Описание спектра одной операторной матрицы четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Math-Net.Ru

Т. Х. Расулов, Х. М. Лапитов, Описание спектра одной операторной матрицы четвертого порядка, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2023, номер 3, 427-445

001: 10.14498^^2003

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 109.252.33.182

29 сентября 2024 г., 12:11:55

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 27, № 3. С. 427-445 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu2003

EDN: UKZLQF

УДК 517.984

Описание спектра одной операторной матрицы четвертого порядка

Т. Х. Расулов, X. M. Латипов

Бухарский государственный университет,

Узбекистан, 705018, Бухара, ул. Мухаммад Икбол, 11.

Аннотация

Рассматривается операторная матрица четвертого порядка Л. Этот оператор соответствует гамильтониану системы с несохраняющимся числом и не более четырех частиц на решетке. Показано, что операторная матрица Л унитарно эквивалентна диагональной матрице, диагональными элементами которой являются опять операторные матрицы четвертого порядка. Описано местоположение существенного спектра оператора Л, т. е. выделены двухчастичная, трехчастичная и четырехча-стичная ветви существенного спектра оператора Л. Установлено, что существенный спектр операторной матрицы Л состоит из объединения отрезков, число которых не больше 14. Построен определитель Фред-гольма, такой, что его множество нулей и дискретный спектр операторной матрицы Л совпадают, кроме того, доказано, что число простых собственных значений операторной матрицы Л, лежащих вне существенного спектра, не превосходит 16.

Ключевые слова: пространство Фока, операторная матрица, операторы рождения и уничтожения, унитарно эквивалентные операторы, существенный, дискретный и точечный спектры.

Получение: 7 марта 2023 г. / Исправление: 15 сентября 2023 г. / Принятие: 18 сентября 2023 г. / Публикация онлайн: 28 сентября 2023 г.

Дифференциальные уравнения и математическая физика Научная статья

© Коллектив авторов, 2023 © СамГТУ, 2023 (составление, дизайн, макет)

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Расулов Т. Х., Латипов Х. М. Описание спектра одной операторной матрицы четвертого порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2023. Т. 27, № 3. С. 427-445. EDN: UKZLQF. DOI: 10.14498/vsgtu2003. Сведения об авторах

Тулкин Хусенович Расулов © https://orcid.org/0000-0002-2868-4390 доктор физико-математических наук, профессор; проректор по научной работе и инновациям; e-mail: [email protected], [email protected]

Хакимбой Мирзо угли Латипов © https://orcid.org/0000-0002-4806-0155 ассистент; каф. математического анализа; e-mail:[email protected]

Введение. Многие научно-прикладные проблемы сводятся к изучению спектральных свойств блочно-операторных матриц, элементами которых являются линейные операторы, действующие в банаховых или гильбертовых пространствах [1]. Существенные и дискретные спектры блочно-операторных матриц (в том числе и для одного специального класса — гамильтонианов систем с несохраняющимся ограниченным числом частиц на решетке) широко связаны с актуальными проблемами в физике твердого тела [2], квантовой теории поля [3], статистической физике [4], квантовой механике [5], магнитогидродинамике [6] и др. Поэтому развитие исследования блочно-операторных матриц и гамильтонианов систем с несохраняющимся ограниченным числом частиц является одним из приоритетных направлений.

Достаточно полное изучение спектральных свойств многочастичных операторов Шредингера в евклидовом пространстве проведено в книгах [7,8]. Центральным результатом, посвященным описанию существенного спектра для системы многих частиц, является теорема Хунцикера-ван Винтера-Жис-лина (теорема ХВЖ), названная так в честь заслуг Хунцикера [9], ван Винтера [10] и Жислина [11]. Она гласит, что существенный спектр N-частичного непрерывного оператора Шредингера состоит из полуинтервала и наименьший элемент достигается на спектре подгамильтонианов определенного класса. В работе [12] доказана теорема ХВЖ для гамильтониана системы четырех произвольных квантовых частиц с парными потенциалами на решетке.

Доказательство аналогичных результатов в случае дискретных операторов Шредингера, а также результатов, отличающихся от них для гамильтонианов систем с несохраняющимся ограниченным числом частиц на решетке является актуальной задачей. Проблемы описания существенного спектра, определения конечности или бесконечности дискретного спектра таких гамильтонианов изучены многими авторами, см. например [13-18]. В частности, в работах [16,17] изучены операторные матрицы четвертого порядка и описаны местоположение и структура существенного спектра, а также доказан аналог теоремы ХВЖ.

В настоящей статье рассматривается операторная матрица четвертого порядка Л, которая соответствует гамильтониану системы с несохраняющимся числом и не более четырех частиц на решетке. Она связана с моделью «спин-бозон» с не более чем тремя фотонами в евклидовом пространстве М', т. е. в бозонном фоковском пространстве над Ь2(М',С2), изученной в работе [22]. Там выполнен спектральный анализ гамильтониана с помощью теории рассеяния в паре пространств со специально выбранным вложением. В частности, доказаны существование волновых операторов и их асимптотическая полнота. При этом все построения опираются на детальный анализ резольвенты.

1. Постановка задачи. Через С, М, Z и N обозначим множество всех комплексных, вещественных, целых и натуральных чисел соответственно. Пусть ё € N и Т' := (—ж; — ё-мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе Т' рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в М' по модулю (2-^)'. Например, если

а = (ж/2,..., ж/2), Ь = (2ж/3,..., 2ж/3) € Т',

то

а + Ь = (-5ж/6,..., -5ж/6), 6а = (ж,...,ж) е Та.

