CC BY
6Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского
серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика» Том 22(61) № 1 (2009), с. 36-52.
О. А. Дудик
ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ И НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА С ПОЛОСТЬЮ, ЗАПОЛНЕННОЙ СИСТЕМОЙ ИЗ КАПИЛЛЯРНЫХ ВЯЗКИХ
ЖИДКОСТЕЙ
В работе рассматривается задача о малых движениях и нормальных колебаниях маятника с полостью, заполненной системой из капиллярных вязких жидкостей. Доказана сильная разрешимость исследуемой гидросистемы. Приведена асимптотика собственных значений и доказана теорема о базисности Абеля-Лидского системы корневых элементов. Доказано также обращение теоремы Лагранжа об устойчивости.
В работе рассматривается пространственная задача о малых движениях и нормальных колебаниях тела с полостью, заполненной системой из капиллярных вязких жидкостей. Доказана сильная разрешимость исследуемой начально-краевой задачи. Приведена асимптотика собственных значений и доказана теорема о базис-ности Абеля-Лидского системы собственных и присоединенных элементов. Получено также обращение теоремы Лагранжа об устойчивости.
1. Постановка задачи. Закон баланса полной энергии системы
Будем считать, что пространственный маятник с полостью, заполненной системой из т + 1 капиллярных вязких жидкостей, совершает малые движения относительно неподвижной точки О, являющейся точкой подвеса. Наряду с неподвижной системой координат 0у1у2уз введем подвижную систему Ох 1X2X3, жестко связанную с телом и расположенную так, что ось Ох3 проходит через центр масс С в состоянии покоя.
Учитывая действие однородного гравитационного поля д = -дв,3, малого момента внешних сил М(Ь) и малого внешнего поля массовых сил fk(Ь, х), а также
используя введенные в [1], [2] обозначения, сформулируем полную математическую постановку исследуемой задачи:
du (djj \
Pk"¡9^+Pfc ( ~di X / +VPfc = AUfc+Pkfk, divufc = 0 (в Qfc; k = 1,m + 1), (1)
uk = 0 (на Sk; k = 1, m + 1), Uj+i = uj (на Г,; j = 1, m), (2)
Pj - Pj+1 + 2v (p0u3,3 - P0+iU3+3^ = -LjО - (Pj - Pj+1) g X r) ■ ез :=
:= Oj Apj (j - (Tj ((kj)2 + (k2)2) Cj + (Pj - Pj+i) g cos Cj- (3)
- (Pj - Pj+i) g X r) ■ ез (на rj; j =
dC, • _
— = иП := uj ■ nj = uj+i ■ nj (на rj; j = ^ m) (4)
zj dr j
J ZjdFj = 0, Zj = 0 (на дГ,; j = 1, m), (5)
VP0 (j + Ц,*) - vP0+i j + j ^ = 0 (на Г,; j = 1^; i = 1, 2), (6)
m+i " ^ "(¿j
^ Pkdi (r X uk)d^k + + aw + mg^^-
m .
-g E (Pj - Pj+i^ (e3 x r)Zj"Г, = M(t), (7)
dP^ D „ d , ,,
—— = P2W, -77О3 = (з, (8
dt dt
г4(0,ж) = 0(ж) (ж € 0к; к = 1, т + 1), О (0,0= С"(С) (С € Г,-; ; = 1,т),
__(9)
¿5(0) = ¿0, ¿(0) = й0, = й0+1 (на Г,; ] = 1, т). (10)
Здесь рк — плотность жидкости, занимаемой область 0к, к = 1,т + 1; рк — фиксированная величина размерности плотности; V > 0 — средняя кинематическая вязкость системы; г4(¿, ж) — поля скоростей жидкостей, (¿,ж) — динамические давления, щк — ковариантная производная вектора и- по переменной Ск; ст, > 0 — коэффициент поверхностного натяжения на границе двух соседних жидкостей; к1, к2 — главные кривизны равновесной поверхности Г, = 1,т); 2 ^ ^ ^ Р2й = X] — проекция вектора й на плоскость Ож1ж2 (й = Р2й + ¿3, ¿3 = ¿3е3);
т+1
г = ж1е1 + ж2е2 + ж3е3 — радиус-вектор точки области 0к, Б = У Бк — тверда
дая стенка сосуда 0; С,(¿, С), С = (СъС2) € Г,, — функции, заданные на Г, и
определяющие отклонения вдоль нормалей п? к Г возмущенных движущихся по-
т+1
верхностей Г? (Ь) от невозмущенных поверхностей Г?; т := тт + ^ (тж)к — мас-
к= 1
т+1
са всей системы, равная сумме массы тела тт и массы всех жидкостей ^ (тж)к,
к= 1
т+1
(тж)к = рк I; < := <т + ^ (<ж)к > 0 — тензор инерции тела ,1т и тензор инер-
к= 1
__3
ции жидкостей (</ж)к (к = 1, т + 1), и = ^ ^гвг — вектор угловой скорости всей
1=1
системы.
