CC BY
34
УДК 421.394 в. Ю. КОБЕНКО
Омский государственный технический университет
ФРАКТАЛЬНАЯ
ИДЕНТИФИКАЦИОННАЯ ПЛОСКОСТЬ Уг-МЕТОДА
В статье описан метод, выявляющий и измеряющий фрактальные свойства сигналов. Он позволяет упорядочить сигналы по этим свойствам. Приведены метрологические характеристики данного метода. На его основе создана фрактальная идентификационная плоскость, классифицирующая сигналы по их форме. Описана технология создания идентификационной плоскости, что позволяет решать задачи автоматического распознавания, объективной классификации и идентификации сигналов.
Ключевые слова: фрактал, распознавание, идентификация, классификация, сигнал, шкала.
При решении задач анализа и идентификации сигналов сложной формы п основном используются классические статистическо-вероятностиыс методы анализа, не способные эффективно решать подобные задачи, например, при анализе фрактальных сигналов, которые характеризуются наличием связанных между собой трендовых и хаотических компонент. С возникновением фрактальной геометрии, связанной с именем Б. Мандельброта (1), решение подобных задач стало более простым и наглядным. В последнее время фрактальный подход все больше применяется для решения задач идентификации сигналов, отличающихся наличием компонент хаотического, детерминированного и периодического характера [2]. Однако эти методы способны идентифицировать узкий класс фрактальных и, близких к ним сигналов (3, А |. Вопрос комплексного подхода к анализу и идентификации сигналов сложной формы в рамках единою представления остается открытым. В работе [5] изложены основы создания идентификационных шкал (в том числе фрактальных), позволяющие в рамках единой модели комплексно подходить к решению задач анализа, классификации и идентификации сигналов.
Описание метода
Данный метод основан на статистическом анализе одномерных временных рядов. Пусть имеется ряд наблюдений {хг х2,..., хы) некоторой величины X. /V— объем выборки, Х1р— среднее арифметическое ряда
1 м
наблюдений, определяется по формуле Хг„ =— .
Л/ /=|
г{г1, — накопленное отклонение ряда X от
и
сред него Х^ определяется выражением ги - - Х1р),
где 1 <и<Дг. Я — размах накопленного отклонения, определяется по формуле Я- тах{ги}-тт{х„}. и —
НМЛ
функция приращений ряда X определяется но формуле 4,-х,-х,_,, где 2<i■SN, Япр — размах приращения определяется выражением Ллрг-тах{и,}-йп'п{и,}.
На основании этих данных определяется параметр V 1 — отношение размаха накопленного отклонения
Я к размаху приращений — при разных объемах выборки /V:
Уг(^)=Я/Япр. (1)
Для большей линеаризации полученные экспериментальные точки строятся в двойном логарифмическом масштабе (рис. 1).
Исследование У^методом фрактальных и стационарных случайных сигналов
Исследуем поведение фрактальных и стационарных случайных сигналов на плоскости ^-метода. Сначала выясним, способен ли данный ме тод различать подобные сигналы. Для этого программными генераторами случайных чисел будут моделироваться несколько реализаций выборок Р одинакового объема N одного и того же случайного сигнала (с одним законом распределения для стационарных случайных сигналов и с одним значением Херста Н для фрактальных сигналов). Затем вычисляется среднее по реализациям значение <У>:
<Ух), = гТ.у1< , 2<»<М (2)
У-1
Полученные значения <У> строятся на фрактальной плоскости метода (рис. 1). После этого программой ТС\У1Ы подбирается модель для описания зависимости /д< V >==//1дА// Количество реализаций Р= 1000, объемвыборки N= 1000. Из рис. 2, на котором приведены У-функции для фрактальных сигналов с показателем Херста Н=0, Н=0.5, И-1 и для случайных стационарных сигналов с двумодальным (2МОД), арксинусным (АРКС), равномерным (РАВН), Симпсона (СИМП). Релея (РЕЛЕ), нормальным (НОРМ), Лапласа (ЛАПЛ), экспоненциальным (ЭКСП) и Коши (КОШИ) распределениями, видно, что построенные точки в первом приближении хорошо аппроксимируются прямой, угловой коэффициент (2) которой является классифицирующим для данных сигналов.
