CC BY
10УДК 517.28+517.984.46+517.91
Спектральные задачи сопряжения
К. А. Радомирская
КФУ им. В.И. Вернадского,
Симферополь 295007. E-mail: [email protected]
Аннотация. На базе уже рассмотренного подхода к абстрактным краевым задачам сопряжения разобраны спектральные задачи сопряжения для одной области. Подробно изучен возникший операторный пучок с самосопряженными операторными коэффициентами, действующий в гильбертовом пространстве и зависящий от двух параметров. Рассматривается оба возможных случая, когда один из параметров спектральный, а другой является фиксированным, в зависимости от этого выведены свойства решений.
Ключевые слова: задача сопряжения, гильбертово пространство, формула Грина, спектральные задачи, операторный пучок, спектральный параметр.
Spectral conjugation problems
K. A. Radomirskaya
V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.
Abstract. Spectral conjugation problems for one domain are considered on the basis of the approach already considered to abstract boundary value problems. The resulting operator bundle has been studied in detail. It acts in Hilbert space, it has self-adjoint operator coefficients. Keywords: conjugation problem, Hilbert space, Green's formula, spectral problems, operator bundle, spectral parameter.
MSC 20 10: 34B05, 34B27, 46C07, 47A68
Введение
В одной из предыдущих работ автора [6] был разработан общий подход к изучению смешанных краевых задач сопряжения. С помощью этого подхода разобраны также спектральные задачи сопряжения и получен операторный пучок. В данной статье рассмотрены свойства решений этого пучка в зависимости от фиксированного параметра.
Подробно изучаются спектральные проблемы для смешанных краевых задач в одной области. Установлено, что исходные спектральные проблемы математической физики приводятся к исследованию одного и того же операторного пучка с самосопряженными операторными коэффициентами. Пучок зависит от двух комплексных параметров, один из которых считают фиксированным, а другой — спектральным.
Также рассмотрены свойства решений операторного пучка в двух случаях, когда параметр ц — спектральный, а Л фиксированный и наоборот. Доказаны теоремы о структуре спектра и базисности системы собственных и присоединенных элементов.
© К. А. РАДОМИРСКАЯ
1. Спектральные проблемы, порожденные смешанными краевыми задачами и задачами сопряжения
В области П С Rm с липшицевой границей дП =: Г, разбитой на четыре липши-цевых куска Гд с липшицевыми границами дГд, k = 1, 4 рассмотрим следующую спектральную задачу:
u — Au = Xu =: f (в П), 7!u := u|ri = 0 (на Г!), (1.1)
d2U = ßY2u =: 02 (на Г2), d3u = X^^u =: 03 (на Г3), (1.2)
d4u = X-1 y4u =: 04 (на Г4). (1.3)
В задаче (1.1)—(1.3) на Г1 задано однородное условие Дирихле, на Г2 — условие типа Стефана (или Стеклова), на Г3 — условие М.С.Аграновича (см. [9]), или условие, возникающее в задачах дифракции, на Г4 — условие типа С.Крейна, появившееся в задачах о нормальных движениях тяжёлой вязкой жидкости в частично заполненном сосуде. В этой проблеме имеется два параметра X и ß, один из которых можно считать спектральным, а второй — фиксированным. В частности, в задачах дифракции спектральным является параметр ß £ C (см. [9]). Другой вариант, когда спектральным является X £ C, рассматривается в работах
B.И.Горбачук (см. [2]).
Задачу (1.1)—(1.3) будем исследовать с помощью общего подхода, который рассматривался в предыдущей работе (см. [6]). По этой схеме получаем одну первую вспомогательную задачу С.Крейна и три вторых вспомогательных задач
C.Крейна.
В силу однородного условия Дирихле на Г1, слабое решение задачи (1.1) - (1.3) естественно искать в пространстве
Н,Г1 (П) := {u £ H!(П) : = 0 (на Г1)} С H!(П).
Решение u £ H,^ (П) будем искать в виде суммы решений четырех задач, т.е.
4
u = uk, uk £ Ho1, г1 (П), (1.4)
k=1
где uk — слабые решения таких задач соответственно:
u1 — Au1 = f := Xu (в П), Y1u1 = 0 (на Г1), d2u1 = 0 (на Г2), d 5) d3u1 = 0 (на Г3), d4u1 = 0 (на Г4);
u2 — Au2 = 0 (в П), Y1u2 = 0 (на Г1), д2Щ = 02 := ßY2u (на Г2), (16)
d3u2 = 0 (на Г3), d4u2 = 0 (на Г4);
u3 — Au3 = 0 (в П), Y1u3 = 0 (на Г1), d2u = 0 (на Г2), (17)
д3щ = 03 := Xy3u (на Г3), d4u3 = 0 (на Г4); (.)
и4 — Аи4 = 0 (в П), 71 и4 = 0 (на Г1), д2и4 = 0 (на Г2), ^ д)
д3и4 = 0 (на Г3), д4и4 = := А-1^4и (на Г4).
