Колебания идеальной стратифицированной жидкости c упругой мембраной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2019, том 9(37), №1, 26-45 УДК 517.98

Колебания идеальной стратифицированной

__о о

жидкости c упругой мембраной

Д. О. Цветков

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Симферополь, 295007, e-mail: tsvetdo@gmail.com

Аннотация. Изучается задача о малых движениях и нормальных колебаниях идеальной стратифицированной жидкости с упругой мембраной на «свободной» поверхности. Используя метод ортогонального проектирования и введения вспомогательных задач, исходная начально-краевая задача сводится к равносильной задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. Получены условия, при которых существует сильное по времени решение начально-краевой задачи, описывающей эволюцию данной гидросистемы. Изучена структура спектра, вопросы базисности собственных функций.

Ключевые слова: стратифицированная жидкость, упругая мембрана, начально-краевая задача, метод ортогонального проектирования, задача Коши в гильбертовом пространстве, сильное решение, спектральная задача, собственные функции.

Oscillations of an ideal stratified fluid with an elastic membrane

D. O. Tsvetkov

V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.

Abstract. We study the problem on small motions and normal oscillations of an ideal stratified fluid with an elastic membrane on the «free» surface. Using method of orthogonal projecting the boundary conditions on the moving surface and the introduction of auxiliary problems of the original initial-boundary value problem is reduced to the equivalent Cauchy problem for a differential equation of second order in some Hilbert space. We find sufficient existence conditions for a strong (with respect to the time variable) solution of the initial-boundary value problem describing the evolution of the specified hydrodynamics system. The spectrum of normal oscillations, basic properties of eigenfunctions and other questions are studied.

Keywords: stratification effect in ideal fluids, differential equation in Hilbert space, strong solution, normal oscillations, spectral problem, eigenvalues, Riesz basis. MSC 2010: 76B70, 35D35, 35P05

Введение

Создание резервуаров большой емкости для хранения жидкости в сейсмоопас-ных районах и транспортировки жидких грузов требует тщательного анализа возможного резонансного возбуждения волновых движений жидкости. Одним из средств ограничения ее подвижности могут быть мембраны или пластинки, закрывающие свободную поверхность жидкости.

© Д. О. ЦВЕТКОВ

В статье [1] исследована плоская задача о малых колебаниях физического маятника, содержащего идеальную двухслойную жидкость с упругой мембраной на «свободной» поверхности. (Под «свободной» будем понимать верхнюю границу жидкости. Поскольку мембрана все же является механическим ограничителем движений жидкости, то этот термин используется в кавычках.) С использованием теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве доказано существование дискретного спектра собственных частот колебаний. В работах [2] — [6] рассмотрены задачи о колебаниях однородной и многослойной идеальной и вязкой жидкости с упругими мембранами на «свободной» поверхности и границах раздела жидкостей. Методами функционального анализа были изучены вопросы разрешимости начально-краевых задач, структуры и характера спектра нормальных колебаний.

В представленной работе рассматривается задача о малых движениях и нормальных колебаниях идеальной стратифицированной жидкости с упругой мембраной на «свободной поверхности». В частности, исходная задача сводится к дифференциально-операторному уравнению второго порядка в некотором гильбертовом пространстве, при этом структура операторных коэффициентов имеет более сложную структуру, чем в представленных выше работах (многослойные однородные жидкости), что приводит к усложнению получения итоговой теоремы о разрешимости.

1. Эволюционная задача

1.1. Математическая формулировка задачи

Пусть идеальная стратифицированная жидкость, плотность которой в состоянии покоя изменяется вдоль вертикальной оси, частично заполняет неподвижный сосуд и занимает в состоянии покоя область П, ограниченную твердой стенкой Б и горизонтальной границей Г, на которой находится упругая мембрана. Обозначим через рт поверхностную плотность мембраны, а через а — величину ее предварительного растяжения. Считаем, что на границе дГ мембрана закреплена, то есть ее смещение равно нулю. Введем систему координат 0х\х2х31 жестко связанную с сосудом, таким образом, что ось 0х3 направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится на Г. Обозначим через п единичный вектор, нормальный к дП и направленный вне П, через р0 = р0(х3) — плотность жидкости в состоянии покоя. Предполагаем далее, что твердая стенка Б С дП является липшицевой поверхностью, причем дБ = дГ — липшицева кривая.

Отметим, что вертикальное отклонение мембраны х3 = £(Ь, X), X = (х\, х2) £ Г, при ее малых колебаниях удовлетворяет уравнению (см., например, [7, с.34]):

где Д2 — двухмерный Лапласиан, а Р(Ь,х) — давление, действующее на единицу площади мембраны сверху вниз.

