CC BY
17Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского
Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 1 (2011), с. 35-50.
УДК УДК 517.984:517.958
В. И. Войтицкий
О НОРМАЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ТЯЖЕЛОЙ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ В ОТКРЫТОМ
СОСУДЕ
Изучаются спектральные свойства линейной начально-краевой задачи, порожденной процессом малых движений сверхтекучей жидкости в открытом сосуде, без учета влияния капиллярных сил. Доказано, что свойства данной задачи аналогичны свойствам задачи о нормальных движениях вязкой жидкости в открытом сосуде. Найдена локализация спектра, получена асимптотика двух ветвей собственных значений, для соответствующих систем собственных элементов установлено свойство р-базисности в некоторых гильбертовых пространствах.
Ключевые слова: Малые движения, гильбертово пространство, модифицированный операторный пучок С.Г. Крейна, самосопряжённый компактный оператор, классы компактности, асимптотика ветвей собственных значений, p-базисность собственных элементов.
1. Введение. Постановка начально-краевой задачи
Сверхтекучей жидкостью называют жидкость, способную протекать через узкие капилляры без сколько-нибудь заметного сопротивления. Явление сверхтекучести впервые было обнаружено для жидкого гелия при температуре ниже 2,17° К в экспериментах П. Капицы в 1938 г. До сих пор жидкий гелий является основной сверхтекучей жидкостью. Его свойства изучены достаточно хорошо, наиболее распространена двухскоростная модели Л.Д. Ландау, согласно которой движение сверхтекучего гелия может быть описано двумя полями скоростей, которые соответствуют движениям сверхтекучей (идеальной) компоненты и нормальной (вязкой) компоненты сверхтекучей жидкости. При этом считается, что в каждый момент времени данные компоненты существуют во всем объеме, занимаемой жидкостью
и проникают друг в друга без трения. Данная модель позволила объяснить тот феномен, что сверхтекучий гелий ведет себя в одних опытах как идеальная жидкость, а в других как вязкая жидкость.
В представленной работе на основе модели Л.Д. Ландау сформулирована линейная начально-краевая задача, описывающая малые движения сверхтекучего гелия без учета капиллярных сил. Установлено, что спектральные свойства данной задачи в основном аналогичны свойствам задачи о малых движениях вязкой жидкости в открытом сосуде, что соответствует физическому смыслу задачи.
Будем считать, что сверхтекучий гелий частично заполняет неподвижный сосуд и занимает в состоянии покоя область Q С R3, ограниченную твердой стенкой S и открытой свободной поверхностью Г (границу дQ = Г U S считаем липшицевой). Без учета сил поверхностного натяжения поверхность Г является в состоянии покоя плоской, расположенной перпендикулярно ускорению достаточно сильного гравитационного поля g.
Согласно модели Л.Д. Ландау введем поля скоростей сверхтекучей и нормальной компоненты жидкости w(x,t) и f(x,t) (x = (xi,x2,хз) £ Q) соответственно. Относительное количество их в каждом единичном элементе объема соответственно равно ps/p и pn/p (р = ps + pn), где плотности ps и pn считаем заданными положительными константами. Без учета изменения ряда других физических параметров (энтропия, теплопроводность и др.), что не противоречит физическому смыслу задачи, уравнения Ландау могут быть записаны как соответствующие уравнения движения идеальной и вязкой несжимаемой жидкости (см. [1], с. 184). Выберем систему координат Ox1x2x3 так, чтобы начало координат O находилось на Г и g = —ge3, тогда после линеаризации получаем следующие уравнения (см. [1], с. 133):
dv 1 ->
— =--Vpn + vAf + f, divv = 0, (в Q), (1)
dt pn
dw 1 ->
— =--VPs + f, divw = 0, (в Q). (2)
dt ps
Здесь, кроме полей скоростей, неизвестными также являются поля динамических давлений Pn и Ps, являющиеся отклонениями давлений нормальной и сверхтекучей компоненты жидкости от соответствующих равновесных давлений рП и p0. В состоянии покоя (с учетом выбора системы координат) имеем
P0n(x3 )= Cn — pngx3, P0 (x3) = Cs — psgx 3, Cn + Cs = pa,
где cn и cs — некоторые заданные константы, а pa — постоянное внешнее (атмосферное) давление. Уравнения (1) и (2) — это линеаризованные уравнения Навье-Стокса и Эйлера, описывающие соответственно малые движения вязкой и идеальной несжимаемых жидкостей под действием заданного поля внешних сил f.