Таким образом, зависимость У=((Ы) на логарифмической плоскост и описывается уравнением:
*
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ 8ЕСТНИК № 1 «7> 2010 РАДИОТЕХНИКА И связь
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 <«7) 2010
ЬвЛ’
Рис. I. Фрактальная плоскость V,-метода с построенными на ней экспериментальными точками
1
075
05 1 025
тЛ
О
о»
06
(2-0.-18) (2-0.37) СИМ1 0-0.43) НОРА (2-0.42) РЕЛЬ (7-0.40)
эксг гг-о.«)
КОШ11(2-0 02)
15
1 35
1£М»
15
Рис. 2. V-функции и значения 2 дли фрактальных сигналов с показателем Херста Н=0, Н=0.5, Н=1 и для случайных стационарных сигналов с 2МОЛ. ЛРКС, РАВН, СИМИ, Р1£ЛЕ, НОРМ, ЛАПЛ, ЭКСП и КОШИ распределениями. Количество реализаций 1000, объем выборки 1000
Рис. 3. Сравнительный график зависимости показателя 2от объема выборки IV для разнородных сигналов
Рис. 4. Сравнительный график зависимости случайной погрешности показателя 2 от объема выборки N для разнородных сигналов
Погрешности У,-метода от изменения объема выборки случайных сигналов
Тип сигнала Коэф. Обт-ем пыборки <А> г*.% <7> л*.
100 200 500 1000 8000
Н-1 Л 0.77 -0.88 -0.88 -0.98 -1,00 -0.89 12.6
г 1,43 1,43 1.48 1,56 1,63 1,53 1.53 0,10 6,732
Н—0.5 А - 1.04 -1,05 -1.12 - 1,15 -1,18 -1.Н 6.4
7. 1.20 1.22 1.27 1,29 1,33 1.26 1,26 0,07 5.5
11=0 А -0,89 -0,8-1 -0.87 -0,88 -0.94 -0.89 5.6
г 0.85 0.82 0,85 0,85 0,89 0,85 0,86 0,03 ЗА
2МОД л -0.73 -0.71 -0.69 0.66 -0.61 -0.67 8.9
7. 0.59 0.58 0,57 0.55 0.53 0.56 0,57 0,03 5.6
АРКС А -0,68 -0.66 -0.69 -0.69 -0.69 -0.68 2.2
г 0.49 0.48 0,50 0.50 0,50 0.49 0.5 0,01 2,8
РАВИ А -0.65 -0.63 -0.65 -0.66 -0.69 -0.66 4.2
г 0.46 0.44 0.46 0.16 0.48 0.46 0,47 0.02 4.4
СИМИ А -0.62 -0,62 -0.61 -0,63 -0.66 -0.64 3,7
г 0.42 0.42 0.42 0,43 0,44 0,43 0,43 0,01 3.9
НОРМ А -0.59 - 0.60 -0,60 -0,61 -0,65 -0,62 4,5
г 0.39 0.40 0.40 0.40 0,42 0.41 0,41 0,01 3.9
РЕЛЕ л -0.56 0.60 -048 -0.60 -0.62 -0.59 •1.8
г 0.37 0.39 0,39 0,40 0.41 0,39 0,4 0,02 5.5
ЛЛ11Л А -0.40 -0,41 -0,39 -0.42 -0.40 -0,41 3.2
г 0,37 0.37 0,37 0.38 0,37 0.37 0.38 0.01 1,8
эксп А -0.53 -0,53 -0,53 -0,54 -0,59 -0,56 6,0
7 0.31 0.31 0,31 0.32 0,35 0.33 0.33 0.02 6,9
КОШИ А -0,31 -0,30 -0,27 -0,26 -0.23 -0,27 15,0
7 0.06 0.06 0.04 0,03 0,03 0,05 0,05 0,01 34
100.6Г-
100.2’г-
99.8;— •—]—}---\
99^4444444
.... •••••.••■•••••г*
: : :
"*°Г " 106" 200 зоо' ‘4о6* >500 ‘«00*' ^700 ’’ ©Ьб’ ’ 900' 1000 Ы*
а)
О 2 01в 0.1 0 05 О
-0 03 0.1 0.15 О 2
г|=о.оо1з, л=-о.от -------
б)
Рис. 5. График реализации постоянного «о времени сигнала (а) н его ^-функция (б) с показателями Ли 7.