Чтобы представить решение и в виде (1.4), введем пространство
Н1 (П) := {и е Н 1(П) : дки = е Н-1/2(гк), к = М}
дп гк
(см. [6], п.1) и его подпространство
Н1 п(П):= Н 1(П) П Н1гп(П). (1.9)
Для элементов из НО ^ (П) имеем формулу Грина
4
(П,и)я1(п) = (п,и — Аи)ь2(п) + ^Ып,дки)ь2(гк), V п, и е Н0,Г1(П) (1.10)
к=2
1кп е Н 1/2(Гк), дки = (ди/дп)гк е н-1/2(гк), к = 2Д
Из этой формулы следует, что слабое решение задачи (1.5) определяется тождеством
(П,и1)н 1(п) = (п,1 )ь2(п)(= (пАи)ь2(п), V П е Щ,Г1 (П) и слабое решение имеет вид (см. [6])
щ = А-1/ = АА-1и, (1.11)
где А — оператор гильбертовой пары (Я,], Г1 (П); Ь2(П)).
Далее, слабое решение задачи (1.6) определяется тождеством
(п,щ2)н 1(П) = {12П,Ф2)Ь2(Г2) = (ЪПФЪи)Ь2(Г2), V П е Щ,^ (П)-Это решение задается формулой
Щ = ^2 = №ъи, У2 е С(Н-1/2(г2); Я^П)), ^2 = 72, (1 12) Яо1, Г1Л(П):=Я01, Г1 (П) п Щ1 (П). ^ }
Аналогично рассматриваются задачи (1.7) и (1.8), и их решения выражаются формулами
U = Узфз = \Уз!зЩ Уз G L(Я"1/2(Гз); Я^^)), V3 = j*3, U4 = УаФА = \-1У4Ъи, V4 G L(Н-1/2(Г4); г1>Л(П)), V4 = tf.
:i.13)
Складывая левые и правые части соотношений (1.11), (1.12), (1.13), получаем, что слабое решение и задачи (1.1)—(1.3) должно быть решением следующей спектральной проблемы:
и = А(А-1 + Уз7з)и + У^и + \-1У4ъи, и е Н0,Г1 (П). (1.14)
Это уравнение можно привести к более симметричной форме, воспользовавшись тем, что имеют место свойства
A1/2Vk = (YkA-1/2)k £ L(H-1/2CPk); ЫП)), k = ТД (1.15)
Действительно, представим элемент u £ H, Г1 (П) = D(A1/2), R(A1/2) = Ь2(П), в виде
u = A-1/2v, v £ ¿2(П), (1.16)
подставим это выражение в (1.14) и подействуем на обе части полученного соотношения оператором A1/2 (это можно сделать в силу (1.15)). Тогда взамен (1.14) возникает спектральная задача
L(X,ß)v := (I — ßB2 — X(A-1 + B3) — X-1B4)v = 0, v £ ¿2(П), (1.17)
Bk := (A1/2Vk)(YkA-1/2) = Bk > 0, Bk £ в^(П)), k = 2Д, (1.18)
для операторного пучка L(X,ß) с параметрами X и ß, один из которых можем считать спектральным, другой — заданным фиксированным.
Задача (1.17), (1.18) содержит в себе много известных спектральных проблем, встречающихся в приложениях. Они будут более подробно разобраны в п. 2.
2. Свойства решений при спектральном параметре ß
Рассмотрим подробнее полученную спектральную задачу
L(X, ß)p := (I — ßB2 — X(A-1 + B3) — X-1B^ = 0, ф £ H, X, ß £ C, (2.1)
H = L2^), 0 < Bk = B*k £ &^(H), k = 2,4, 0 < A = Ak £ &^(H). (2.2)
Операторный пучок L(X, ß) зависит линейно и от параметра ß, и от X. Это позволяет исследовать два класса задач: при фиксированном ß £ C возникают задачи со спектральным параметром X в уравнении, а при фиксированном X £ C — задачи со спектральным параметром ß в краевом условии на границе сопряжения.
Рассмотрим случай, когда в пучке L(X,ß) параметр X фиксирован, а ß — спектральный.
2.1. Отрицательные значения параметра.
Рассмотрим задачу (2.1) - (2.2) при X < 0. Обозначим
T (X) = X(A-1 + B3) + X-1B4. (2.3)
Так как T(X) < 0, то оператор I — T(X) > I равномерно по X. Значит существует обратный оператор (I — T(X))-1, ||(I — T(X))-1|| < 1.
