I ¿к

Ущл = 0

I ¿К;

о

(9)

Можно видеть, что относительно деформаций не возникают нормальные напряжения, действующие между продольными волокнами стержня или в направлении самих волокон. Не возникают и искажения плоскостей поперечных сечений, поскольку , УХгхг -Ух^-Ух^х^'Ух^ обращаются в нуль.

Взаимосвязь компонент тензора изгиба - кручения и вектора собственного микроповорота [2] имеет вид:

_ ¿о.

¿К;

(10)

Значения компонент тензора изгиба - кручения (10) перепишем, учитывая выражения для компонент псевдовектора собственного микроповорота (7):

т

_ Эв! _ : /В фОсцЛ^] 1 \

Йи;

_т /а^ь^дЗ .л I! V '

¿о3 _

~ т к

¿О;

2 ¿X!-

ЗСц

т Э2фОс1Рхр

- 31;1

= о ж.

Ззц

= о = ^ = о

*г*з _ ¿х-. *з*г

Т.к. со, - угол малых поворотов участка среды, то диагональные компоненты псевдотензора изгиба-кручения я^^Л^^и характеризуют изменение вдоль какой-либо из координатных

осей угла поворота участка среды около этой же оси, т.е. характеризуют степень закрученности участка среды. Недиагональные компоненты псевдотензора изгиба-кручения характеризуют изменение вдоль координатной оси угла поворота участка среды вокруг оси, перпендикулярной первой, т.е. степень изогнутости участка среды в окрестности точки.

Следовательно, из (11)кручение волокон стрежня, параллельных оси (^^определяется величиной и зависит только от пока еще неопределенной константы г, а кручение волокон стрежня, параллельных осям Ох± и Охг зависит от неизвестной функции (р(х;.х-] определяющей депланацию поперечного сечения стержня.

Исследуемый стержень изгибается вдоль координатной оси Ох-в направлении оси Ох2 и вдоль координатной оси Ох2 в направлении оси что напрямую подтверждается соответствующими выражениями и Гз в( 11), зависящими от функции'рСх]., хг , определяющей депла-нацию поперечного сечения стержня.

Из того, что к,.-^ = гс^*! = = КХ1*2 = следует, что исследуемый стержень вдоль координатной оси Са":в направлениях осей С.¥]_ и Ох2 не изгибается.

Если среда изотропная, то закон Гука [6] принимает вид:

... . = -., , -.■:-: -.,, -.■;-: -., , (12)

Первую группу уравнений закона Гука (12) с учетом значений компонент тензора деформации (9) можно переписать в виде:

их

а*! - ~Х:>

(13)

г"

+ Х

О

Следовательно, в каждой точке стержня мы получили чистый сдвиг определяемый компонентами тензора напряжений ,аЛг.

Во второй группе уравнений закона Гука (12) в рамках псевдоконтинуума Коссера первое слагаемое равно 0:

В результате вторая формула закона Гука (12) примет вид:

С учетом значения компонент псевдотензора изгиба - кручения (11) компоненты тензора моментных напряжений, получаемые из закона Гука (12), представимы в виде:

1)

= 2

™ Кх =

11 ТО "

(15)

Из соотношений (15) можно заметить, что

-Ц

Подставив значения компонент тензора напряжений (13) в дифференциальные уравнения равновесия (1), увидим, что первые два из них удовлетворяются тождественно, а третье уравнение примет вид:

Последнее соотношение показывает, что функция ф(х]_,кг), должна быть гармонической функцией двух переменных и хг в области 8, занятой поперечным сечением тела. Из третьей формулы (5) вытекает, что перемещение также должно быть гармонической функцией.

Подставляя значения компонент тензора напряжений и моментных напряжений (13) и (15) в дифференциальные уравнения равновесия (2), мы увидим, что первое уравнение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

¿1;

2-С-

31-! V ¿1, V

¿К; ¿К].

3'О1.*]..*;

7 "Г -.

2)=

о

о

(17)

Учитывая равенство (17) и равенство нулю Лапласиана фСкц... хг..| (16), получим: Следовательно, первое уравнение равновесия удовлетворяется.

Аналогично второе уравнение системы дифференциальных уравнений равновесия сводится

к виду:

Следовательно, и второе уравнение равновесия удовлетворяется.

В результате подстановки компонент тензора напряжений и моментных напряжений (13) и (15) в третье уравнение системы дифференциальных уравнений равновесия (2) видно, что оно удовлетворяются тождественно.

Подстановки в граничные условия на боковой поверхности стержня (4) значений компонент тензора моментных напряжений (15), приводит исследуемые граничные условия к следующим двум соотношениям:

(18)

Компоненты вектора нормали боковой поверхности (они же являются компонентами нормали к контуру поперечного сечения) могут быть выражены через компоненты вектора касательной к тому же контуру в виде:

л».

