CC BY
29
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
УДК 621.396:681.2 в. Ю. КОБЕНКО
Омский государственный технический университет
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ИДЕНТИФИКАЦИОННЫХ ОПЕРАЦИЙ С РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ_
Описаны основные законы выполнения операций с распределениями случайных сигналов в области идентификационных чисел.
Ключевые слова: идентификационная шкала, идентификационная операция, измерение формы, распределение, сигнал.
При анализе и обработке сигналов часто возникает проблема, связанная с формальным описанием их взаимодействия, например, в результате сложения или умножения. Технология выполнения подобных операции известна, если известны математические модели сигналов, но чаще всего модели взаимодействующих сигналов неизвестны, поскольку сами сигналы носят случайный характер [1, 2]. Задача еще более усложняется, если количество взаимодействующих сигналов больше двух. Возникает вопрос — как аналитическим путем описать результат взаимодействия нескольких случайных сигналов, имеющих минимальное количество известных параметров?
В настоящее время данный вопрос решен частично в отношении случайных сигналов, имеющих, например, нормальный или равномерный законы распределения. Однако для случайных сигналов с произвольным законом распределения вопрос
аналитического описания результата их взаимодействия остается открытым.
Одно из перспективных направлений в решении данного вопроса связано с развитием теории идентификационных измерений [3 — 5], основанной на измерении формы сигнала или его характеристики (например, закона распределения). При этом сигнал рассматривается как нечто целое, характеризуемое не отдельными параметрами (точечными характеристиками), а распределением значений (массивом). Каждому распределению (массиву) по определенному закону ставится в соответствии число, названное идентификационным, характеризующее форму сигнала или его характеристики [6, 7]. Идентификационные числа находятся с помощью методов, описанных, например, в [8— 10].
В ряде публикаций показана возможность выполнения операций над распределениями случайных
сигналов в области идентификационных чисел: сложение [11, 12], умножение [13, 14], многократное сложение [15] и многократное умножение [16] распределений. Такие операции были названы идентификационными.
Цель данной работы: выяснить, какие математические законы при выполнении идентификационных операций над распределениями случайных чисел действуют.
Постановка задачи и методика исследований.
В классической алгебре существуют законы, которые действуют при выполнении операций над числами: переместительный, сочетательный, распределительный. Проверим справедливость этих законов при выполнении операций над идентификационными числами.
Общая методика проведения исследований заключается в следующем. С помощью управляемого программного генератора будут генерироваться реализации случайных стационарных сигналов X(I), У(I) и Е^) в виде распределения мгновенных значений [17]. Для большей достоверности и статистической устойчивости результатов исследований в качестве тестовых сигналов были взяты случайные стационарные сигналы с симметричными законами распределения: дву-модальным (2МОД), арксинусным (АРКС), равномерным (РАВН), треугольным (СИМП) нормальным (НОРМ) и Коши (КОШИ). Объем каждой реализации N=10 000, количество усреднений результатов вычислений для одних и тех же исходных сигналов — 2 000. Затем, в соответствии с алгоритмом, описанным в [18], определяются значения идентификационных чисел МР , МР и МР этих сигналов. Указанные
X у z
выше законы распределения охватывают максимальный диапазон изменения параметра МР (табл. 1) [19]. Далее производятся операции над реализациями сигналов во временной области и соответствующие им идентификационные операции над идентификационными числами МР этих сигналов. Полученный результат анализируется.
Идентификационные операции будем обозначать в круглых скобках: ( + ) — идентификационное сложение, (х) — идентификационное умножение.
Результаты исследований.
Переместительный закон идентификационного сложения чисел в пространстве МР будет иметь вид:
NF( + )NFy = NFy( + )NF.