Пусть P0 и P1 — взаимно дополнительные ортопроекторы, отвечающие разложению:
H = Ho 0 H1, Ho := ker B2, Hx = H Q H, = ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2017, том 7(35), №1
а I0 и I1 — единичные операторы в H0 и H1 соответственно. Тогда ф = фо + ф1:
(I — T (X))^o + Ф1) = ßB2 (фо + Ф1) = ßB2фo + ßB2 ф1 = B2фl, (2.4)
где B2 = P1B2P1, B2фo = 0, фо = Рофо, ф1 = Р1Ф1, B2 = P1B2. Применим к обеим частям уравнения ортопроекторы Po и P1 :
Po(I — T (X)^o + Po(I — T (X))Pm = ßPoB2фl = 0, (2.5)
P1 (I — T (X)^o + P1(I — T (X))PW1 = ßP1 B2фl = ß^1. (2.6)
Оператор P0(I — T(X))P0 = I0 — P0T(X)P0 > I0 в H0, так как
(Po(I — T(X))Poфo, фо) = ((I — T(X))Poфo, фо) > ||фо||2,
и существует его обратный. Подействуем оператором (P0(I — T(X))P0)-1 слева на обе части уравнения (2.5) и выразим ф0:
фо = —(Po(I — T (X))Po)-1(Po(I — T (X))Pm). (2.7)
Подставим полученное выражение в (2.6)
—P1(I — T (X^^I — T (X))Po)-1(Po (I — T (X))Pm) + P1(I — T (X))Pm = ßB2фl.
Получаем следующее уравнение
(I1 — T1(X)K = ßB2'~p1, (2.8)
где
T1(X) = P1T (X)P1 + P1T (X^I — PoT (X)Po)-1PlT (X)P1. (2.9)
Лемма 1. ker(Il — Tl(X)) = {0}.
Доказательство. Рассмотрим уравнение
(Il — Tl(X))фl = 0, где T1(X) определен в (2.9). Введём фо по формуле (2.7):
фо = — ^(I — T (X))Po)-1(Po(I — T (X))Pm). (2.10)
Имеем формулу (2.6) с ß = 0:
Pl (I — T (X))Poфo + Pl(I — T (X))Pm = 0, (2.11)
а из уравнения (2.10) получаем:
Po (I — T (X))Poфo + Po(I — T (X))Pm = 0, (2.12)
т.е. уравнение (2.5).
Система уравнений (2.11), (2.12) или (2.5), (2.6) с ß = 0 равносильна уравнению:
(I — T(\))ф = 0, ф = фо + ф1, которое имеет тривиальное решение ф = 0, так как I — T(X) > 0I. Поэтому и фо = ф1 = 0. □
При А < 0 оператор Т1(А) = (Т1(А))*, 11 — Т1(А) ^ 0, а значит существует его квадратный корень. Сделаем замену:
(11 — Т1(А))1/2ф1 = (2.13) Подставим ф1 = (11 — Т1(А))-1/2"ф1 в уравнение (2.8)
(/1 — Т1(А))1/2 ф1 = цВ2{11 — Т1(А))-1/2ф1. Подействуем слева оператором (/1 — Т1 (А))-1/2 и получим
ф1 = ЦВ2Ф1, (2.14)
где В2 = (/1 — Т1(А))-1/2В2(/1 — Т1(А))-1/2 > 0, В2 е &^(Н).
В итоге, для случая А < 0 в пучке (2.1) получаем следующую теорему.
Теорема 1. Собственные значения задачи (2.1) при А < 0 образуют положительный дискретный спектр {^к}£=1 с предельной точкой Собственные элементы, отвечающие собственным значениям цк, после проектирования на подпространство Н1} т.е. элементы {ф1к}£=1, ф1к = Р1фк, образуют базис Рисса в Н1у ф1к = (/1 — Т1(А))-1/2^1к, где {^1к}^=1 — ортонормированный базис в Н1. Если выполнены условия
А-1 е &ра_1 , Вз е еРВя, В 4 е , (2.15)
'то элементы ф1к образуют р - базис в Н1 при р > р0 = (ра-1 )-1 + (рВз)-1 + (Рв4)-1.
Доказательство. Первое утверждение о положительном спектре и базисе Рисса доказано в курсе лекций [3], а также следует из (2.13).
Докажем второе утверждение, что при условиях (2.15) образуется р - базис. Для этого рассмотрим оператор (/1 — Т1 (А))-1/2 и докажем, что
(/1 — Т1(А))-1/2 = /1 + Ть Т е &р.
Действительно,
(/1—Т1(А))1/2—/1 = ((/1—Т1(А))—/1)((/1—Т1(А))1/2+/1)-1 = — Т1(А)((/1—Т1(А))1/2+/1))-1.
Здесь первый множитель из &р, второй — ограничен, значит вся правая часть из &р. Получаем:
(/1 — Т1 (А))1/2 = /1 + То, То е &р.
Рассмотрим теперь оператор
/ = (/1 — Т1(А))1/2(/1 — Т1(А))-1/2 = (/1 + То) / — Т1(А))-1/2,
(I1 - 7\(А))-1/2 = / + To)
0)-1
обратный оператор существует по лемме 1, он также из &р. Таким образом
I - т1(Л))-1/2 = Л + Ть Т е &р,
причем того же класса, что и Т1(Л). Так как оператор Т1(Л) имеет структуру (2.9), а Т(Л) — (2.3), то
Р > Р0 = (РА-1)-1 + (РВз)-1 + (РВ4)-1.
