ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОПЕРАТОРОВ ТЕПЛИЦА В СОБОЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53.

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОПЕРАТОРОВ ТЕПЛИЦА В СОБОЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ 5

Ф.А.Шамоян, В.А.Беднаж

Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского

Аннотация. Получено полное описание интегрируемых функций Н на единичной окружности, для которых оператор Теплица с символом Н является ограниченным оператором в весовых пространствах типа Соболева аналитических в круге функций.

Ключевые слова: Оператор Теплица, линейный функционал, единичный круг. Пусть Б = {г : |г| < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С, Т = {г : |г| = 1} - его граница. Обозначим через Н(Б) - множество всех голоморфных в Б функций, Нр = НР(Б), 0 < р < - класс Харди в Б. В работах [1,2] исследовалась ограниченность операторов Тёплица Тн : / ^ Р(Н • /), где Р - проектор Рисса, в весовых пространствах С.А. Соболева аналитических в круге функций, то есть в пространствах

А(а) = {/ е Н(Б) : ||/Напи = / |Бп/(С)|р(1 - |С|)^ш2(С) <

где Бп - произведения п-го порядка типа Римана-Лиувилля функции / (см.[3]).

Если п > а + 1, то оператор Т является ограниченным оператором в пространстве Ап(а) := АП(а) тогда и только тогда, когда функция Н на единичной окружности допускает представление

Н«) = НхК)+ Н2(С), с е Т, (1)

где Н е Ап(а), Н2 е (см.[1,4]), в частности, если Н е Н1(Б), то оператор Т будет ограниченным в пространстве Ап(а) тогда и только тогда, когда Н е Однако, при п = а + 1 условие Н е не обеспечивает ограниченность Т^ в пространстве Ап(а), возникает дополнительное условие на функцию Н. Необходимым и достаточным условием ограниченности оператора Т^ в пространстве Ап(п — 1) является условие

вир! |Н' (г)|(1 — |г|)1п-^)< (2)

Условие (2) в дальнейшем возникло в работах [5,6] при исследовании аналогичных вопросов. В работе [7] исследовался случай 0 < р < 1, тогда также возникает аналог оценки (2). Необходимым и достаточным условием ограниченности оператора Т в пространстве Ап(п — 1) является условие

вир(|Н'(г)|(1 — |г|)1пр 1 < (3)

геэ I 1 — |г| J

Таким образом, дополнительное условие (3) на функцию Н возникает при степенном весе х м- (1 — х)а, х е [0,1] только при а = п — 1, при нецелых а условие типа (3) отсутствует. Естественно возникает вопрос: появится ли условие типа (3), когда весовая функция нестепенная и какой вид примет условие в общем виде?

5Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект 1.1704.2014К)

В данной работе исследуется поведение операторов Th в следующем пространстве типа Соболева: ЛП(а,ш) = {/ е H(D) : ||/=

£ |Dn/(Z)|рш(1 - IZ|)(1 - |Z|)a-1dm2(C)) p <

0 <p < 1, где Dn - оператор типа Римана-Лиувилля, dm2(Z) - плоская мера Лебега на C.

Будет установлено, что дополнительное условие типа (3) возникает только при n + 1 = а+2, при этом аналогом условия (3) является

sup | Ih(k)(z)| (1 - |z|)k (-ш(1 - |z|) ( ) ) P 1 < + ^,k > 1,

()|( | |) V(1 -|z|) /(U|) ^ duj ? ,>,

кроме того приводятся приложения полученных результатов в задачах деления на внутреннюю функцию (см.[8]) в классах Лрп(а,ш).

Для формулировки основных результатов введем следующие обозначения: пусть А = [0,1], функцию ш, определенную на А, назовем функцией типа модуля непрерывности, если ш(Ь) - неотрицательная неубывающая функция на А, при этом t м- не возрастает на А, а также, если в определении пространства Лрп(а,ш) выполняется условие а = 0, то будем предполагать, что /0 ^Ц1 du <

В дальнейшем также потребуется определение класса Лр(ш,а) (см.[2]):

Лр (ш, а) = {/ е H (D) : ||/Ц^) =

= sup (V+1/(z)|-(1 -|Z|)"+2-^ 1 \ <

V (ш(1 -|z|)(1 -|z|)a-1) -*)

И p

Сформулируем основные реультаты.

Теорема 1. Пусть 0 < p < 1,а > 0, ш - функция типа модуля непрерывности на А, h - суммируемая функция на T,

Th(/) = ^ i dz,/ е Ca(D),z е D.

2пг JТ (Z - z)

1)Предположим, что n,p,a удовлетворяют соотношению (n + 1) > а++2, тогда следующие утверждения равносильны:

a) Th е Ь(ЛП(ш,а));

b) h допускает представление h(Z) = h1(Z) + h2(Z),Z е T, где h1 - принадлежит пространству Лрп(ш,а), h2 е H™;

2) Пусть (n + 1) < а+2 и сходится следующий интеграл

p

f1 ш(u)du

p(n+1)-а

u

< + ,

к е Н 1(0), тогда Ту1 действует в пространстве Лрп(ш,а), тогда и только тогда, когда Б-пк е Лр(ш, а).

При (п + 1) = справедливо следующее утверждение

о

Теорема 2. Пусть 0 <р < 1, п +1 равносильны

a)T-h е ДАп(^а)),

b) Н е Нпри этом

, Н е НТ(Б), тогда следующие утверждения

вир \ |Н(к)(£)| (1 —

ш(и) (1 —

-^и

и2

ш(1 —

< +гс>, к > 1.