(1)
Справедливость данного равенства доказывается следующим образом. Операция идентификационного сложения чисел МРх и МРу имеет свое отображение во временной области в виде сложения мгновенных значений сигналов X(t) и У(t) (рис. 1 а), соответствующих этим идентификационным числам. Т. к. в классической алгебре действует переместительный закон сложения, то X(t)+У(t) = У(t)+X(t)=Z(t), т. е. результат сложения — сигнал Z(t). Следовательно, левая и правая части выражения (1) будут представлять собой отображение одного и того же сигнала Z(t) в области идентификационного параметра МР.
Переместительный закон идентификационного умножения чисел в пространстве МР будет иметь вид:
NPx(x)NP =NF (x)NPx.
(2)
Операция идентификационного умножения чисел МРх и МРу имеет свое отображение во временной области в виде умножения мгновенных значений сигналов X(t) и У(рис. 1 б), соответствующих этим идентификационным числам. Т. к. в классической алгебре действует переместительный закон умножения, то X(t)■У(t)= У(t)■X(t)=Z(t), т. е. результат умножения — это сигнал Z(t). Следовательно, левая и правая части выражения (2) будут представлять собой отображение одного и того же сигнала Z(t) в области идентификационного параметра МР.
Сочетательный закон идентификационного сложения чисел в пространстве МР будет иметь вид:
[МРХ( + )МРу] ( + )МР= МРх( + )[МРу( + )МРг]. (3)
Квадратные скобки определяют приоритет выполнения операций. Во временной области выражение (3) будет представлено в виде:
[X(t)+Y(t)]+Z(t) = X(t) + [Y(t)+Z(t)],
(4)
где левая и правая части выражения — это один и тот же сигнал. Пусть сигналы, полученные в результате суммирования X(t)+У(t) и У(t)+Z(t) во временной области, отображаются в области МР в виде идентификационных чисел МРху = МРх( + )МРу и МРух = МРу( +) ( + )NFz соответственно. Тогда выражение (3) преобразуется к виду:
NPxy( + )NPz = NPx( + )NPyz.
(5)
Доказательство справедливости действия данного закона аналогично доказательству для перемести-тельного закона идентификационного сложения.
Задача сводится к тому, чтобы проверить справедливость выражения (5). Общая методика проведения исследований сочетательного закона идентификационного сложения добавлена следующими пунктами:
1) после формирования сигналов задается их отношение размахов Rx/Ry и формируется реализация сигнала XY(t)=X(t)+Y(t) (рис. 1а). Определяются значения размаха Ry, идентификационного параметра NPy и дисперсии Dy этого сигнала;
2) задается отношение размахов сигналов Rxy/Rz и формируется реализация суммарного сигнала XY(t)+Z(t). Определяются значения размаха Rsum, идентификационного параметра NPsum и дисперсии D суммарного сигнала;
sum J i '
3) определяются значения размахов Rx, Ry и Rz идентификационных параметров NPx, NPy и NPy и дисперсий Dx, Dy и Dy исходных сигналов X(t), Y(t) и Z(t);
4) используя операцию идентификационного сложения, вычисляются значения идентификационных чисел NP =NP( + )NP и NP =NP( + )NP.
xy xv' y yz У z
Затем, вычисляются значения NP n = NP ( + )NP
' sum2 xy z
и NPsum3 = NPx( + )NPyz суммарного сигнала;
5) отношения размахов суммируемых сигналов меняются и пункты 1—5 данной методики повторяются;
6) после многократного повторения исследований для одних и тех же сигналов, реализации которых при каждом повторении обновлялись, находятся погрешности вычисления NPsum2 и NPsum3 относительно NPsum, принятого за истинное значение, и вычисляется разность между NPsum2 и NPsum3, тем самым оценивается степень неравенства левой и правой частей выражений (3) и (5).
Диапазон изменения отношения размахов R/Ry и Rxy/Rz задавался от 0,001 до 1000. Результаты исследования сочетательного закона идентификационного сложения в области параметра NP представлены
Идентификационная шкала Л7*-метода
Сигнал Х(Щ)
Закон распределения {(Х)
Объем данных N
Одно значение в сигнале
N= 1
Постоянный во времени сигнал
N>2
Два значения в сигнале, причем Л^Б
N=2
Три значения в сигнале,
причем два из них равны: Х/ = Х3=Л
N=4
Четыре значения в сигнале, попарно равные между собой:
Х,=Х2=Л, Хз = Х4=В
Три значения в сигнале,
все отличаются друг от друга Х^Х^Хз
N>5
Двумодальный закон распределения (симметричный и асимметричный), N соизмеримо с 1.