□
2.2. Положительные значения параметра Л
(не совпадают со спектром пучков I — Т(Л) и 1о — РоТ(Л)Ро) Рассмотрим задачу (2.1) с фиксированным параметром Л > 0, и пусть Л не принадлежит а(1 — Т(Л)) и а(10 — Р0Т(Л)Ро). Получаем уравнение
(I — Л(А-1 + Б3) — Л-1Б4)Ф = Б ф, (2.16)
которое снова можно спроектировать на подпространства Н0 и Н1 (Н = Н0 ф Н1). Обозначим
Т(Л) = Л(А-1 + Бз) + Л-1Б4, Т(Л) е &^(Н) и проделаем те же преобразования, что и в пп. 2.1:
(1о — РоТ (Л)Ро)фо = РоТ (Л)Р1ф1, (2.17)
Ф1 — Р{Т (Л)(фо — ф1) = 11Б2Ф1. (2.18)
Оператор (1о — РоТ(Л)Ро)-1 существует, так как Л не из а(1о — РоТ(Л)Ро). Выразим элемент фо из (2.17), подставим его в (2.18) и получим:
(11 — Т1(Л))ф1 = ^Б2ф1, (2.19)
где Т1(Л) = Р1Т(Л)Р1 + Р1Т(Л)Ро(1о — РоТ(Л)Ро)-1РоТ(Л)РЬ Б2 = Р1Б2Р1 — полный оператор.
Лемма 2. Существует обратный оператор (I1 — T1(X))
1
Доказательство. Пусть (I1 — T1(X)^1 = 0. Аналогично доказательству леммы 1 из этого следует, что (I — T^))ф = 0.
Так как X не принадлежит a(I — T(X)), то существует (I — T(X))-1 и это значит, что ф = 0. Следовательно фо = P0ф = 0, ф1 = P1 ф = 0 и существует (I1 — Tl(X))-1. □
Рассмотрим задачу на собственные значения :
/ - Т1(Л))^1 = ф Т1(Л)ф1 = (1 - и)ф!, Т1(Л) € ете(Я), (2.20)
значит существуют := 1 — £к, £к ^ 0 (к ^ то) по теореме Гильберта -Шмидта.
ф1 = ^ Скф1к = ^(ф1, )ф1к, (2.21)
к к
(/1 — Т1 (Л))ф1к = Рк ф1к = (1 — Й )ф1к. (2.22)
Расположим Ук в следующем порядке:
1 — Й < 1 — £2 < ... < 1 — Й < 0 < 1 — ь'к+1 < 1 — £К+2 < ••• < то. Получаем
те К1 те
((/1 — Т1(Л))ф1, Ф1) = £ £к\\Ск\\2(ф1к, Ф1к) = — "к)Ы2 + ^(1 — Vк)\\вкII2.
к=1 к=1 К1+1
(2.23)
Получаем индефинитную метрику и пространство Понтрягина Н = Пк = П_[ф]П+. В уравнении (2.23) первое слагаемое принадлежит пространству Н_, второе — Н+.
Теорема 2. Пусть Л> 0 и не принадлежит ни а(/ — Т(Л)); ни а(/0 — Р0Т(Л)Р0), квадратичная форма оператора /1 — Т1(Л) принимает отрицательные значения на подпространстве П_ размерности к1} а на остальном пространстве П+ — положительные.
Тогда спектр задачи (2.1) вещественный, дискретный и состоит из к1 штук отрицательных собственных значений , а остальные — положительные
с предельной точкой +то.
При этом собственные э.ле.мент,ы (присоединённых нет) образуют ортонор-мированный по форме /1 — Т1(Л) базис и базис Рисса. Элементы базиса должны удовлетворять соотношениям:
((/1 — Т1(Л))ф1к, Фц) = ±5ц, (2.24)
(В2ф1к, Фц) = ±^_15кц, (2.25)
знак минус — для к = (1, к1), а плюс — для к > к1 + 1. Доказательство. Представим в (2.19) оператор /1 — Т1(Л) в виде:
/1 — Т1(Л) = /1 — Т1(Л)\1/2Зк\/1 — Т1 (Л) |1/2, (2.26)
где к > 0 — ранг индефинитности оператора /1 — Т1(Л), а — каноническая симметрия.
Представление (2.26) возможно, так как Л не принадлежит а(1 — Т(Л)) и а(1о — РоТ(Л)Ро). В этом случае |11 — Т1 (Л)| ^ 0 и потому существует ограниченный обратный оператор |11 — Т1(Л)|-1/2. С учетом представления (2.26) задача (2.19) равносильна задаче
= ^Б2(ЛК (2.27)
Ь1 = |11 — Т1 (Л)|-1/2ф1, Б2(Л) := |11 — Т1(Л)|-1/2Б2|11 — Т1(Л)|-1/2.