Пусть Ь2((Та)т), т = 1,2,3 — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и

Т(Ь2(Т)) := С ф ¿2(Та) Ф Ы(Та)2) ф ■ ■ ■ ;

^Ы(£2(Тй)) := с ф Ь2(Та) ф ¿2((Та)2) Ф ■ ■ ■ Ф ЫС^Г), т = 1, 2, 3;

Н(т) := С2 ®Т(т)(Ь2(Та)), т = 1, 2, 3.

Гильбертово пространство Т(£2(Та)) называется пространством Фока, а Т(т)(Ь2(Та)) — (т + 1)-частичное обрезанное подпространство пространства Фока.

Норма элемента Р = {/08), /2^, /э^, й = ±} е Н(3) задается формулой

wfIi2 = Е(i/0s)i2 + / i/is)(fci)i2dki

+

'(Td)2

If2s)(ki,k2)l2dkidk2 +

+

' (Td)3

Ifr(ki,k2,k3)l2dkidk2dk3

В гильбертовом пространстве н(3) рассмотрим тридиагональную операторную матрицу

Л

/ Л00 ^oi 0 0 \

Л* Лц Л^ 0

0 * Л22 Л23 )

0 0 * ^23 Л33

с матричными элементами

Aoof(s) = sef(s),

^oi/is) = af v(t)f(-s\t)dt,

J Td

Hi if_

Hi 2/2 (^22/2

(^23/;(s

3

)(*i ) = (se + ))/(s)(^), )№)= a[ v(t)f2,-s)(kbt)dt

J Td

)(^,Ä2) = (se + ) + W(k2))f2,s\kl,k2)

)(h,k2) = af v(t)fi-s)(h,k2,t)dt

J Td

)(ki,k2,k3) = (se + -w(fci) + ^(fo) + Ц^з))/3s)(^i, ^2, fo)-

(s)

Здесь { /0s), /is), /2 , /2s), s = ±} G "H(3); Л* — сопряженный оператор к Лу,

i < j; функции ■), w( ■) являются вещественнозначными и непрерывными

на Td, причем min w(k) =0; a > 0 — «параметр взаимодействия». В этих fceTd

предположениях операторная матрица Л является ограниченной и самосопряженной в гильбертовом пространстве "Н(3).

Поставим для операторной матрицы А следующие задачи:

- описать местоположение существенного спектра и доказать, что он состоит из объединения отрезков, которых не более шести;

- определить число и местонахождение собственных значений;

- оценить нижнюю грань существенного спектра.

В последующих разделах статьи мы подробно рассмотрим все эти задачи. Далее под обозначениями а( ■), стевв( ■), стрр( ■) и сташс( ■) понимаются спектр, существенный спектр, точечный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора соответственно.

2. Спектральное соотношение для операторной матрицы А. В этом разделе изучение спектра операторной матрицы А при помощи оператора перестановки сводится к изучению спектра более простых операторных матриц Д(в), 8 = ±. Затем спектр операторной матрицы А описывается через спектр операторных матриц Д(в), 8 = ±.

Исследуем спектральные свойства операторной матрицы А. С этой целью определим два ограниченных самосопряженных оператора Ат, т = 1, 2, действующих в Н(т), в виде (т + 1) х (т + 1) операторных матриц:

А

1 ■=

I ^00 ^01 \

V ^01 ¿и ) ,

Л2 ■=

Лл 0 Ац ^12

А°2 ^22

Рассмотрим еще три ограниченных самосопряженных оператора Дт, ш = 1, 2, 3, 8 = ±, действующих в ^"(т)(Ь2(Та)), в виде (т + 1) х (т + 1) операторных матриц:

(в)

( .40) Ли |

V 4?),

4в) ■=

( Л1

А*

^01

0

^ в) ^11

А*

^12

0

Л2

Я 8) ^22

4в)

с матричными элементами

/ ^00 Ли 0 0 \

А* ^11 .412 0

0 А* .423 Д(в) ^33

V 0 0 А* ^23 /

= 8е/0,

.401/1 = а уфЬфМ,

/та

(лЦ11)(к1) = (-8е + Ш(к1))/1(к1),

(А12/2)(к1) = а! ь(1)/2(к1,1)си,

Jтd

(А$/2)(к1,к2) = {8£ + Ь)(к1)+ У)(к2))}2 (^^2),

(А2з/з)(к1,к2) = а

' (Та)2

и(Ь)/з (к1 ,к2,1)<И,

Й^/зХЛь^Лз) = (-В£ + w(kl)+ + w(кз))fз (Л1,Л2,Ла); (/с,/!) е^1^^)), (/с,/1,/2) е^(2)^(Та)),

(/0,/1,/2,/з) еТ"(3)(^2(та)).

Можно легко проверить, что

(4*1/0)^1) = о^1)/с, (-412 /1 )№, *2) = м(к2)Ь(к1), (А2з/2)(к1,к2,кз) = ау(кз)/2(к1,к2); (/с/1,/2) е ^(2)(^2(Та)).

Внедиагональные операторы Л01, 412 и А233 называются операторами уничтожения, а 4*ц, 4*2 и 4*3 называются операторами рождения [3]. Далее для сокращения записи всюду предполагается, что А3 := А. Установим связь между спектрами операторных матриц Ат и Ат , й = ±. Лемма 1. Пусть т = 1, 2, 3. Между спектрами операторных матриц Ат и Ат}, й = ±, справедливо равенство а(Ат) = а(Ат^) ио^л}-^. Кроме того,

^евв(4т) = ^евв(4т+)) и а^А^), ар(Ат) = и ар(Ат-у).

