Моделирование операции идентификационного умножения распределений случайных сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

УДК 621.396:681.2

В. Ю. КОБЕНКО

Омский государственный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ ИДЕНТИФИКАЦИОННОГО УМНОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

Представлены описание, технология выполнения и формализация операции умножения двух распределений случайных величин в пространстве идентификационного параметра.

Ключевые слова: идентификация, идентификационные измерения, интеллектуальные системы, классификация, случайный сигнал, порядковая шкала.

Введение. При анализе сигналов часто возникает проблема, связанная с формальным описанием взаимодействия сигналов, например, в результате их перемножения. Технология выполнения операции перемножения известна, если известны математические модели сигналов, но чаще всего, модель взаимодействующих сигналов неизвестна, поскольку сами сигналы могут носить случайный характер [1, 2]. В таком случае возникает вопрос — как получить подобную модель? Как, аналитическим путем, описать результат взаимодействия сигналов, имеющих минимальное количество известных параметров? Данному вопросу посвящена настоящая работа.

Постановка задачи и методика исследований.

Пусть даны реализации двух сигналов ХЩ и 7(^ в виде распределения мгновенных значений (рис. 1) одинакового объема N. Средние значения сигналов равны нулю. Известны значения их идентификационных параметров NFж и NFy, найденных в соответствии с алгоритмом, описанным в [3, 4].

Задача сводится к тому, чтобы, не проводя никаких экспериментов над исходными реализациями Х(^ и 7(^, идентифицировать сигнал 2(^ по шкале ^, т.е. найти отображение сигнала произведения Z(t)=X(t)•Y(t) в пространстве NF аналитически по формуле:

^=№ ^У). (1)

Определение данной математической модели и ее коэффициентов позволит формально представить операцию произведения двух распределений сигналов в пространстве идентификационного параметра NF.

Методика проведения исследований.

1. Для большей достоверности и статистической устойчивости результатов исследований реализации перемножаемых сигналов Х(^ и Y(t) будут получены с помощью генератора случайных ста-ционарныхсигналов сзаданнымзаконом распределения [5].

2. Определяются значения и NFy.

3. Формируется реализация сигнала произведения Z(t)=X(t)•Y(t). На рис. 1 показан алгоритм нахождения мгновенных значений z =x • у , 1<;<№

4. Находятся значения идентификационного параметра NFmu¡ сигнала Z(t).

5. Закон распределения одного из сигналов фиксируется, например Y(t), следовательно, фиксируется NFy. Для формирования статистического ряда п.п. 1—4 повторяются для произведения Y(I) с другими сигналами. Затем фиксируется другой закон распределения Y(t), и п.п. 1—4 вновь повторяются.

6. Полученная зависимость описывается математической моделью:

№т„^у)=/(№х, А, В, С), (2)

где А, В, С — коэффициенты модели.

7. Для каждого коэффициента модели (2) А = f(NFy), В = /(№у), C=f(NFy) находится своя математическая модель, как функция от NFy.

Рис. 1. Технология умножения реализаций двух сигналов Х(0 и объема N во временной области.

Z(t) — результат произведения

^х

Рис. 2. Экспериментальные значения МГти!, полученные в результате произведения 2МОД распределения на 2МОД(1), АРКС(2), РАВН(3), СИМП(4), НОРМ(5), ЛАПЛ(6) распределения

№х

Рис. 3. Экспериментальные значения МГти!, полученные в результате произведения СИМП распределения на 2МОД(1), АРКС(2), РАВН(3), СИМП(4), НОРМ(5), ЛАПЛ(6) распределения

1200,0-

1 700,0 =□ оЧр = „° „ »

£ 600,0 л. ■: V* ■* «

& № 8# ° '

300,0- 200,0- в .1ІГ ° її"

ш

1і 1 і к 6

0,0- 1 11 4 5

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 NFx 30 2 0 2 0 2 0 2 0 2 30 3 0 3 .0 34С