Рис. 6. У,-функцни и аппроксимирующие прямые для линейно изменяющихся сигналов с объемом данных 1000 и
8000
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК ММ #7) 2010 РАДИОТЕХНИКА И СВ93Ь
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК М> 1 (87) ЗОЮ
Систематическая (ус) и случайная (у„) погрешности отметок шкалы /, при разных объемах выборки
Тип сигнала 7л. Могр. Объем выборки Макс. У,. % Макс. Ус*- % Макс У. %
100 200 500 1000 8000.
Н = 1 1,53 г,.% -2.28 -1.76 -1,17 -0,50 3,07 3.07 2.45 5.52
У».% 2,45 2,13 1.64 1,43 1,01
Н=05 1.26 У,,% -3.25 -3.09 -1,42 1,90 3,81 3.81 2.65 6.46
УгЛ 2,65 2.24 1,50 1.28 0,82
Н—0 0.86 У,.% 3.83 -2.79 -1.51 0,12 3.37 -3,83 3.00 6.83
Ус,.% 3,00 2.53 1,73 1,34 0.87
2МОД 0,57 7,.% 1,22 - 1,22 -2.10 -3.00 -3.70 -3,68 2.49 6.17
у„.% 2,49 2.12 1.66 1.18 0,75
АРКС 0,5 У,.% 1,40 0,20 1,00 0.40 1.80 1,80 2.78 4.58
УсЛ 2,78 2.56 1,84 1.46 0,96
РАВИ 0,47 У,-% -1.91 -3,61 0.21 1,91 2.77 -3.61 3,12 6.74
3.06 3,12 2.14 1.62 1,02
СИМП 0.43 у,.% -2.55 -2,09 -4.18 0,93 4.88 4.88 3,62 8,5!
РД*'» 3,62 3,11 2.37 1,77 1.14
НОРМ 0,41 у,.% -4,63 -4.63 -4,63 -1,20 0.49 -4,63 3,87 8,51
У„.% 3,87 3,48 2.56 1,93 1,24
РЕЛР. 0,4 Г..% -3.75 -0,25 -1.00 3.7Б 4,25 4.25 4,30 8,55
4.30 3,15 2.55 2.08 1,23
ЛАПА 0.38 у..% 1,57 0.26 -2,10 -1.80 -1.60 -2.10 4,52 6,63
У«,% 4,52 4,36 3.50 2.87 1.71
эксп 0,33 Уг.% - 3,93 0.60 -0,90 0,60 3.33 -3,93 4,57 8,51
У«д.% 4.57 4,45 2.84 2.67 1.67
КОШИ 0,05 vt.% 22 16 4 -22 -44 -44 32 76
У„.% 32 29 19.8 17 II
Значение Л.2 - параметров метода для линейно изменяющихся сигналов при разных объемах выборки
Таблица 3
N 100 500 1000 8000
А 5.83 5.59 5.20 3.65
2 1.20 1.23 1.37 1.79
Таблица 4
Список аналитических моделей, нанлучшнм образом описывающих V,-функций колебательных сигналов
№ модели ско Модель
1 0.1017496502 у-а-Ьо*л
2 0.101820777-1 у-а + Ье'
3 0.10436914а1) /‘“а+Ье’
4 0.10688200 И у^а+Ь/х2
5 0.1094635841 у = а + Ь/х*
... ... •1.
33 0.1513069936 у-а + Ьх'
...
45 0.1861125293 у = а + Ьх/япП(1 » (х/с|7)
... л»
48 0.1886763846 у—а + Ьх
...
6
5
4
З
2
<1
О
-1
*2
-З
-4
- —'■ т— ' т • _ і йгіи-іл 1 :
* 4
1 1 тч. 1 ' \ -*Ъсш=ю ♦ЗЄШ-10
1 1 \ 1 1 1
■ - - —г - - - - -
ррп=г...^н _♦ '-**ОСШ=Г(Г с>й1Г=10
0 0.5 1 1.5 г 2 2
Рис. 7. Плоскость параметров V-функций для смесей линейно изменяющихся сигналов и шума с разным ОСШ.
Стрелкой показано увеличение ОСШ
Рис. 8. Плоскость параметров Х'-функций для нелинейных сигналов с разным значением коэффициента с уравнения (5).
Стрелкой показано увеличение коэффициента с
4 3 2 1 <0 -1 -2 -3 -4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
г
Рис. 9. Плоскость параметров ^-функций для нелинейных сигналов с разными значениями множителя к и коэффициента с модели (5). Стрелкой показано увеличение параметра к
т—¥=ахр(АХ)- - г і і , г і
: _
^5 : !.