р = аА2( + P (t,x),

(1.1)

Будем рассматривать основной случай устойчивой стратификации жидкости по плотности:

0 < N2гтп < N2(хз) < М2тах = N02 < ж, N2(хз) = -Р^ту, Ро(0) > 0, (1.2)

Функцию N(х3) называют частотой Вяйсяля-Брента, или частотой плавучести. В состоянии покоя давление в жидкости распределено по закону

Г хз

ро = ро(хз) = Ро(0) - д Ро(т)йт. (1.3)

./о

Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к состоянию покоя. Обозначим через и = и(Ь,х), х = (х1,х2,х3) Е П поле скорости в жидкости, р = р(Ь,х) — отклонение поля давлений от равновесного давления (1.3), а через р = р(Ь, х) — отклонения поля плотности от исходного поля р0(х3). Кроме того, полагаем, что на исследуемую гидродинамическую систему дополнительно к гравитационному полю действует малое поле внешних сил / = /(Ь,х), х Е П.

Линеаризованные уравнения для определения функций и, р, р имеют вид:

ди

дх = Р-1(хз)(-Ур - дрез + ^А и) + !(х,1) (в П), (1.4)

ат! =0( в П), | + Уро • и = 0( в П). (1.5)

На твердой стенке Б для вязкой жидкости должно выполняться условие непротекания:

и •п =: ип = 0 (на Б). (1.6)

Кроме того, вертикальные отклонения жидкости на мембранной перегородке равно вертикальному отклонению мембраны. Отсюда вытекает следующие кинематическое условие:

= ип = и • п (на Г). (1.7)

дЬ

Динамическое граничное условие получается из уравнения мембраны (1.1). Раскладывая давление Р(Ь,х) по формуле Тейлора в точке хз = 0 и оставляя при этом только линейный член, приходим к условию:

д 2(

Рт оф = аА2( - дро(0)С + р (на Г). (1.8)

Таким образом, малые движения исходной системы описываются следующей начально-краевой задачей:

du

Ро

dt

-1Ы(- gfa) + f(t,x) (вП), (1.9)

divu = 0, ддр + УРо • u = 0 (вП), (1.10)

и • п =: ип = 0 (на Б), ип = ^т (на Г), [(¿Г = 0,

т ,/г

д2С

рт дф = ( - дро(0)( + р (на Г), < = 0( на дГ), (1.11)

и(0,х) = и°(х), р(0, х) = р0 (х) (х Е П), ((0, х) = (о(х) (х Е Г). (1.12)

Последние три условия - это начальные условия, которые добавлены к задаче для полноты ее формулировки, ( dГ = 0 — условия сохранения объема, второе условие (1.11) — условие закрепления мембраны по контуру.

1.2. Закон баланса полной энергии

Прежде чем исследовать задачу (1.9) — (1.12), выведем закон баланса полной энергии данной гидродинамической системы. Будем считать, что задача имеет классическое решение, то есть такие функции и(Ь,х), р(Ь,х), р(Ь,х) и £(Ь,х), для которых все слагаемые в уравнениях и краевых условиях являются непрерывными функциями своих переменных.

Лемма 1. Для классического решения задачи (1.9) — (1.12) имеет место закон баланса полной энергии:

1 d 2 ^ dt

g2 I [ро(xs)N2(xs)]-1\p\2 dQ + a i (|V2<|2 + a-1gpo(0)\(|2) dr) +

+ (J Po(x3)\u\2 dQ + рт Jr \d(/dt\2 dT^j

Po(x3)f •udQ. (1.13)

Левая часть (1.13) представляет собой сумму производной по Ь полной кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Полная кинетическая энергия (вторая скобка слева) равна сумме кинетической энергии жидкости в области П и кинетической энергии мембраны. Полная потенциальная энергия (первая скобка) равна сумме потенциальной энергии, обусловленной наличием сил плавучести и потенциальной энергии мембраны. Правая часть (1.13) есть мощность внешних сил.

п

1.3. Исключение поля плотности

В начально-краевой задаче (1.9) — (1.12) можно исключить одну искомую функцию — поле плотности р(Ь,х), если ввести взамен поля скорости и(Ь,х) поле малых смещений частиц жидкости у(Ь,х), связанное с и(Ь,х) соотношениями

дУ

— = и, = 0 (в П), (1.14)

дЬ к ' у 1

тогда р(Ь,х) = -ро(х3)у3(Ь,х) + /о(х), где /о(х) := р(0,х) + р0(х3)у3(0, х), у3 := V•бэ.