Таким образом, задача о малых движениях маятника с полостью, заполненной системой из капиллярных вязких жидкостей, состоит в решении уравнений Навье-Стокса (1), уравнения момента количества движения (7) при краевых условиях (2)-(6), а также кинематических связей (8) и начальных условиях (9), (10).
Прежде чем исследовать задачу (1)-(10), установим закон баланса полной энергии для ее классического решения. С этой целью умножим обе части уравнения (7) на и (скалярно в М3), а обе части (1) на йк и проинтегрируем по Ок, приходим к закону баланса полной энергии в дифференциальной форме:
1 7 ■ т+1 /■ т+1
1 а |
2 аь рк
/по-г± /* i
|йк12аОк + 2 ^ Рк (и хг) ■ йкйОк + /|и|2 1 +
г=к о г=к о
1 а I т с
+2 ^ \Е] |УГ о I2 + «Г ю I2] аг? + тд^2+
2 аь 1 1 ? | ? | Г; ^ ? и^?
?=1Г
+2д Е(р? - л) Ыб х Г) ■ в^ С?аг? 1 = (11
?=1
т+1
'т+1
^ ^кЕк(йк,йк) + а|и|2
. %=к
± Л
рк ¡к ■ йкаОк + М(ь) ■ и 1=к п к где билинейный функционал
т
Е (и,и):=^ ^кЕк (Ик,Ук) , (12)
к= 1
1 г 3 / дик дик У , Л
Екем):=2У Е (4 + ? а°к. (13)
Пк
<Ы = 1
В (11) первое слагаемое слева в фигурных скобках есть удвоенная кинетическая энергия системы, а слагаемое во вторых скобках — ее потенциальная энергия.
Справа стоит выражение, равное мощности внешних сил, действующих на систему, и скорости диссипации энергии за счет вязкости жидкости и трения в шарнире.
2. Переход к задаче Коши для системы
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Исследование задачи (1)—(10) будем проводить методами функционального анализа, в частности, методами теории дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, теории полугрупп операторов.
Будем считать, что наборы векторных полей скоростей жидкостей V = (Ufc(t,*)}^1 при каждом t являются элементами гильбертова пространства ¿2(0), ортогональное разложение которого аналогично разложению пространства вектор-функций L2(0) (см. [3], с. 106):
¿2(0) := j0,s(0) Ф Go,r(0), (14)
(0) := jV е ¿2(0): divVfc = 0 (в 0fc), ■ n = 0 (на ), Vj ■ п? = ■ п? (на Г)} , (15)
Go,r(0):={w = {w}£=+ е ¿2(0): w = V^fc (в 0fc), k = 1,m + 1, Pj pj — Pj+1 1 = 0 (на Г?), j = 1,m}. (16)
При исследовании проблемы малых движений рассматриваемой гидромеханической системы нам понадобится плотное в jo,s(0) пространство
J0S(0) := {V = {-Ufc(ж)}^1 : divUfc = 0 (в 0fc), Ufc = 0 (на Sfc),
(Uk, ) < ^ (k = 1, m + 1), Uj = 1 (на г?; j = 1, m)} (17) со скалярным произведением
m+ 1
(V,V)ji (п) := E Efc (Ufc). (18)
' fc=1
Далее, введем ортопроекторы ö? : L2(r?) ^ L2>rj (L2>rj := {pj е L2(r?) : (Pj, 1г,)o = 0}) и операторы в? := ö?Lj%, D(Bj) = я2(Г,-) п HO^j) П L2,rj. С учетом соотношения
Pj — Pj+1 = Pj — Pj+1 (на rj), J (Pj — Pj+1) drj = 0 (j = lÄ (19)
rj
преобразуем группу динамических условий (3):
Pj — Л + 2v рМз — p0+1u3,31 = —BjCj — (Pj — Pj+1 (p2^ x r) - es (на rj).