Доказательство. Введем три оператора перестановки:

Фт : П(т) ^^(т)(Ь2(Г&)) ф^(т)(Ь2(Та)), т = 1, 2, 3;

ф1 : (/0 , / 0 ,/1 ,/1 ) ^ (/0 ,/1 , / 0 ,/1 ),

(/(+) /(-) /(+) /(-) /(+) /(-)),(;(+) /(-) /(+) /(-) /(+) /(-))

(г(+) г(-) г(+) г(-) г(+) г(-) г(+) г(-)) _,

(г (+) г (-) г (+) г (-) г (-) г (+) г (-)г (+))

Очевидно, что Фт — унитарная операторная матрица и

-1 • ^(т)(Ь2(Та)) ф^(т)(Ь2(Та)) т = 1, 2, 3;

(0,0') ^ (00,00,01,01), Ф = (00,01), 0' = (00,01) е^(1)(Ь2(Та)); (<Л ^ ^ Рь ^ ^2),

^ = (^0,^1,^2), р' = (^0,^1,^2) е^(2)(Ь2(Та)); Ф-1 : ^ (^0,^0,Ф1,Ф2,Ф2,Ф3М,

ф = (^0,^1 ,^3), Ф' = ,^1,^2,^3) е ^(3)(Ь2(Та)).

Тогда из определения операторных матриц Лт, Лт и Фт следует, что

ФтАт Фт;1=^мтл А}.

Полученное равенство означает унитарную эквивалентность операторной матрицы Ат и диагональной операторной матрицы diag{4Í+), Ат)}. Отсюда

Ф2 Ф3

Ф

т

Ф-1

Ф-1

следует связь между спектрами операторных матриц Ат и Ат , указанная в лемме. □

Замечание 1. При т = 1, 2, 3 часть дискретного спектра ста^с^т) операторной матрицы Ат может лежать в существенном спектре стевв(Лтв)) операторной матрицы Ат , поэтому имеют место соотношения

СТ,1вс(^т) ^ и ), (1)

(Л

(Ат). (2)

Точнее,

(Ап) = {ста

в=±

Очевидно, что при т = 1, 2, 3 и 8 = ± операторная матрица Ат имеет более простую структуру, чем Ат, поэтому лемма 1 и соотношения (1), (2) дают возможность получить более точную информацию относительно спектра Ат.

3. Описание существенного и дискретного спектров операторной трицы А\. Рассмотри ствует в 7 (1)(Ь 2(Т )) как

матрицы А-!. Рассмотрим операторную матрицу аЦ, 8 = ±, которая дей-

(в) := 0 0 .

Тогда оператор возмущения л1в) — Л^ц операторной матрицы Л^ц является самосопряженной операторной матрицей ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр операторной матрицы

4в) сов но, что

^1в) совпадает с существенным спектром операторной матрицы Д^. Извест-

стевв(АЦ) = [—86, —86 + М], М ■= тах-ш(к). Из последних фактов следует, что

СТевв(^(1в)) = [—8£, —8£ + М]. Тогда, используя лемму 1, получаем, что справедливо равенство СТевв(А1) = [—е, —е + М] и [£,£ + М].

Подчеркнем, что в непрерывном случае [20-23] существенный спектр соответствующий модели состоит из полуоси [—е, ж). В рассматриваемом случае видно, что существенный спектр операторной матрицы А1 есть объединение двух отрезков конечной длины, которые не пересекаются, если е > М/2. Иначе говоря, если е > М/2, то в существенном спектре операторной матрицы А1 имеется лакуна (—£ + М, е).

Определим функцию

--— г — ы2

!та —8е + -ш^) — г'

^(г)^ — г — «2 /" * т

регулярную в С \ [—8£, —8£ + М].

Функция ^!в)( ■ ) называется детерминантом Фредгольма, ассоциирован-

1 (в)

ным с операторной матрицей .

Связь между собственными значениями операторной матрицы 4в) и нулями функции ^!в)( ■) устанавливается следующей леммой.

Лемма 2 [19]. Число г(в) € С \ стевв(д1в)) есть собственное значение операторной матрицы л1в) тогда и только тогда, когда (г(в)) = 0. Из леммы 2 вытекает, что

ста1вс(Д1в)) = {г € С \ стевв(4в)) ■ ^(г) = 0}.

Тогда с учетом замечания 1 получаем, что

СТ^всЙ!) = {* € С \ Стевв(^1) ■ ^(.г)^^) = 0}.

Из определения функции ^1в)( ■) и последнего равенства получим следующее утверждение.

Лемма 3 [19]. При всех а> 0 операторная матрица имеет не менее одного и не более четырех собственных значений.

Замечание 2. Собственное значение Е0 операторной матрицы Д1, которое существует при всех а > 0, обычно называется основным состоянием. Компоненты соответствующей собственной вектор-функции выглядят так:

/0+) =0, /<-) = со^ 0, /1+)№) = — , /П^ 0.

Из приведенных в этом разделе рассуждений можно заметить, что существование изолированных собственных значений операторной матрицы Л тесно связано с операторными матрицами 4в) , 8 = ±. Причем ста1вс(Л) = 0.

4. Описание спектра операторной матрицы Л2. В этом разделе для операторной матрицы Л установлено местоположение существенного спектра и приведена оценка его нижней грани, а также изучено местоположение дискретного спектра.

Хорошо известно, что для Л € К и А С К справедливо соотношение

Л + А = {Л + а ■ а € А}.

Обозначим

ст(в) ■= и {^1) + СТШвс(4-в))}, £<1в) ■= ст(в) и [8£, 8£ + 2М].

к1етА

Отметив, что

У + аезв(4-8))} = К ^ + 2М],

к1етА

приходим к равенству

и Мк1) + а(Л(1-8))} = х(18)

Местоположение существенного спектра оператора Л2 описывается следующей теоремой.