Три значения, причем одно
есть полусумма двух других: Х3=(Х1 + Х2)/2
N=4
Четыре значения в сигнале,
три из которых равны между собой:
Х!=Х2=Х3 = Л и Х4=В^Л
Двумодальный закон (симметричный). Число значений Л равно числу значений Б
Двумодальный закон (асимметричный). Число значений Л не равно числу значений Б
Арксинусный закон распределения
N
12
Равномерный закон распределения
N
24
Треугольный закон распределения
40.. .100
Нормальный закон распределения
N 100. —
Закон распределения Лапласа
Закон распределения Коши (односторонний)
N
№
0
2
N = 3
3
N = 3
3.4
N = 3
4
N >>1
4.6
N >>1
8
N
N
N
4
N ...н
4
Окончание табл. 1
Идентификационная шкала NF-метода
Сигнал X(t)
Закон распределения f(x)
Объем данных N
N
Все значения равны А,
кроме одного значения, равного B
N >1
N...2N
N
Закон распределения Коши (симметричный и асимметричный)
2(N- 1)
Все значения равны Б, кроме двух, равных Л и С. Причем |Б—Л| = |Б—С|
а б
Рис. 1. Технология сложения (а) и умножения (б) реализаций двух сигналов X(t) и Y(t) объема N
во временной области. Z(t) — результирующий сигнал. Rx, Ry, Rsum — размахи, Dx Dy Duum — дисперсии, NFx, NFy NFsum, NFmul — идентификационные параметры сигналов
в табл. 2, где отражены наибольшие значения средних относительных погрешностей вычисления NРsшm2 и МР _ относительно истинного значения МР сум-
вшт3 5ШШ -1
марного сигнала (столбцы «NРшm2, NРшm3») и относительно друг друга (столбцы «NРsшm2• NРsшm3»), найденные с доверительной вероятностью 0,95 при ширине доверительного интервала 2' для комбинаций сигналов с законами распределения: 2 МОД, АРКС, РАВН и СИМП (столбец «2МОД-СИМП»); 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП и НОРМ (столбец «2МОД-НОРМ»); 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП, НОРМ и КОШИ (столбец «2МОД-КОШИ»). В строке «ИТОГО» представлены наибольшие значения для каждого столбца.
Таким образом, разность между вычисленными значениями NР 2 и NР шm3 (т.е. между значениями левой и правой части выражения (3)) для сигналов:
— с ограниченными распределениями: 2МОД, АРКС, РАВН и СИМП составляет порядка 0,5 %;
— с распределениями: 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП и НОРМ составляет порядка 1 %;
— с распределениями: 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП, НОРМ и КОШИ составляет порядка 2 %.
На основании результатов исследований можно утверждать, что выражение (3) справедливо в вероятностном смысле (с погрешностью порядка 2 %), что подтверждает правомочность сочетательного закона идентификационного сложения.
Сочетательный закон идентификационного умножения чисел в пространстве NР будет иметь вид:
[NFix)NFl(x)NFz = NFix)[NF ix)NFl.
