CC BY
29
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012
%
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
УДК 621.396:681.2 в. Ю. КОБЕНКО
Омский государственный технический университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ ИДЕНТИФИКАЦИОННОГО СЛОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ__________________________________
Представлены описание, технология выполнения и формализация операции сложения двух распределений случайных величин в пространстве идентификационного параметра. Ключевые слова: идентификация, идентификационные измерения, интеллектуальные системы, классификация, случайный сигнал, порядковая шкала.
Введение
При анализе сигналов часто возникает проблема, связанная с формальным описанием взаимодействия сигналов, например, в результате суммирования. Если математическая модель известна [1, 2], то такой проблемы нет, но чаще всего модель взаимодействующих сигналов неизвестна, поскольку сами сигналы могут носить случайный характер [3, 4]. В таком случае возникает вопрос — как получить подобную модель? Как, не проводя экспериментов аналитическим путем, предсказать результат взаимодействия сигналов, имеющих минимальное количество известных параметров? Данному вопросу посвящена настоящая работа.
Постановка задачи и методика исследований
Пусть даны реализации двух сигналов X(t) и Y(t) в виде распределения мгновенных значений (рис. 1) одинакового объема N. Известны энергетические характеристики сигналов в виде значений их разма-хов Ях и Яу. Примем за отношение размахов сигналов параметр ОЯ=Я/Яу. Известны значения идентификационных параметров сигналов NFx и NFy, найденных в соответствии с алгоритмом, описанным в [5, 6].
Задача состоит в том, чтобы, не проводя никаких экспериментов над исходными реализациями X(t) и Y(t), идентифицировать суммарный сигнал по шкале NF, т.е. найти отображение аддитивной суммы
NF =f(NF, NF , OR).
sшm ' x y' '
(1)
в) выполняются п.п. 1—7 для выбранной математической модели и находятся ее коэффициенты для каждой суммы Х(1) при фиксированном параметре МРу:
NF
(NFy)=f(OR, A, B, C, D, E, F),
(2)
где А, В, С, Б, Е, Р — коэффициенты модели, зависящие от NFx;
г) для каждого коэффициента А, В, С, Б, Е, Р находится математическая модель, как функция от NFx;
д) для каждого коэффициента моделей A=f(NF),
в=ї(тх), c=f(NFx)l о=ї(тх), Е=ї(тх), Р=ї(тх)
находится своя математическая модель, как функция от ^у.
9) Таким образом, общая формула для вычисления NFsшm будет иметь вид:
т =ї(оя, ашр.ш), вшр.ш), стр.т),
вшш ' ' ' х уп \ х у'’ ' х у
D(NFx,NFy), E(NFxfNFy), F(NFxfNFy))
xy
(З)
Рис. 1. Технология сложения реализаций двух сигналов Х(Ь) и У(Ь) объема N во временной области.
І(і) — результат сложения
Z(t) = X(t) + Y(t) в пространстве NF аналитически по формуле:
Определение математической модели и ее коэффициентов дает возможность формального описания операции суммирования двух распределений сигналов в пространстве идентификационного параметра МР.
Методика проведения исследований заключается в следующем.
1) Для большей достоверности и статистической устойчивости результатов исследований реализации суммируемых сигналов X(t) и У(1) будут получены с помощью генератора случайных стационарных сигналов с заданным законом распределения [7, 8].
2) Определяются значения Ях и Яу.
3) Задается значение отношения размахов ОЯ и реализация сигнала У^) трансформируется так, чтобы получить Я = ОЯ • Я .
ух
4) Находятся значения идентификационных параметров МР и МР .
ху
5) Формируется реализация суммарного сигнала Z(t) = X(t)+ Y(t). На рис.1 показан алгоритм нахождения мгновенных значений zi = х+ у,, 1 • I • М.
6) Находится значение идентификационного параметра МР суммарного сигнала Z(t).
7) После многократного повторения п.п. 1—6 при различных значениях ОЯ для выбранной пары сигналов получается зависимость МРзиш=1(ОЯ), для описания которой подбирается математическая модель.
8) Определяются коэффициенты математической модели следующим образом:
а) закон распределения одного из сигналов фиксируется, например Y(t), а значит, фиксируется МРу;
б) находятся суммы Y(t) с другими X(t), законы распределения которых меняются;
Технология проведения исследований
Для проведения исследований операции идентификационного сложения был разработан программный продукт [9].