Теорема 1. Существенный спектр оператора Л2 совпадает с множеством

Х^ и ), т.е. Стевв(Л) = и Х^ ). Более того, множество

^евв(42) представляет собой объединение не более чем шести отрезков.

Доказательство. В силу леммы 1 имеем

^евв^) = ^евв(Л2+)) и СТевв^-).

Покажем, что стевв(42в)) = Х^. По определению Х^ = ст(в) и [йв, йе + 2М].

Запишем операторную матрицу ^2в) в виде суммы двух операторных матриц ^ = ЛЦ + ^2^1, где

I 0 0 0 \ I 4^ Ли О

Л« := ( 0 ^ -2.2 ) , = ( X ^ 0

\ 0 4*2 Дв) / \ о 0 0

Видно, что операторная матрица 42в1 есть двумерная самосопряженная

евв(^2в)) = Стевв(^2в0). Точнее, Стевв(42в

евв(^-2,3)

2

операторная матрица. Поэтому стевв(42в)) = ^евв(42в0). Точнее, стевв(42в)) = = Стеввй2в3), где

.(в) ,= ( 4? 412 \

:Ч ^2 Я&) .

(в)

Можно показать, что оператор 42 3 коммутирует с любой операторной матрицей и^, действующей в %1 ©%2, по правилу

(Л)) = Ж !)) ■ ^ ■) € С ^ Л = 1,2,

где С(Та) —банахово пространство непрерывных функций, определенных на Та.

Следовательно, из разложения в прямой интеграл пространства %1 Ф"Н2:

zl(s)

следует, что оператор Л2 3 разлагается в прямой интеграл

= / ®(w(h)i + 4-s)№. (3)

' Jjd

Из разложения (3) оператора Л^З в силу теоремы о спектре разложимых операторов [25, теорема Х111.86] вытекает, что

(8Ь _ I I Г„Д N , „(

*(4s3)= U мь) + a(^(1-s)}}

Тогда, учитывая равенства

а(Д(1-8)) = а^с(4-8)) и [-ве, -8£ + М]

и

У [-ее + -и(к1), -ее + -и(к1) + М] = [-8£, -ее + 2М],

мы приходим к равенству о^Л^З) = ^18), т. е. сте88(д28)) = ^!8).

Теперь осталось доказать, что множество сте88(д28)) представляет собой

объединение не более чем трех отрезков. Так как операторная матрица ) имеет не более двух простых собственных значений, лежащих вне отрезка [ве, ве + 2М], и функция ■) непрерывна на Та, то множество ст^ состоит из

объединения не более чем двух отрезков. Следовательно, множество (Д^) представляет собой объединение не более чем трех отрезков. Доказательство теоремы 1 завершается применением леммы 1. □

Введем подмножества

) := ст1+) и ст1-) и ^ыее(Л2) := [-£, -£ + 2М] и [е,е + 2М]

существенного спектра сте88(Д2) оператора Л2. Определение 1. Множества ^о(Л)

и ст^гее (^-2) называются соответственно двухчастичной и трехчастичной ветвями существенного спектра оператора Д2.

В силу определения множества ст^гее(Л) имеет место равенство

шт(ст^гее(Л)) = -е. Определим регулярную в С \ Х(|з) функцию

. „2 [

Q^) :=se - 2 - a2 f Jt

- w(t))

Положим ^СЮ := п2+)(^2-)СЮ.

Связь между собственными значениями оператора Л и нулями функции ^2(■) устанавливается следующей теоремой, в которой также определяется число собственных значений оператора Л.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

(а) если число г € С \ стевв(Д2) является собственным значением оператора А2, то П2(,г) =0, и наоборот;

(б) число простых собственных значений оператора Л2 не больше восьми.

Доказательство. (а) Предположим, что точка г € С \ х1в) является собственным значением оператора ^2в) с соответствующей собственной вектор-функцией / = ( /0,/1, /2) € ^"(2)(£2(Та)). В этом случае элементы /0, /1 и /2 являются решением системы уравнений

(ве - г)¡0 + а [ ШЩ = 0;

Jтd

аь(к1)/0 + (-ве + 'ш(к1) - г)Ь(к1) + а[ /2(^1, = 0; (4)

01У(к2)Ь(к1) + (йв + w(kl) + w(k2) - г)/2(^1, ^2) = 0. Так как г € [^, ^ + 2М], из третьего уравнения системы (4) для /2 имеем гП 1 \ ау(к2)/1(^1)

/2(Ь,к2) =--■—гг——г^-. (5)

йе + ■ш(к1) + -ш(к2) - г

Подставляя выражение (5) для /2 во второе уравнение (4), получим систему уравнений

0 = (г - зе) ¡0 -а! ф) ШМ,

Jтd (6)

01-в)(г - ы(к1))Д(Ь) = -аь(к1)/0,

которая имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда система уравнений (4) имеет нетривиальное решение.

В силу определения множества ст(в) для любых г € и € Т имеет

место неравенство в)( г -,ш(к1)) = 0. Значит, система уравнений (6) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда система уравнений

¡0 = (1 + г - -а у(г)¡1(Ъ)(М,

Jтd

аю(к{) ¡0

П1 в)( г --ш(к1))

имеет решение, не равное тождественно нулю, или когда ^^(-Ю = 0. Теперь замечание 1 завершает доказательство утверждения (а) теоремы 2.

