CC BY
6УДК 517.53
ОПИСАНИЕ ЛИНЕИНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА ПРИ 1 < р <
В.А. Беднаж, А.С. Нестеров
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
В статье получено линейных непрерывных функционалов в пространствах Бергмана при 1 < р < +сю. Ключевые слова: пространство Бергмана, линейный непрерывный функционал, аналитическая функция.
Для изложения основных результатов, полученных в работе введем следующие обозначения: пусть С - комплексная плоскость, В = {г = х + ¡у еС: < 1} - единичный круг на комплексной плоскости, Н(В) - множество всех аналитических в В функций.
Символом О обозначим множество измеримых положительных функций со на Д = (0,1], для которых существуют числа шт,Мю, дю, причем , д® е (0,1], такие, что [2]
с(Ях)
с( х)
< Ма, Ух еД, Ле[да,1].
Пусть 0 <р < +х>,а > -1, с е О и соа(?) = <с(?)
/ Лр
С ) у
, ? е (0,1].
Обозначим пространство Бергмана с весом со символом Ар (см. [3]):
1
АР =
/ е Н(В): (¡\/(0\Р с(1 -\£\)ёт2(01'
<+да
Нами установлен следующий результат.
Теорема. Пусть 1 < р , Ф - линейный непрерывный функционал на Ар, се О, gФ= Ф(ег), г е В. Тогда:
1. а) Функция g аналитическая в В, при а>ат принадлежит классу Ад , где
Са(?) = С(?)
' / а V
С) у
, ? е Д, д =
Р
Р-1
б) Ф представим в виде
1 "
Ф(?) = 11т -1Г f(pe¡в)g(pe-¡в)dв,
р—1-0 ~ ТГ •>
\(а, Р)\\Dgа
I <||Ф1<с2(
(1) (2)
р—'1-0 2"
при этом справедливы оценки
са р)\\^а+ _ица?
2. Обратно: каждая функция g такая, что Ва+1g е Ачш по равенству (1) порождает линейный непрерывный функционал Ф на Ар, для которого справедлива оценка (2), при этом g(z) = Ф(ег), г е В.
Доказательство опирается на следующие теоремы, установленные в [1]:
а + 2
Теорема 1. Пусть 1 < р < +да, а > —--1, тогда оператор
Р
D (l-Cz )
отображает пространство Lp на пространство Ap .
Теорема 2. Пусть 0 < p< 1,0 < p < +œ, f (z) = f (pz), z g D. Тогда справедливо равенство
p&l fp-Al. =0.
При —) = ta, t g [0,1], 0 < p < , для краткости обозначим Bp = Ap .
2 + a
Теорема 3. Пусть 0 < p <+œ, — g Q Тогда если f g Ap, a>-— — 1, или
P
7 + 2
f g Bp, a>---1, то справедливо представление
7 p
= £±1 f (1—CYf (C)dm2(C) z g d
f () ж J (1—Çz)a+2 , .
Теорема 4. Пусть h g I}(D,dm) и e (C) =—1—,C,z g D. Тогда справедливы
1 — Cz
следующие утверждения:
1) Если ¥(z) = f ^dm2(C), то Da¥(z) = ¡-Ш—dm2(Ç) .
D1— C D (1—Cz)
2) Если g g H (D) и для некоторого a > — 1 : Daiy(z) = Dag(z), z g D, то g(z) = ^(z), z g D.
Список литературы
1. Djrbashian A.E., Shamoyan F.A. Topics in the theory of Ap // Teubner Texte zur
Mathematik [Teubner Texts in Mathematics]. - BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1988. - Vol. 105. - 200 p.
2. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. - М.: Наука, 1985. - 144 с.
3. Шамоян Ф. А. Весовые пространства аналитических функций со смешанной нормой. - Брянск: РИО БГУ, 2014. - 250 с.
Сведения об авторах
Беднаж Вера Аркадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: [email protected].
Нестеров Александр Сергеевич - магистрант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»: e-mail: [email protected].
DESCRIPTION OF CONTINUOUS LINEAR FUNCTIONALS IN BERGMAN SPACES FOR 1 < p <
V.A. Bednazh, A.S. Nesterov
Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky
In the article we obtain the description of continuous linear functionals in Bergman spaces. Keywords: Bergman space, continuous linear functional, analytic function.
References
1. Djrbashian A.E., Shamoyan F.A. Topics in the theory of Ap spaces // Teubner Texte zur
Mathematik [Teubner Texts in Mathematics]. - BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1988. - Vol. 105. - 200 p.
2. Seneta E. Correctly changing functions. - M.: Nauka, 1985. - 144 p.
3. Shamoyan F.A. Weighted spaces of analytic functions with mixed norm. - Bryansk: RIO BSU, 2014. - 250 p.
About authors
Bednazh V.A. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
Nesterov A.S. - graduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].