Перепишем задачу (2.27) с учетом свойств Jк:
ЛБ2(ЛК = 6иъ 6 = /л-1. (2.28)
Так как Б2(Л) > 0 и компактен, то оператор JKБ2(Л) — компактный и — положительный, т.е.
^Б2(ЛК ^1] := ^^Б2(Л)К ^1) = (Б2(ЛК > о, 11 = о.
Таким образом оператор JKБ2(Л) удовлетворяет условиям известной теоремы о свойствах спектра и системы собственных элементов таких - самосопряжённых, неотрицательных операторов, действующих в пространстве Понтрягина Пк с индефинитным скалярным произведением
[щ, 1*1] := ^КП1,У1), Ущ, У1 е Нь
см. [7].
Согласно выводам из этой теоремы, задача (2.28) имеет дискретный вещественный спектр {6кс предельной точкой в нуле, а собственные элементы {и1к отвечающие собственным значениям {6к}&=1, образуют базис Рисса в Н1. При этом первые к собственных значений задачи (2.28) отрицательны, остальные — положительны. Если потребовать, чтобы для собственных элементов функционал (■1ки, у) = [и, у] равнялся по модулю единице, то приходим к формулам
[11к ,113 ] = ±63, ((11 — Т1(Л))ф1* ,ф1з) = ±63,
(Б2ф1к, ф1]) = ±ßk ö,
kj,
где —6кз — для к = (1, к1), +6кз — для к > к1 + 1. □
2.3. Случай общего положения
Рассмотрим более общий случай, когда 1тЛ = 0, но Л не совпадают с а(1 — Т(Л)). Снова перепишем задачу в виде
(I — Л(А-1 + Бз) — Л-1Б4)ф = /Б 2 ф.
Обозначим Т(Л) = Л(А-1 + Б3) + Л-1Б4, Т(Л) е &^(Н), получаем задачу
(I — Т (Л))ф = /Б2ф. (2.29)
Рассмотрим случай, когда ReA < 0, а значит Л не принадлежит a(I — T(Л)). Получаем следующие оценки для вещественной части квадратичной формы:
||(I — T(Л))ф|| • М > |((I — T(Л))ф, ф)| > Re((I — T(Л))ф, ф) =
= (ф, ф)2 — ReA((A-1 + Б3)ф, ф) — R^(В4ф, ф) > (I + |ReA|)^, ф) > ||ф||2.
Сократим левую и правую части на ||ф|| и получим:
||(I — T (Л))ф|>|ф|. (2.30)
Это означает, что существует (I — T(Л))-1 и ||(I — T(Л))-1|| < 1 равномерно по Л.
Рассмотрим уравнение (2.29), как и в предыдущих случаях спроектируем его на подпространства Ho и H1:
(Io — PoT (Л)Ро)фо + (Io — PoT (Л)Р1)Р1ф1 = 0, (2.31)
—P{T (Л)Ро фо + (I1 — P1T (Л)Р1)ф1 = ^В2ф1- (2.32)
Так как Л не принадлежит a(I0 — P0T(Л)Р0), то существует (I0 — P0T(Л)Р0)-1. Выразим ф0 из (2.31):
ф0 = (I0 — P0T (A)Po)-1PoT (Л)Р1ф1 и подставим его в (2.32):
(I1 — Tl(A))фl = ^В2ф1, (2.33)
где Tl(A) = P1T(Л)Р1 + P1T(A)Po(Io — PoT(A)Po)-1PoT(Л)Р1, В2 = Р1В2Р1 — полный.
Лемма 3. Существует обратный оператор (I1 — T1(A))-1; T1(A)-1 = I1 + T1, T1 Е &^(H).
Доказательство. Проводится аналогично доказательству леммы 1. Так как ImA = 0, ReA < 0, то существует (I — T(A))-1, а значит и (I1 — T1(A))-1. □
Теорема 3. Пусть в задаче (2.1) ImA = 0, ReA < 0, Вк = В*к > 0 Е &^(H), A = A * > 0 Е &<x(H). Пусть также выполнено условие
В2 Е &P(H). (2.34)
Тогда получаем дискретный спектр, состоящий из конечнократных собственных значений [fкс единственной предельной точкой f = то. Сколь бы ни было мало £ > 0, все собственные значения, кроме, быть может,, конечного их числа, расположены в угле
л£(Л) := [f Е C : \ arg f\ < £; sign Imf = —sign ImA}.
После проектирования на Hi система собственных и присоединённых элементов [ф\кзадачи (2.1), отвечающая собственным значениям {¡k}ь=1, является полной в Hi.
Имеется степенная асимптотика собственных значений Xj(B2)
Xk(B2) = ceBk-l3°(1 + o(1)), cB > 0, во > 0, k ^ ж, (2.35)
то для собственных значений {¡k}£=1 задачи (2.1) справедлива асимптотическая формула
ik(X) = X-i(B2)(1 + о(1)), k ^ж. (2.36)
Система элементов {Р1фкобразует базис Абеля - Лидского в Hi.