(20)
Будем считать, как и в [2], что наборы функций V := {г4(t, x)}fc=+11, VPP = VPp(t, ж) = {p-1 Vp4:=1 , т.е. решения задачи (1)-(10), при каждом t являются
элементами гильбертова пространства (14). Тогда уравнения (1) можно записать в виде одного уравнения в гильбертовом пространстве ¿2(0):
ди duu . \ г / \
Ж + Tt х r = -vv +v H +f, (21)
где
)m+1 \ (o° }m+1
, V (ДИ := v\Pk u4 , (22)
nfcJ k= V У lpk Jk=1
du (du
— х r := < — x r dtdt
7:= {fi(t, ж)}, V := {p-1 vPfcм^1. (23)
Далее предполагаем, что все слагаемые в (21) являются функциями переменной t со значениями в гильбертовом пространстве ¿2(0).
Как следует из уравнений и граничных условий проблемы (1)—(10), а также определений подпространств (15), (16), для ее решений выполнены свойства
v(t, x) е Jo,s(0), VPv е 0с,г(0) Ф Ghs(0) =: G(0), (24)
где
im+i
GhsS(0) = {v = (Vfc(x)}m+11 е ¿2(0): vk = V<pk, AVk = 0 (0fc), k = l,m + 1,
= 0 (Sk ) ^ = ^jf ^ j (РЗ ^ - )drj =0, j Pm+1Vm+1 drj = °}.
rj Гт
(25)
Представим потенциальное поле Vp p в виде
^ ^ ^ ^ ( 1 1 m+1 v Vp V = V к + Vp Vp к = ^ — VKk (t,x)} е Go,r(0)
lPk J k=1
(26)
к=1
—— Г 1 1т+1 -
Ур У = ^ — ^к(Ь,хП е С^я(О), (27)
I рк J к=1
и введем ортопроекторы Ро,я и Ро,г на подпространства ¿о,я(О) и Со,г(О) соответственно (см. (14)-(16)). В результате действия этими ортопроекторами на обе части уравнения (21) имеем:
йй й (аи
йо,5 "ТТ" X Г I = -\/р у + УРоя 1 + Ро
dt + P^O'^du х rj = - V + VP0,S H + P^O-Sfv (28)
Po,r ( x П = -VTK + vPo,r R + Po,г f. (29)
Отсюда следует, что если поля й, f и вектор и известны, то поле \р к находится непосредственно из (29); в то же время это поле не входит в (28), а также в условия (20). Поэтому в дальнейшем рассматриваем начально-краевую задачу (7), (28), (20), (2), (4)-(10).
Воспользуемся теперь методом вспомогательных задач С.Г. Крейна (см., например, [3], с. 277-280). Представим решение исследуемой задачи в виде
и = и + г?, (30)
где функция ? = (г/к }£=! = V-1А-1/„, /„ := —^и/^ -
х ^ + Я,,*/, и функция ги = (г^ = v-lUгU, г? :=
Г Г ^ -.11 т+1
< — В— (р^ — Р^+Од^ х г) ■ ез ^ , являются решениями первой и
I- I- 1 Л к=1
второй вспомогательных задач С.Г. Крейна соответственно.
Отметим, что оператор второй вспомогательной задачи С.Г. Крейна ограниченно действует из (и 1/2(Г) П ¿2,г) * =: (Н^2)* = Я-1/2 в м1(О) С «0,*(О).
Отметим также, что оператор А первой вспомогательной задачи С.Г. Крейна является оператором гильбертовой пары пространств * (О); «о* (О)^; при этом
0 < А-1 — компактный оператор, а собственные значения (А)| положительны и имеют асимптотическое поведение
т+1 о
1 ра
Afc(A)= c-f2/3k2/3[1 + o(1)] (k ^то), C;f -lQ«l > 0- (31)
П a=1 Pa
Введем в пространстве Jq ^(О) его подпространство
NVi(Q) := {С е «Л1,s(О) : СпС = {(V, ■ Й,^ }= о} , (32)
а также ортогональное дополнение Mi (О) :
J0>S(О) = D(Al1/2) = NVi(O) ф Mi(O), dimNVi(O) = то. (33)
Опираясь на (33), введем ортогональное разложение
J0,S(О) = Afi/2 (О) = NVo(О) ф М0(О) := Aii/2NVi(0) ф Aii/2Mi(О). (34) Далее введем обозначения:
р := diag (pfc 4)m=iii, др := diag ((р,- Р,+1) )m=i,
С := 1С,(t)>m=i е L2,r := Ф^^г,, c:= diag{%}m=i, B := diag{B,}m=i.