Перейдем теперь к граничным условиям. Будем предполагать, что на твердой стенке S отсутствует поток тепла (стенка теплоизолирована), тогда имеем f ■ n =
гт ■ п = 0 (на 5), где п — единичный вектор внешней нормали к границе области О. Поскольку на нормальную компоненту скорости действуют вязкие напряжения, то также следует положить равной нулю тангенциальную составляющую скорости V, т.е. V ■ т = 0 для любого вектора Т из касательной плоскости к 5. Отсюда получаем
V = 0, гт ■ п = 0 (на 5). (3)
Считая отклонения движущейся поверхности Г(Ь) от равновесной поверхности Г малыми, введем функцию
Хз = С(Ь, Х1, Ж2), (хь Ж2) е Г,
описывающую в момент времени Ь малые отклонения Г вдоль внешней нормали п = ёз. С помощью функции ( от условий на Г(Ь) можно перейти к линеаризованным условиям на Г, а уравнения (1), (2) рассматривать в фиксированной области О.
Поскольку в любой момент времени каждая молекула жидкости участвует как в сверхтекучем, так и в нормальном типе движения (см. [1], с. 45, а также [2], с. 707), то нормальные составляющие V и гт на Г должны совпадать. Иначе на свободной границе будут образовываться зоны, заполненные лишь одной компонентой скорости. Учитывая этот факт, получаем, что на Г должно выполняться кинематическое условие
ОС
— = т ■ п = ги ■ п (на Г). (4)
В процессе движения также выполняется условие сохранения объема /г (с!Г = 0 и динамические условия
(1X3 + И) =0, • = 1.2, (на Г), (5)
Рп + Рз - 2рп= рд( (на Г). (6)
ох з
Граничные условия (5), (6) обобщают условия на свободной поверхности в задаче о малых колебаниях тяжелой вязкой жидкости в открытом неподвижном сосуде (см. [3], п.7.1, а также [4]). В правой части (6) учтено, что сверхтекучая жидкость является тяжелой, т.е. находится под действием гравитационного поля.
Для полной постановки задачи о малых движениях тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде к уравнениям (1), (2) и граничным условиям (4)—(6) необходимо добавить начальные условия
Т(0, х) = Т°(х), гт (0, х) = гт 0(х), ((0, хь Х2) = С 0(х1, Х2). (7)
Данная постановка предложена автору статьи Н.Д. Копачевским. По-видимому, ранее подобная линейная модель сверхтекучей жидкости не рассматривалась. Сформулированная задача является близкой к задаче о малых движениях частично диссипативной гидросистемы в открытом сосуде (см. [6], а также [7], п. 10.2.).
Рп^
В статье [5] получены естественные достаточные условия существования сильного решения задачи на произвольном отрезке времени [0; Т].
2. Операторная постановка начально-краевой задачи
Перед тем, как перейти к изучению спектральной задачи удобно получить операторную постановку начально-краевой задачи (1)—(7). Оказывается, что в данной постановке можно исключить поле сверхтекучей компоненты скорости, при этом для поля вязкой компоненты возникает задача, обобщающая задачу о малых движениях вязкой жидкости в открытом сосуде. Чтобы получить этот результат повторим здесь построения статьи [5].
Будем считать, что поля V, гг являются функциями переменной Ь со значениями в гильбертовом пространстве вектор-функций Ь2(П) :
ь,го е ¿2(П), ||г?|||2(п) := JМ2^П < те. (8)
п
Требование (8) означает, что в любой момент времени жидкость обладает конечной кинетической энергией.
При исследовании малых движений жидкости в открытом сосуде естественно использовать модифицированное разложение Г. Вейля (см. [3], п. 2.1):
Ь2(П) = /о(П) ® С (П) = /о(П) ® С^ (П) ® Со,г(П) =: То,в (П) ® Со,г (П). (9)
Здесь
,То(П) := {и е Ь2(П) : ё1у и = 0 (в П), и ■ п = 0 (на дП)}, (10)
,То,я(П) := {и е Ь2(П) : ё1у и = 0 (в П), и ■ п = 0 (на 5)} (11)
являются подпространствами пространства соленоидальных полей <1 (П), а С(П) — пространство потенциальных полей, разлагающееся в прямую сумму (см. [3], с. 106) подпространств
СКя(П) := {и = Ур : Ар = 0 (в П), дП = 0 (на 5)}, (12)
Со,г(П) := {и = Ур : р = 0 (на Г)}. (13)
Так как потенциалы р восстанавливаются по полю ии с точностью до константы, будем предполагать далее, что для них выполнено условие нормировки ^ Р^Г = 0. Отсюда потенциалы полей из С(П) принадлежат пространству Нр(П) := Н 1(П) © {1Г}. При этом разложению С(П) = С(П) ® Со,г соответствует разложение Нр(П) = Нр8(П) ® Н(рг(П) (см. [3], п. 1.3). Здесь и далее, считаем что подпространство Нр(П) снабжено нормой Дирихле ||р||Н 1(П) := /п|Ур|2 ^П, которая, как известно, на элементах из Нр(П) эквивалентна стандартной норме.