Доказательство. Если выполнено условие (2.34), то оператор B2 = PiB2Pi G Sp(H) и мы попадаем в условия первой теоремы Келдыша. Отсюда следуют выводы о спектре, собственных значениях и полноте в Hi = R(B2).
Теперь докажем, что для оператора выполнено условие (2.35), тогда собственные значения ¡k(X) этой задачи имеют асимптотическое поведение (2.36).
Доказательство этого утверждения следует из результата М.В. Келдыша [1], теорема 5.11.1. На самом деле, если выполнено условие (2.35), то для функции распределения
N(r; B2) :=£ 1
ak<r
характеристических чисел ak оператора B2 (т.е. собственных значений невозмущённой задачи aB2u = u), выполнено условие
1 N(r; B2) _1 lim -—¡--= const = c- > 0.
r^^ rl/Po B
Поэтому выполнены условия теоремы 5.11.1 из [1] и имеет место асимптотическая формула (2.36).
Докажем последнее утверждение теоремы. Перепишем уравнение (2.33) в виде
(Ii - Ti(X) - ¡B2)^i = 0, Ф1 G Hi. (2.37)
В уравнении (2.37) осуществим замену
(Ii - Ti(X))^i := £1.
Так как по лемме 3 существует ограниченный обратный оператор (Ii — Ti(X))-i, то взамен (2.37) получаем
B2(Ii + Ti)£i = S£i, 6 = ¡i-i,Ti G &^(H).
Здесь оператор В2(11 + Т\) — слабое возмущение оператора В2, собственные значения которого имеют степенную асимптотику (2.36). Отсюда следует, что В2 принадлежит классу операторов С &Р(И1) при р > во1. Поэтому по утверждению 1 с. 292 из [9] получаем, что оператор В2(11 + Т1) Е А(а, И1), т.е. собственные и присоединённые элементы )к }к=1 образуют базис Абеля - Лидского порядка а > во"1. Заметим теперь, что собственные и присоединённые элементы задачи (2.37) связаны соотношениями:
(II - Т1(Х))ф1к = <1 , к, к =1, 2,...,
где Т1(А) ограничен и ограниченно обратим.
Отсюда следует, что элементы ф1 ,к образуют базис, эквивалентный базису Абеля - Лидского порядка а > во"1, т.е. базису {<1 ,к}те=1. Тогда можно убедиться, что и сами элементы образуют базис Абеля - Лидского порядка а > во"1. В самом деле, если ф — произвольный элемент И1, то разложим Т1(А)ф в ряд по базису Абеля - Лидского {<1, к:
те
Т1 (А)ф = Ск<1,к, Ск = (Т1(А)ф, С!,к), (2.38)
к=1
где {<1, к}к=1 — биортогональный базис к базису {<1 ,к}те=1. Применим к обеим частям Т1(А)-1 и получим
те
ф = ^(ф, Т*(А)<1,к)ф1к, (2.39)
к=1
т.е. разложение в ряд по элементам ф1к произвольного ф Е И1.
Таким образом элементы ф1к образуют базис в И1, и коэффициенты Ск := (п, Т*(А)(1, к) находятся однозначно. В силу ограниченности и ограниченной обратимости Т1(А) характер сходимости в равенствах (2.38), (2.39) один и тот же. Отсюда следует, что если ряд (2.38) сходится по Абелю - Лидскому, то так же сходится и (2.39), т.е. элементы {п1,к}те=1 также образуют базис по Абелю - Лидскому порядка а > во"1. П
3. Свойства решений при спектральном параметре А
Теперь рассмотрим случай, когда в пучке
Ь(А, ¡)ф := (I - В - А(А-1 + Вз) - А~1ВА)ф = 0, ф Е И, А, 1 Е С, (3.1)
0 < Вк = Вк Е &те(Ь2(П)), к = 2,4, 0 < А = А* Е &те(И). параметр ¡ фиксирован, а А — спектральный.
3.1. Неположительные значения параметра
Рассмотрим уравнение
Ь(А)ф := (I - ßB2 - А(А"1 + Вз) - А-1В4)ф = 0, перепишем его в виде
(I - цВ2)ф := А(А-1 + Вз)ф + А-1Вф. (3.2)
Оператор I - ßB2 ^ 0, значит существует (I - ¡iB2)1/2. Сделаем в (3.2) замену (I - ¡1В2)112Ф = ф-
(I - В)1/2ф = А(А-1 + Вз)^ - В)-1/2ф + А-1B4(I - ^В2)-1/2ф. (3.3)
Подействуем в (3.3) слева оператором (I - ßB2)-1/2 и получим следующую симметризацию
ф = А^-ßB2)-1/2(A-1+B3)(I-ВГ^ф+А-1^-ßB2)-1/2B4(I-^В2)-1/2ф. (3.4)
В (3.4) оператор A-1 + В3 > 0, (I - ßB2)-1/2 — самосопряжённый оператор, В4 ^ 0. Таким образом, оператор в первом слагаемом — самосопряжённый, компактный, положительный; оператор во втором слагаемом — самосопряжённый, компактный, неотрицательный. Получаем в точности пучок Крейна. В дальнейшем нам понадобится следующая промежуточная лемма.