(19)

Учитывая значения компонент вектора нормали боковой поверхности (19), первое граничное условие на боковой поверхности стержня (18) представимо в виде:

О

3 ^Зо1!^!.^;!1 ^ Л*! ^ 3 ^ ¿■э(*1.х!.' _

Левая часть полученного равенства представляет собой полную производную производной

функции —. ; " . следовательно

¡3 /¿фЬс! _ ¿1 V Зх-! 1 _

Проинтегрируем равенство (20) по кривой Ь:

с! (9ф х1зх2 л

Л

I

Л\

Эх,

с11=\ ^Ш + С, } б// 1

дф х,,х2 5х,

= х2+С!

(20)

(21)

Второе граничное условие на боковой поверхности стержня (18), учитывая значения компонент вектора нормали боковой поверхности (19) представимо в виде:

г= <и

) ¿1 Эх-

3 (3

\

V Зз^Зх; / ЙЕ

Зх, ) ~

¿£1 Л1

Левая часть полученного равенства представляет собой полную производную производной

функции

ЗХ;

следовательно

¡3 ^ ЗО'Х^Х;.'_ ЙЛГ!

Проинтегрируем равенство (22) по кривой Ь:

Л И1

5ф х1ях2 с?х.

с11 --

с-

<Эср х15х2 9х,

С,

(22)

(23)

Умножим второе равенство (21) на первую компоненту вектора нормали к боковой поверхности стержня % и второе равенство (23) на вторую компоненту вектора нормали к боковой поверхности стержня «г • и сложим полученное:

Задача определения функции есть, таким образом, задачи Неймана (24) для урав-

нения Лапласа (16).

В результате подстановки в граничные условия на боковой поверхности стержня (3) значений компонент тензора напряжений (13)легко заметить, что первые два равенства(З) удовлетворяются тождественно, а третье равенство на L (границе области 8) примет вид:

Учитывая, что

" г И?

31ч

Зх г

Зп

(25)

(26)

(27)

Из (25) и (26) на Ь получим:

Где "—- производная функции о, хг] по направлению нормали п.

Таким образом, каждая из двух групп граничных условий (3) и (4) проводит к одинаковой для каждой из групп задаче Неймана для уравнения Лапласа.

Задача определения функции (рСх^х^1 является, таким образом, задачей Неймана для уравнения Лапласа. Покажем, что в нашем случае условие существования решения задачи Неймана выполняется. Действительно, учитывая равенства (27) и то, что значения компонент вектора нормали представим в виде:

Получим

(28)

(ЭсрСх^х-,) Нх

/ ^ 1 2 с!1= /(х2П1-х1П2)с11= /(х ах Ь Зп ь Ь

= -х1^-)с11=1/с1(х1=+х=)=0 (11 ¿51 2 х^

При соблюдении этого условия решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это слагаемое не существенно, ибо замена функции (рО;1,хг] на (рСх^х^! 4- С не меняет напряженного состояния, а вызывает, как показывает третья формула (1), лишь жесткое поступательное перемещение тела вдоль оси ма:

= —X

В соответствии с принципом Сен-Венана, при достаточно большой длине призматического тела по сравнению с размерами его оснований, можно смягчить граничные условия на основаниях таким образом, чтобы главный вектор и главный момент сил, приложенных к основаниям, имели заданные значения: при этом действительное распределение сил на основаниях практически не оказывает влияния на части тела, находящиеся вдали от них [4]. Тем самым построенное решение удовлетворяет всем дифференциальным уравнениями граничным условиям на боковой поверхности. Что касается граничных условий на основаниях, то для гармонической функции справедливо тождество:

?.. .

¿Х4

на основании которого, с учетом граничного условия (29) и значений компонент тензора напряжений (13), обнаруживаем, что главный вектор касательных напряжений, приложенных в поперечном сечении, равен нулю. Действительно,

<Эф(хгх0)

дх

1

■-Х2>18 =

д <3ср(х1, х0 )

8

8 Эср(х х ) 1 2 -х )) + -—(х (- 1 2 + х ))]ск (30)

ох., А ОХ„ 1 дх. 1

2 2

Формула преобразования интеграла по поверхности в интеграл по кривой в прямоугольной системе координат - преобразования Остроградского, имеет вид:

Эа,

: дх

(к

к

Ь

На основании формулы (31) из равенства (30) получим:

=цтЛ(х1(-

5ф(х х ) 5ф(х х )

1 2 -х2)п1+(х1(- 1 2

дх

1

дх

2

+ хрп9]с1Ь

V

1 = Ях1с

5ф(хг х2)

Ь " 5х1

Ч

5ф(х х )

_Г 2 '

дх.