Пусть Р° — ортопроектор из 72(О) на <7°(О), тогда (/ — Р°) — ортопроектор на (й(О), и справедливо разложение сверхтекучей компоненты
7 = Рог + (/ — Р°)г/ =: Р°г/ + УФ. (14)
Действуя на обе части (2) проектором Р°, имеем д/дЬР°г/ = Р°/. Отсюда с учетом начального условия получаем, что составляющая Р°/ однозначно определяется начальным условием и полем внешних сил по формуле
г
Р°г ^(Р°/)(г)йт + Р°гГ°. °
Из постановки задачи следует, что г/ е </°,5(О) = /(О) ф й^(О). Отсюда и из (14) получаем, что УФ е ( (О). В силу (12) потенциал Ф е НГ (О) является решением задачи Неймана для уравнения Лапласа:
д Ф д Ф
АФ = 0 (в О), — = 0 (на 5), — = V ■ п = г/ ■ п =: ф (на Г). (15) дп дп
Зададим оператор следа 7ГФ := Ф|г на пространстве НГ(О). Из теоремы Гальяр-до (см. [8]) следует, для области О с липшицевой границей такой оператор действует ограниченно из НГ(О) на пространство НГ/2 := Н 1/2(Г) П 72,г, компактно вложенное в 72,г := 72 (Г) 0 {1г}. При этом оператор 7г имеет бесконечномерное ядро Н°,Г(О) := {и е Н1 (О) : и = 0 (на Г)}. Известно (см. [3], с. 45-46), что для любого элемента ф е Н-1/2 := (Н/2)* существует единственное слабое решение Ф е Н1 3(О) С Нр(О) задачи (15), которое определяется через ограниченный оператор ТГ : Нг 1/2 ^ (О). При этом оператор Тг является сопряженным к оператору следа в смысле тождества
(Ф,Тгф)Н1 (п) = (7гФ,Ф)ь2,г, УФ е Н1 (О), Уф е Н-1/2.
Здесь косыми скобками обозначено значение функционала ф на элементе 7гФ е Н^2.
Таким образом, решение задачи (15) находится по формуле Ф = ТГф = ТГ(Т ■ п). Отсюда
Ф|Г = 7ГФ = 7ГТГф = СГ(Т■ п) (на Г). Оператор Сг := 7гТг действует непрерывным образом из Н- в , а его сужение на 72,г является компактным (в силу компактности вложения Н^/2 в 72,г) самосопряженным положительным оператором в 72,г. При этом обратный положительно определенный оператор С-1 является оператором гильбертовой пары (Н/2; ¿2,г) (см. [3], с. 41).
Из проделанных построений следует, что поле сверхтекучей компоненты скорости и давление однозначным образом определяются по полю внешних сил / е 72(О), по значению нормальной компоненты поля V на границе Г и по начальным данным
го0 (ж) € Ь2 (О), которые в силу постановки должны быть связаны с й°(х) условием согласования гг0 ■ п = V0 ■ п (на Г). Имеем,
г
гг = Рого + VФ = J(Pоf)(т№ + Рого0 + V (Т^), (16)
0
дФ д
Рз = -Рз-д£ + Рз1\ = -Ре^ (Тг7«г/) + (17)
где
YnV := (v ■ n)|r = (^э)|г, (18)
1
(19)
fi := f (t,xi,x2, 0) - У f (t,xi,x2, 0)dr.
г
Будем использовать теперь модифицированное разложение Вейля (9) применительно к нормальной компоненте скорости v. Введем ортопроекторы Po,s и Po,r из L2(П) на подпространства J0,s(П) и GG0,r(^) соответственно. Из постановки задачи следует, что v £ Jo,s(П). Поэтому, действуя проектором Po,r на обе части уравнения (1), получаем
—Po,rVpn = vPo,rAv + Po,rJ. (20)
Pn
Из этого уравнения поле P0,rVpn однозначно определяется по полю v. Действуя теперь на обе части уравнения (1) проектором Po,s, получаем
dv _ ->
= -Vpn + vPo,s Av + Po,s J,
dt
где Vpn := (1/pn)Po,sVpn. Так как потенциал поля P0,rVpn обращается в нуль на Г, то pn|r = (1/pn)pn|r. Кроме этого, в силу разложения J0,S(П) = Jo(П) ф Gh,S(П), имеем Vpn £ Gh,s(П), поэтому
Apn = 0 (в П), ^ = 0 (на S), ípn dr = 0. (21)
dn J
г
Таким образом, разрешимость исходной задачи (1)—(7) сводится к разрешимости следующей начально-краевой проблемы:
-> -> dv
-vPo,sAv + Vpn = Ф(:= Po,sJ - ^) (в П), (22)
divv = 0 (в П), v = 0 (на S), (23)
vri3(v) = 0, i = 1,2, (на Г), (24)
о
-pn + VT33(v) = -^(:= --^gZ - ^- (C^) + ^fi) (на Г), (25)
pn pn CTC pn
dZ = YnÜ (на Г), JcdT = 0, (26)
—(0,х) = т°(ж), с (0,Ж1,Ж2) = С °(Ж1,Ж2). (27)
Здесь через
д—, д— т.^-(—):= —^ + —., г,; = 1, 2, 3, дх, дх,
обозначены компоненты тензора деформации нормальной компоненты жидкости. Краевое условие (25) получено с учетом соотношения (17). Неизвестными в задаче считаем поле — е (О) и функцию ( е 72,г, определяемые по правым частям Ф е (О) и ф е 72,г. Поле давлений Урп е (5^,5(О) однозначно определяется через поле — из условий (21) и (25).