Рис. 4. Экспериментальные значения ЫГши!, полученные в результате произведения НОРМ распределения на 2МОД(1), АРКС(2), РАВН(3), СИМП(4), НОРМ(5), ЛАПЛ(6) распределения

NFx

Рис. 5. Экспериментальные значения МГти!, полученные в результате произведения ЛАПЛ распределения на 2МОД(1), АРКС(2), РАВН(3), СИМП(4), НОРМ(5), ЛАПЛ(6) распределения

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

*

Таблица 1

Коэффициенты модели (4)_________________

Распределение Y(t) NF у Л B C

2МОД 4 -0,155 1,13 0,976

АРКС 8 -3,07 3,53 0,830

РАВН 12 -4,486 5,86 0,764

СИМП 23,4 -13,4 15,5 0,629

НОРМ 53,3 -24,1 43,1 0,506

ЛАПЛ 167 -32,6 122 0,377

Таблица 2

Систематическая (о.) и случайная (о^) относительные погрешности выполнения операции идентификационного умножения с доверительной вероятностью 0,95 (усреднение по 1000 реализаций)

ЛАПЛ НОРМ СИМП РАВН АРКС 2МОД

2МОД 5с, % -2,47 0,31 1,63 2,58 3,52 4,9

^ % 0,25 0,14 0,04 0,03 0,04 0,04

2с, % 15,8 9,0 2,52 2,18 2,20 2,44

АРКС 5с, % -5,4 -2,21 -8,2 -9,1 -10,0

8сл, % 0,58 0,32 0,08 0,03 0,03

2с, % 36,8 20,0 4,8 2,04 1,76

РАВН 5с, % -4,9 -0,64 -9,4 -10,9

% 0,64 0,40 0,12 0,05

2с, % 40,4 25 7,8 3,06

СИМП Sc, % 0,07 8,9 -4,7

% 0,76 0,51 0,22

2о, % 48,2 32 13,8

НОРМ Sc, % 25,0 39,2

5сл, % 1,07 0,85

2с, % 67,6 53,8

ЛАПЛ 5с, % 7,7

5сл, % 1,08

2с, % 68,6

8. Таким образом, общая формула для вычисления 1ЧР5цш будет иметь вид:

№шц, = /(№ , А(№ ), В(№ ), С(№ )). (3)

Технология проведения исследований. Для проведения исследований операции идентификационного умножения был разработан программный продукт «Система статистического анализа идентификационного умножения сигналов в пространстве NF» [6].

В качестве тестовых сигналов были взяты случайные стационарные сигналы с симметричными законами распределения: двумодальный (2МОД), арксинусный (АРКС), равномерный (РАВН), треугольный (СИМП), нормальный (НОРМ) и Лапласа (ЛАПЛ). Объем каждой реализации N=10000, количество усреднений по каждой паре сигналов — 2000.

Чтобы определить математическую модель (2), найдем произведение реализации сигналов в различном сочетании и представим результат на одном

графике. На рис. 2 — 5 показаны экспериментальные зависимости NFmuI = f(NFx) при различных фиксированных законах распределения одного из множителей Y(t) (NFy фиксировано).

С помощью программы TableCurve Windows фирмы Jandel Scientific в первом приближении была найдена математическая модель, хорошо описывающая вышеприведенные зависимости, и значения ее коэффициентов:

NFmul=A + BNFC, (4)

где A, B, C — коэффициенты модели.

В табл. 1 представлены значения коэффициентов модели (4) для произведений с 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП, НОРМ, ЛАПЛ распределениями.

Для каждого коэффициента A, B, C находится математическая модель, описывающая его изменение в зависимости от NFy. В первом приближении были выбраны модели с минимальными среднеквадратическими отклонениями:

А = -33,1 + 36,8е~а0265№7у,

В =-----------1-------15,

0,00485 + 7,1/№у

с =_____________1

0,8975 + О.ОбвЗ^пЛ/Ру)2'

(5)

2. Систематическая относительная погрешность выполнения операции идентификационного умножения не превосходит 11%, за исключением нормального закона распределения — 40 % (табл. 2).