*=/</ ; ! :
!..... кф. 1 У^еЛр(кХ*)
і і 1 'К \ V 2уу^т-\-
і " і і
і і .. : вА=дг_:.
г
Рнс. 10. Плоскосгь параметров А^-функций для смесей нелинейных сигналов, описываемых уравнением У:=ехр(Х),
и стационарного шума с разным ОСШ.
Стрелкой показано увеличение ОСШ
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК Н» 1 (17) 2010 _______________________________________________________________________________РАДИОТЕХНИКА И СИЗЬ
Ьд(Ух)=Л+гЧд(Ы), (3)
где А — нокоторая постоянная для конкретного сигнала. Принимая Л=1'1д(а), в линейных координатах эта зависимость имеет пид:
(4)
Протестируем аналитическую модель (3) в зависимости от объема выборки исследуемого сигнала. Усреднения ведутся но 1000 реализаций. В табл. 1 представлены результаты тестирования и погрешности от изменения объема выборки, где <2> и <А> - средние значения коэффициентов, 70 - округленное значение (заметкаш капы ),Лг17 и уго— максимальная абсолютная и относительная погрешности отметки шкалы. ул — максимальная относительная погрешность Л. Па рис. 3 приведены сравнительные графики изменения 2 в зависимости от объема выборки N. На основании табл. 1 можно сделать следующие выводы:
1) наиболее определяющим при классификации является параметр 7., поэтому шкала метода градуируется в значениях этого коэффициента;
2) максимальная относительная погрешность отметок шкалы Х0 не превышает 7 % (для КОШИ — 34 %);
3) коэффициент А - отрицателен.
Учитывая, что анализируемые сип 1алы имеют случайных характер, оценим систематическую и случайную погрешности отметок шкалы 2а при разных объемах выборки. В табл. 2 представлены результаты исследований по 100 реализаций: у(, у.л — относительные систематическая и случайная погрешности, у— суммарная погрешность. Выводи:
1) для большинства отметок, кроме КОШИ, максимальная система тическая погрешность составляет менее 5%, а максимальная суммарная погрешность не превосходит 9 %;
2) для всех отметок систематическая и случайная погрешности приблизительно равны;
3) с увеличением объема выборки случайная погрешность уменьшается (рис. 4).
Исследование методом детерминированных сигналов и их смесей со стационарными случайными сигналами
Постоянный во времени сигнал. Из табл. 1 видно, что наименьшие значения 7. = 0.05 и А- — 0.27 имеет случайный сигнал с распределением КОШИ, практически не имеющий трендовой составляющей. Поэтому можно предположить, что не изменяющийся во времени сигнал имеет самое маленькое значение 2 и А. На рис. 5 показан график такого сигнала (а) и его ^-функция (б). Значения 2 и Л близки к нулю, что подтверждает наше предположение. Таким образом, нижнюю границу изменения 2можно принять за нуль, ч то соответствует постоянному во времени сигналу.
Линейно изменяющиеся сигналы и их смеси со случайными стационарными сигналами. Проанализируем линейно изменяющиеся во времени сигналы. Для этого найдем параметры ^-функций таких сигналов для разных объемов данных. В табл. 3 представлены коэффициенты А и 2 модели (3). На рис. 6 представлены характерные для линейно изменяющиеся сигналов ^-функции. Таким образом, линейно изменяющиеся сигналы имеют значения А>3 и /<2<2,
Выясним, как отображаются на плоскости ^-метода аддитивные смеси линейно изменяющихся сигналов и случайных стационарных сигналов (далее
пгумов) с разным отношением сигнал-шум (ОО П). Из рис. 7, на котором представлена плоскость параметров А и 2 для исследуемых сигналов с разным ОСШ, видно, что:
1) параметр А весьма чувствителен к наличию шума в сигнале;
2) с уменьшением ОСШ параметр А уменьшается;
3) при любом значении ОСШ 2<2;
4) дойдя до некоторого «критического» ОСШ = 10, параметр А увеличивается, параметр 2умен ыпается.