Будем искать решение задачи (22)—(27) в виде суммы решений вспомогательных краевых задач. Именно, пусть неизвестное поле давлений рп представимо в виде суммы полей р1 и р2, где Р1 е Н^^(О) удовлетворяет соотношениям
Ар1 = 0 (в О), = 0 (на 5), /р ^Г = 0,
дп
г
и является компонентой решения первой вспомогательной задачи С.Г. Крейна:
—А— + Ур1 = 7 — Ур2, ё1у — =0 (в О), (28)
— = 0 (на 5), (29)
^т,з(—)=0, г = 1,2, (на Г), (30)
—Р1 + ^тзз(—)=0 (на Г), (31)
а р2 е Н^^(О) является решением задачи Зарембы для уравнения Лапласа
Ар2 = 0 (в О), д^2 = 0 (на 5), р2 = ф (на Г). (32)
Очевидно, что если задачи (28)—(31) и (32) имеют решения, то тогда поле давлений РП = р1 + р2 и поле скорости — (решение задачи (28)-(31)) являются решениями задачи (22)-(27).
Предположим, что поле — является функцией переменной Ь со значениями в подпространстве
/[,5(О) := {и е Н 1(О) : ё1уи = 0 (в О), и = 0 (на 5)}
пространства векторных полей Н 1(О). Наличие вязких сил приводит к диссипации энергии в жидкости, скорость которой вычисляется по формуле
Рп^Е(и, и) := 2рпУ \ ^ |т,,(и)|2^О. (33)
п «=1
С помощью неравенства Корна (см., например, [3], п. 2.2.6) можно доказать, что введенная посредством (33) квадратичная форма Е(и, и) на подпространстве (О)
определяет норму, эквивалентную стандартной норме пространства Н 1(О). При этом пространство 71 5(О) плотно вложено в 7, 5(О). В статье [5] установлены такие результаты:
Лемма 1. Задача (28)-(31) имеет единственное решение V— = А-1(ф — Ур2) е —>,. —* ^(А) С / 5(О) (р1 определяется через —) для любой правой части Ф — Ур2 е
7° ,5(О). При этом оператор задачи А : ^(А) ^ 7° ,5(О) является самосопряженным положительно определенным оператором гильбертовой пары
(7/1,5 (О); Ф°,5 (О)).
Лемма 2. Задача (32) имеет единственное решение р2 е Н^(О) для любой пра-1/2
вой части ф е Нр . При этом Ур2 = Сф, где С — оператор, осуществляющий изометрию между Н^/2 и (О).
Отсюда решение задачи (22)-(27) удовлетворяет соотношению V— = А-1(ф — Ур2) = А-1(ф+С(—ф)). Применяя к обеим частям полученного равенства оператор А и вспоминая определения выражений ф и (—ф), получаем, что задача (22)-(27) равносильна системе дифференциальных уравнений
Ш + VA-- + (р!) С< + *С1 = £С/ + А*ф, (34) £ = ^ (35)
—(0) = —°° (ж), С (0) = С°(Х1 ,Х2). (36)
Здесь уравнение (34) рассматривается в пространстве ф°,,д(О), а (35) — в простран-
1/2
стве 72,г. При этом, для решений задачи / е ^(А), а £ е Нг' .