— (хо111 — х^,,))]«^

2 1 1 2 ^

(31)

(32)

(33)

Формула(32) с учетом равенства (27) преобразуется к виду: Для гармонической функции рСх]., хг] справедливо тождество:

Тогда

= |а ёв = цх|(

5ф(хГх2) дх_

-х^в =

5 / 5ф(х х ) д = -(х (-±— х _ ) +-

8 дх ^ дх ^ дх2

(х2(

Зф(хГх2) дх„

(34)

На основании формулы (31) из равенства (34) получим:

Вторая группа граничных условий на поперечном сечении исследуемого стержня имеет вид:

М1=^(х2ахх +^хх )сЬ

л. ^ л. ^ 3 1

м2 =/(Цх х -Х,СУ )сЬ

3 2 3 3

й (36)

Учитывая значения компонент тензора напряжений (13) и тензора моментных напряжений (15), соответствующие формулы (35) и (36) преобразуются к виду:

В результате касательные усилия в плоскости попере чного сечения стержня сводятся к паре сил, момент которой будет:

М, =}(х о -х ст )сЬ

1 ** х3х1 х^х^

5 (37)

В формулу для момента (37) поставляем значения компонент тензора напряжений (13) и момент-ных напряжений (15), получаем:

Эф(х х ) Эф(х х )

М3 =т/[ц(х -±——--х -±——+ хг +х;) + 2и]ё8 = (0 + 2у)т (38)

8 1 ах2 - ах1

где геометрическая жесткость при кручении Б представима в виде:

Зср(х х ) 5ф(х х ) 0 = ц/(х -А——--х -А—— + х1 + х;)ск

„ 1 Эх ^ Эх

8 2 1 (39)

Из условия равновесия на основаниях имеем М], = Ма, следовательно, из (39) получим:

т =

Мк

□+-ЗЛ (4°)

где 8 - площадь поперечного сечения стержня, М], - крутящий момент.

Вывод. Степень закручивания г зависит не только от крутящего момента М^ и геометрической жесткости при кручении Б, но и от площади поперечного сечения 8, что отличает данное решение от классического случая:

Принимая во внимание формулу (27), из преобразований Остроградского (31) найдем:

5ф(х х ) 5ф(х х ) д д

^ (Х!-дх—~ ~ Х2-дх " *** = ^ (_х2ф(х1' Х2 ^ + аР(Х1ф(Х1' Х2 ^ =

8 2 1 8 1 2

= I [-х2ф(х1,х2)п1 +х1ф(х1,х2)п2]с1Ь = I ф(х1,х2)[-х2п1 +х1п2]с1Ь

Эф(х X ) = -{Ф(х X )-(41)

ь 1 2 5п

С другой стороны, на основании первой формулы Грина:

I (фДф + УфУф)сЬ = I [ф —]с!1 (42)

т Эп

э Ь

В нашем случае:

Эф(х х0)

Кф(х1,х2)Аф(х1,х2) + Уф(х1,х2)Уф(х1,х2))с18= |[ф(х1,х2)-^—— ]с!1 (43)

в " " " " Ь " п

С учетом равенства (16) левая часть равенства (43) преобразуется к виду:

| (ф(хг х2)Дср(хг х2) + Уф(хг х2)Уф(хг x2))ds =

s

= |ф(х х?)Аф(х x?)ds + |Уф(х х9)Уф(х x?)ds =

= J[

s

5ф(х1,х2)

\2

дх

1

5ф(х1,х2)

\2

дх

у \ I J

]ds 44

Тогда из (41) и (44) получаем:

5ф(х х ) 5ф(х х ) 0ф(х х ) 5ф(х х )

|(х --L-2- - х0-= - Л(-+ (-г3—2-)" ]ds

s 1 Эх2 " Эх1 s 2

Или

ДО

0ф(х X ) 5ф(х X )

дх

5х,

-) +х

<Эф(х х ) 5ф(х х )_

1' ,, ^ 1' 2\2 _ ^ 1' 2 ^ ^ 1' 2^ = 0 (45)

1 Эх,

Эх,

8 —2 — 2 — 1 Умножим обе части последнего соотношения на ц и сложим с (39), получим

D = HTJ[

Эф(х13х2)

Эф(х13х2)

]ds

(46)

Из формулы (46) следует, что геометрическая жесткость при кручении всегда является строго положительной величиной Б>0.

2

s

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т. 2.

2. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

3. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28. № 3.

4. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. О принципе Сен-Венана и Фрагмена-Линделефе для решений и субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа в неограниченных областях // Математическая физика и нелинейная механика. 1984. Т. 2 (36). С. 91-98.

5. Cosserat E., Cosserat F. Theorie de scorps deformables. Paris; Hermann, 1909. 465 p.

6. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford; N.Y.; Toronto et al: Pergamon-Press, 1986.

Н.Е. Ляхова

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Использование информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) в образовании является актуальной на сегодняшний день проблемой. Развитие информационных технологий в последнее десятилетие привело к изменению роли преподавателя в современной системе образования. В настоящее время педагог-предметник уже не имеет права игнорировать тот образовательный потенциал, которым обладают современные информационные технологии и соответствующая им программно-техническая платформа, переводящие образовательный процесс на качественно новый уровень. За счет использования ИКТ преподаватели способны значительно увеличить степень образовательного воздействия на занятиях, повысить уровень мотивации студентов к изучению нового материала. И вот здесь возникает проблема интеграции накопленных методических знаний и дидактических материалов с возможностями ИКТ. И если для средней школы эта проблема решается быстрее и успешнее в силу более массовой потребности в образовательных муль-