(6)
Квадратные скобки определяют приоритет выполнения операций. Во временной области выражение (6) будет иметь вид:
[X(t).Y(t)].Z(t)=X(t).[Y(t).Z(t)],
(7)
где левая и правая части выражения — это один и тот же сигнал. Пусть сигналы, полученные в результате
NF
N >1
Наибольшее значение средней относительной погрешности (Зт) выполнения сочетательного закона идентификационного сложения в области параметра с доверительной вероятностью 0,95 (2вт — наибольшая ширина доверительного интервала)
Распределение 2МОД-СИМП 2МОД-НОРМ 2МОД-КОШИ
.Р^^^шт3
5„, % 2о„, % 5т, % 20т, % 5т, % 20т, % 5т, % 20т, % 5т, % 20т, % 5т, % 20т, %
2МОД 1,1 5,6 0,53 2,83 3,9 15 1,1 5,8 4,4 49 1,5 10
АРКС 1,7 7,4 0,37 2,3 4,9 16 0,73 4,1 5,8 47 1,7 12
РАВН 2,1 8,1 0,26 2,2 5,7 17 0,53 3,6 5,7 43 1,7 12
СИМП 3,4 11 0,27 2,5 6,6 19 0,35 3,2 33 37 1,4 11
НОРМ — — — — 7,4 22 0,48 3,6 7,4 38 0,96 7,4
КОШИ — — — — — — — — 8,6 57 1,9 9,7
ИТОГО 3,4 11 0,53 2,83 7,4 22 1,1 5,8 33 57 1,9 12
Таблица 3
Наибольшее значение средней относительной погрешности (Зт) выполнения сочетательного закона идентификационного умножения в области параметра с доверительной вероятностью 0,95 (2вт — наибольшая ширина доверительного интервала)
Распределение 2МОД-СИМП 2МОД-НОРМ
.Рта12, .Рта13 .Рта12, .Рта13 .Ртш^Ртша
5т, % 20т, % 5т, % 20т, % 5т, % 20т, % 5т, % 20т, %
2МОД 6,5 15 5,1 1,5 44 57 5,1 1,5
АРКС 24 20 19 2,4 32 55 19 7,1
РАВН 8,2 23 4,5 2,2 26 55 24 8,1
СИМП 23 28 23 2,7 25 57 23 8,4
НОРМ — — — — 44 73 19 12
ИТОГО 24 28 23 2,7 44 73 24 12
перемножения X(t)■Y(t) и Y(t)^Z(t) во временной области, отображаются в области ЫР в виде идентификационных чисел ЫР = ЫР (х)ЫР и ЫР =
Т" ~ ху Xк ' у уъ
=.Ру(х).Р2 соответственно. Тогда выражение (6) преобразуется к виду:
(х)ЫР = ЫР (х)ЫР .
ху\ ' ъ Xх ' уг
(8)
Задача сводится к тому, чтобы проверить справедливость выражения (8). Методика проведения исследований схожа с методикой исследования сочетательного закона идентификационного сложения, но отличается следующим:
1) для реализации сигнала XY(t)=X(t)■Y(t) (рис. 1б) определяется значение идентификационного параметра ЫРху;
2) формируется реализация сигнала XY(t)■Z(t) и определяется значение идентификационного параметра ЫРт11[ этого сигнала;
3) используя операцию идентификационного умножения чисел, вычисляются значения идентификационных чисел ЫР = ЫР (х)ЫР и ЫР = ЫР(х)ЫР.
ху XV ' у уъ у^ ' ъ
Затем вычисляются значения ЫРтш12 = ЫРху(х).Ръ и .Ртш13 = .Рх(х)МРуърезультирующего сигнала;
4) после многократного повторения исследований для одних и тех же сигналов, реализации которых при каждом повторении обновлялись, находятся погрешности вычисления ЫРтш12 и ЫРтш13 относительно NРтш1, принятого за истинное значение, и вычисляется разность между ЫРтш12 и ЫРтш13, тем самым оценива-
ется степень неравенства левой и правой частей выражений (6) и (8).
Результаты исследования сочетательного закона идентификационного умножения в области параметра .Р представлены в табл. 3, где отражены наибольшие значения средних относительных погрешностей вычисления .Р и .Р относительно ис-
тш12 тш13
тинного значения ЫРтш1 результирующего сигнала (столбцы «ЫРтШ2, .Ртш13») и относительно друг друга (столбцы «ЫРтш12' NРтш13»), найденные с доверительной вероятностью 0,95 при ширине доверительного интервала 2 • для комбинаций сигналов с законами распределения: 2 МОД, АРКС, РАВН и СИМП (столбец «2МОД-СИМП»); 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП и НОРМ (столбец «2МОД-НОРМ»). В строке «ИТОГО» представлены наибольшие значения для каждого столбца.