3. Сведение спектральной задачи к модифицированному пучку
С.Г Крейна
Будем искать решения исходной однородной начально-краевой задачи в виде нормальных движений Ф(ж,Ь) = е-Л4Ф(ж), го(ж,Ь) = е-Л4го(ж), С(ж,Ь) = е-Л4((ж). Поскольку задача (1)-(7) сводится к исследованию проблемы (34)-(36), то соответствующая спектральная задача может быть сведена к подобной задаче, где символ ^/^Ь нужно заменить на —Л. Получаем задачу
—ЛФ + vA/ + (^ ) С( — Л^ССг7п/ = 0,
рп рп
—Л( = 7п—
в пространстве Н = (О) ф 72,Г. Осуществим замену
П = А1/2— е Р(А1/2) = 7/15(О) С ф°,5(О), — = А-1/2п,
и воспользуемся обозначением а := pg/pn, тогда
-\Ä-l/2fj + vÄ1/2rf + aGZ - GCrlnA-1/2fj = 0, (37)
pn
-AZ = lnÄ-1'2fj. (38)
Обозначим
Q := 7nÄ-1/2 : Jq,s(fi) ^ L^p, Q+ := Ä-1/2G : Я^2 ^ Jo,s(fi). (39) Справедливо следующее утверждение (см. [5]):
Лемма 3. Оператор Q является компактным. При этом Q+ С Q*, Q+ = Q |d(g), Q+ Q .
Применим к обеим частям (37) ограниченный в Jo,s(fi) оператор Ä-1/2. Тогда с помощью операторов Q и Q+ получаем
i.-1?y + vr} + aQ+Z - APs*
pn
-AZ = Qn. (41)
-AÄ-1r} + vr? + aQ+Z - А^Q+CrQrf = 0, (40)
pn
В случае А = 0 имеем
ЯП =0, иг] + aQ+Z = 0. (42)
Отсюда в силу того, что Я = 7пА-1/2, имеем А-1/2ц = V € Кег 7„. Далее, применяя к обеим частям второго равенства (42) ограниченный оператор Я, получаем QQ+Z = 0. Отсюда А-1^ € Кег 7„. Поскольку ядро оператора тп является бесконечномерным, то число А = 0 является собственным значением бесконечной кратности.
Будем далее предполагать, что А = 0. Заменяя в (40) оператор на его расширение Я*, выразим Z из (41) и подставим его в (40). Тогда от задачи (40)-(41) приходим к задаче на собственные значения для пучка
L(A)fj := vrf - А[ Ä-1 + ^Q*CrQ) J- тQ*QJ = 0 (43)
pn J А
в пространстве (О).
Введем ограниченные в О)^(О) операторы
А := А-1 + РРзЯ*СгЯ, В := (44)
Рп
Справедливо утверждение
Лемма 4. Операторы А и В являются самосопряженными компактными в пространстве .10,з(О). При этом А является положительным, а В — неотрицательным оператором, Кег В = Кег Я = {п € J0,s : А-1/2о] ■ п = 0} является бесконечномерным подпространством .о^(О).
Доказательство. Действительно, оператор В самосопряжен, поскольку =
Q*Q** = Он компактен в силу компактности оператора Так как оператор
А-1 самосопряжен и компактен в ф,,(П), а Сг самосопряжен и компактен в , то оператор А является самосопряженным и компактным.
Положительность оператора А следует из положительности оператора А-1 и неотрицательности Q*CгQ. Поскольку также неотрицательным является оператор Q*Q, то оператор В неотрицателен. Его ядро, очевидно, совпадает с бесконечномерным ядром оператора Q = 7„А-1/2. □
С учетом обозначений (44) получаем задачу
7(Л)г? := - ЛАП - Л-1Вг? = 0. (45)
Заметим, что при р8 = 0 мы имеем в точности пучок С.Г. Крейна, возникающий при изучении малых движений вязкой жидкости в открытом сосуде (см. [9], [3]). Поэтому данную оператор-функцию назовем модифицированным пучком С.Г. Крейна.
4. Изучение свойств операторного пучка
В силу леммы 4 пучок (45) является пучком С.Г. Крейна. Оказывается, что операторы А и В сохраняют то же асимптотическое поведение собственных значений, что и в задаче о малых движениях вязкой жидкости в открытом сосуде.
Для оператора Q*Q асимптотика собственных значений известна (см. [3], с. 306). Из нее следует, что
Лп(В) = а (76Г)1/2 п-172!1 + °(1)] (п ^ то). (46)
Для того чтобы найти асимптотику собственных значений оператора А нам понадобятся некоторые свойства классов компактных операторов в гильбертовом пространстве. С каждым компактным оператором А связывают невозрастающую последовательность его сингулярных чисел (з—чисел). По определению,
«п(А):= Л„ ((А*А)1/2), п = 1,2,.... (47)
Скорость сходимости сингулярных чисел к нулю выделяет из множества линейные подклассы операторов бр. Именно, оператор А е &р (р > 1), если
те
^ <(А) < то.