(б) Так как операторная матрица ^2в) является самосопряженной, ее дискретный спектр вещественен. Поэтому исследуем вещественные нули функции ^2в)( ' ). Из определения функции ^2в)( ' ) вытекает, что она регулярна на С \ аевв(4в)). Простые преобразования показывают, что для любого г € М \ аевв(^2в)) имеет место равенство

(п<в)м = -1 i /м-(1 + / .-)2

(г Jтd (о1-в) (г - ы(8)))Л М ^е + ыф + - г)2

Очевидно, что ^^(-Ю < 0 при всех г € М \ сте88(Д28)). Это и означает, что

функция ^28)(') монотонно убывает на М\СТевв(^28)).В силу теоремы 1 множество сте88(Л.28)) состоит из объединения не более чем трех отрезков, поэтому из монотонности функции (.) вытекает, что эта функция может иметь четыре простых нуля в М\ сте88(Л.28)). Теперь утверждение (а) теоремы 2 завершает доказательство утверждения (б) этой теоремы. □

Из теоремы 2 следует, что

^(4°) = {* € С \ Е<8) : ^28)(^) = 0}. Отсюда с учетом замечания 1 получаем, что

^(Л) = {г € С \ Е<8) : ^СЮ = 0}.

(8)

5. Местоположение существенного и дискретного спектров оператора Л-з. Обозначим

ст28) := и Мк1 )+^8сЙТ8))}и и )+ст(8)}, ^28) := 48)иК ве+3М].

к1вТА к1вТА

Здесь следует отметить, что

У ^(к^ + ^е, ее + 2М]} = [ве, ве + 3М].

Поэтому имеет место равенство

у мк() + ст(^2-8))} = ^

к1€Та

(8) 2.

Местоположение существенного спектра оператора Л описывается следующей теоремой.

Теорема 3. Существенный спектр оператора Д3 совпадает с множеством 4+) и 4 ), т.е. сте88(Д2) = и 4 ). Более того, множество сте88(Д3) представляет собой объединение не более чем четырнадцати отрезков.

Доказательство. В силу леммы 1 имеем

СТе88(Лз) = СТе88(^3+)) и СТе88й3-)).

Покажем, что сте88(48)) = 48). По определению е28) = °28) и [ве,ве + 3М].

Запишем операторную матрицу ^|8) в виде суммы двух операторных матриц: ^38) = 41) + 41, где

0 0 0 0

0 Д(8) ^11 ■412 0

0 Л* Д(8) ^22 .423

0 0 Л* ^23 Д(8) ^33 )

^3,1

( Д<8) ^оо Ли 0 0

А* 0 0 0

0 0 0 0

\ 0 0 0 0

Видно, что 4в1 есть двумерная самосопряженная операторная матрица. Поэтому стевв(д3в)) = ^евв(^3в0). Точнее, из одномерности пространства С

и построения операторной матрицы 4в0 следует, что стевв(4в)) = °евв(^3в3), где

/4? ¿12 0 \

(в) ^3,3

11

-4-12 А>2 -^23

V 0 123 4? )

(в)

Можно показать, что оператор 3 коммутирует с любой операторной матрицей Ур, действующей в % Ф % Ф%2 по правилу

/ Л(*2) \ / ^(к1)П(к2) \

I /2(^2) | = I <р(к1Шк1,к2) | , <р(') €С (Та), /г €Нг, г = 1, 2,3,

Щк1,к2, к3)) \р(к1)/3(к1 ,к2, М/

где С(Та) —банахово пространство непрерывных функций, определенных на Та.

Следовательно, из разложения в прямой интеграл пространства Ф%2 Ф%3:

Ф % Ф = Ф(%0 Ф Ф Н2)(к1

] Td

(в)

следует, что оператор Л3 3 разлагается в прямой интеграл:

4в3 = / Ф(-и)(к1)1 + А{2-в))((к1. (7)

, 7тd

Из разложения (7) оператора 4^3 в силу теоремы о спектре разложимых операторов [25, теорема Х111.86] вытекает, что

^(4в3)= и мл1) + ^йтв))}.

Тогда, учитывая равенства

а(^2в)) = ^а1во(^2в)) и ^(в) и [8£, + 2М]

и

У [ве + 'ш(к1), ве + 'ш(к1) +2М] = [йе, ве + 3М],

мы приходим к равенству ст(4в3) = х2в), т. е. стевв(4в)) = х2в).

Осталось доказать, что множество стевв(4в)) представляет собой объединение не более чем семи отрезков. Так как операторная матрица 4в) имеет не более четырех простых собственных значений, лежащих вне своего существенного спектра, и функция ■) является непрерывной на Т^, множество

асостоит из объединения не более чем шести отрезков. Следовательно,

множество сте88(48)) представляет собой объединение отрезков, число которых не больше семи. Теперь лемма 1 завершает доказательство теоремы 3.

□

Введем подмножества

^о(Лз):= и + ^1вс(4-8))} и и М^) + ^всЙ,8))};

к1етА к1етА

^Ьгее(Лз):= У ММ+ СТ(-8)}и У М^) +

к1€Та к1€Та

^(Лз) := 1-е, -£ + 3М] и [е,е + 3М]

существенного спектра операторной матрицы Аз.

Определение 2. Множества ст^0(Дз), ^гее(Л) и ^0иг(^з) называются двухчастичной, трехчастичной и четырехчастичной ветвями существенного спектра оператора Д3 соответственно.

Из определения множества оъиг(Д3) видно, что тт(ай,иг(Лз)) = —е. Определим регулярную на С \ функцию

а2 [

0(8)(,г) :=ве — г — а2 [ Ут

тй ^2-8)(^—м*))'

Положим ОД := 0(+)(2)0(-)(2).

Связь между собственными значениями оператора Дз и нулями функции П( ■ ) устанавливается следующей теоремой, в которой также определяется число собственных значений оператора Дз.

Теорема 4. Справедливы следующие утверждения:

(а) если число г € С\сте88(Д3) является собственным значением оператора Аз, то 0,(г) = 0, и наоборот;

(б) число простых собственных значений оператора Дз не больше шестнадцати.