Таким образом, разность между вычисленными значениями NРти12 и NРти13 (т.е. между значениями левой и правой части выражения (6)) для сигналов с распределениями 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП и НОРМ составляет порядка 24 %.
На основании результатов исследований можно утверждать, что выражение (6) справедливо в вероятностном смысле (с погрешностью порядка 24 %), что подтверждает правомочность сочетательного закона идентификационного умножения.
Распределительный закон идентификационного умножения относительно идентификационного сложения чисел в пространстве ЫР будет иметь вид:
Основные законы выполнения операций с распределениями в ЛР-пространстве идентификационных чисел
Название закона Классическая алгебра (числа Л, Б, С £ Я) Пространство идентификационных чисел (X, У, Z — сигналы с Ш» Шу, К0, Ь0, М0 — сигналы в виде одного значения с № = 0; К! — постоянный во времени сигнал с NF= 1)
Описание закона Отображение во временной области
Переместительный закон сложения Л+Б=Б+Л NFx( + )NFy=NFy( + )ШХ Х+У=У+Х
Переместительный закон умножения ЛБ=БЛ ШХ( x)NFy=NFy^ х)ШХ ХУ=УХ
Сочетательный закон сложения (Л+Б)+С= = Л+(Б+С) [Шх( + )Шу1(+)Ш= = NFx( + )[NFy(+)NFzl (х+У)+г=х+(У+г)
Сочетательный закон умножения (ЛБ)С=Л(БС) [ШХ^^Ц х^т^ = NFx(x)—Fy(x)NFzl (ХУ)2=Х(У2)
Распределительный закон умножения относительно сложения (Л+Б)С=ЛС+БС [NFx( + )NFyl(x)NFz= =NFx(x)NFz(+)NFy(x)NFz (Х+У)г=Хг+уг
Свойство нуля Л+0=Л ШХ( + )0=0 шХ м 0=0 Х(1)+К=1о Х(Щ) Ко=Мо
Свойство единицы Л-1=Л —Fx{ + )1 =NFx Шх^^^Х Х+К! = У(NFx=NFy) ХК!=г(Шх=т2)
[ ^^ + )NFy](x)NFz = ^Рх^^Р^ + )NРy(x)NРz. (9)
Квадратные скобки определяют приоритет выполнения операций. Во временной области выражение (9) будет представлено в виде:
(10)
где левая и правая части выражения — это один и тот же сигнал. Пусть сигналы, полученные в результате суммирования Х(Щ)+У(Щ) и перемножения Х(Щ)-Е(Щ) и У(Щ)-Е(Щ) во временной области, отображаются в области NР в виде идентификационных чисел ИР =NР( + )NР, ИР = NР(x)NР и ИР = Ш (х)ЫР
ху Х^ ' у' xz XV ' z yz у^ ' z
соответственно. Тогда выражение (9) преобразуется к виду:
NРxy(x)NРz = NРxг( + )NРyz.
(11)
Задача сводится к тому, чтобы проверить справедливость выражения (11). Методика и технология проведения исследований схожа с методикой и технологией исследования сочетательных законов идентификационного сложения и умножения.
В ходе проведения исследований были получены результаты, подтверждающие справедливость действия распределительного закона идентификационного умножения относительно идентификационного сложения.
Свойство идентификационного нуля в пространстве NР. Т.к. NР=0 имеет сигнал, состоящий из одного мгновенного значения (см. табл. 1), то его взаимодействие (сложение или умножение) во временной области с любым другим сигналом Х(Щ) будет давать результирующий сигнал, состоящий из одного мгновенного значения и имеющий NР=0. Формально данное взаимодействие сигналов в пространстве NР можно представить в виде:
^( + ^ = 0; ^^0 = 0, (12)
что эквивалентно действию во временной области:
Х(Щ)+К0=Ь0; х(гук0=м0, (13)
где К0, Ь0, М0 — сигналы, состоящие из одного мгновенного значения и имеющие NР=0.