Лемма 4. Имеет место следующая оценка
II(I - В)-1/2\\< 1.
Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму
||(I - ^В2)ф||||ф||> ((I - В)ф, ф) >\1Ф\12.
Первое неравенство следует из неравенства Коши - Буняковского. Сократим левую и правую части на | ф| и сделаем замену
(I - В)фф = П ^ ф = (I - В)-1п.
Получаем
N|>||(I - ^В2)-1п||,
а значит, ||(I - ßB2)-1|| < 1 и (I - В)-1/2 < 1. □
Из курса лекций [3] следует, что для факторизации пучка (3.4) нам необходимо следующее условие
4||A|H|B|| < 1,
где A и В — операторы пучка.
Используя лемму 4, рассмотрим следующие оценки
4||(I-ßB2)-1/2(A-1+B3)(I-ßB2)-1/2U(I-ßB2)-1/2B4(I-ßB2)-1/2W< 4||(I-ßB2)-1/2
||A-1 + Вз| • ||(I - B)-1/21| • ||B4| • ||(I - В)-1/2Ц < 4||A-1 + Вз| • ||B4|.
Пусть 4||A-1 + Вз|| • ЦВ4Ц < 1, тогда имеет место факторизация пучка (3.4). Можем сформулировать следующий результат.
Теорема 4. Пусть для пучка (3.1), в котором
Л-1+Вз = Л = Л * Е &X(H), BA = В = В * Е &X(H), kerЛ = {0}, H = Hi®H0, Ho := kerB,
выполнено условие, достаточное для факторизации 4||А-1 + В3|| • ||В4|| < 1 тогда:
1. Пучок (3.1) имеет дискретный вещественный спектр с предельными точками в 0 и то.
2. Предельной точке А = 0 отвечает ветвь изолированных конечнократных собственных значений на отрезке (0,г_) С К. Соответствующая система собственных элементов образует базис Рисса в И1 (после проектирования на
3. Предельной точке А = то отвечает ветвь изолированных конечнократных собственных значений на (г+, то). Соответствующая система собственных элементов образует базис Рисса в И.
Пусть А Е &РА (И), В Е &Рв (И). Тогда
4. Система собственных элементов, отвечающая собственным значениям из (0,г_), после проектирования на И1 образует р - базис в И1 при р > ро, р_ =
5. Соответственно система собственных элементов, отвечающая собственным значениям в промежутке (г+, то), образует р - базис в И при тех же р.
Доказательство. После проектирования на И1 = И 0 Ио (см. п. 2.1 - 2.2) мы получаем полный оператор В2 = Р1В2Р1, кег В2 = {0}. Для нашего пучка применимы выводы для пучка Крейна из [3] теорема 3.1.2 и теорема 3.2.1. Отсюда и следуют выводы теоремы. □
3.2. Вещественная часть 1 не положительна
Рассмотрим случай, когда параметр А спектральный, а И,е1 < 0. Снова рассмотрим уравнение (3.2)
ЦЦ-ВМШ > \((I—ßB2)if, ф)\ > Re((I-ßB2)V, ф) = ||ф||2-КеМВ2ф,ф) > ||ф||2.
Если (I - ¡В2)ф = 0, то ||ф|| = 0 и ф = 0. Таким образом, существует обратный оператор (I - ¡В2)_1. Сделаем замену в (3.6):
hi = h е Ho).
(PA+ (Рв )-i.
(I - В)ф := А(А_ + Вз)ф + А_хВф. Оценим по модулю квадратичную форму ¡((I - ¡В2)ф, ф)|:
(3.5)
(3.6)
(I - = Ф, ф = (I - В-1Ф-
Получим
||фп > |(I- ^В2)-1ф||, ||(I - В)-1Ц< 1.
Подействуем в (3.5) слева оператором (I - ßB2)-1 (так как оператор I - ßB2 не является самосопряжённым, то не существует оператора (I - ßB2)-1/2 как в п. 3.1). Получаем
Ф = АЦ - ßB2)-1(A-1 + Вз)ф + А-1(I - ¡iB2)-1BiV. (3.7)
Оператор (I - ßB2)-1 является близким к I. Получаем слабое возмущение оператора B2 и можем сформулировать следующий вывод.
Теорема 5. Пусть в задаче (3.5) выполнены условия теоремы 4, Reß < 0. Тогда
1. если выполнены условия
A-1 + Вз Е &P(H); В4 Е &Р(И), (3.8)
то после проектирования собственных элементов на подпространство И1 = И Q И0 задача (3.5) имеет дискретный спектр, состоящий из конечнократных собственных значений {Ак(ß)}kL1 с единственной предельной точкой А = ж. Сколь бы мало ни было £ > 0, все собственные значения Ак(ß), кроме, быть может,, конечного их числа, расположены в углах
—£ < arg А < £, П - £ < arg А < П + £.
