ОПИСАНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ИЗ ПРОСТРАНСТВА H p (w) r r В ПРОСТРАНСТВ p lA Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

ОПИСАНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ИЗ ПРОСТРАНСТВА Hp (ю)

В ПРОСТРАНСТВО ¡р 1

О.В. Ярославцева

п • .

В работе описываются мультипликаторы вида Хк к = ^Т ^к- из пространства Hp (ю) в

^ ь , „ - =

пространство ¡АР.

Ключевые слова: голоморфные функции, единичный полидиск, правильно меняющиеся функции на (0,1], пространство НР (ю), пространство ¡р, мультипликаторы.

Пусть ип = [г = (г15..., гп): |г;-| < 1, - = 1, п} - единичный полидиск в п -мерном комплексном пространстве Сп, р = (р1з...,Рп), ю(г) = (щ(г),...,юп(г)), где 0 < р- <+¥, Ю- (г) - положительные правильно меняющиеся функции на (0,1], - = 1, п. Обозначим через и (ю) пространство измеримых в ип функций /, для которых

Юп (1 - 1С п|)(/Юп-1 (1 - 1С п-11)... [л I (С......С п )| * X

f

Lp (w)

U

V и

U

w (1 - z 1 \)dm2 ((!)

P2_ ' Pi

-dm2 ((n-1 d

Pn-1

dm2 ((n d

< +¥,

где dm2

2-мерная мера Лебега на и. Подпространство Ьр (ю), состоящее из

V

голоморфных в ип функций, обозначим через Нр (ю).

Напомним, что классом функций, правильно изменяющихся на промежутке (0,1],

называется множество измеримых функций ю , удовлетворяющих следующим свойствам:

а) ю(г) > 0, г е (0,1];

б) существуют положительные числа дю, тю е (0,1), Мю > 0 такие, что

та < Ма, г е (0,1], 1 е [да,1].

ю (г)

Множество таких функций обозначим через £. Можно установить, что ю е $ тогда и только тогда, когда существуют ограниченные измеримые функции 77, е на (0,1] такие,

что

при этом

w(х)= expjh(x)+j-(-ddu^, xe (0,1]

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ:№09-01-97517

1

n

n

1п шт , ч 1п Мт / п -ш < £ (и)<-ш, и е(0,1]

1п — 1п —

Чш Чш

^ / ч 1п шт п 1п Мт , л „

Будем предполагать, что ц (*)° 0, аш =-^, рт =-, аш >-1, 0 < ра < 1.

1п— 1п —

Через ¡АР обозначим пространство голоморфных в ип функций g, для которых

£

Z ■■■

К=0

z z К

k2=0 V k1=0

, NpJ p2 Л1/ pn лP2Ipi у31

pi

< +¥,

где g(^1,...,^п)= X ьк1,...,кпг11-^Пп •

к-,..,кп =0

Определение. Последовательность {Як1 к } называется мультипликатором из • • • • •

пространства Нр (ш) в пространство ¡АР, если для любой функции g е Нр (ш) такой, что

£(*!>■■■> *n) = Z ^kA^n '

ki,...,k„=0

сходится ряд

!■■■

kn =0

Z Z VaV

V

k2 =0 Vk1 =0

pi

Лp2p Лp3p2

Л1/ pn

< +¥ ■

Сформулируем некоторые вспомогательные утверждения. Лемма А. (см. [1]). Пусть шу е £, у = 1, п. Тогда справедлива следующая оценка:

, ш(1 - 1С I) , ч , чш(1 - Ы) Шп (С )< С (а,

и» |1 - сЫ (1 - Ы) • -

Ыеип, а = (аь...,ап), а] >а&], у =1,п

• ф ^ ^ _

Лемма 1. Пусть / е НР (ш), р = (рх,...,рп), (О = (шх,. .,юп), 0 < р < 1, ш е Б, у = 1,п.

Тогда если / (Ып ) = X кп ГХ .. ЫП

то

k=0

a.

■h k k1 ,■ ■ kn

< c-

(k * )

2/ p-1

w

1/ p \\J \\Hp(w) =

где

(k * )

21 p-1

w

1 p

n (k * pj -1

n (kj) k * =

ИГ . snVpj ' kJ =

j=1

w ,■

' 1Л

V kj 0

kj> kj * 0 , — j =1 n

1, k, = 0;

Лемма 2. Пусть p = (p1v..,pn), a = (a1,...,an), 0<p. < 1, a. <p., a. >-1, j = 1,n,

1% k =П ' Тогда из условий

j =1

1) E

kj=1

ik

pj

= 1, j = 1, n,

(1)

2) E...

kn =0

m2

E

k2 =0

m1

wp y3/p2

E |Va A (k* )2

V k1 =0

*ч 2

(k*)

...(k*)2 <

< C1 ((m* )(p1 -a1 )p*/p1 (m* )(p2-a2 )p"/p2...(m* )(p*-an))

следует, что

E

kj =mj

1k

< C2(m*)p-aj - 2, j = 1, n.