Свойство идентификационной единицы в пространстве NР. Т. к. NР=1 имеет сигнал постоянный во времени (см. табл. 1), то его взаимодействие (сложение или умножение) во временной области с любым другим сигналом Х(Щ) будет давать результирующий сигнал, по форме совпадающий с Х(Щ) и имеющий значение NР, равное NРx. Формально данное взаимодействие сигналов в пространстве NР можно представить в виде:
NРx( + )1=NРx; NFx(x)1=NFx, (14)
что эквивалентно действию во временной области: Х(Щ)+К1=У(Щ) при NРx=NРy;
Х(Щ)-К1=г(Щ) при Ш^Р^ (15)
где К1 — постоянный во времени сигнал.
Выводы. При выполнении операций над распределениями в области идентификационных чисел действуют следующие законы классической алгебры: переместительный закон сложения и умножения, сочетательный закон сложения и умножения, распределительный закон умножения относительно сложения. Свойства нуля и единицы в классической алгебре несколько отличаются от свойств нуля и единицы в пространстве идентификационных чисел (табл. 4).
Введение операций над идентификационными числами и законов их выполнения позволяет аналитически, не проводя экспериментов, описать результат взаимодействия сигналов (в том числе случайных), имеющих минимальное количество известных параметров.
Библиографический список
1. Хан, Г. Статистические модели в инженерных задачах / Г. Хан, С. Шапиро. - М. : Мир, 1969. - 395 с.
2. Губарев, В. В. Алгоритмы спектрального анализа случайных сигналов : моногр. / В. В. Губарев. — Новосибирск : НГТУ, 2005. — 660 с.
227
3. Кликушин, Ю. Н. Основы идентификационных измерений / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко // Деп. в ВИНИТИ, № 1540-В2006, Омский гос. техн. ун-т. — Омск, 2006. - 18 с.
4. Кликушин, Ю. Н. Основы идентификационных измерений [Электронный ресурс] / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко // Журнал радиоэлектроники. — 2006. — № 11. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 15.06.2014).
5. Кликушин, Ю. Н. Основы идентификационных измерений / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко // Омский научный вестник. — 2009. — № 2 (80). — С. 174 — 179.
6. Кобенко, В. Ю. Идентификационные измерения: методы, модели, технологии : моногр. / В. Ю. Кобенко. — Омск : ОмГТУ, 2014. — 208с.
7. Гуменюк, А. С Алгоритмы анализа структуры сигналов и данных : моногр. / А С. Гуменюк, Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко, В. Н. Цыганенко. — Омск : ОмГТУ, 2010. — 272 с.
8. Кобенко, В. Ю. Фрактальная идентификационная шкала / В. Ю. Кобенко // Омский научный вестник. — 2009. — № 3 (83). — С. 205 — 213.
9. Кобенко, В. Ю. Фрактальная идентификационная плоскость Vz-метода / В. Ю. Кобенко // Омский научный вестник. — 2010. — № 1 (87). — С. 213 — 223.
10. Губарев, В. В. Классификационные измерения: методы и реализация / В. В. Губарев, А. А. Горшенков, Ю. Н. Клику-шин, В. Ю. Кобенко // Автометрия. — 2013. — № 2. — С. 76 — 84.
11. Кобенко, В. Ю. Операция сложения распределений сигналов в пространстве идентификационных чисел [Электронный ресурс] / В. Ю. Кобенко // Журнал радиоэлектроники. — 2012. — № 4. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 15.06.2014).
12. Кобенко, В. Ю. Моделирование операции идентификационного сложения распределений случайных сигналов / В. Ю. Кобенко // Омский научный вестник. — 2012. — № 2 (110). — С. 304 — 309.