Тогда взамен задачи (7), (28), (20), (2), (4)-(10) возникает задача Коши для следующей системы дифференциально-операторных уравнений:
dc d-c С (dw А - С С . ,
Я + ^ + ^Ж Х Г) + = ^/, (35)
^ + 1c B СП (С + wc) + g ДрС С [(P2W х r) ■ ез] = 0, (36)
а г а и _ (
й— [Г х (й + и)] аО + I— + аи + тд1Р2б - дАр (Г х МГ = М(Ь), (37)
аь у аь у
ПГ
- йп (й + гй)=0, -р2- = Р2и, -¿3 = и3, (38)
аь аь аь
гй(0) = гй\ й(0) = Р\ й(0) = Р, -(0) = бо, и(0) = ио. (39)
3. Теорема о сильной разрешимости Введем в рассмотрение следующие операторы
Я := рпА-1/2 : ¿о,я(О) ^ И^2, Я* := А:1/2р : Я-1/2 ^ Мо(О) С </о,я(О), (40) а также неограниченный положительно определенный оператор
В := (й*вйст Я |Мо(П), V(B)= П(Б-1) С Мо(О), Я(5) = Мо (О). (41)
Отметим, что оператор В имеет дискретный спектр и его собственные значения
^ 1 те
^к (В) имеют степенную асимптотику (см. [4]):
к=1
/ т \ -1/2
^к (В)= а? ^ | к1/2 [1 + о(1)] (к (42)
Известно, что операторы Я и Я* взаимно сопряжены и компактны (см., например, [3], с. 282), оператор Ва положительно определен в ¿2,г, а оператор В1 := А-1/2В11/2 : М1(О) ^ М1(О) "подобен" оператору В. Введем также ортопроектор Р : <о,я(О) ^ Мо(О) и операторы
Я := В1/2РА-1/2 : «То,я(О) ^ Мо(О), Я+ := А-1/2РВ1/2 : Р(В1/2) ^ М1(О).
(43)
Операторы Я и Я+ обладают свойствами (см. [4]):
Я е ете(<7о,я(О); Мо(О)), Я+ = Я* ^(В1/2), Я+ = Я*. (44)
С помощью введенных операторов осуществим в задаче (35)-(39) следующие формальные преобразования, позволяющие перейти от нее к задаче Коши для абстрактного параболического уравнения. Осуществим в этой задаче замену
гй = V-1Я+й, й е Р(В1/2) С Мо (О), (45)
и учтем соотношение
а (Я+й)=я* -р. (46)
аь\ ) аь у 7
В итоге приходим вместо (35)-(39) к системе уравнений и начальных условий, которые для искомого объекта
х = (Р; Р; и; р; Р2-) е ««о, я (О) Ф Мо(О) ф С3 ф ¿2,Г Ф С2 =: Н (47)
можно представить в виде задачи Коши
„о
А^ + Вх = /(*), х(0) = х0, /(*):= (Яо,*/; 0; М(*);0;^ * / 5 + V-1К*? + яРО,*(й х г) \
(48)
Ах =
р/Г х (и + V-1К*?) + /й
Вх =
и
(49)
В1/2А11/2 (V + V-1А-1/2В1/2;г) + дрВ-1/2Р<3* 5(Р2й х г) ■ вз
ай + шд1Р2£ — др /(вз х г
—5п (и + V-1Я+;5)
(50)
V —Я2Й )
Приведем теперь свойства операторных коэффициентов А и ВЗ задачи (48).
Лемма 1. Оператор А является обратимым и
А = Ао + Кь Ао = diag(J; /; /; /; /) » 0, К е (51)
Доказательство. Оно проводится по схеме, изложенной в работе [1]. В самом деле, достаточно рассмотреть следующую однородную систему уравнений:
Ал 7? + а412 77 + А13й = 0, Г 77 + V-1 К* 77 + А"1зй = 0, А22 77 =0, ^ Г 77 =0,
Аз15 + АГз2 5 + Азз й = 0, I АТз15 + V-1 АГ31 К+ 5 + /й = 0.
Отсюда имеем
? = 0, 77 + А1зй = 0, Аз177 + «/й = 0.
Как было доказано в [1], получаем, что оператор
(52)
А11 А1з
Аз1 Азз
положителен в
«7(3, * (О) ф Сз. Далее, согласно определению (49), для оператора А следуют утверждения леммы. □
Лемма 2. Оператор В можно представить в виде: В = (/ + К2) Во + В1, Во = diag(vA; V-1В; а; /; /), В1 е £(?Т), К2 е (53)
Доказательство. Оно проводится аналогично доказательству соответствующей леммы для случая, когда плоский маятник заполнен одной капиллярной вязкой жидкостью (см. [1]).
