CC BY
49
УДК 621.396:681.2
В. Ю. КОБЕНКО
Омский государственный технический университет
ОПЕРАЦИЯ УМНОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА НА ЧИСЛО В ПРОСТРАНСТВЕ ИДЕНТИФИКАЦИОННЫХ ЧИСЕЛ____________________________
Представлены результаты моделирования операции умножения числа на распределение случайного сигнала в пространстве идентификационных чисел. Дается описание и технология выполнения данной операции умножения. Под идентификационными понимаются числа порядковой шкалы, количественно характеризующие форму сигналов.
Ключевые слова: идентификация, идентификационная алгебра распределений, идентификационные измерения, классификация, случайный сигнал, порядковая шкала.
При анализе сигналов часто возникает проблема, связанная с формальным описанием их взаимодействия, например, в результате многократного сложения схожих по некоторым характеристикам сигналов. Если математические модели сигналов известны, то технология выполнения операции сложения тоже известна, но чаще всего модели взаимодействующих сигналов не известны, поскольку сами сигналы носят случайный характер [1]. В таком случае возникает вопрос — как получить подобную модель? Как, аналитическим путем, описать результат многократного сложения случайных сигналов, имеющих минимальное количество известных параметров, равных по значению? Данному вопросу посвящена настоящая работа.
Основные понятия и определения идентификационных измерений (ИИ) сигналов рассмотрены в работе [2]. Под идентификационными измерениями понимаются такие измерения, которые позволяют количественно оценивать форму сигналов. Основным инструментом ИИ являются порядковые идентификационные шкалы. Результатом ИИ являются идентификационные числа, удовлетворяющие требованиям масштабной инвариантности, эквивалентности и согласованной упорядоченности [3]. Таким образом, технология ИИ позволяет представлять сигналы любой формы (в том числе случайные) в системе порядковых измерительных шкал в виде идентификационных чисел (параметров).
Методика исследований. Пусть даны реализации сигналов Х(1), Х2Щ, ..., ХМ(^ в виде распределения мгновенных значений (рис. 1) одинакового объема N. Известно, что все реализации сигналов имеют одинаковый закон распределения с постоянным математическим ожиданием и дисперсией, а также равные значения идентификационного параметра ^х, найденного в соответствии с алгоритмом, описанным в [4, 5].
Задача сводится к тому, чтобы, не проводя никаких экспериментов над исходными реализациями сигналов ХД^, Х2(^, ..., ХМ(^, идентифицировать суммарный сигнал по шкале ^, т.е. найти отображение аддитивной суммы Y(t)=X¡(t)+X2(t) + ... + ХМЩ в пространстве ^ аналитически. Т.к. сигналы Х^), Х2(^, ..., ХМ(^ имеют одинаковое значение
идентификационного параметра NFx, то они являются эквивалентными (тождественными) в пространстве NF [2, 3]. Следовательно, операцию сложения нескольких эквивалентных распределений в пространстве ^ [6] можно представить в виде произведения распределения на число суммирований М этого распределения. Аналитически данную опера-
• • •
Рис. 1. Технология сложения М реализаций сигналов Х1((), Х2((), ..., ХМ($ объема N во временной области.
У(0 — результат сложения
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 12 15 18 20 22 25 28 30 32 35 38 40
М
Рис. 2. Экспериментальные зависимости, полученные в результате суммирования ЛАПЛ (1), СИМП (2) и 2МОД (3) распределений М раз (показаны аппроксимирующие линии)
цию — операцию отображения Y(t) в пространстве ^ — можно записать в виде:
10.Таким образом, общая формула для вычисления ^ будет иметь вид:
Ш =/(№, M, Щ.
(1)
Определение математической модели (1) и ее коэффициентов позволит формально описать операцию умножения распределения сигнала на число в пространстве идентификационного параметра NF.
Суть методики проведения исследований заключается в следующем.
1.Реализации суммируемых сигналов X¡(t), X2(t), ..., XМ(t) получаются с помощью генератора случайных стационарных сигналов с заданным законом распределения [7].
2.Для одного и того же закона распределения с постоянным математическим ожиданием и дисперсией генерируются М реализаций сигналов.
3.Находятся значения идентификационных параметров каждой реализации и путем их усреднения вычисляется значение NFx для данного закона распределения.
4.Формируется реализация суммарного сигнала Y(t). На рис. 1 показан алгоритм нахождения мгновенных значений у.= х,. + х„ ,+ ... + х,„., ¡^<Ы.
' I ¡1 21 Мг
5.Находится значения идентификационного параметра NFm суммарного сигнала Y(t).