Нелинейные сигналы и их смеси со стационарным шумом. Исследуем зависимость параметров А и 2 от степени нелинейности сигнала. Для этого примем, что детерминированные нелинейные сигналы будут описываться показательным уравнением вида:
У =ЬкХ, (5)
где Ь, к, с — некоторые постоянные коэффициенты. Для простоты, в качестве Ь возьмем значение натурального числа и, изменяя значения коэффициентов к и с, выясним харак тер изменения параметров V-метода. На рис. 8 представлена динамика параметров А и 2в зависимости от показателя с в выражении (5), при этом к=\. На рис. 9 показано изменение параметров А и 2 в зависимости от показателя к в выражении (5) для разных значений с. Отсюда можно сделать следующие выводы:
1) с увеличением показателя с. описывающего нелинейный сигнал, параметр 2увеличивается, параметр А уменьшается;
2) изменение множителя показателя к степени уравнения (5), описывающего нелинейных сигнал, ведет к изменению практически только параметра А: с увеличением к уменьшается А и наоборот.
Чтобы выяснить, каким образом изменятся параметры ^-метода с увеличение шумовой компоненты в нелинейном сигнале, будем определят!, параметры А и 2 для смесей нелинейных сигналов и стационар-нот шума с разным значением ОСШ. Из рис. 10, на котором представлена плоскость параметров А и 2 для исследуемых сипталов с разным ОСШ, видно, что:
1) параметр А очень чувствителен к наличию шума в сигнале;
2) с уменьшением ОСШ параметр А уменьшается;
3) дойдя до некоторой) «критического» ОСШ = 10, параметр А увеличивается, параметр 2 уменьшается.
Исследование колебательных сигналов У^методом
Колебательными будем называть такие сигналы, которые находятся в ограниченном диапазоне значений, т.е. колеблются в заданных пределах. Выясним положение фрактальных линий колебательных сигналов на ^-плоскости и подберем модель, наилучшим образом описывающую эти зависимости. С этой целью для моделирования колебательных сигналов будем использовать аддитивную смесь синусоидального сигнала и стационарного шума с различным ОСШ: СИНУС (рис. 11а).ОСШ=1 (рис. 11б),ОСШ=ОЛ (рис.11в). Графики V--функций не линейные и имеют уропепь насыщения (рис. 12).
Найдем значения параметров модели (3). На рис. 13 представлены положения исследуемых сиг-I галов на плоскости А, 2-параметров для разных ОСШ. Таким образом, можно заключить, что:
1) параметр А чувствителен к наличию шума в сигнале;
І 1000 2000 3000 4000 5000 ^
в)
Рис. 11. Г рафики колебательных сигналов в виде аддитивных смесей: СИНУС (а), ОСШ=1 (б), ОС1Н=0.1 (в)
Рис. 12. Графики У,-функций колебательных сигналов: СИНУС, ОСШ=1, ОС1П=0.1 и их уровни насыщения (УН)
г
Рис. 13. Плоскость параметров Ут-функций для смесей колебательных сигналов и стационарного шума с разным ОСШ. Стрелкой показано увеличение ОСШ
Рис. 14. V,-функции колебательных сигналов в виде аддитивных смесей: сОСШ=3 и периодами 100,500 и 1000 точек.
Показаны квазипериоды ЛГ" и уровни насыщения (УН)
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (87) 2010
2) с уменьшением ОСШ параметр Л уменьшается;
3) при любом значении ОСШ 7<0.85;
4) дойдя до некоторого «критического» ОСШ = 1, параметр А практически не увеличивается, параметр 7 уменьшается.
Линейная модель (3) может оценить общие свойства таких сигналов, например, определить область существования на плоскости А, 7,-параметров, но она не в состоянии охарактеризовать индивидуальность каждою из них уровень насыщения ^-функции. Поэтому необходима другая модель, которая бы смогла описать эту особенность.
В табл. 4 представлен список аналитических моделей, наилучшим образом описывающих зависимости па рис. 12. Список отсортирован по минимуму среднеквадратического отклонения. Как видно из табл. 4, линейная модель занимает далеко не первое место в списке и не может описать особенностей колеба тельных сигналов. Поэтому уравнение (4), достаточно полно описывающее фрактальные и стационарные случайные сигналы, не приемлемо для описания фрактальных свойств колебательных сигналов. Наиболее простыми и точными моделями являются:
1) экспоненциальная
ШУя)=а,-Ь,с ;
2) степеїпіая
^9 (У^ар+Ь1>( 1д(Ы))Си ;
3) апериодическая
Ьд(Ух )-<*„ + ■
Ь.ШЫ)
(6)
(7)
(8)
1 +
ШН)
где а, Ь, с — коэффициенты моделей.