13. Кобенко, В. Ю. Операция умножения распределений случайных сигналов в пространстве идентификационных чисел
[Электронный ресурс] / В. Ю. Кобенко // Журнал радиоэлектроники. — 2012. — № 3. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 15.06.2014).
14. Кобенко, В. Ю. Моделирование операции идентификационного умножения распределений случайных сигналов / В. Ю. Кобенко // Омский научный вестник. — 2012. — № 3 (113). — С. 302 — 305.
15. Кобенко, В. Ю. Операция умножения распределения случайного сигнала на число в пространстве идентификационных чисел / В. Ю. Кобенко // Омский научный вестник. — 2013. — № 1 (117). — С. 243 — 247.
16. Кобенко, В. Ю. Идентификация произведения сигналов в области идентификационных чисел / В. Ю. Кобенко // Приборы и методы измерений, контроля качества и диагностики в промышленности и на транспорте : материалы Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием. — Омск : ОмГУПС, 2013. — С. 191 — 196.
17. Генератор случайных сигналов с заданным законом распределения : свидетельство о регистрации электронного ресурса № 17515 / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко. — Свидет. о гос. рег. № 50201151369 от 25.10.2011.
18. Кликушин, Ю. Н. Фрактальная шкала для измерения распределений вероятности [Электронный ресурс]. / Ю. Н. Кли-кушин // Журнал радиоэлектроники — 2000. — № 3. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 15.06.2014).
19. Кобенко, В. Ю. Определение диапазона идентификационной шкалы форм распределений / В. Ю. Кобенко // Омский научный вестник. — 2013. — № 3 (123). — С. 235 — 240.
КОБЕНКО Вадим Юрьевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Информационно-измерительная техника». Адрес для переписки: kobra_vad@rambler.ru
Статья поступила в редакцию 30.06.2014 г. © В. Ю. Кобенко
Книжная полка
Солонина, А. И. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в SIMULINK : учеб. пособие для вузов по направлению подгот. 210700 «Информационные технологии и системы связи» квалификации (степени) «бакалавр» и квалификации (степени) «магистр»/ А. И. Солонина. -СПб. : БХВ-Петербург, 2012. - 425 c. - ISBN 978-5-9775-0686-1.
Учебное пособие посвящено технологии создания SIMULINK-моделей и моделирования динамических систем цифровой обработки сигналов (ЦОС) с использованием базовых методов и алгоритмов ЦОС. Для облегчения работы начинающих пользователей даны основы моделирования в Simulink. Подробно описана технология создания Simulink-моделей дискретных и цифровых сигналов, специфика их обработки и анализа в процессе моделирования. Рассмотрены математические модели и Simulink-модели линейных дискретных систем, систем цифровой фильтрации с КИХ и БИХ-фильтрами различных структур, в том числе с фиксированной точкой, многоскоростных систем с полифазными структурами, а также средства вычисления дискретного преобразования Фурье на основе быстрого преобразования Фурье.
Евтянов, С. И. Избранные статьи / С. И. Евтянов ; сост. В. Н. Кулешов. - М. : МЭИ, 2013. -304 c. - ISBN 978-5-383-00870-6.
Выпускаемая к столетию со дня рождения выдающегося российского ученого и педагога, основателя научно-педагогической школы МЭИ в области теории колебаний и радиопередающих устройств, лауреата Сталинской премии, доктора технических наук профессора Сергея Ивановича Евтянова — эта книга содержит научные статьи, написанные в разное время им самим и в соавторстве за период с 1936 по 1976 г. В статьях излагаются разработанные им методы прикладной теории колебаний и примеры их применения для решения задач радиотехники. Эти методы продолжают успешно использоваться в научных исследованиях и инженерных разработках. Сборник адресован и будет несомненно интересен и полезен научным работникам, преподавателям вузов, аспирантам и студентам радиотехнических и радиофизических направлений, использующим в своей работе прикладные методы теории колебаний.