П=1
Введем также классы компактных операторов Ер, Е^ (р > 1). Будем говорить, что А е Ер, В е Ер, если
вп(А) = 0(п-1/р), п ^то, (48)
¿«(В) = о(п-1/р), п ^то. (49)
Из определения следует, что Хр и Хр являются линейными множествами, причем справедливы такие включения
6Р С ХР С Хр С &р,, Vp' > p > 1. (50)
На основании данных определений получаем, что
Be Х2 С &р (при p> 2). (51)
Лемма 5. Для всех m,n e N выполняется неравенство
Am+n-1 (Q*CrQ) < Am(Q *Q) • An(Cp).
Доказательство. Известно (см., например, [11], с. 250, а также [12]), что собственные значения компактного оператора находятся как последовательные "минимак-сы" соответствующего вариационного отношения. Имеем
\ <г**п гл\ • (Q*CrQu, u)
Am+n-1 (Q CrQ) = mm max -----, (52)
n — 2 (u,uj
где минимум берется по всевозможным (m + n — 2)-мерным линеалам Mm+n-2 С Jo,sОн достигается в случае, если этот линеал является линейной оболочкой собственных элементов, соответствующих первым m+n—2 собственным значениям. Максимум достигается на собственном элементе u оператора Q*CpQ, отвечающем собственному значению Am+n-i(Q *CpQ) > 0. Поскольку собственные элементы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, то u ± Ker Q* CrQ = Ker Q. Поэтому максимумы в вариационном отношении (52) можно искать среди элементов пространства H := Jo,s© Ker Q.
Пусть Mv := sp ,...,^m-1} — линейная оболочка, натянутая на соб-
ственные элементы оператора Q Q, соответствующие первым (с учетом кратности) m — 1 собственным значениям, а Mq*ф := sp {Q * ^1,Q *^2,...,Q *Фп-1}, где фг e L2,r (i = 1,n — 1) — собственные элементы оператора Cr, соответствующие первым n — 1 собственным значениям. Составим подпространство
M := sp {^1,^2, . . . , fm-1,Q *ф1^ * ф2, ..., Q * фи-l}. Оно имеет размерность не выше m + n — 2, поэтому справедливо неравенство
\ т*п п\ ^ (Q* CrQu, u) (CrQu, Qu) (Qu,Qu)
Am+n-1 (Q CrQ) < max-----= ma^——------—.
u±M (u, u) u±M (Qu, Qu) (u, u)
Поскольку максимум произведения функций не превосходит произведения максимумов сомножителей, и MqD M±, M^ D Mто
\ <г**п гл\ s- (CrQu, Qu) (Qu, Qu)
Am+n-1(Q CrQ) < max ——------— <
+ u±M (Qu,Qu) (u,u)
(C Qu, Qu) (Q Qu, u) (C Qu, Qu) (Q Qu, u)
< ma^^———г— • max—---— < max ———_ . • max —---—. (53)
u±M (Qu, Qu) u±M (u, u) u±MQ(Qu, Qu) -u±Mv (u, u)
Очевидно, что второй сомножитель в правой части (53) равен Am(Q*Q). Докажем, что первый сомножитель равен An(Cr).
Обозначим Q\^ := Q. Осуществим замену n := Qu £ L2,r. Так как u G H, то u = Q-1n. Свойство u ± Mq»^ означает, что для всех элементов Q*^ (i = 1,n — 1) выполнено равенство (u, Q*^) = 0. Отсюда
(u, Q>i) = (Q-1n, Q*^i) = (Q<5-1n, Фг)ь2,г = (n, Фг)ь2,г =0, Vi = Г.
Следовательно, выполнено свойство n ^ M^ := sp {^1,^2,..., ^n-i}, значит
(CrQu, Qu) (Crn,n) \ \
max "TT^—T^T" = -Г" = An(Cp).
(Qu, Qu) (n, n)
□
Для дальнейшего нам понадобиться следующее важное утверждение (см. [13], с. 52, а также [14]).
Теорема 1 (Фань-Цюй). Если A и B — компактные операторы, для которых справедливы соотношения
lim nrsn(A) = а, lim nrsn(B) = 0 (r > 0), (54)
га^-те га^-те
тогда
lim nrsn(A + B) = а. (55)
га^-те
Очевидно, если операторы A и B являются неотрицательными, то всюду в теореме сингулярные числа можно заменить на равные им собственные значения операторов.