6.После многократного повторения п.п. 2 — 5 при различных значениях М для данного закона распределения получается зависимость NFm=f(M).
7.Вид закона распределения меняется и п.п. 2 — 6 вновь повторяются.
8.Чтобы описать зависимость NFm=f(M) для каждого закона распределения подбирается общая математическая модель:
Ш (Ш )=Г(М, А, В, С, D),
(2)
где А, В, С, D — коэффициенты модели.
9.Для каждого коэффициента А, В, С, D модели (2) находится математическая модель, как функция от NF и N.
(3)
Результаты исследований. Для проведения исследований был разработан программный продукт «Система статистического анализа идентификационного произведения сигнала на постоянное число в пространстве NF» [8].
Для большей достоверности и статистической устойчивости результатов исследований в качестве тестовых сигналов были взяты случайные стационарные сигналы с законами распределения: двумодальный (2МОД), арксинусный (АРКС), равномерный (РАВН), треугольный (СИМП), Релея (РЕЛЕ), нормальный (НОРМ), экспоненциальный (ЭКСП), Лапласа (ЛАПЛ) и Коши (КОШИ). Объем каждой реализации N=10000, количество усреднений результатов суммирования при одинаковых начальных условиях — 1000.
Чтобы определить вид математической модели (2), просуммируем несколько реализаций сигналов с разными законами распределения и представим результат на одном графике. На рис. 2 показаны характерные экспериментальные зависимости ^т=1(М) для сумм сигналов с ЛАПЛ, СИМП и 2МОД распределениями при значении ¡<М<40.
В первом приближении экспериментальные данные могут быть аппроксимированы возрастающими и убывающими нелинейными зависимостями, имеющими асимптоту NFmx59. Промоделируем суммы указанных выше распределений с количеством слагаемых ¡<М<40. Зависимости ^^{(М) для ЭКСП, ЛАПЛ, и КОШИ распределений являются убывающими (типа 1 на рис. 2), для 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП и РЕЛЕ — возрастающими (типа 2 и 3 на рис. 2). Для нормального распределения (НОРМ) зависимость NFm=(M) не является возрастающей или убывающей (рис. 3) и описывается уравнением ^^=59 для N=10000. Именно к этому значению NF
85,0-
80,0-
75,0-
70,0-
65,0-
60,0-
55,0-
50,0-
45,0-
40,0-
- " " ■
» В В " » □
° ■ в - 1 » о : ° в л
» - п в 5! в і ; „ в в в В п п в 1 в в ° ! ° : і 9 а п в с в В
5 " п : § ¡—В— В ! в 1 П ° і В ' в 1 в □ 1 □ і в □ 1 в о Л-2- | і □ ° в п § В !г;
8 В І “ “ I 5 В в и В п і а 1 ° § в а п в ‘ о § в а п 6 В а , і : і я в | , п 1 в □ I В ■ в ■ II і і ° В а в 1 § 1 В 3 8 І 1 ° п і В і 1 з з ;
І! і п В В | 0 □ п а В , в а В ! 1 і і і I І В ' □ в о 8 В о а § В ! § 0 в 1 В а о В а в , В “ 0 1
п ° : „" ° | и п 5 о - , “
"
^ =59
і і і і і і і і і і і і і і і і і
0 2,5 5 7,5 10 12 15 18 20 22 25 28 ЗО 32 35 38 40
М
Рис. 3. Экспериментальная зависимость, полученная в результате суммирования НОРМ распределения М раз при N=10000 (показана аппроксимирующая прямая)
Коэффициенты модели (4)
Таблица 1
Распределение X(t) ОТ А В С D
2МОД 4 59 - - 6,74
АРКС 8 59 - - 3,62
РАВН 12 59 - - 2,82
СИМП 23,4 59 - - 1,44
РЕЛЕ 45,5 59 - - 0,54
НОРМ 59 59 - - 0
ЭКСП 97 59 48 0,241 -
ЛАПЛ 167 59 144 0,324 -
КОШИ 10000 59 44965 2,91 -
стремятся зависимости на рис. 2 при увеличении значения М. Следовательно, можно утверждать, что распределения суммарных сигналов, образованных сложением сигналов с различными законами распределения, стремятся к нормальному закону при увеличении количества слагаемых М — что хорошо согласуется с центральной предельной теоремой математической статистики.
Подберем модель (имеющую асимптоту) отдельно для возрастающих и убывающих зависимостей ^^{(М). В первом приближении остановимся на следующей модели, имеющей достаточно простой вид и понятные (с геометрических соображений) коэффициенты:
Ют =
А+-
В
м+с
-А + -
,№=* > А 2А
(4)
1 + ехр (-М/И)
,№Х<А,
СИМП, РЕЛЕ, НОРМ, ЭКСП, ЛАПЛ и КОШИ распределениями.