Доказательство. (а) Предположим, что точка г € С \ Е28) является собственным значением оператора 48) с соответствующей собственной вектор-функцией / = (/о,/ъ/2,/з) € 7(з)(£2(Та)). В этом случае элементы /0, /1, /2 и /з являются решением системы уравнений

(ве — г)/о + а[ ьфШсИ = 0;

Jтd

ау(к{)/о + (—ве + т(к1) — ^/1(^1) + а ^(¿)/2(^1, = 0;

(8)

ау(к2)/1(к1) + (ве + т(к1) + т(к2) — г)/2(^1,^2) + а у(1)/з(к1,к2^)М = 0;

Jтd

ау(кз) ¡2(к1,к2) + (—ве + -ш^) + -ш^) + ы(кз) — г)/з(к1,к2,кз) = 0.

Так как г € [-, -йе + 3 М], из четвертого уравнения системы (8) для /3 имеем

гп 1 1 \ ау(к3) /2(^1,^2)

fз(kl ,к2, к3) =---—7Г—1—гг—1—у^-т-. (9)

-йе + ■ш(к1) + ■ш^) + ■ш^) - г

Подставляя выражение (9) для /3 во второе уравнение (8), получим систему уравнений

(бе - г)¡0 + а [ у^)]^^ = 0;

./тd

аь(к{)¡0 + (-8е + 'ш(к1) - г)Л(А;1)+а/ /2(^1, = 0; (10) аь(к2)Л(Й1) + п1-в)(^ -Ы(к2))¡2(к1, к2) = 0,

которая имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда система уравнений (8) имеет нетривиальное решение.

В силу определения множества ^2в) для любых г € и ^2 € Т имеет

место неравенство ^2 - ^(^2)) = 0. Значит, система уравнений (10) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда система уравнений

(8£ - г)¡0 + а [ у(Ь)ШМ = 0;

Jтd

Л( К) = --¡-в?"А

(-в)

^2-в)(-г ))

имеет решение, не равное тождественно нулю, или когда 0(в)(,г) = 0. Теперь замечание 1 завершает доказательство утверждения (а) теоремы 4.

(б) Так как операторная матрица 4в) является самосопряженной, ее дискретный спектр вещественен. Поэтому исследуем вещественные нули функции 0(в)( ■). Из определения функции 0(в)( ■) вытекает, что она регулярна на

С \ стевв(^3в)). Простые вычисления показывают, что

(п<в>(*) = -1 -/ -т^-

Jтd (^2-в)( г -м(з)))2

* ^ +1 - '£ М \ ^^

Очевидно, что — 0(в)(,г) < 0 при всех г € М \ аевв(л3в)). Это и означает, что

функция 0(в)( ■) монотонно убывает на М\<гевв(4в)). В силу теоремы 1 множество стевв(д3в)) состоит из объединения не более чем семи отрезков, поэтому из монотонности функции 0(в) (■) вытекает, что эта функция может иметь не

более восьми простых нулей в М\<гевв (4в)). Теперь утверждение (а) теоремы завершает доказательство утверждения (б) этой теоремы. □

Из теоремы 4 следует, что

^1вс(4в)) = {* € С \ Х2в) : 0(в)(^) = 0}.

х

Отсюда с учетом замечания 1 получаем, что

^с(Лз) = {* е C \ E<s) : ОД = 0}.

Найденное выше равенство для дискретного спектра операторной матрицы Дз позволяет определить число и местоположение собственных значений этой матрицы.

Заключение. В настоящей статье исследуется операторная матрица Л четвертого порядка, которая соответствует гамильтониану системы с несо-храняющимся числом и не более четырех частиц на решетке. Эта операторная матрица действует в четырехчастичном обрезанном подпространстве фоков-ского пространства.

Для рассматриваемой операторной матрицы Л получены следующие результаты:

- описано местоположение существенного спектра;

- доказано, что существенный спектр состоит из объединения не более шести отрезков;

- определено число и местоположение собственных значений;

- оценена нижняя грань существенного спектра.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Благодарности. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам за ценные и полезные замечания.

Библиографический список

1. Tretter C. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. London: Imperial College Press, 2008. xxxi+264 pp.

2. Mogilner A. I. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schrödinger operators: Problems and results / Many particle Hamiltonians: Spectra and Scattering / Advances in Soviet Mathematics, vol. 5. Providence, RI: Am. Math. Soc., 1991. pp. 139-194.

3. Friedrichs K. O. Perturbation of Spectra in Hilbert Space / Lectures in Applied Mathematics. vol.3. Providence, RI: Am. Math. Soc., 1965. xii+178 pp.

4. Минлос Р. А., Малышев В. А. Линейные операторы в бесконечночастичных системах. М.: Наука, 1994. 425 с.

5. Thaller B. The Dirac Equation/ Texts and Monographs in Physics. Berlin: Springer-Verlag, 1991. xvii+357 pp.

6. Lifschitz A. E. Magnetohydrodynamics and Spectral Theory / Developments in Electromagnetic Theory and Applications. vol. 4. Kluwer Academic Publ.: Dordrecht, 1989. xii+446 pp.

7. Меркурьев С. П., Фаддеев Л. П. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М.: Наука, 1985. 400 с.

8. Cycon H. L., Froese R. G., Kirsch W., Simon B. Schrödinger Operators, with Application to Quantum Mechanics and Global Geometry / Springer Study edition. Texts and Monographs in Physics. Berlin: Springer-Verlag, 1987. ix+319 pp.

9. Hunziker W. On the spectra of Schrödinger multiparticle Hamiltonians // Helv. Phys. Acta, 1966. vol. 39. pp. 451-462.

10. van Winter C. Theory of Finite Systems of Particles. I: The Green Function/ Mat.-Fys. Skr., Danske Vid. Selsk. 2, No. 8, 1964. 60 pp.