Из рис. 12 видно, что V,-функции колебательного сигнала нелинейные и имеют уровни насыщения, поэтому аналитическая модель должна характеризовать эту особенность, т.е. иметь некоторую асимптоту. Степенная модель (7) не имеет асимптоты и не может быть принята в качестве описывающей модели. Экспопенциальная модель (6) имеет асимптоту апериодическая (8) — ^д(Уя)=аи+Ьаса. Модель (6) более точна, т.к. ее средпсквадратическая погрешность примерно в 2 раза меньше, чем у модели (8). Отличительную особенность колебательных сигналов — уровень насыщения ^-функции — можно охарактеризовать одним коэффициентом ау а не тремя. Поэтому, для описания колебательных сигналов на V,-плоскости наилучшим образом подходит модель (6).
Выясним, можно ли оценить некоторую периодичность (назовет ее кназипериодичноетью N*1 колебательного сигнала. Для этого проанализируем ^-функции сигналов с заранее известными периодам и. Возьмем сигналы с ОС Ш — 3 и периодами 100, 500, ЮООточек. На рис. 14, который демонстрирует сравнительные графики У^-функций этих сигналов, видно, что кривые отличаются значениями Л/*, при которых они переходят в насыщение. Для сигнала с периодом 100 N15, для 500 — ЛГ^-525, для 1000 — N‘,^„=*1190. Таким образом, квазипери-одичность сигнала можно оценивать по точке перехода ^-функции в насыщение.
Выясним, каким образом можно с помощью экспоненциальной модели (6) оценить квазипериодич-
ность. Задача сводится к вычислению N'. Практически, в первом приближении N' можно вычислить следующим образом (рис. 15) :
— полученные экспериментальные точки V -функции аппроксимируются экспоненциальной зависимостью (6) —линия к\
— полученные экспериментальные точки V -функции аппроксимируются линейной зависимостью 1д(Уг)=аА+Ьл1д(N) — линия т;
— проводится каса тельная к к к параллельно т;
— т.к. угловой коэффициент касательной к функции в точке есть производи гая этой функции в точке, то
с,
г
с,
— решив это уравнение относительно Л/\ найдем значение квазипериода:
/у» _Ю-с.1п(6лс,/Л,)
19)
Про тестируем этот алгоритм. Для этого будем находить Л/' для синусоидальных сигналов с известными значениями периода Л/г. На рис. 1 б представлены результаты исследований: относительная погрешность не превышает 11 %.
Обобщим модель (6) на линейные 1^-функции, характеризующие фракталысые. детерминированные и случайные стационарные с шпалы. Функция (6) раскладывается в степенной ряд Маклорена и при са имеет вид:
14(Уя) = ая-Ь,+ ^-14(Ы). с.
(10)
Принимая а—Ь=А и Ь/с =2, уравнение (10) приводится к виду (3). Т.к. практически с7 не может быть равным со, то найдем условие, при ко тором экспоненциальное уравнение (6) приводится к линейному виду (3) с некоторой погрешностью. Пусть у=а—Ье х/г — исходная функция, которая раскладывается в степенной ряд Маклорена, 5 — заданная погрешность, /?п — остаточный член ряда, тогда исходную функцию можно представить суммой первых двух членов ряда а~Ь+Ьх/с с погрешностью 8 при условии:
5-х > я,
т.е.
_Ь Ь *
о—X >---------X
с 2с2
Учитывая, что 5 — погрешность, взятая по модулю, знак минус в правой части последнего неравенства можно не учитывать. При решении этого неравенства получается
с — >
26
Заменяя х на ід(ії) и с на с,, получаем требуемое условие для уравнения (6):
_£г >_!_
1-д(Н) 25-
(11)
Принимая 5 = 9% — максимальная суммарная погрешность отметок шкалы 7. (табл. 2) и учитывая, что максимальная погрешность достигается при Л/ равному полному объему выборки №мах), получаем условие перехода экспоненциальной модели (б) в линейную (3):
-------->5.5-
ЦК**»)
где — полный объем исследуемых данных.