В самом деле, оператор В можно представить в виде суммы В = В1 + В2, где
/ 0 0 0 0 0 \
В =
0 0 gApB-1/2Q* [?((...) xr) ■ ё*з] 0 0
0 0 0 -дАр/(ез x r)(.. .)dr mgl
00 00
0
-1
-I
0
-I )
(54)
является ограниченным оператором, а оператор
B2 =
/ vA RA 0
0
v-1 B 0
0 0 0 \ 0 0 0 a 0 0
-In -v-1 InR+ 0 I 0
0
0
D(bB2) = D(A) ф D(B) ф C3 ф L2,r ф C2
0 0 I J
Далее, оператор B2 представим в виде:
B2 = (I + R2)BO,
где
Во = diag(vA; v-1 B?; a; ? I), D(Bo) = D(A) фР(В) ф C3 ф ¿2,г Ф C2,
и
(55)
(56)
(57)
(
R2 =
0
-1
0
RI
000 000 000
-v-1QA-1/2 QB-1/2 0 0 0
0 0 0 0 /
(58)
0
является компактным оператором. □
С учетом лемм 1 и 2 задача (48) принимает вид
dx -__- ____~
(A + R1) — + (I + R2)Box + В1Х = f(t), x(0) = xo,
x(t) = (I; I; и; I; Р20)* e Jo,s(О) ф Mo(fi) ф C3 ф ¿2,г ф C2 := H. Далее, задача (59)-(60) равносильна задаче Коши:
dy = -(I + T)Boy - Coy + fo, y(0) = yo, y := ^2x = (A1/2i; A/2I; A^u; P2A1/21; ^5)*,
^Ut , ^ ?o :=(I + R1)-1A-1/2f,
I + T := (I + R1) (I + R2), T e ©^(H),
(59)
(60)
(61)
(62) (63)
Во := А-1/2ВоА-1/2, Во = diag(v А; V-1 В; а; /; /), (64)
Со = (/ + К )-1А-1/2ВВ1А-1/2, КК1 = А-1/2К1А-1/2, К = А-1/2К2Ао/2. (65) Здесь оператор —(I+Т)Во—Со является генератором аналитической полугруппы, так как Во = Во » 0, Т е ¿^о е £(Н).
Теорема 1. Пусть в задаче (1)-(10) выполнены условия
М(£) е Са([0, Т]; С), 0 < а < 1, (66)
/(¿,х) = (/к(¿,х)}т=+! е Са([0,Т]; ¿2(0)), Со е «7о,*(О), Со = Со + гСо, (67)
С еР(^) С «/о,*(О), гСо е М1 (О) С «С,*(О), 7„гСо еР (В^2),
С е Р(ВСТ) с ¿2,г, йо е Сз, /о е Сз. Тогда задача Коши (61), а также задача (48) имеют единственное сильное решение на отрезке [0, Т], т.е. все слагаемые в (61), (48) являются непрерывными функциями £ е [0, Т] и выполнены начальные условия. □
Замечание 5. Пусть решение задачи (48) обладает следующими дополнительными свойствами гладкости по
вВс(£) е С ([0, Т]; Р(В1/2)) , ЯАСф е С ([0, Т]; Р(£1/2)) , (68)
тогда задача (35)-(39) также имеет сильное решение на [0,Т]. □
Опираясь на замечание 5, можно доказать, что при определенных условиях гладкости, накладываемых на С°, г7°, Со, йо, /о, /(£), М(£), исходная начально-краевая задача (1)-(10) имеет единственное сильное решение на отрезке [0, Т].
4. НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ИССЛЕДУЕМОЙ ГИДРОСИСТЕМЫ
Назовем нормальными колебаниями решения однородной задачи (1)-(10), зависящие от £ по закону ехр(—Л£), Л е С. Для амплитудных элементов, т.е. для множителей при ехр(—Л£), получим из (35)-(39) систему уравнений, которую удобно записать в виде
(1С) + (С Д) - (¿) = (69)
= Л I) = —Л (£ ) •
где С = С + ги, а Дт и С — операторные матрицы, квадратичные формы которых равны удвоенным потенциальной и кинетической энергии системы соответственно. Кроме того, имеет место также тривиальное соотношение
йз = — Лйз. (70)
Приведем некоторые свойства решений спектральной задачи (69)—(70).
10. Число Л = 0 всегда является собственным значением рассматриваемой задачи. Если выполнено условие ker ' = {0}, то это нулевое собственное значение однократно, а соответствующий собственный элемент отвечает нулевому решению задачи (69) и произвольному значению 5з £ C. Такие тривиальные решения связаны с переходом маятника от исходного состояния покоя к новому состоянию покоя, полученному из исходного путем произвольного поворота на угол 5 = 5зёз.