* [kj, k. Ф 0; * [mj, m. Ф 0; — Здесь k* = i m* = i j = 1, n.

J '1, kj = 0; J [1, mj = 0;

Лемма 3. Пусть p = (px,...,pn), w = (w1,...,wn), 0 < pi < 1, Wj e S, 0 < ¡bw. < 1, j = 1,n,

1k к = П 1k - ' Тогда при условии (1) из того, что

1 ' n j=1 j

е-

kn =0

m2 E

k2 =0

m1

Wp1 Y3/p2

E K,.-a л (k*)2

V k1 =0

*ч 2

(k* )

...(k*)2 <

< C

следует, что

(m* ) pn (m* ) pn ...(m* )

p*

w

' 1N

V m1 0

pjf1

w2

r 1 N

V m2 0

fn/f2 / N

...w*

V mn0

kj =mj

1k

^ t *\p.-2 < C2(m* )Pj w.

f , Л

mj

V J 0

- J =1 *'

Лемма 4. Пусть f e Hp (a), 0 < p < 1, g = a + 2 - p, a >-1' Тогда

1 i p Np 1 p

J(1 -r)r-1| J f (rej)|dj rdr <cJJ(1 -r)af (rejrdrdj.

0 -p

Лемма 5. Пусть f e Hp(w), p = (p1v..,pn), w = (w1,...,w*), 0 < p. < 1, w. e S,

aw. >-1, g= 2-pJ = 1,n' Тогда

J w* (1 - rn )(1 - rn )gn -1... J «2 (1 - r2 )(1 - r2 )Г2-1| J w (1 - r1 )(1 - r1)

ЛР2/ pi лРЗ/p

yMp (r1,r2,■■■,rn,/) r1dr1

'2Ы'2

■■■rndrn < 4A

\hp(() '

Р Р Р , ч

где М1 (гьг2,...,Гп,/)= |... | {/(г^,г^2,...,Ц^.^п.

-р -Р-Р

Основной результат статьи содержится в теоремах 1 -3. Напомним, что

'^ak1.....'n )Г; I

Бир

к„

a

< M У ■

Теорема 1. Пусть р = (рь...,рп), ш = (ю1,...,юп), 0 < ру < 1, е у = 1,п. {Як1 к } " мультипликатор из Нр (ш) в I¥ тогда и только тогда, когда

(к*ГР1 ...(к*Грп [ш (V**)/*...[®п (Vк:)п1 Р

К k = о

k1 ,■ ■ ■,kn

(2)

Доказательство.

Пусть справедлива оценка (2). Докажем, что {Я^ к } - мультипликатор из Нр (ш) в I¥.

+¥

Пусть / (ы) = / (г1,..., ып )= X ак1 к211...2пп. Тогда по лемме 1 имеем:

к\,...,кп =0

(к * )2/ р-1

a

h h

< c-

w

1

1/P ^ llHP(w)

где

(k*^p-1 =n с;)

^ i mVp П

2/ p,-1

w I

j=1

w,

' 1 Л

V k* 0

1 Pj •

Следовательно,

я' k ak k

< c

Тогда {Як1 к ак1 к }е I¥, то есть {Як1 к } - мультипликатор из Нр (ш) в I¥. Пусть

теперь Я к } - мультипликатор из Нр (ш) в I¥. Тогда по теореме о замкнутом графике

Бир

Я' h ak, k

< const

Hp (w)

п1

Положим / ( Гп ) = g (Г^.^ ГпГп ), < 1, g ( z1,•••, Гп ) = П^-^ Ру

_ у=1 (1 - ^ )'

у = 1, п. Тогда

g(Г1,...,Гп)= X К.,кА..ыкп, ькь...,кп~в(к*)Р1-1...(к;)Рп"1.