1

к

Из Теорем 1 и 2 легко вывести следующее утверждение Теорема 3. Пусть / е Н1 Р| А.п (ш, а) и

/(г) = гЛВ)Б(г) х ехр ( 2- £ ^^ 1п |/(е*)И ) , г е Б

факторизационное представление функции /, где В(г,гк) - произведение Бляшке, Б (г) = ехр (— ежт^ - сингулярная внутренняя функция. Тогда, если I - про-

извольная внутренняя функция, для которой В • Б/1 е Нте(Б), то //I принадлежит классу Ап(ш,а) П Н1.

Доказательство основных результатов опирается на несколько вспомогательных утверждений.

Пусть

т

(1 — аг )т+Т

Лемма 1. Пусть Н е Н1. Тогда a)

/а,т(г) = --—^ГТ, г е Б, т е Z+ (4)

т С к Н(к)(а)гт-к

^Уа^Х*) = аг)т-к+1 , (5)

где Нт(г) = гтН(г),г е Б. б)справедлива оценка

1Т (/а

ир(т+п+1)-а

Из леммы 1 следует

Утверждение. Пусть /а,т определяется по равенству (4), тогда

' 1-|а|

1т,а нАП(ш,а) ~ ^ Д 1 1 мР(т+п+1)-а

если р( т + п + 1) - а > 1 .

Следующие утверждения установлены в работах [4,10]. Лемма 2. Пусть Ф - линейный непрерывный функционал на

А0(ш,а) := Ар(ш,а), 0 <р < 1,е* (С) = ,*,< е Б,

1 — гС

V

тогда g(z) = Ф(вг) принадлежит классу Лр(ш,а) при этом

ф(/)= lim 2- / /(pZ)g(pZ)|dZ|. (6)

||ф| - \д\АР(Ш,а) . (7)

И обратно, если функция д е Лр(ш,а), то она порождает линейный непрерывный функционал на Лр(ш,а), задаваемый формулой (6), для которой справедлива оценка

(7).

Лемма 3. Если h е H1, при этом Th е Ь(Лрп(ш,а)), то h е H

Лемма 4. Пусть n + 1 > а++-, тогда класс Лр(ш,а) является кольцом относительно операторов умножения и сложения.

Лемма 5. Пусть k,m е N, m > а+1, / е Лр(ш,а) тогда существует многочлен P порядка не выше m - n + 1 такой, что

г (1 _ |Z|2)mDn/(Z)

/ (z) = jD{ (1 -Z 2^-171+2—n ) P (zZ)dm2(Z ),z е D. Лемма 6. Пусть u - неотрицательная субгармоническая функция в D причем f (1 -

D

|Z|)su(Z)dm2(Z) < . Тогда если 0 < p < 1, m> s, то

£(1 - |Z|)mu(Z)dm2(Z))P <J (1 - |Z|)mpup(Z)dm2(Z).

Лемма 7. Пусть n > 0, тогда следующие утверждения равносильны

1) D-nh е Лр

2) |Dm+1h(z)| < )-/Р,z е D,m>n + oj2.

Доказательство этой леммы получается аналогично доказательству леммы 5 из работы

[7].

Лемма 8.Пусть p(n +1) <а + 2,h е H(D) такая, что D nh е Лр тогда h е H™(D).

References

1. Shamoyan F.A. On the boundedness of a class of operators connected with the divisibility of analytic functions // Journal Funct. Anal. Appl. — 13, 1979. — 70-71.

2. Shamoyan F.A. On a class of operators connected with the factorization of analytic functions // Journal of Mathematical Sciences — 39, 1974. — 200-206.

3. Duren P. Theory Hp spaces — Acad press — 1970.

4. Shamoyan F.A. On boundedness of Toeplitz operators in weighted Sobolev spaces of holomorphic functions in the disk // Journal of Mathematical Sciences — 389, 2011 — 257282.

5. Jenson S., Peetre J., Semes A. On the action of Hankel and Teopletz operators on some fanctions spaces // Duke Math. J. — 51, 1984 — 937-958.

6. Zhu K. Multiplers of BMO in the Bergman metric with applications to teoplitz operators // J. Fanc. Anal. — 87, 1989 — 31-50.

7. Shamoyan F.A. A boundedness criterion for Toeplitz operators in weighted Sobolev spaces of holomorphic functions in the disk // Siberian Math. J. — 53:3, 2012 — 554-572.

8. Garnett J. Bounded analytic functions — Moscow — 1984.

9. Shamoyan F. A ,Harutiunian A. V. Toeplitz operators in anisotropic spaces holomorphic in polydisk of functions // Reports of the Armenian Academy of Sciences — 4, 1991 — 147-151.

10. Shamoyan F.A. The weighted spaces of analytic functions with mixed norm — Bryansk State university — Bryansk — 2014.

Сведения об авторах

Шамоян Файзо Агитович, д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой математического анализа и НИЛ комплексного и функционального анализа, Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского, [email protected];

Беднаж Вера Аркадьевна,к. ф.-м. н., доцент, с.н.с. НИЛ комплексного и функционального анализа,Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского, [email protected].

ON BOUNDED TOEPLITZ OPERATOR IN THE SOBOLEV SPACE OF FUNCTIONS

F.A. Shamoyan, V.A. Bednazh

Bryansk State University

Abstract. A complete description of the integrable functions h on the unit circle, for which the Toeplitz operator with symbol h is a bounded operator in weighted spaces of Sobolev type of analytic functions in a disc. An application is also installed results in matters of the factorization of analytic functions.

Key words: Teoplitz operator, Inner functions, linear functional, Unit disc.

About authors

Shamoyan F.A., Ph.D., professor, head of the research laboratory, Research laboratory of complex and function analysis, Bryansk State University.

Bednazh V.A., Ph.D., assistant professor, senior researcher, Research laboratory of complex and function analysis, Bryansk State University.