20. Если выполнено условие
ker ' = {0} , dim ker ' = q> 0, (71)
то задача (69)-(70) имеет (q+1)-кратное нулевое собственное значение. Условие (71) выполнено, в частности, тогда, когда исследуемая гидромеханическая система находится на границе области устойчивости, т.е. Лт;п j = 0.
30. Все невещественные собственные значения Л, а также те вещественные, которым отвечают присоединенные элементы, расположены в полуплоскости
ЕёЛ > min(№ a)/ ^ЦС1^ diag (Ar1/2; l) ||2) > 0. (72)
Следует отметить, что при непрерывном изменении физических параметров исследуемой гидромеханической системы собственные значения Л задачи могут непрерывно переходить из правой комплексной полуплоскости в левую лишь по вещественной оси через нуль комплексной плоскости, причем в момент перехода должно выполняться условие (71).
Как следует из рассмотрений [7], [2], эту задачу можно записать в виде, следующем из (48)-(50):
-из = Л5з, Bx = ЛАх, x = (V; I; Ш; (; P2<5)* £ H = «70,s(О) Ф М)(П) фC3 ф ¿2,г ФC2,
(73)
где, в частности, операторная матрица B имеет структуру (53).Отметим, однако, что оператор B0 = diag(v 'A; v-1 B; a; I; I) = B0 » 0 неограничен, но не имеет компактного обратного, так как единичный оператор ' действует в бесконечномерном пространстве L2,г. Это не позволяет в задаче (73) использовать результаты М.С. Аграновича и др., связанные со свойством базисности Абеля-Лидского и получением асимптотики собственных значений (см. [5], с. 292).
Данную трудность можно преодолеть, исключая переменную '. Тогда для амплитудных элементов
y := (l; I; и; P2<5)* £ J0, s(О) ф M0(fi) Ф C3 ф C2 =: H0 (74)
возникает проблема
( vAс \
В1/2а41/2с + V-1Вс + рдВ-1/2 Р<3*С[(Я2й х г) ■ вз]
ай + тд1Р2Т —Я2й
V
+
/
(
сд +Т
\
/ (вз х г) 7„ с + V-1К+С ^Г г
/0
V
=Л
/
( с + V-1К*с + Ро,* (й х г) \ с
/й + С/Т х (V + V-1К+С ^О п ^ '
V Я2Т !
а также связи
—7п (с + V 1 К+с = Л?, — йз = Л^з.
Коротко задачу (75) можно переписать в виде:
Ау + рдЛ-1Ту = Л2у, у е Р(А) = Р(А) ф Р(В) ф Сз ф С2,
(75)
(76)
(77)
где А, Т и 2 определяются соответствующими столбцами из (75). Приведем свойства этих операторных матриц.
Лемма 3. Оператор 2 обратим и имеет структуру
2 = 2 + Л, 2 = diag (р/; р/; /; /) , Л е ©те(Но). □ (78)
Лемма 4. Оператор А из (77), (75) обратим и имеет структуру А = Ао+А1, Ао = diag ^А; v-1B; а; /) , Р(Ао) = Р(А)фР(В)фСзфС2, (79) где А1 вполне подчинен Ао, т.е.
А1А-1 е б^Но). (80)
Доказательство. Уравнение Ау = 0 приводит к системе уравнений
vAс = 0, вВ1/2А71/2С + V-1Вс + рдВ-1/2 яР(С*С[(Р2й хг) -вз] =0,
ай + тд1Р2Т = 0, — Р2й = 0.
Отсюда следует, что с = 0, Р2й = 0, а потому (из второго уравнения) и с = 0, так
как В ^ 0. Тогда из соотношений ай + тд1Р2Т = 0, Ягй = 0, приходим к выводу,
2
что й = 0, так как Р2Т = ^ , а й = йзвз. Таким образом, оператор А обратим.
к=1
Вычисляя А1 := А — А0, а затем А1А-1, находим, что
/0
V~1Еу + pgаo1Bo1/2 Р(/>*в[(Р2Ш х Г) • ез] шд1Р25 —а~1Р2ш — Р25
А1А0 1у
откуда следует, что А1А(°1 € ©«(7"^), так как К = В1/2РЛ 1/2 е ©« ,0,^(П); М0(П)^ , В-1!2 е ©«(М0(П)), а остальные операторы ограничены либо конечномерны. □
Лемма 5. Оператор Т из (77), определенный вторым столбцом слева в (75) на области определения ^(А0) (см. (79)), вполне подчинен оператору А0:
ТА-1 е ©«(Н0).