к1,...,кп=0

Последнее утверждение означает, что 3 с^ с2 > 0 такие, что

>

+ 2

Используя оценку леммы А, получим:

f ( f J"n I1 -IZn|)...

b -1 bn-1

(с

U

J «2 (1 -k2|) JIV-1

U

^=1 1 - TJZJ

bJ-P1

щ (1 - |z1 |) dm (z1)

P2 ' P1

p3L

lP2

dm2 (z2 )

. dm2 (Zn )

0 0 1

Pn

"n (1 - |Zn I)

Л

vU I1 - rnZn

bnPn

dm2 (zn )

1

Pn ^ «2 (1 - Ы) " 2

1

— ib2 P2 - r2 Z 1

dm2 ( z2 )

U 1 '2^2

J

" (i -z11)

(1 -1)

Следовательно

- >V1 |b1 P

["1 (1-Г1 )]" Я

(b1 P1-2)/P1 •

dm2 ( Z1)

P1

["n (1- rn )) Pn ["2 (1-i)]

(1-О'

£ const

V P2

(bnPn-2)/ Pn

(1 - r2 )

( b2P2-2)/ P2

l

'k1,...,kn

(k*)b1-1-(k*n)bn-1 r1k1...rnkn £ const

["n Q - rn )]

(1-rn )

1 Pn

( bnPn-2)/Pn

[«2 (1-r2)f2 ["1 (1-r1)]

V P1

(1-r2)(b2P2-2)/P2 (1 -1

(b1P1-2)/P1 •

Положим r = 1 -—, если k* > 2, и r = 1 ——, если k* = 1, j = 1, n. Тогда

j k* j j 2k j

К

(k*)A_1...(k*)bn-1 £ const

Г1 ^ 1 Pn Г1'

"n k * V kn 0 "2 k * V k2 0

1P2

/ \(bnPn"2)/Pn " f \(b2P2"2)/P2

k

v kn 0

_1

V k2 0

"1

k*

V k1 0

1P1

^ 1 Y A P1 "2)/P1 '

k*

V k1 0 Таким образом,

£

const (k* )1-* ...(*; )1- Pn ["1 (V k*)]1P1... ["n (V k*)]

W Pn

Теорема доказана.

X

1

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть p = (p^^,pn), a = (a^^,a.), 0 < p, < 1, a, < p,, a, >-1,

— n i ) • . •

j = 1,n, 1k1 k =nЯк-- {1k1 k } " мультипликатор из Hp(a) в /Д тогда и только

тогда, когда

j=1

!■■■

kn =0

V

= о I

m2 z

k2 =0

m1

wpi ЛРз/Р2

Z л (кГ)2

V k1 =0

*ч 2

k )

■■■(к* )2 =

»((m* )(p1 -a1 )pn/p1(m2* )(p2-a 2 )pJp2^(m*n )(p*-a n)) ■ Доказательство.

Пусть {Я' ' } " мультипликатор из Hp (a) в /Д ■ Тогда

Г

(

!■■■

kn =0

Z

k2 =0

Л Рг/Р1 Л Рз/Р2 Л

Z |V,

к ah к

к-п Кп

Р1

V к1=0

1

Pn

< const

Hp (с

(3)

/ (- ) = /(-1,_ )= Z

'1 kn ^■■■k/l ■■■Zn ■

к.=0

a j + 2 —

n 1

Пусть / (^„^ zn ) = g (rlZl,^, rnzn ), rj < 1 g (-l,^, Zn ) = n-Tfl-, bj >~-, j = In ■

j=1 (1 -

(1 - Zj )'

Тогда

g(-l,^,Zn)= Z V*-?-*, K-h.~Bk)bl-1■■■(k;)bn-

hl.....kn=0

Для оценки ||/||Hp (() используем оценку леммы А:

i(l-I Z,| Г~ i/(l-I Z2| Г i/l^r-Г^ X

Hp (a)

U

U

VUJ=1 1- rjZJ

bjPl

x(1 - |Zl |)al dm2 (Z1)

" Pl

P3_

'P2

dm2 (Z2 )

■dm2 (Zn )

(1 -I -.1) 1 - b

0 0 1

Л pn (

Pn

Z IbnPn n n

dm2 (Zn )

il-l Z2| Г 1 -

U 1 r2 Z2

lb2 P2

dm2 ( Z2 )

p2

(1H--1 )al

— |bl Pl

U I1 - rlZ1

dm2 ( Z1)

Pl

< const

(1- n)

an / Pn

(1-Г2 )

a2/ P2

(1- г. )

(bnPn-2)/Pn '"/l „ \(b2P2-2)/P2

(1 - Г2 )(

(1-Г1)

al/ Pl

(1-rl)

(bl Pl-2)/Pl

= const (l - r1)

V Pl +2/Pl-bl

(1 - Г2 )

a 2/ p2+2/ p2 - b 2

1

1

X

1

(1 - Гп )