Известно (см. [3], с. 306), что для оператора A-1 справедлива асимптотическая формула
An(A-1) = (me?)2/3n-2/3[1 + o(1)]=: CA-1 n-2/3[1 + o(1)] (n ^ то). (56) Отсюда
lim n2/3Ara(A-1) = cA-i > 0. (57)
Докажем, что
lim n2/3A„(Q*CrQ) = 0. (58)
га^-те
Действительно, пусть n = 2m + j, j = 0,1. Тогда согласно лемме 5 имеем A„(Q*CrQ) = A(m+i)+(m+1)-1(Q*CrQ) < Am+i(Q*Q) ■ Am+1(Cr). Известно (см. [3]), что для операторов Q*Q и Cr справедливы асимптотические формулы
A„(Q*Q) = (mff) 1/2n-1/2[1 + o(1)]=: CQ»Qn-1/2[1 + o(1)] (n ^ то), (59) An (Cr )= (m^) 1/2 n-1/2[1 + o(1)]=: ccr n-1/2[1 + o(1)] (n ^ то). (60)
Отсюда получаем
0 < lim n2/3A„(Q*CTQ) < lim (2m + j)2/VQ(m + j)-1/2cCr(m + 1)-1/2 <
«,^-те т^-те
(2m + j)2/3 / j \ 2/3 1
< CQ*QCCr lim -. /2 -. /2 = CQ*QCCr lim 2 + — —^ = (61)
т^те m1/2m1/2 т^те \ m/ m2/3
Очевидно, справедливость соотношений (61) не зависит от выбора значения j = 0,1.
Замечание. Справедливость равенства (58), по-видимому, следует также из общих свойств классов компактных операторов в гильбертовом пространстве. Именно, согласно асимптотическим формулам (59), (60) имеем Q*Q £ Х2, Cr £ Х2. Тогда произведение этих операторов принадлежит классу £-. По-видимому, этому же классу принадлежит оператор Q*CrQ. Тогда для сколь угодно малого е > 0 имеем Q*CrQ £ С ^з/2. Последнее эквивалентно равенству (58).
Таким образом, из справедливости соотношений (57), (58) по теореме Фань-Цюй следует асимптотическое поведение собственных значений оператора A:
A„(A) = CA-1 n-2/3[1 + «(1)] = (meSr) 2/3 n-2/3 [1 + o(1)] (n ^TO). (62)
Такое же асимптотическое поведение собственных значений наблюдается в задаче о собственных колебаниях тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде. Из установленной асимптотики следует, что
A £ X3/2 С Sp (при p> 3/2). (63)
На основании полученной степенной асимптотики операторов A и B для модифицированного пучка С.Г. Крейна (45) справедливо утверждение, доказанное Н.Д. Ко-пачевским (см. [16], [17]).
Теорема 2 (о p-базисности собственных элементов пучка С.Г. Крейна). Пусть для пучка С.Г. Крейна L(A) = I — AA — A-1 B выполнены условия
A = A* £ SpA(H), B = B* £ SpB(H), Ker A = {0}, dimH0 :=dimKerB > 0, dimH1 :=dim{H0Ho} = to, 4||A|| ■ ||B|| < 1, r± = (1 ± V1 — 4||A||.||B||V(2||A||).
Тогда система собственных элементов, отвечающая собственным значениям из отрезка [—r_,r_], после проектирования на H1 образует p-базис в H1 при
Р > Po, Р-1 = Р-1 + P-1.
При тех же p система собственных элементов, отвечающая вещественным собственным значениям вне интервала (—r+,r+), образует p-базис в H.
Определение 1. Будем говорить, следуя В.А. Пригорскому (см. [15]), что базис Рисса {'фпС Н является р-базисом (0 < р < то) гильбертова пространства Н, если
фп = (1 + Т)^п, П е М, где Т е &р, а — ортонормированный базис Н.
Таким образом, задача о нормальных движениях тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде сводится к изучению модифицированного пучка С.Г. Крейна (45) с сохранением всех его основных свойств. Применяя теорему 2 к пучку (45) и используя теорему об асимптотике собственных значений пучка С.Г. Крейна (см. [3], п. 7.2, а также [10]), получаем следующее утверждение.
Теорема 3. Спектр задачи, порожденной проблемой (1) —(7), состоит из беско-нечнократного нулевого собственного значения, а также из конечнократных собственных значений (дискретная часть спектра), расположенных в правой комплексной полуплоскости с предельными точками 0 и +то.
1. Если V2 > 4||А|| ■ ||В||, то дискретный спектр состоит из двух ветвей положительных собственных значений:
А+ = и\к(А-1)[1 + о(1)] = V (^рт) 2/3 к2/3[1 + о(1)] ^ +то (к ^ то), (64)
А- = V-1Ак(В) [1 + о(1)] = О; (тбг) 1/2 к-1/2[1 + о(1)] ^ +0 (к ^ то). (65) При этом
{А+}Г=1 С [г+, +то), {А-}^=1 С (0,г-], (66)
где
г± = (V ± ^2 - 4||Д||.||£||)/(2||Д||).
Система собственных элементов п = отвечающая ветви {А+}£=1, об-
разует р-базис в пространстве (Т) при р > р0 = ((3/2)-1 + 2-1)-1 = 6/7, а система собственных элементов, отвечающая ветви {А-}^=1, после проектирования образует р-базис в подпространстве (Т) 0 Кег В при тех же р.