(82)
Доказательство. Оно проводится прямым вычислением: /0
ТА/у
0
/ (ез х г) /п (V-1 А-1/ + V-1 Ло1/2РВо1/2/ ^г
V
Уу е Н/0. (83)
/
Так как здесь А-1/ е V(A) С Р(А1/2) = $(П), А-1/2РВо1/2^/ е М^П) С
р 5(П), а рп компактно (по теореме вложения С.Л. Соболева) действует из ,р0) $(П) в ¿2 , г, то ТА-1 — компактный оператор в Н/0. □ Используя леммы 3-5, перепишем задачу (77) в виде
(I + Л0 + /дЛ-1 А0у = Л (20 + Л) у, у е £>(А)),
(84)
Л0 := А1А-1 е ©«,(7/0), Л-1 := ТА-1 е ©«(Н0), Л е ©«(Н0), (85
А0 := diag ( vA; V 1В; а; I) , 20 := diag (I"; I"; ,1; I) .
(8
Теорема 2. Задача (84), а потому и исходная спектральная задача о нормальных колебаниях исследуемой гидромеханической системы имеет дискретный спектр {Лj}«=1 с предельной точкой Л = те и асимптотическим поведением
Л; = V-1 МГ .к ^
-1/2
П
31/2[1 + о(1)] (3
(87)
Доказательство. Рассмотрим невозмущенную задачу на собственные значения для оператора А0 :
А0у = Л20у. (88)
Отсюда и из определений (86) операторов Ао и Со получаем совокупность распавшихся задач:
vAс = Лс (V е «о,*(О)) , V-1Вс = Лс (с е Мо(О)) , (89)
ай = Л«Тй (й е Сз), = ЛР2^ (я^ е С2) . (90)
Конечномерные задачи (90), очевидно, не влияют на характер асимптотики, а задачам (89) отвечают две ветви собственных значений. С учетом асимптотических формул (31) и (42) для собственных значений операторов А и В имеем
( 1 т+1 ро )-2/з Лл = vЛj(А) = Л — Е ^|Оа|1 ^2/з[1 + 0(1)] О' ^ То), (91)
-1/2
= v-1Aj(В) = v-1(Еafcj1/2[i + o(i)] (j (92)
П 4fc=1
Введем в рассмотрение функции распределения (с учетом кратностей) собственных значений операторов A и В:
Ni(A):= f 1' NS (A):= f 1. (93)
Xj (a4)<a Xj (b)<X
Из (91), (92) следует, что
v-3/2 m+1 p0 v2 m
lim N^(A)A-3/2 = -^E —iQ«i' lim Ng(A)A-2 = - V>kГ|. (94)
a=1 k=1
Так как задача (88) равносильна совокупности задач (89), (90), то функция распределения N(A) собственных значений задачи (88) равна сумме функций распределения собственных значений бесконечномерных задач (89) и конечномерных задач (90). Отсюда и из (94) получаем, что
v2 m
lim N(A)A-2 = lim Ns(A)A-2 = — |rfc|, (95)
k=1
откуда следует, что для оператора „Д0 := Z0 1/2A0Z0 1/2 в соответствующей задаче, полученной из (84), имеет место асимптотическая формула
Aj (Л) = v-1 (f j 1/2[1 + o(1)] (j □ (96)
Получим свойства полноты и базисности Абеля-Лидского системы корневых элементов гидромеханической задачи (84)-(86) о нормальных колебаниях маятника с капиллярной вязкой жидкостью. Предварительно введем такие обозначения:
J0 := Z0-1/2F0^01/2' J-1 := рд^-1/2J-iZ^2' Ji := Z-1/2 JiZ-1/2' (97)
А0 := 20"1/2А020"1/2, р(а40) = •К(А°1) = ОД^А-1^2),
Здесь в силу предыдущих построений операторы 70, и 71 компактные, оператор А = А »о, о < А-1 е ©«(7/0).
Для исследуемой задачи приходим из (84) к уравнению
(г + 70 + Л-1 Л^) аА0У = Л(1 + V = 20/2у е £>(А)). (98)
Осуществляя здесь замены
Л = Л-1, I + р0 := (I + 7 )-1(1 + 770), (I + £0)А0И = w, (99)
получаем уравнение вида
L(Л)w := (I + АВ — А-1 А) w = 0, w е 770, (100)
В" := (I + Л)-1^^ + Т7))-1 (I + 771) е ©«(7/0), (101)
А" := А-1^ + 770)-1 (I + 71) е ©«(770). (102)
Напомним, что собственные значения Л; (А0) оператора А0 имеют асимптотическое поведение (96), и тогда А-1 е ©р(70), р > 2. Приведенные свойства операторов задачи (100) показывают, что для этой задачи справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть геометрические и физические параметры исследуемой гидромеханической системы таковы, что выполнено условие
4||А|| • ||/ < 1. (103)
Тогда система корневых элементов задачи (84)-(86) является полной в пространстве с нормой графика оператора А0:
|ИЙ1Но = (Z0olA0У, А0у)н?0 = V2||Щ0S(п) + V^^(П) + а2 (<^) • * +1Р22.