«n /Pn+2/Pn-bn

Следовательно,

Nn

Z

kn =0

f f .. r

n2

k2 =0 V V 2 V

N1

z

k2=0

WP W P2 \ Pn/Pn-1

z |Va Ak r^2...(kn у

k1 =0

J.*)(b1 "1)P1 (k*)(b2"1)P2 (k*)(bn"1)Pn rk1 P1 rk2P2

^ r2 2 ... X

Xr

knPn

£ ,(1 - r )(a1- A P1 +2) P (1 - r )« 2-b 2 P2+2 ))* x £ const V r1) p1 I1 r2) p2 X

(1 - rn )

' 0 « n-b nPn +2

то есть

Nn

f

,knPn (k*)(bn"1)Pn

Z rknPn (k* )'

kn =0

VV

W p1 \ Рз/ p2 \Pn/Pn-1

n2

(

k2P2 (k* )(b2-1)P2

Z r2k2P2(k2* )'

k2=0

N1

Z lk1,...,kn P1(k*)'

ч(А -1)P1

k1 =0

Xr

k1 P1

£ cons, (1- r)(a1" A (1 - / )(" 2 - b2 p2+2 £ X

(1 - Гп )

J J 0

« n - b nPn+2

2 a. + 2 —

Пусть b j = 1 +--> -, j = 1, n. Тогда

Pj Pj

rN p n VN2 P n rN;P n r1 r2 ...rn

N* f f f n2

Z (k* )2 Z (k* )2

kn=0 V k2 =0 V 2 V

N1

\p2lp1 Wft \ Pn/Pn-1

Z |Vk; ^(kr)2

k1 =0

£

/ У

£ const(1-/1)(a1 -P1 ^ (1-/2f2"^ ...(1 - r* )

(«2 "P2 )

\«n-Pn

Положим r = 1 -—, если k* > 2, и r,. = 1 ——, если k* =1, j = 1, n. Тогда j k j 2k j

N

Zk; =0

f

n2

Z

k2=0

f

N

\P2iP1 \рз/р2

Z IV,k; ^(k* )2

V k1 =0

*ч 2

(k* )

...(kn)2 £

* (p1 -«1 * (p2 -«2 )P *

£ const(N*) p (N2*) p2 ...(N*)pn"«;. Первая часть теоремы доказана. Пусть теперь имеет место оценка (3). Докажем, что {lk1 k;} " мультипликатор из Hp(a) в /р. Пусть f eHP(o). Сначала установим сходимость ряда:

(

Z

kn =0

Z

k2=0

\P2IР1 \Р3/Р2 \

Z V.,^,

Р1

V k1 =0

Рп Рп-1

< +¥.

По лемме 2 из (з) имеем:

Z

kj=mj

Як

Pj ^ t *\Pj-aj-2 • 1 < c(mj) j j , j = 1, n ■

Так как 0 < p, < 1, о, < p, , о, >-1, то p, - a, - 2 < 0, j = 1, : ■ Положим s0 = 0

1

j j

sh = 1 -

Z it

tJ =kJ

gj

kj = 1,2,3,■■■, Я, > 0 и Z

kj =0

Як

= 1, gj = aJ - Pj + 2, j = 1, n ■

Тогда sk, ® 1 при к, ® +¥, j = 1, n ■ По лемме 4

J(1 - r. )gn-1- j(l - Г2 f"I J(1 - Г1 )* -1 MlPl (rl, Г2,■■■, r., /)rdl

лЛPl

\Рз/P2

r2 dr2

x^rdr. <+¥■

Так как

Ml (rl, 1"2, ■■■, rn, / )> rlkl r2'2 ■ ■ ■гП

a

к к

то

skn + 1

+¥ >

kn=0 sk

Ky,

s'2+1

Z J (1 -r.Г1- Z J (1 - iГ1 Z J (1 - i)

k2 =0

sk1 +1

h =0

\ft/ Pl WP2

xM1Pl (r2,■■■,rn,/)dr1

V

+¥ skn +1

■ ■■dr. >

Z J (l - rn)

g.-l

■■■x

kn=0

n skn

sk2+l

Z J (1 - r2 Г Z J (1 - i )

k2 =» .'2

+¥ skl +1

-1 rk1 Pl rk2Pl rknPl r1 r2 n

k1 =0 s'l

a,

'k1,■■■,kn

pi

Pl WP2

xd^

dr2

+¥ ^n + 1

■■■dr. = Z J rknPn (1 - rn )gn -1 dr.

kn=0 sk

f f

+¥ s'2+1

Z J rk2P2 (1 - r2 f-1 dr2

V

k2 =0 s'2

Z

k1 =0

a

k1 ^■■i k:

Pl

sk1+1

Wp1 Wp2 Л p./pn-l

J (1 - 1i f1 -1rlklPl drl

sk1

/ У

+¥ kn

sk„ +1

>

Z sh:Pn J (l - r. r1 dr.

kn =0

sk

f

V

+¥ s'2+1

Z sif2 J (1 - r2 Г1 dr2

k2 =0 sk2

Z akb^,k

Pl

skl +1 Y2/P1 ЛР^/Р2 Л PnlPn-

xs'1 P1 J (1 - rl )gl -1 drl

%

X

X

k1 =0

ff

= constZ

Z

V

Z k,...,

P1 sk1 P1 sk2P1

si si .. .s? X

k1 k2 kn

x{(1 - sk1 )T1 - (1 - V1 )Л}{(1 - % )Г2 -(1 - ^

3k9+1

X-X<(1 - skn JП -(1 - skn +1

\p2/P \Рз/р2 \Pn/P*.

gn |Pn

Так как

(1 - sll)'1-(1 - V1 )g1= ^

( -skj j' -j

P1

n - pj k .

kj "-j

* ' Pj = V j = 2,n,

то

1 - s

q ) (1 sk1 +1

"""1 - *)*-(! - sk2+1 )K

X ... x i 11 - s

- skn Г* -(1 -

kn +1

Vn 1 pn = lp1 lp1...lp1 = №. .

k1 k2 kn k1,k2,...,kn

Следовательно,

f

+¥ > const Z

kn =0

Z

k2 =0

k1 =0

P

sk1 P1 sk2 P1 sknP1 X

k1 k2 "' kn

V

WP \Рз/ p2 \Pn/Pn-1

X V^

Кроме того,

+¥ Z

P1

/ у

tj =kj

1

1

i Л( P'-О'-2)--"--1 -

J> £ const (kj ) «j+2-pj = const • —, j = 1, n.

Но тогда

s

k1 P1 _ k1

\k1 P1

+¥ ■ P1 I g1

1 -iZ К

t1 =k1

>

f \k1 P1

1 - 4 k

V k1 0

® e~cp > 0.

Аналогично,

sk p1 > k2

f \k2P1

' - f,

V k2 0

® e"cp1 > 0

К=0

k2 =0

k1 =0

sknPl > k

n

f \knPl

1 - F

V k. 0

® e~cp > 0^

Следовательно,

f

Pn

Z

k. =0

Z

k2 =0

Л P2lPl ЛP3P2 ЛPn-1

Z Яk1,■■■,knak1,■■■,/

Pl

V k1 =0

< +¥,

то есть {як1 к } - мультипликатор из Нр (а) в ¡рр. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть р = (р^...,Рп), О) = (й1,...,ш), 0<ру < 1, шу е ашу <

— п ( ) ' • '

] = 1,п, Як1 к =ПЯк-. {Як1 к } " мультипликатор из Нр(ш) в ¡АР тогда и только

j =1

тогда, когда

Z~

к. =0

m2 Z

k2 =0

ml

wp ЛРз/Р2

Z V,k,

P1 (к* )2

V kl=0

*ч 2

k )

■■■('* )2 =

f

= о

(m* ) p. (m* ) p. ■■■(m* ) p.

w1

f 1 Л

V ml 0

w2

f 1 Л

V m2 0

Pn_

P2

■ w:

f 1 Л

V mn0

(4)

Доказательство.

Пусть Я к } - мультипликатор из Нр (ш) в ¡АР. Тогда по теореме о замкнутом графике

Г

(

Z ■■■

k. =0

Z

k2 =0

ЛРг/Pl ЛРз/Р2 Л

ZIV

к ah к

Pl

V k1=0

1

Рп

< const

Hp(w) '

'l kn aU. I- Z1 ■■■Z„ ■

/ (г ) = / Гп )= X ик1,.:,к^ 1 ■■■ ^п

к1,...,кп=0

п1

Пусть / (г^^ Гп ) = g (Г1Z1, •, ГпГп ), < 1, g (^Ь^- Гп ) = Ш-П

_ -1 (1 - ^ ) у = 1, п. Тогда

g(Г1,...,Гп)= X К.,кА..ыкп, ькь...,кп~В(к*)Р1-1...(к;)Рп-1.