Выясним, каким образом коэффициенты модели (4) зависят от объема данных N.
Чтобы ответить на вопрос — зависит ли коэффициент А от N повторим эксперимент и построим зависимости ^^{(М) для разных объемов данных N. На рис. 4 представлены характерные экспериментальные зависимости для 2МОД распределения при объеме данных ¡00 и 100000. Очевидно, что коэффициент А=/(ЛТ), который также является асимптотой модели (4) и представляет собой значение идентификационного параметра ^ распределения типа НОРМ. Определим, к какому значению стремится А при М^<ю для распределения типа НОРМ при различных значениях N. Зависимость А={(Ы) при М=100 и N=10...107 в первом приближении хорошо описывается моделью вида:
А=-6+7-1и((N1).
(5)
Проведя подобные эксперименты для коэффициентов В, С и D модели (4), было установлено, что их значения не существенно отличаются от данных табл. 1, следовательно, их зависимостью от N можно пренебречь.
Выясним теперь, каким образом коэффициенты модели (4) зависят от значения идентификационного параметра суммируемых распределений. На основании данных табл. 1 можно сделать вывод, что коэффициент А не зависит от NFx. Для каждого коэффициента В, С и D находится математическая модель, описывающая его изменение в зависимости от NFx. В первом приближении были выбраны модели с минимальными среднеквадратическими отклонениями:
где А, В, С, D — коэффициенты модели, зависящие от NF и N.
х
В табл. 1 представлены значения коэффициентов модели (4) для сумм сигналов с 2МОД, АРКС, РАВН,
В = (-3,54 + 0,23Л[Щ11п(Му)Р, С = ехр(-3,88 + 0,541п{АГІ^)),
17 12
(6)
И = - 4 + -
1п(ЛЯу Л/К
1,5 '
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
245
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013
м
Рис. 4. Экспериментальные зависимости, полученные в результате суммирования реализаций сигналов объема N с 2МОД распределения М раз (показаны аппроксимирующие линии)
Систематическая (8с) и случайная (8сл) относительные погрешности выполнения операции умножения распределения на число в пространстве ^ с доверительным интервалом 2с (доверительная вероятность 0,95)
Таблица 2
N 100 1000 10000 100000
% Распределение'4'^^ 5сл 5сл 2с 5с 5сл 2с 5с 5сл 2с 5сл 5сл 2с
2МОД -8,5 0,65 58 -3,5 0,42 38 3,4 0,23 20 11 0,23 20
АРКС 1,1 0,58 52 1,1 0,38 34 5,1 0,21 19 10 0,21 19
РАВН 3,4 0,56 50 3,5 0,38 34 6,2 0,23 20 9,2 0,21 19
СИМП 5,4 0,54 48 4,1 0,36 32 4,6 0,23 21 5,4 0,22 20
РЕЛЕ 5,6 0,51 46 4,2 0,34 30 3,5 0,27 24 2,8 0,25 23
НОРМ 5,7 0,51 46 3,7 0,32 29 2,7 0,25 22 2,1 0,22 20
ЭКСП 8,7 0,51 46 6,2 0,39 35 5,2 0,34 30 5,1 0,31 27
ЛАПЛ 4,8 0,49 44 0,4 0,36 33 0,1 0,34 30 2,1 0,28 25
КОШИ -19 0,51 46 -17 0,65 58 20 0,92 82 36 1,07 96
Таким образом, вычислив значения коэффициентов А, В, С и D по формулам (5) и (6) и подставив их в формулу (4), находится значение NFm.
Метрологические характеристики операции.
Чтобы проверить правильность выполнения операции умножения распределения сигнала Х( ^ на число в пространстве параметра NF, найдем погрешность аналитического вычисления NFm, при этом за истинное значение примем значение параметра NF, найденное для реализации Y(t), полученной экспериментальным образом (рис. 1). Определим случайную 5сл и систематическую 5с относительные погрешности выполнения операции умножения, а также среднеквадратическое отклонение (СКО) этой погрешности с [9]. Количество усреднений результатов вычислений — 2000, диапазон изменения числа М от ¡ до 40. В табл. 2 представлены данные о распределении относительной погрешности выпол-
нения операции умножения распределения на число в пространстве NF для разных объемов N.
Выводы. На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы.
1. Определена операция идентификационного умножения распределения случайного сигнала на число в пространстве параметра ^. Формально данную операцию можно записать как:
М(х)М3х ,
где символом (х) обозначена сама операция идентификационного умножения. Данная операция эквивалентна сложению М реализаций сигналов с произвольными, но постоянными значениями математического ожидания и дисперсии, имеющими
одинаковое значение идентификационного параметра NFx.