11. Жислин Г. М. Исследование спектра оператора Шредингера для системы многих частиц/ Тр. ММО, Т. 9. М.: ГИФМЛ, 1960. С. 81-120.

12. Муминов М. Э. Теорема Хунцикера-ван Винтера-Жислина для четырехчастичного оператора Шредингера на решетке // ТМФ, 2006. Т. 148, №3. С. 428-443. EDN: HVALGT. DOI: https://doi.org/10.4213/tmf2325.

13. Лакаев С. Н., Расулов Т. Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов// Матем. заметки, 2003. Т. 73, №4. С. 556-564. DOI: https:// doi.org/10.4213/mzm203.

14. Albeverio S., Lakaev S. N., Rasulov T. H. On the spectrum of an Hamiltonian in Fock space. Discrete spectrum asymptotics// J. Stat. Phys., 2007. vol.127, no. 2. pp. 191-220, arXiv: math-ph/0508028. EDN: LXQYHX. DOI: https://doi.org/10.1007/s10955-006-9240-6.

15. Расулов Т. Х. О структуре существенного спектра модельного оператора нескольких частиц// Матем. заметки, 2008. Т. 83, №1. С. 86-94. EDN: RLQXJN. DOI: https://doi. org/10.4213/mzm4337.

16. Rasulov T. H., Muminov M. E., Hasanov M. On the spectrum of a model operator in Fock space// Methods Funct. Anal. Topol., 2009. vol.15, no. 4. pp. 369-383, arXiv: 0805.1284 [math-ph].

17. Rasulov T. H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space // Appl. Math. Inform. Sci., 2010. vol.4, no. 3. pp. 395-412. EDN: SQGWHZ.

18. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamil-tonian for any coupling: 1D case// J. Math. Phys., 2015. vol.56, 053507, arXiv: 1410.4763 [math-ph]. EDN: URDADB. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4921169.

19. Расулов Т. Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозон с не более чем двумя фотонами // Теор. и мат. физ., 2016. Т. 186, №2. С. 293-310. EDN: VQORSX. DOI: https://doi.org/10.4213/tmf8854.

20. Spohn H. Ground state(s) of the spin-boson hamiltonian// Commun. Math. Phys., 1989. vol.123, no.2. pp. 277-304. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01238859.

21. Hubner M., Spohn H. Spectral properties of the spin-boson Hamiltonian // Ann. Inst. Henri Poincam, Phys. Theor., 1995. vol.62, no. 3. pp. 289-323.

22. Жуков Ю. В., Минлос Р. А. Спектр и рассеяние в модели "спин-бозон" с не более чем тремя фотонами// Теор. и мат. физ., 1995. Т. 103, №1. С. 63-81.

23. Minlos R. A., Spohn H. The three-body problem in radioactive decay: The case of one atom and at most two photons / Topics in Statistical and Theoretical Physics / American Mathematical Society Translations, Ser. 2, 177. Providence, RI: Am. Math. Soc., 1996. pp. 159-193. DOI: https://doi.org/10.1090/trans2/177/09.

24. Feynman R. P. Statistical Mechanics. A Set of Lectures / Advanced Book Classics. Reading, MA: Perseus Books, 1998. xiv+354 pp.

25. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics. vol. 4: Analysis of Operators. New York: Academic Press, 1978. xv+396 pp.

26. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 448 с.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2023, vol. 27, no. 3, pp. 427-445 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu2003

MSC: 81Q10, 35P20, 47N50

Description of the spectrum of one fourth-order operator matrix

T. Kh. Rasulov, H. M. Latipov

Bukhara State University,

11, Muhammad Ikbol st., Bukhara, 705018, Uzbekistan.

Abstract

An operator matrix A of fourth-order is considered. This operator corresponds to the Hamiltonian of a system with non conserved number and at most four particles on a lattice. It is shown that the operator matrix A is unitarily equivalent to the diagonal matrix, the diagonal elements of which are operator matrices of fourth-order. The location of the essential spectrum of the operator A is described, that is, two-particle, three-particle and four-particle branches of the essential spectrum of the operator A are singled out. It is established that the essential spectrum of the operator matrix A consists of the union of closed intervals whose number is not over 14. A Fredholm determinant is constructed such that its set of zeros and the discrete spectrum of the operator matrix A coincide, moreover, it was shown that the number of simple eigenvalues of the operator matrix A lying outside the essential spectrum does not exceed 16.

Keywords: Fock space, operator matrix, annihilation and creation operators, unitary equivalent operators, essential, discrete and point spectra.

Received: 7th March, 2023 / Revised: 15th September, 2023 / Accepted: 18th September, 2023 / First online: 28th September, 2023

Competing interests. We declare that we have no conflicts of interest in the authorship and publication of this article.

Authors' Responsibilities. The authors are absolutely responsible for submit the final manuscript to print. Each author has approved the final version of manuscript.

Differential Equations and Mathematical Physics Research Article

© Authors, 2023

© Samara State Technical University, 2023 (Compilation, Design, and Layout) 3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Rasulov T. Kh.,LatipovH. M. Description of the spectrum of one fourth-order operator matrix, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2023, vol. 27, no. 3, pp. 427-445. EDN: UKZLQF. DOI: 10.14498/vsgtu2003 (In Russian).

Authors' Details:

Tulkin Kh. Rasulov © https://orcid.org/0000-0002-2868-4390

Dr. Sci. (Phys. & Math.), Professor; Vice-Rector for Research and Innovation;

e-mail: [email protected], [email protected]

Hakimboy M. Latipov © https://orcid.org/0000-0002-4806-0155

Assistant Lecturer; Dept. of Mathematical Analysis; e-mail: [email protected]

Acknowledgments. The authors express their deep gratitude to the reviewers for valuable and useful comments.