(104)
Если условие (103) не выполнено, то система корневых элементов задачи (84)-(86), отвечающая собственным значениям Л; с |Л; | > Я при любом Я > 0, является полной с точностью до конечного дефекта по норме (104). □
Более того, если выполнено условие (103), то система корневых элементов задачи образует базис Абеля-Лидского порядка а0 > 2 в пространстве с нормой графика (104). Если условие (103) не выполнено, то система корневых элементов задачи (84)-(86), отвечающая собственным значениям Л; с |Л; | > Я при любом Я > 0, образует базис Абеля-Лидского порядка а0 > 2 с точностью до конечного дефекта в пространстве с нормой (104).
Таким образом, итогом рассмотрения спектральной задачи (69)-(70) является следующий вывод: при выполнении условия статической устойчивости по линейному приближению все нормальные движения капиллярных вязких жидкостей в
маятнике являются асимптотически устойчивыми, а спектр и корневые функции обладают доказанными выше свойствами.
В самом деле, в условиях, близких к невесомости, одна жидкость в сосуде может не обязательно заполнять нижнюю его часть. В частности, она может находиться в верхней части сосуда и удерживаться в состоянии покоя капиллярными силами (жидкость в пробирке). При этом статическая устойчивость либо неустойчивость такой системы в состоянии покоя зависит от того, насколько интенсивным является гравитационное поле по отношению к капиллярным силам, действующим на систему. Если жидкость поднята к верхней части полости, а сила тяжести действует сверху и является достаточно большой, то оператор потенциальной энергии £>о может не быть положительно определенным и может иметь по необходимости конечное число отрицательных собственных значений. В этом случае гидромеханическая система является динамически неустойчивой и имеет место утверждение, называемое обращением теоремы Лагранжа об устойчивости: если потенциальная энергия гидросистемы не имеет минимума в состоянии равновесия и минимальное собственное значение Amin (Дг) оператора потенциальной энергии £><j отрицательно, то по крайней мере одно собственное значение A задачи (69)-(70) расположено в левой полуплоскости. Доказательство этого утверждения для системы жидкостей, заполняющих пространственный маятник, проводится по схеме, изложенной в [7], где изучались нормальные колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью при условии статической неустойчивости.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Дудик О.А. Малые колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью // Труды ИПММ НАН Украины. 2008. — Том 16. — С. 67-79.
[2] Дудик О.А. Малые движения и нормальные колебания плоского маятника с полостью, заполненной несколькими капиллярными вязкими жидкостями // Труды ИПММ НАН Украины. 2009. (в печати)
[3] Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. — М.: Наука, 1989. — 416 с.
[4] Суслина Т. А. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптического уравнения в области с кусочно-гладкой границей / Т.А. Суслина. — Зап. научн. семин. ЛОМИ АН СССР. 1985.— Т. 147 - с. 179-183. — Деп. в ВИНИТИ 21.11.85, № 8058. —В.
[5] Arganovich M.S., Katsenelenbaum B.Z., Sivov A.N., Voitovich. N.N. Generalized Method of Eigenoscillations in Diffraction Theory. WILEY-VCH, Berlin, 1999. — 380 рр.
[6] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1965. — 448 с.
[7] Дудик О.А. Нормальные колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью, при условии статической неустойчивости // Ученые Записки ТНУ им. В.И. Вернадского - Т. 20 (59) № 1, 2007, с. 57-64.
У робота розглядаеться задача про мал1 рухи i нормальш коливання маятника i3 полосттю, заповненою системою з кашлярних в'язких рщин. Доведена сильна розршучють дослщжувано!' гiдросистеми. Зведена асимптотика власних значень i доведена теорема про базисшсть за Абелем-Лiдським системи кореневих елементав. Доведене також обернення теореми Лагранжа про стшшть.
In the work, we consider the problem on small motions and normal oscillations of a pendulum with a cavity fully filled with a system of capillary viscous fluids. The theorem on strong solvability of the investigated hydrosystem is proved. Asymptotic behavior of eigenvalues is established. The theorem on basisity by Abel-Lidsky of the system of root functions and the inversion of Lagrange theorem on stability are proved.