В качестве тестовых сигналов были взяты случайные стационарные сигналы с ограниченными законами распределения двумодальный (2МОД), аркси-нусный (АРКС), равномерный (РАВН), треугольный (СИМП), трапецеидальный с NF=33 (ТР33), трапецеидальный с NF=43 (ТР43), имеющие хорошую повторяемость параметра NF (согласно [5, 6]) и нормальным законом распределения (НОРМ), являющийся неограниченным. Объем каждой реализации N=10 000, количество усреднений результатов суммирования — 2 000, диапазон изменения отношения размахов OR от 0,001 до 1000.
Чтобы определить математическую модель, описывающую зависимость NFsum=f(OR), просуммируем реализации сигналов в различном сочетании и представим результат на одном графике. Причем для большей наглядности ось OR логарифмируется. На рис. 2, 3 показаны характерные экспериментальные зависимости NFsum=f(lg(OR)) при различных фиксированных законах распределения одного из слагаемых. На рис. 4 показаны характерные экспериментальные зависимости NF =f(lg(OR)) при сложении двух реализаций случайных сигналов с одинаковыми законами распределения.
С помощью программы TableCurve Windows фирмы Jandel Scientific в первом приближении была найдена математическая модель, хорошо описывающая особенности зависимости NF =f(lg(OR)) и имеющая достаточно понятные, из геометрических соображений, коэффициенты:
' С - lg(OR)'
NF =
sшm
exp\
A + 4B
^l + exp| Ig(OR) < C
E + 4(A + B - E)
D
C - Ig(OR) D
exp\
C - Ig(OR)
l + exp\
c - Ig(OR) F
(4)
[Ig(OR) > C
где A, B, C, D, E, F — коэффициенты модели.
2
F
2
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012
полученные в результате суммирования 2МОД распределения с 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП, ТР33 и НОРМ распределениями
НОРМ
ТР33
1
СИМП
РАВН
АРКС
2 МОД
|д(ою
Рис. 3. Экспериментальные значения №Ршт, полученные в результате суммирования СИМП распределения с 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП, ТР33 и НОРМ распределениями
Рис. 4. Экспериментальные значения М^, полученные в результате парного суммирования 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП и ТР43 распределений
Рис. 5. График модели (4) и влияние динамики коэффициентов модели на форму графика
Таблица 1
Коэффициенты модели (4) для сумм различных распределений
Распределения Коэффициенты
№у А В С В Е Р
2МОД + 2МОД 4,04 3,87 0,0014 0,334 4,04 0,335
АРКС 4,05 7,87 0,293 0,343 8,06 0,329
РАВН 4,06 11,9 0,451 0,344 12,1 0,333
СИМП 4,06 23,1 0,695 0,345 23,4 0,332
НОРМ 4,05 49,1 0,95 0,345 53,3 0,333
АРКС + 2МОД 8,06 3,86 -0,293 0,327 4,04 0,342
АРКС 8,08 7,75 0,0015 0,335 8,06 0,334
РАВН 8,09 11,6 0,173 0,340 12,1 0,329
СИМП 8,09 21,8 0,445 0,345 23,4 0,308
НОРМ 8,05 45,2 0,783 0,354 53,3 0,300
РАВН + 2МОД 12,0 3,89 -0,453 0,329 4,06 0,345
АРКС 12,1 7,61 -0,173 0,327 8,09 0,341
РАВН 12,1 11,1 0,001 0,329 12,1 0,329
СИМП 12,1 20,28 0,295 0,342 23,4 0,299
НОРМ 12,0 41,3 0,673 0,344 53,3 0,301
СИМП + 2МОД 23,4 3,82 -0,691 0,333 4,07 0,343
АРКС 23,4 6,59 -0,444 0,301 8,09 0,344
РАВН 23,4 8,97 -0,282 0,297 12,1 0,337
СИМП 23,4 15,5 -0,009 0,296 23,4 0,304
НОРМ 23,3 30,6 0,419 0,329 52,8 0,318
ТР33 + 2МОД 33,2 3,57 -0,802 0,374 4,07 0,340
АРКС 33,2 6,27 -0,578 0,316 8,09 0,346
РАВН 33,3 8,58 -0,427 0,307 12,1 0,339
СИМП 33,4 14,5 -0,155 0,309 23,4 0,307
ТР33 33,2 19,6 0,011 0,288 33,2 0,286