References

1. Tretter C. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. London, Imperial College Press, 2008, xxxi+264 pp.

2. Mogilner A. I. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schrödinger operators: Problems and results, In: Many particle Hamiltonians: Spectra and Scattering, Advances in Soviet Mathematics, vol. 5. Providence, RI, Am. Math. Soc., 1991, pp. 139-194.

3. Friedrichs K. O. Perturbation of Spectra in Hilbert Space, Lectures in Applied Mathematics, vol.3. Providence, RI, Am. Math. Soc., 1965, xii+178 pp.

4. Malyshev V. A., Minlos R. A. Linear Infinite-Particle Operators, Translations of Mathematical Monographs, vol. 143. Providence, RI, Am. Math. Soc., 1995, viii+298 pp.

5. Thaller B. The Dirac Equation, Texts and Monographs in Physics. Berlin, Springer-Verlag, 1991, xvii+357 pp.

6. Lifschitz A. E. Magnetohydrodynamics and Spectral Theory, Developments in Electromagnetic Theory and Applications, vol. 4. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1989, xii+446 pp.

7. Faddeev L. D., Merkuriev S. P. Quantum Scattering Theory for Several Particle Systems, Mathematical Physics and Applied Mathematics, vol.11. Kluwer Academic Publ., 1993, xiii+404 pp.

8. Cycon H. L., Froese R. G., Kirsch W., Simon B. Schrödinger Operators, with Application to Quantum Mechanics and Global Geometry, Springer Study edition. Texts and Monographs in Physics. Berlin, Springer-Verlag, 1987, ix+319 pp.

9. Hunziker W. On the spectra of Schrödinger multiparticle Hamiltonians, Helv. Phys. Acta, 1966, vol. 39, pp. 451-462.

10. van Winter C. Theory of Finite Systems of Particles. I: The Green Function, Mat.-Fys. Skr., Danske Vid. Selsk. 2, No. 8, 1964, 60 pp.

11. Zhislin G. M. A study of the spectrum of the Schrödinger operator for a system of several particles, Tr. Mosk. Mat. Obs., 9, 1960, pp. 81-120 (In Russian).

12. Muminov M. É. A Hunziker-van Winter-Zhislin theorem for a four-particle lattice Schrödinger operator, Theoret. and Math. Phys., 2006, vol.148, no. 3, pp. 1236-1250. EDN: XLLPVN. DOI: https://doi.org/10.1007/s11232-006-0114-5.

13. Lakaev S. N., Rasulov T. K. A model in the theory of perturbations of the essential spectrum of multiparticle operators, Math. Notes, 2003, vol. 73, no. 4, pp. 521-528. EDN: XJVQYB. DOI: https://doi.org/10.1023/A:1023207220878.

14. Albeverio S., Lakaev S. N., Rasulov T. H. On the spectrum of an Hamiltonian in Fock space. Discrete spectrum asymptotics, J. Stat. Phys., 2007, vol.127, no. 2, pp. 191-220, arXiv: math-ph/0508028. EDN: LXQYHX. DOI: https://doi.org/10.1007/s10955-006-9240-6.

15. Rasulov T. K. On the structure of the essential spectrum of a model many-body Hamil-tonian, Math. Notes, 2008, vol.83, no. 1, pp. 80-87. EDN: LKYTYL. DOI: https://doi.org/ 10.1134/S0001434608010100.

16. Rasulov T. H., Muminov M. E., Hasanov M. On the spectrum of a model operator in Fock space, Methods Funct. Anal. Topol., 2009, vol. 15, no. 4, pp. 369-383, arXiv: 0805.1284 [math-ph].

17. Rasulov T. H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space, Appl. Math. Inform. Sci., 2010, vol.4, no. 3, pp. 395-412. EDN: SQGWHZ.

18. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case, J. Math. Phys., 2015, vol.56, 053507, arXiv: 1410.4763 [math-ph]. EDN: URDADB. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4921169.

19. Rasulov T. K. Branches of the essential spectrum of the lattice spin-boson model with at most two photons, Theoret. and Math. Phys., 2016, vol. 186, no. 2, pp. 251-267. EDN: WPRRHL. DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577916020094.

20. Spohn H. Ground state(s) of the spin-boson hamiltonian, Commun. Math. Phys., 1989, vol.123, no. 2, pp. 277-304. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01238859.

21. Hübner M., Spohn H. Spectral properties of the spin-boson Hamiltonian, Ann. Inst. Henri Poincaré, Phys. Théor., 1995, vol.62, no. 3, pp. 289-323.

22. Zhukov Yu. V., Minlos R. A. Spectrum and scattering in a "spin-boson" model with not more than three photons, Theoret. and Math. Phys., 1995, vol. 103, no. 1, pp. 398-411. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02069784.

23. Minlos R. A., Spohn H. The three-body problem in radioactive decay: The case of one atom and at most two photons, In: Topics in Statistical and Theoretical Physics, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, 177. Providence, RI, Am. Math. Soc., 1996, pp. 159-193. DOI: https://doi.org/10.1090/trans2/177/09.

24. Feynman R. P. Statistical Mechanics. A Set of Lectures, Advanced Book Classics. Reading, MA, Perseus Books, 1998, xiv+354 pp.

25. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 4, Analysis of Operators. New York, Academic Press, 1978, xv+396 pp.

26. Gohberg I. C., Kreln M. G. Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators in Hilbert Space, Translations of Mathematical Monographs, vol. 18. Providence, RI, Am. Math. Soc., 1969, xv+378 pp. DOI: https://doi.org/10.1090/mmono/018.