к1,...,кп=0

Используя оценку леммы А, получим:

г Г Г

{^ (1 -Ы)... {ш2 (1 -Ы)

и ] =1 11 -

Hp (w)

U

U

Щ (1 - |Zl |)dm2 (Z1)

Р2_ ' Pl

Р3_

'Р2

dm2 (Z2 )

■dm2 (Zn )

J J

Pn

bjPl

b, >

aw, + 2

1

•w(1 - У* D

И \b*Pn

V и 11 - rnzn\

dm2 ( Zn )

Pn f

. W2 (1 - |z21)

J 1 - |b2 p2

V и 1 r2 z21

dm2 ( z2 )

P2

W (1 - z11)

1 - r1z1

— |b1 P1

dm2 ( z1)

P1

КЦ-Гп)]1" К (1-Г2)]

(1- О'

£ const

V P2

(bnPn-2)/Pn "Vl . b2P2-2)/P2

(1 - /2)

[«, (* - Г )] (1 - /,)

V Pi

(b*Pi-2)/pi •

^ аю. + 2 — Возьмем Ь. = 1 +--> —--, . = 1, п. Тогда

1я,П£ 1 ¿-ОТ ...Га(1-*)ГЕ^^МГ

1яР(®) 1 - гп 1 - г2 1 - г1

Следовательно,

N;

Z

kn =0

Xr

f f

N2

Z

k2 =0

N,

Z |iki,...,knA (kDfl"(kb* ...(k;y- r*^X

*Pi г,, л MVP2

-pi . —Pi

Pn Pi rk1 Pi rk2Pi

VV

\P2/P \Рз/p2 \p;/p,

k*=0

[W (1 - /1 )]V * [W2 (1 - /2 )J

£ const ...X

1 - r*

1 - r2

[W; (* - Гп )]

V Pn

1 - r;

Тем более

rN1 Pn rN2Pn rN;P; r1 r2 .. .Г;

N;

f

Z (k*)

k; =0

n2

V V

£ const

Z (k* )2

k2 =0

[w (1 - /1 )]P;/Л [w, (1 - r2)]P;/P2

N,

\P2/P \ Р3/ P2 \ P;/P;_

Z K..,kn|A(k*)2 k*=0

Wn (* - Г; )

£

(1 - Г* )РП (1 - /2 ) -(1 - Г; )

Pn

Положим г. = 1 -—, если к * > 2, и г. = 1 ——, если к * = 1, . = 1, п. Тогда . к * . . 2к .

N,.

Z...

kn =0

Г

n2

Z

k2=0

N1

Wfl \Рз/Р2

Z |lki,...,k; ^(k* )2

V ki =0

*ч 2

(k* )

...(k; )2 £

£ const(N*)p; (N2*)p;... (N*)p*

f * ' Pi f * '

a* V N*0 W2 v N2*0

pn_

P2

f J_\

KNnJ

Первая часть теоремы доказана. Докажем теперь обратное утверждение. Пусть • *

/ е Нр (а) . Докажем, что

х

1

f

I

kn =0

I

k2 =0

\ P2/Pl^^p2 ^ p,

Pl

V ki =0

Pn

n-1

< +¥.

По neMMe 3 H3 (4) HMeeM:

kJ =mj

Ik

Pj ^ t *\ Pi-2

< c(mj) J W.

f ,

m,

V J 0

, J = 1, n.

no^o^HM s0 = 0, sk = l -

I

•i -ki

wj\ i-

gj = 2-Pj, J = l>n• TaK KaK (l-%) wj (l-%)= I

, kj = l, 2,3,..., l, > 0 h i

ki =0

Ik

= l,

•i =ki

Pj

h wj (•) he ogpa^aetcfl b

Hynb Ha (0,l), to npu kj ® +¥ sk. ® l, j = l,n. no neMMe 5 HMeeM:

r l r l

j Wn (l - rn )(l - rn f^... |W2 (l - r2 )(l - r2 f- j W (l - rl )(l - rl)

gl-l

W Pl W P2

r2dr2

yMP (r,,...,rn, f) TaK KaK Ml (rl,r2,...,rn, f) > rklrk...r,

...rndrn <+¥.

a,

kl,...,kJ r

to

+¥ >

+¥ ,vn 1 1

I j Wn (l - rn )(l - rn )

gn -l

kn =0 sk

n

+¥ Sk2 + l +¥ skl+l I j W2 (l - r2 )(l - r2 f- I j (l - r )

k2 =0 Sk2

kl =0 Skl

W Pl WP2

XW (l-rl) ( r2,..., rn, f)