2. При увеличении значения М результат операции идентификационного умножения распределения на число стремится к значению NF, соответствующему нормальному закону распределения вне зависимости от исходного значения МРх.
3. Систематическая относительная погрешность выполнения описанной операции не превосходит 11 %, за исключением распределения типа КОШИ — 36 %, случайная относительная погрешность не превосходит 1,1 % при количестве усреднений 2000.
4. Технология выполнения операции многократного сложения распределения в пространстве идентификационных чисел позволяет прогнозировать результат взаимодействия нескольких сигналов, имеющих схожие статистические характеристики.
Исследования проведены в рамках выполнения государственных заданий Министерства образования и науки Российской Федерации высшим учебным заведениям на 2012 и на плановый период 2013 и 2014 годов в части проведения научно-исследовательских работ по теме № 7.3785.2011 «Разработка теоретических основ и прикладных аспектов идентификационной алгебры сигналов».
Библиографический список
1. Хан, Г. Статистические модели в инженерных задачах / Г. Хан, С. Шапиро. - М. : Мир, 1969. - 395 с.
2. Кликушин, Ю. Н. Основы идентификационных измерений [Электронный ресурс] / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко // Журнал радиоэлектроники. — М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2006. — № 5. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 01.12.2012).
3. Гуменюк, А. С. Алгоритмы анализа структуры сигналов и данных : моногр. / А. С. Гуменюк, Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко, В.Н. Цыганенко. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010. — 272 с.
4. Кликушин, Ю. Н. Классификационные шкалы для распределений вероятности [Электронный ресурс] / Ю. Н. Кликушин // Журнал радиоэлектроники. — М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2000. — № 11. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 01.12.2012).
5. Кликушин, Ю. Н. Фрактальная шкала для измерения распределений вероятности [Электронный ресурс] / Ю. Н. Кликушин // Журнал радиоэлектроники. — М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2000. — № 3. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 01.12.2012).
6. Кобенко, В. Ю. Операция сложения распределений сигналов в пространстве идентификационных чисел [Электронный ресурс] / В. Ю. Кобенко // Журнал радиоэлектроники. — М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2012. — № 4. — Режим доступа: http:// jre.cplire.ru (дата обращения: 01.12.2012).
7. Генератор случайных сигналов с заданным законом распределения / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко. — М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во № 17515 от 25.10.2011, ВНТИЦ № 50201151369.
8. Система статистического анализа идентификационного произведения сигнала на постоянное число в пространстве NF / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко. — М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во №17724 от 22.12.2011, ВНТИЦ № 50201151576.
9. Новицкий, П. В. Оценка погрешностей результатов измерения / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. — Л. : Энергоатомиз-дат, 1985. — 248 с.
КОБЕНКО Вадим Юрьевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Информационно-измерительная техника».
Адрес для переписки: kobra_vad@rambler.ru
Статья поступила в редакцию 10.12.2012 г.
© В. Ю. Кобенко
Книжная полка
621.373/А37
Айхлер, Ю. Лазеры. Исполнение, управление, применение [Текст] / Ю. Айхлер, Г. И. Айхлер ; пер. с нем. Л. Н. Казанцевой. - 7-е изд. - М. : Техносфера, 2012. - 495 с. : рис., табл. - (Мир физики и техники).
Учебное издание содержит новейшие сведения о высокомощных диодных и твердотельных лазерах для ультрафиолетового, видимого и инфракрасного излучений, рассмотрены волоконные лазеры, ультракороткие световые импульсы, рентгеновские лучи и световые импульсы от лазеров на свободных электронах, а также их применение в медицинской диагностике и биофотонике.
В книге затрагиваются следующие вопросы : функции, типы и свойства лазерного излучения, типы лазеров, оптические компоненты и управление лазерным излучением, применение лазеров в технологии обработки материалов, медицине, измерениях и передаче данных.
621.396.6/Г70
Горшенков, А. А. Основы технологии и проектирования радиоэлектронной аппаратуры : учеб. пособие / А. А. Горшенков, М. Г. Родионов ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. - 273 с. - ISBN 978-5-8149-1259-6.
Рассматриваются вопросы проектирования приборов и узлов радиоэлектронной аппаратуры с использованием базовых технологий проектирования. Представлены основные компоненты радиоэлектронной аппаратуры, в том числе преобразователи, устройства индикации и интерфейсы связи радиоэлектронной аппаратуры. Приводятся типовые структурные схемы электронных устройств. Для закрепления материала по каждой главе даны контрольные вопросы для самопроверки.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