(И)
Распределение погрешности по шкале У,-метода
Неколебательный сигнал с/1д(Ы^)>5.5 Колебательный сигнал с/1дОЯтт!<5.5
Тип сигналя Отметка шкалы г=ь/с. Систематическая относительней погрешность, % Случайная относительная погрешность, % Параметр Относительная погрешность, %
Макс Ср. квад Макс. Ср. квад Макс. С р.квад
Линейный 2 - - - - Для всех 10 5,9
11=1 1,53 3,0 1.9 2,4 1.8 N
Н=0.5 1,26 3.8 2.8 2,6 1.8
11=0 0,86 3.8 2,6 3,0 2.0
2МОД 0.57 3.6 2,4 2,4 1.7
АРКС 0.5 1.8 1.1 2,7 2,0
РАВИ 0,17 3.6 2,3 3.1 2.3
СИМП 0,43 4.8 3.2 3.6 2.5
НОРМ 0,41 4.6 3,6 3.8 2,7
РЕЛЕ 0,4 4,2 3,0 4,3 2,8
ЛАНЛ 0,38 2.1 Ц6 4,5 34
ЭКС11 0,33 3.9 2,3 4.5 3,4
КОШИ 0,05 44 25 32 23
Постоянный 0 - - -
Рнс. 15. Оценка квазипериода Л/’ Уг-методом. Линия ^-аппроксимирующая экспоненциальная зависимость, ш — аппроксимирующая линейная зависимость, И — касательная к к
О
-2
-4
-6
-8
-10
-12
Рис. 16. График относительных погрешностей определения квазипериода ЛГ колебательных сигналов У-методом
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТИМ К» 1 (ВТ) 8010 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ КСТНИК №1 «7> 2010
%
Рис. 17. Фрактальная идентификационная плоскость У,-мстода
Если э го условие выполняется, то иден тификацию сигналов можно проводить по параметрам линейной модели (3), при этом 2—Ь./су А=а—Ьу
Фрактальная идентификационная плоскость V-метода п ее метрологические характеристики
В табл. 5 представлен характер распределения погрешности при оценке параметра X. Суммарная случайная и систематическая погрешность не превосходит 9 % (кроме КОШИ), уровень случайной погрешности зависит от количества реализаций исследуемою сигнала (в табл. 5 приведено для 100 реализаций). Максимальная относительная погрешность при определении квазипериода у колебательных сигналов не превосходит 11 %.
По значению с., из (6) оценивается колебательность сигнала. Если с/1д(ЫШ№)>5.5, то сигнал не является колебательным и идентификация проводится по параметрам линейной модели (3), при этом 7=Ъ/су А—а —Ьу Если условие (11) не выноляется (сигнал находится в колебательной области на рис. 17), тогда оценивается квазипериод колебательного сигнала по формуле (9).
На рис. 17 представлена идентификационная плоскость ^-метода, разбитая на фрактальные области: колебательную, линейную, детерминированную, стационарную, квазистационарную, фрактальную, ультрафрактальную и ультралинейную. В колебательной области лежат сигналы, имеющие колебательный характер. В линейную область попадают сигналы с абсолютно линейной зависимостью, не имеющие шумовой компоненты. Детерминированную облает», занимают сигналы с четко выраженным детерминированным трендом. Стационарную область занимают случайные стационарные сигналы, не имеющие тренда. В квазис тационарную область попадают сигналы с неявно выраженной переменной трендовой составляющей. Во фрактальной области сигналы характеризуются наличием трендовой составляющей с переменным (0.8б<2< 1.26) и постоянным (1.2б<2< 1.53) трендом. В ультрафрак-тальной области сигналы имеют постоянный нелинейный тренд. В ультралинейной области сигналы характеризуются постоянным, ультрамонотонным трендом.
Рис. 17 проиллюстрирован сигналами с характерными формами для той области, в которой они расположены. Стрелками показана динамика фрак-
КОЛЕБА1ЕЛЬЙАЯ
Камшпфиод: :
. . ■ • • ■ : ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ ОБЛАСТЬ
УЛЬТРА-!
ФРАК-
ТАЛЬНАЯ
------<5.5
г)
)»«,-Ь,е с’
3-
тальных характеристик сигналов, в зависимости от изменения их формы. Широкой стрелкой показано движение сигналов на идентификационной плоскости V,-метода при увеличение в них шумовой компоненты (уменьшение ОСШ). Жирной пунктирной линией, расположенной под углом примерно в —45® относительно оси 2, показана критическая граница, дойдя до которой, сигнал, с увеличивающейся в нем шумовой компонентой, перестает «падать» и направляется в область стационарности.