Skn +l

...dr„ >

I j Wn (l-rn)(l-rn)

gn-l

...X

kn =0 Sk

sk2+l

skl +l

I j W2 (l - r2 )(l - r2 )g2- I j W (l - rl )(l - rl f -l rl

- r )7l -l rklPl rk2Pl rknPl

r2 .rn ' X

k2 =0

k =0

\P2/Pl \ P3l P2

a

k k

Pl

drl

dr2

sk„+l

.drn = I j rknPn Wn (l - rn )(l - rn )gn-l drn

kn =0 sk

r

+¥ Sk2+l

I j r2k2P2 W2 (l - r2 )(l - r2 )g2~l dr2

V V

k2 =0 Sk2

k =0

skl +l

Pl r r )l "VklPl

I h.....k.r j (l - rl )gl v

ski

l

WPl ЛРз/p2 л Р:/Р:_

xw (l- r1) dr1

s'n +1

> Zsk:Pn J w. (l-r.)(l-r.f-1 dr.

k: =0

sk

f

+¥ s'2+1

Z sf2 J w2 (1 - r2 )(l - r2 f- dr2

V V

k2 =0 %

Z

k1 =0

a

k1v,kn

sk1 +1

" si? J (1 - 1 )gl-1

sk1

WP ЛРз/p2 Л Pn/Pn-

xw (l- r1) dr1

Оценим интеграл

s'j +1 у -1 —

J wJ (1 - "J )(1 - "J drj , - = 1, П ■

s'j sk+1

'+1 1-sk w (u) J w(1 -r)(l-rf^dr = J w(u)ug-1du =

s ^k+1 g

1-sk 1-sk+1

sk

^ ug ( )e(u) d

+ I — w(u) 4 7 du■ 1 g u

1-sk+l '

Следовательно,

g J w(u)ur-1du - J ug-1w(u)e(u)du = w(u) ^k+l ^k+l Так как g = 2 - p > 1, то g - aw > 0 (aw < l) ■ Таким образом,

sk+l r

J w(1 -r)(1 -r)r-1 dr > const w(1 - sk)(1 -sk ) - w(1 - sk+l)(1 - sk+l)

)u

1-sk 1-sk+1

sk

то есть

S'j +1

J wj (1 - "j )(1 - "j У' '-drj > const wJ (1 - % )(1 - % f

sk,

- wJ (l - s'j +1 )(l - s'j +1 )

gj

= constЯр} , j = 1, n ■

Итак,

f

+¥ > const Z

k: =0

Z

k2 =0

Z

a

Pl sk1 Pl sk2Pl s'nPl x

k1 k2 "' kn

V

p1 \Р3/й Л pn/pn-l

V

Pl

/ У

Оценим sklPl, s'2Pl,..., sknPl. Для s'1 Pl имеем:

k1 k2 kn k1

1 - s, =

z к

|Л

ti =k1

« (1 - sk1)

< const <

(k*) p1"2^(1/ kl*) (1 - sk1)

Тогда

«1 (1 - sk1 )(1 - sk1 )2 ^ < const

Г

k *

V k1 0

2-p1 Í л\

W

1

V k1 0

f с >

k* k1

vv1 0

Пусть Y(t) = « (t) t2 P1. Тогда последнее неравенство равносильно неравенству Y(1 - Sk1 )<Y

V

Вычислим Y'(t).

Y' (t) = (2 - p)«(t) t1"p1 - «(t) t2"p1 ^ = « (t) t1"p1 (2 - p - e (t)).

Но e (t) < , поэтому

Y'(t) > « (t) tl~p (2 - p1 - pm )> « (t) tl~p (1 - p )> 0, если t > 0. Так как функция Y монотонно растет, то из оценки (5) следует, что

1 - Sk1 < —.

k*

Аналогично,

cc 1 -sk <—,..., 1 -s, <—.

k2 i- kn Ь*

k2 kn

Таким образом,

f

s

k1 p = k1

r +¥ z к p ' h

1 -- t1=k1 »

W (1 - s k1)

V 0

\k1 p1

>

f \k1 p. 1 - С

V k10

e-cp1 > 0.

Аналогично,

S,2 p1 > k2

f ^k2 p1

f1 - F,

V k2 0

s^" >

/ \knp

1 - c

V kn 0

® e"cp1 > 0,

® e~cp > 0.

Следовательно,

f

z

kn =0

f wp Y3/p2 Vn-1

Z |Kk1,...,kn«k1,.. k =0

Z

k2 =0

p1

< +¥,

то есть {к, kn} - мультипликатор из Hp («) в ¡A. Теорема доказана.

(5)

n

Сформулируем несколько следствий основных теорем. Пусть р1 = р2 =... = рп = р, тогда Нр (ш ) = ]/ е Н (ип ): {ш- (1 - |г-| ).тп (1 - ^|)/(г-,..., Гп )Ртя (1,..., Ып )<+¥

(^к1,...,кп ): X

/р =

w =

k1 k:

< +¥

V^.=0

Следствие 1. Пусть ш = (ш,,...,ши), 0< р< 1, а. е8, аш. <р, у = 1,п, Як к =ПЯк..