3. Случайная относительная погрешность выполнения операции идентификационного умножения не превосходит 1,1% при количестве усреднений 1000.

Библиографический список

Таким образом, вычислив значения коэффициентов А, В, С по формуле (5) и подставив их в формулу (4), найти №ши1.

Чем меньше значение NFy, тем кучнее располагаются точки на графиках рис. 2 — 5, тем точнее будет модель, характеризуемая коэффициентами А, В, С в формуле (5). Поэтому для повышения точности расчета NFmц¡ необходимо, чтобы выполнялось условие

^ >^т.

X у

Метрологические характеристики операции идентификационного умножения. Чтобы проверить правильность выполнения операции идентификационного умножения двух реализаций сигналов Х(^ и Y(t) в пространстве параметра ^, найдем погрешность вычисления ^ти1, при этом за истинное значение примем значение параметра NFo, найденное для реализации Z(t) (рис. 1). Определим систематическую 5с и случайную 5сл относительную погрешность ее среднеквадратическое отклонение (СКО) а [7]. Объем каждой реализации N= 10000, количество усреднений результатов вычислений — 1000. В табл. 2 представлены данные о распределении относительной погрешности выполнения операции идентификационного умножения для 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП, НОРМ и ЛАПЛ распределений (ячейки с повторяющимися данными затушированы). Область табл. 2, в которой ширина доверительного интервала для систематической относительной погрешности не превосходит 20% при доверительной вероятности 0,95, обведена жирной линией.

Выводы. На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы.

1. Введена операция идентификационного умножения, выполняющая перемножение двух распределений случайных величин с нулевым средним в пространстве идентификационного параметра NF, формально данную операцию можно записать так:

ЫРх{х)МРу=ЫРти1,

где символом (х) обозначена сама операция.

1. Хан, Г. Статистические модели в инженерных задачах / Г. Хан, С. Шапиро. - М. : Мир, 1969. - 395 с.

2. Губарев, В. В. Вероятностные модели: справочник. В 2 ч. / В. В. Губарев ; Новосиб. электротехн. ин-т. — Новосибирск, 1992.

Ч. 1. — 198 с.

Ч. 2. — 188 с.

3. Кликушин, Ю. Н. Классификационные шкалы для распределений вероятности. [Электронный ресурс] / Ю. Н. Кликушин // Журнал радиоэлектроники / М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2000. — № 11. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 01.02.2012).

4. Кликушин, Ю. Н. Фрактальная шкала для измерения распределений вероятности. [Электронный ресурс]. / Ю. Н. Кликушин // Журнал радиоэлектроники / М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2000. — № 3. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 01.02.2012).

5. Генератор случайных сигналов с заданным законом распределения / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко. — М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во № 17515 от 25.10.2011, ВНТИЦ № 50201151369.

6. Система статистического анализа идентификационного произведения сигналов в пространстве NF / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко. — М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во № 17723 от 22.12.2011, ВНТИЦ № 50201151577.

7. Новицкий, П. В. Оценка погрешностей результатов измерения / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. — Л. : Энергоатомиз-дат, 1985. — 248 с.

КОБЕНКО Вадим Юрьевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры информационно-измерительной техники.

Адрес для переписки: kobra_vad@rambler.ru

Статья поступила в редакцию 28.02.2012 г.

© В. Ю. Кобенко

Книжная полка

621.38/Т46

Тихонов, А. И. Высокочастотная электроника : учеб. по курсу лекций / А. И. Тихонов, А. В. Бубнов ; ОмГТУ. - Омск : КАН, 2012. - 318 с. - ISBN 978-5-9931-0161-3.

Рассмотрен учебный программный материал, включающий принцип работы элементов, приборов и устройств высокочастотной электроники; в пособие включен также материал по выполнению самостоятельных индивидуальных заданий, предусмотренных учебной программой. Приведены основные тенденции современной высокочастотной электроники.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