Система собственных и присоединённых элементов, отвечающая собственным значениям {Ак(ß)}kL1, является полной в И.
2. Если вместо (3.8) выполнено более сильное асимптотическое условие
Ак(В4) = cAk-ao(1 + о(1)), Ca > 0, ао > 0, k ^ ж, (3.9)
то для собственных значений задачи имеет место асимптотическая формула
Ак(ß) = -А-1^^ о(1)), k ^ж.
Система собственных и присоединённых элементов образует базис Абеля -Лидского порядка а > а0 в пространстве И.
Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы о спектре и полноте имеет место по теореме М.В. Келдыша (см. [3]).
2. Если выполнено условие (3.9), то операторы A-1 + Вз и В4 принадлежат классу компактных операторов S(p) при p > а-1. Поэтому для этого случая справедливы выводы из доказательства теоремы 3. Отсюда и следует утверждение об асимптотике и базисе по Абелю - Лидскому. □
4. Заключение
Операторный пучок, полученный при решении спектральной краевой задачи сопряжения (1.1)—(1.3), содержит в себе много известных спектральных проблем, встречающихся в приложениях. В зависимости от фиксированного параметра получаем различные свойства пучка и соответствующие теоремы о структуре спектра.
Список цитируемых источников
1. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов. — М.: Наука, 1965. — 448 с.
Gokhberg I.C., Krein M.G. Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators. — М.: Nauka, 1965. — 448 p.
2. Горбачук В.И. Диссипативные граничные задачи для эллиптических дифференциальных уравнений // Функциональные и численные методы математической физики. Ин-т матем. и механики: сб. научн. трудов. — К.: Наукова думка. — 1998. — С. 60-63.
Gorbachuk V.I. Dissipative boundary value problems for elliptic differential equations (in Russian) // Functional and numerical methods of mathematical physics. Institute of Mathematics and Mechanics: a collection of scientific papers. — K.: Naukova Dumka — 1998. — pp. 60-63.
3. Копачевский Н.Д. Спектральная теория операторных пучков // Специальный курс лекций. — 2009. — 128 с.
Kopachevsky N.D. Spectral theory of operator beam // Special course of lectures — 2009.
4. Копачевский Н.Д., Радомирская К.А. Абстрактные смешанные краевые задачи сопряжения // Международная научная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - V"(Ростов-на-Дону). — 2015. — С. 211.
Kopachevsky N.D., Radomirskaya K.A. Abstract mixed boundary value problems of conjugation (in Russian) // Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis V (Rostov-on-Don). — 2015. — p. 211.
5. Копачевский Н.Д., Радомирская К.А. Абстрактные краевые и спектральные задачи сопряжения // XXVI Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (Батилиман(Ласпи)). — 2015. — С. 52.
Kopachevsky N.D., Radomirskaya K.A. Abstract boundary and spectral conjugation problems // XXVI KROMSH. — 2015. — p. 52.
6. Копачевский Н.Д., Радомирская К.А. Абстрактные смешанные краевые и спектральные задачи сопряжения и их приложения // Современная математика. Фундаментальные направления.— М., РУДН. — 2016. — Т.61— С. 67-102.
Kopachevsky N.D., Radomirskaya K.A. Abstract boundary and spectral conjugation problems and their applications // Contemporary Mathematics. Fundamental Directions.— М., RUDN. — 2016. — Т.61— pp. 67-102.
7. Понтрягин Л.С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1944. — Т.8, № 6. — С. 243 - 280.
Pontryagin L.S. "Hermitian operators in a space with indefinite metric"// Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat. — 1944. — Т.8, № 6. — pp. 243-280.
8. Старков П.А. Операторный подход к задачам сопряжения // Ученые записки ТНУ им. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". — 2002. — Т.15(64), № 2. — С. 82-88.
Starkov P.A. Operator approach to the conjugation problems // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. Series "Mathematics. Mechanics. Informatics and Cybernetics.". — 2002. — Т.15(64), № 2. — pp. 82-88.
9. Agranovich M. S., Katsenelenbanm B. Z, Sivov A. N., Voitovich N. N. Generalized method of eigenoscillations in difraction theory. — Berlin: Wiley-VCN, 1999.
10. Gohberg I., Goldberg S. Basic Operator Theory. — Boston: Birkhaser, 1980. — 448 p.
11. Kopachevsky N.D., Krein S.G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid-Birkhauser Verlag.—Basel-Boston-Berlin. — 2001. — 384 p.
12. Kopachevsky N.D., Krein S.G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol2: Nonselfadjoint Problems for Viscous Fluid-Birkhauser Verlag. —Basel-BostonBerlin. — 2003. — 444 p.
13. McLean W. Strongly elliptic systems and boundary integral equations. — Cambridge University Press, 2000.
14. Voytitsky V. I., Kopachevsky N. D. On the modified spectral Stefan problem and its abstract generalizations // Birkhauser Verlag, Basel (Switzerland). — 2009. — T.191.— P. 373-386.
Получена 06.03.2017