2. Если V2 < 4||А|| ■ ||В||, то кроме двух упомянутых выше ветвей положительных собственных значений имеется конечное число невещественных собственных значений, расположенных зеркально относительно вещественной оси в секторе
{А е С : Ие А > г+, |А| < г-}. (67)
В этом случае система собственных элементов, отвечающая двум ветвям положительных собственных значений образует р-базис (при р > 6/7) с конечным дефектом в (Т) и (Т) 0 Кег В соответственно.
Автор выражает благодарность проф. Н.Д. Копачевскому за постановку задачи и руководство работой.
Список литературы
Паттерман С. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. - М.: Мир, 1978. - 520 с. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. - 734 с. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. - М.: Наука, 1989. - 416 с. Крейн С.Г. О колебаниях вязкой жидкости в открытом сосуде. // Докл. АН СССР.
- 1964. - 159, № 2. - С. 262-265.
Войтицкий В.И. Малые движения тяжелой сверхтекучей жидкости в открытом сосуде // Нелинейные граничные задачи. - 2009. - Т. 19. - С. 29-48.
Закора Д.А. Малые движения частично диссипативной гидродинамической системы// Межведомственный научный сборник "Динамические системы". - №15. - 1999.
- С. 149-154.
Kopachevsky, N. D., Krein, S. G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2: Nonselfadjoint Problems for Viscous Fluid. — Birkhauser Verlag. - Basel - Boston
- Berlin. 2003. — 444 pp. (Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 146). Gagliargo E. Caratterizzazioni delletrace sulla frontiera relative ad alaine classi di funzioni in n variabili // Rendiconti Sem. Mat. Univ. Padova. -V.27. - 1957. - P. 284-305. Аскеров Н.К. Задача о колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения / Н.К. Аскеров, С.Г. Крейн, Г.И. Лаптев // Функциональный анализ и его приложения. - 1968. - Т. 2, № 2. - С. 21-32.
Кожевников А.Н. Раздельная асимптотика двух серий собственных значений одной эллиптической краевой задачи/ А.Н. Кожевников // Матем. Заметки. - 1977. - Т. 22, № 5. - C. 699-710.
Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б.-С. Надь. - М.: Мир, 1979.
- 587 с.
Курант Р. Методы математической физики. Том 1. / Р. Курант, Д. Гильберт. - М.: Наука, 1951. - 526 с.
Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1965. - 448 с. Ky Fan. Maximum Properties and Inequalities for the Eigenvalues of Completely Continuous Operators / Fan Ky // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1951. - Vol. 37. - P. 760-766.
Пригорский В.А. О некоторых классах базисов гильбертова пространства / В.А. При-горский // Успехи мат. наук. - 1965. - Т. 20, № 5, вып. 125. - С. 231-236. Копачевский Н.Д. О свойствах базисности системы собственных и присоединенных векторов самосопряженного операторного пучка I - AA - A-1B / Н.Д. Копачевский // Функциональный анализ и его приложения. - Т. 15, вып. 2. - 1981. - С. 77-78. Копачевский Н.Д. О p-базисности системы корневых векторов самосопряженного операторного пучка I — AA — A-1 B / Н.Д. Копачевский // Сборник научных трудов "Функциональный анализ и прикл. матемтика". - К: Наукова Думка, 1982. - С. 43-55.
Про нормальш рухи важкоТ надтекучоТ рщини у вщкритш посудит
Вивчаються властивостг спектру лгнгйног початково-крайовог задачг, породженог процесом малих рухгв надтекучог ргдини у вгдкритгй посудит, без урахування впливу капглярних сил. Доведено, що властивостг данног проблеми аналоггчнг властивостям задачг про нормальнг рухи важ-ког в'язког ргдини у вгдкритгй посудит. Дослгджена локалгзацгя спектру, знайдена асимптотика двох гглок власних значень, для вгдповгдних систем власних елементгв встановлена p-базиснгсть у деяких ггльбертових просторах.
Ключов1 слова: штегродиференщальне р1вняння.
On the normal motions of a heavy superfluid in an open vessel
We сопвгйег the spectral properUes of Unear гпгЫа1 boundary value problem, generated by process of small motions of a heavy super-flmd гп an open vessel. In consгderгng model capUlary forces are neglected. We proved that properties of tM,s problem г,з analogous to properties of the problem on normal motions of a vгscous flmd гn an open vessel. We find locatization of the spectrum, asymptotics of two branches of eгgenvalues -юг^ р-basis property of correspondгng eгgenf'unctгons гn some HUbert spaces.
Keywords: Small motions, Hilbert space, modified operator pencil of S.G. Krein, compact self-adjoint operator, compact classes, eigenvalues asymptotics, p-basis property of eigenelements.