Характерным свойством для линейных сигналов является то, что при уменьшении ОСШ они движутся до критической границы вдольлинии примерно С увеличением степени нелинейности ультрамоно-тонные сигналы смещаются впрапо вниз, а при увеличении в них уровня шума — стремятся вниз к критической границе. Умет.шение ОСШ в колебательных сигналах ведет к перемещению их п области стационарности или квазистационарности.
Заключение
1. Разработан фрактальный методи на его основе создана идентификационная плоскость, классифицирующая сигналы но их форме (рис. 17).
2. Физический смысл идентификационной плоскости в том, что она отображает форму сигнала или форму его характеристики.
3. Предложенная аналитическая модель (6) способна обобщить и классифицировать постоянные, стационарные случайные, фрактальные и детерминированные сигналы, позволяет выделить класс колебательных сигналов и оценить их квазипериодичность. Таким образом, решается задача фрактального анализа.
4. Для неколебательных сигналов максимальная систематическая погрешность шкалы не превосходит 9 % (для КОШИ — 44%), уровень случайной погрешности зависит от количества реализаций исследу-
емого сигнала. Максимальная шмрешиость определения квазинериода у колебательных сигналов не превосходит 11%.
5. Главным достоинством разработанного метода перед традиционными (метод Херста и Барроу) является то, что он способен выделить класс колебательных сигналов, оценить их периодичность и степень зашумленности, классифицировать стационарные случайные сигналы но их закону распределения, оценить степень линейности сигналов.
6. На основе ^-метода создана фрактальная идентификационная плоскость форм (рис. 17), которой не имеют традиционные фрактальные методы.
Библиографический список
1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрии природы / Б. Мандельброт. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. -656 с.
2. Пайтген. Х.-О. Красот.) фракталов. Образы комплексных динамических систем / Х.-О. Пайтген. П.Х. Рихтер; пер. сангл. -М.: Мир. 1993. - 176 с.
3. Федор, LL Фракталы/ Е.Федер; пор.сангл. - М.:Мир.1991. — 254 с.
4. Fractals and Chaos / Crilly AJ„ Eamshaw R.A., Jones H.. editors. - New York: Springer-Verlag, 1991. - 277 p.
5. Кликушин, Ю.Н. Основы идентификационных измерений / Ю.Н. Кликушин. В.Ю. Кобенко // Омский научный вест ник. - 2009. - No 2(80). - С. 174-179.
КОБЕНКО Вадим Юрьевич, кандидат технических наук, доценткафедры «Информационно-измеритель-наятехника».
Адрес для переписки: е-таіі: kobra_vad@rambler.ru
Статья поступила в редакцию 28.10.2009 г.
@ В. Ю. Кобенко
Книжная полка
Богачков, И. В. Основы радиоавтоматических систем [Текст): учеб. пособие для вузов по специальности 210402 «Средства связи с подвижными объектами - телекоммуникации» / И. В. Богачков, В. А. Майстренко; ОмГТУ. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009. — 175 с.: рис., табл. — Библиогр.: с. 161-163. — 978-5-8149-0784-4.
Учебное пособие содержит основные сведения из теории радиоавтоматических систем. Изложены принципы действия ОСНОВ1П.ІХ радиоавтоматических систем, методы анализа их устойчивости, оценки точности, качества работы и инженерного синтеза. Приведены примеры расчета характеристик радиоавтоматических систем, кончрольные вопросы, список рекомендуемой литературы, в приложении даны наиболее часто встречающиеся формулы.
Семёнов, И. И. Современные системы информационных каналов связи [Текст]: учеб. пособие / И. И. Семёнов, И. В. Богачков; ОмГГУ. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009. — 134 с.: рис., табл. — Библиогр.: с. 134. — ISBN 978-5-8149-0798-1.
Изложен и систематизирован ма териал, касающийся современных систем информационных каналов связи, включающий радиолинии различных диапазонов воли — от сверхнизких до ультракоротковолновых. Показаны пути построения и перспективы их развития на основе использования в каналах многопозиционных сверх ш ирокополос н ы х сигналов.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВССТНИК N* 1 »7) 2010 РАДИОТЕХНИКА И ClUb