ТР43 33,2 25,0 0,094 0,276 43,1 0,301
НОРМ 33,2 27,7 0,213 0,335 53,1 0,169
ТР43 + 2МОД 43,2 3,11 -0,886 0,309 4,06 0,339
АРКС 43,2 5,29 - 0,666 0,305 8,12 0,341
РАВН 43,2 7,80 -0,547 0,302 12,0 0,345
СИМП 43,2 12,7 -0,283 0,310 23,3 0,314
ТР33 43,2 15,1 -0,143 0,253 33,2 0,299
ТР43 43,2 18,51 0,022 0,290 43,2 0,264
НОРМ 43,2 22,86 0,056 0,316 53,2 0,195
НОРМ + 2МОД 53,3 0,330 -0,983 0,330 4,06 0,347
АРКС 53,3 0,332 -0,782 0,332 8,06 0,350
РАВН 53,3 0,335 -0,674 0,335 12,0 0,355
СИМП 53,3 0,341 -0,486 0,341 23,3 0,360
НОРМ 53,3 0,340 0 0,340 53,3 0,357
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012
Коэффициенты а& Ь& ас, Ьс, Сс ао Ьо аР, Ь уравнения (5)
Распределение (ДГ) 2МОД (4) АРКС (8) РАВН (12) СИМП (23,4) ТР33 (33,3) ТР43 (43,2) НОРМ (53,3) т?у)
в ав 0,73 1,12 1,67 2,25 2,34 2,50 3,11 1 а 0,376 + 9,76/ ДГу1'5
Ьв 0,92 0,85 0,75 0,54 0,50 0,38 0,21 Ьв = 1,018-0,019ДГу
с ас -2,96 -3,16 -6,33 -2,29 -2,79 -2,44 - 1,36 ас = - 3,25 + 0,0272ДГу
Ьс 2,58 2,44 5,34 1,20 1,59 1,20 0,187 Ьс = 2,71 -0,043ДГу
Сс 0,106 0,122 0,068 0,204 0,159 0,186 0,5 сС = 0,09 + 0,0024ДГу
в ап 0,345 0,330 0,327 0,324 0,350 0,310 0,336 ап = 0,337
Ьп -0,00008 0,0005 0,0004 -0,0015 -0,0018 -0,0004 -0,0002 Ьп = 0,00014-0,00006ДГу
¥ аГ 0,333 0,350 0,357 0,358 0,350 0,360 0,356 аг = 0,355
Ьг -0,00006 -0,0017 -0,0025 -0,0022 -0,0015 -0,0020 -0,0009 Ьг = —0,0012—0,00002NFy
Таблица 3
Систематическая (бс) и случайная (бел) относительные погрешности выполнения операции идентификационного сложения с доверительной вероятностью 0,95 (усреднение по 1000 реализаций)
2МОД АРКС РАВН СИМП ТР43 НОРМ
2МОД 5с, % 3,34 1,88 1,68 0,73 -2,28 - 1,56
5сл, % 0,09 0,08 0,09 0,08 0,07 0,16
2с, % 5,9 5,2 6,2 5,5 4,5 10,5
АРКС 5с, % 1,88 -0,01 - 1,03 - 1,09 -6,35 0,21
5сл, % 0,08 0,04 0,04 0,04 0,12 0,19
2с, % 5,1 2,71 3,12 3,11 7,7 12,1
РАВН 5с, % 1,68 - 1,03 - 1,67 - 1,72 -7,27 -0,70
5сл, % 0,10 0,05 0,04 0,06 0,17 0,18
2с, % 6,2 3,12 2,72 4,0 10,8 11,6
СИМП 5с, % 0,73 - 1,09 - 1,72 - 1,16 -9,79 -5,31
5сл, % 0,08 0,05 0,06 0,11 0,24 0,25
2с, % 5,5 3,04 3,98 6,8 15,4 16,2
ТР43 5с, % -2,28 -6,35 -7,27 -9,79 0,51 1,61
5сл, % 0,07 0,12 0,17 0,24 0,30 0,24
2с, % 4,5 7,7 10,8 15,4 19,3 15,3
НОРМ 5с, % - 1,56 0,21 -0,70 -5,31 1,61 -0,75
5сл, % 0,16 0,19 0,18 0,25 0,24 0,49
2с, % 10,5 12,1 11,6 16,2 15,3 31,2
На рис. 5 представлен график модели (4) и влияние изменения коэффициентов модели на форму графика. Данная модель может иметь как «выпуклый» (В, Б, Г > 0), так и «вогнутый» (В, Б, Г<0) график. Знаки « — » и « + » означают уменьшение или увеличение значения соответствующего коэффициента модели. Стрелочки показывают изменение формы графика при изменении коэффициентов. Коэффициенты А и Е — асимптоты графика, С - характеризует положение вершины, Б и Г определяют степень крутизны графика вблизи его вершины. Для «выпуклого» графика увеличение значений коэффициентов Б и Г делает график более плавным и пологим, уменьшение — более крутым. Для «вогнутого» графика увеличение значений коэф-
фициентов Б и Г делает график более крутым, уменьшение — более пологим.
Очевидно, что зависимости, представленные на рис. 2 — 4, в большей степени напоминают «выпуклый» график модели (4), поэтому и дальнейший поиск коэффициентов модели будет осуществляться именно для такого графика.