7 =1

{Як1 к } " мультипликатор из Нр (ш) в ¡р тогда и только тогда, когда

тп т2 т1 . р

X... XX к...*р (к* )2к* )2...(кп )2 =

к. =0 к2=0 к1 =0

=о

( 1 Л

(m*) р (m* ) р ■■■(m. ) р w*

f Л Л f 1 ЛЛ

w2

V ml 0

■ w:

V m2 0

Vmn 00

Положим для простоты п = 1.

Следствие 2. Пусть 0 < р < 1, ше аш <р. {Як} - мультипликатор из Нр(ш) в ¡р тогда и только тогда, когда

Z |Як|Р (к * )2 = о

к=0

(да*)р w

1 л л

m

V 00

В частном случае, если ш () = Iа, получаем следующее утверждение.

Следствие 3. Пусть 0 < р < 1, а < р, а >-1. {Як} - мультипликатор из Нр (а) в ¡р тогда и только тогда, когда

т / ч

X|Як|Р (к*)2 = О((т*)р-а).

к=0

Как следствие теоремы 1 можно получить результат, установленный С.В.Шведенко (см. [2]). Пусть

АР =|/ е Н (ип): /(1 -| )а1... (1 -| гп\ )п\/(г-,..., гп )Р dm2n (г-,..., Гп )<+»|

Следствие 4. Пусть 0 < р < 1, ау < р, ау >-1, у = 1,п. Если

/ (Z1,■■■, Zn )= Z

a Zk1 Zkn

%,■■■,k.Z1 ■■■Zn

принадлежит классу App, то

kl ,■■■,': =0

k1 k:

Л =0 (kl + 1)^"'■■■(k. + 1)

\a. n+3-p

< c

'Apt

Доказательство.

Докажем, что

Я

k1,-",kn

(к, + 1)(а1+3-р)/р...(кп + 1)(ап +3-р}/р

является мультипликатором из Ар в ¡р. По следствию 1 это будет верно, если

1

mn m 1

(k*)2 .( кП)2 < Й Й (ki + 1)2... (kn + 1)2

у у-\n—-< у у

¿—i "' ¿—i /, +3- p /, „\a„ +3-p ¿—i "' ¿—i

£0 (к+1)а1+3-р... (К + \)а"+ъ-р~ (к+1)а1+3-р... (кп + 1)ап+3-р

^ т 1

к„=0 5 (к, + Р... (кп +1)

Так как р +1 - а. > р - а. > 0, . = 1, п, то условие

тп т 1 1

Е ...Е(, 1)21{, 1)2 (к1 +1)р+1-«1...{кп +1)р+1-ап £ -1 р~щ...т/-ап

кп =0 к1=0 {к1 + 1) ...{кп + 1)

эквивалентно условию

+¥ +¥ 1 % Е ... Е-^-2< тр-а1 -(р+1-а1 \..тпр-ап-{р+1-ап) ,

кп =тп к1=т 1 {к + 1) ... (кп + 1) т1-тп

которое, очевидно, выполняется. Утверждение доказано.

Из теоремы 3 следует, что если вместо а. + 3 - р брать ¡. < а. + 3 - р, . = 1, п, то утверждение будет не верно.

mn т1 1

у ... у-;-1-т— < cmp-ai..mp-an

/—t /—t ,\ат+1-p /. л\ап +1-p 1 n

n . r .

The paper describes the multipliers of the form Xk k = ^ lk ■ °f the space Hp (w) in space lpA .

j =1

The key words: holomorphic function, the unit polydisc, regularly varying functions in (0,l], space * • •

Hp (w), space lPp, multipliers.

Список литературы

1.Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций//Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31. № 2. С.197-215.

1.Шведенко С.В. О коэффициентах Тейлора функций из пространств Бергмана в поликруге//Докл. АН СССР. 1985. Т. 283. № 2. С.325-328.

2.Duren P.L., Theory of Hp spaces, New York and London, Acad. press, 1970.

3.Duren P.L., Shields A.L., Coefficient multipliers of Hp and Bp spaces//Pacif. Yourn. Math. 1970. V. 32. P.69-78.

4.Duren P.L., Shields A.L., Properties of Hp (0 < p < 1) and its containing Banach spaces//Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 141. P.255-262.

5.Oberlin D.M., Two multiplier theorems for H1 (u2)//Proc. Edin. Math. Soc. 1977. V. 22. № 1. P.43-47.

Об авторе

О. В. Ярославцева - канд. доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, Ьгуашк§и@ mail.ru.