В табл. 1 представлены значения коэффициентов модели (4) для сумм различных распределений. Для каждого коэффициента А, В, С, Б, Е, Г находится математическая модель, описывающая его изменение в пределах каждой суммы с одинаковым распределением одного из слагаемых (ДГу) в зависимости от ДГх, но для одного и того же коэффициента это должна быть единая модель. В первом приближении
были выбраны наиболее простые модели коэффициентов А, В, С, Б, Е, F:
а = ту,
С ■■
Е = МРХ,
(5)
Для каждого коэффициента уравнения из (5) находится функция от NFy: aB=f(NFy), bB=f(NFy), ас=№Ру), Ьс=1(^т), сс=1(^у), ав=1(^т), Ьв=1(^т), а¥=^у), Ьр=Ц^у) (табл. 2).
Таким образом, вычислив значения аВ, ЬВ, ас, Ьс, сс, ас, Ьс, ае, Ьр по формулам из табл. 2, найти коэффициенты А, В, С, Б, Е, F по формуле (5), полученные значения подставить в формулу (4) и вычислить , „.
Метрологические характеристики операции идентификационного сложения
Чтобы проверить правильность выполнения операции идентификационного сложения двух реализаций сигналов Х^) и Y(t) в пространстве параметра NF, найдем погрешность вычисления NF , при этом за истинное значение примем значение параметра NFo, найденное для суммарной реализации Z(t) (рис.1). Определим систематическую *с и случайную • сл относительную погрешность ее среднеквадратическое отклонение (СКО) • [10]. Объем каждой реализации N =10 000, количество усреднений результатов суммирования — 1 000, диапазон изменения отношения размахов ОЯ от 0,001 до 1000. В табл. 3 представлены данные о распределении относительной погрешности выполнения операции идентификационного сложения для 2 МОД, АРКС, РАВН, СИМП, ТР43 и НОРМ распределений с доверительной вероятностью 0,95.
Выводы
На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы.
1) Введена операция идентификационного сложения, выполняющая сложение двух распределений случайных величин в пространстве идентификационного параметра NF, формально данную операцию можно записать так:
2) Систематическая относительная погрешность выполнения операции идентификационного сложения не превосходит 10 %, для ограниченных распределений 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП — менее 4 % (табл. 3).
3) Случайная относительная погрешность выполнения операции идентификационного сложения не превосходит 0,5 % при количестве усреднений 1 000.
Библиографический список
1. Хан, Г. Статистические модели в инженерных задачах / Г. Хан, С. Шапиро. - М. : Мир, 1969. - 395 с.
2. Губарев, В. В. Вероятностные модели: справочник. В 2 ч. / В. В. Губарев ; Новосиб. электротехн. ин-т. — Новосибирск, 1992. — Ч. 1. — 198 с. Ч. 2. — 188 с.
3. Петров, В. В. Суммы независимых случайных величин / В. В. Петров. — М. : Наука, 1972. — 416 с.
4. Дюге, Д. Теоретическая и прикладная статистика / Д. Дюге. — М. : Наука, 1972. — 384 с.
5. Кликушин, Ю. Н. Классификационные шкалы для распределений вероятности. [Электронный ресурс] / Ю. Н. Кликушин // Журнал радиоэлектроники / М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2000. — № 11. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 01.02.2012).
6. Кликушин, Ю. Н. Фрактальная шкала для измерения распределений вероятности. [ Электронный ресурс]. / Ю. Н. Кли-кушин // Журнал радиоэлектроники / М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2000. — № 3. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru (дата обращения: 01.02.2012).
7. Генератор случайных сигналов с заданным законом распределения / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко. — М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во № 17515 от 25.10.2011, ВНТИЦ № 50201151369.
8. Генератор случайных сигналов с регулируемым трапецеидальным законом распределения / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Ко-бенко. — М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во № 17514 от
25.10.2011, ВНТИЦ № 50201151370.
9. Система статистического анализа идентификационной суммы сигналов в пространстве КБ / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Ко-бенко. — М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во № 17722 от
22.12.2011, ВНТИЦ № 50201151578.
10. Новицкий, П. В. Оценка погрешностей результатов измерения / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. — Л. : Энергоатом-издат, 1985. — 248 с.
№-™(+)№уж2> = ЫР1и
где символом ( + ) обозначена сама операция.
КОБЕНКО Вадим Юрьевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Информационно-измерительная техника».
Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.
Статья поступила в редакцию 13.02.2012 г.
© В. Ю. Кобенко
В = ав + Ь„МЕХ
ас + ьсмС'
О = ав + ЬВЫРК
Р = аР + ЪРИР
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