С учетом сказанного перепишем исходную задачу (1.9) — (1.12) в виде:

д2 V

— = -р-1 (хз)Ур - N2(хз^зез + фо(х), ^у V =0 (вП),

/д 2 из

Vз ^Г = 0, р = аБа из + Ртда (на Г), (1.15)

д V

— (0,х) = и(0,х) = и(х), у(0,х) = V0(х), из(0,х) = С(0,х) = Со(х) (х Е Г). Линейный дифференциальный оператор Ба задается выражением:

Ба := -А2Уз + а-1дро(0)уз (1.16)

на области определения Т>(БСТ) = { ( Е Н2(Г) | ( = 0 (дГ) }.

1.4. Проектирование уравнений движения

Начально-краевую задачу (1.15) приведем в дальнейшем к дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве. Для этого применим прием проектирования первого уравнения (1.15) на ортогональные подпространства (см. [8]). Свяжем с функцией ро гильбертово пространство Ь2(П,ро) вектор-функций со скалярным произведением

( u,v) = p0(x3)u(x)v(x) dП.

Jn

Имеет место следующее разложение (см. подробнее, например, [9]):

Ь2(й,ро) = /о(П,ро) 0 Gh,s(П,ро) 0 Со,г(П,ро), (1.17)

где

/о(П,ро) = {v Е Ь2(П,ро) : divv = 0 (вП), vn = 0 (на дП) } , GKs(П, ро) = { v Е Ь2(П,ро) : v = р-1 Vp, vn = 0 (на S), V^v = 0 (в П), JpdT = 0 },

Gо)г(П, ро) = { w Е Ь2(П,ро) : w = р-^ф, ф = 0 (наГ) }.

Будем считать v(t,x) и p-lVp(t,x) функциями переменной t со значениями в Ь2(П,ро), тогда в силу уравнений и граничных условий (1.15), ортогонального разложения (1.17) имеем

v(t,x) Е .Уо(П, ро) 0 Gh,s(П, ро) =: Js(П,ро), p^Vp(t,x) Е Gо,г(П,ро) 0 Gh,s(П, ро) =: G(П,ро). Поэтому при каждом t будем разыскивать их в виде

v(t,x) = w(t,x) + р-^Ф(^), w(t,x) Е Уо(П,ро), р-1VФ(t,x) Е Gh,s(П,ро), р-^г^^) = р-^г^^) + р-^г^^), (1.18)

Р-1Vpl(x,t) Е Gh,s(П,ро), р-lVp2(t,x) Е Gо,г(П,ро).

Обозначим через Р0, Ри,я и Р0г ортопроекторы на подпространства ,10(П,р0), Си,я(П,р0), С0,г(П, р0) соответственно. Тогда, подставляя (1.18) в первое уравнение (1.15) и применяя ортопроекторы, получаем

д 2W д2 д2

+ Po

N 2(x3)

( -1 д Ф

[P-sx;+w3)63

= РоФо,

Ж {p-V) + P-^P1 + Ph,S

д Ф

dt2

P-1Vp2 + Po,Г

N 2(x3)

1 дФ

Г д^ + W3)

N2(x3)[p~-1

+ W3 1 63

( -1 д Ф ) ^

y-^ + W3)63

дxз

Ро,гФо-

Ph,s Фо

'1.19) '1.20) П.21)

Из соотношения (1.21) следует, что составляющая поля давлений, обусловленная слагаемым р- 1^р2, определяется лишь полем вертикального смещения у3 и начальными условиями, следовательно, достаточно ограничиться рассмотрением первых двух соотношений, а также граничного условия с соответствующей заменой р ^ р1, так как р = р1 + р2, р2 = 0 (на Г).

Для перехода от (1.19), (1.20) к системе уравнений с двумя искомыми функциями введем новые элементы:

Ph

h,s

N 2(x3)w3 63

P-V

Ph

h,s

2 1 дФ

N (x3)P- -TT-63

дxз

p-lVn-

Тогда (1.20) дает интеграл Коши-Лагранжа

д 2Ф д2

+ Р1 + Ф + п - F = c(t) (вП),

П.22)

П.23)

где с(Ь) - произвольная функция времени, Ри,яф0 = ро . Рассмотрим (1.23) на Г и воспользуемся равенством

Р1 = Pm

д 2V3 д2 f _1 д Ф

+ aßa V3 = PmT^ Po

дt2

1 дФ 1 дФ

'3t2 [po sx3) + aB°{po sx~3)

-1 д (на Г);

получим

д 2Ф

дt2

дФ д2 дФ

+ а^ур-1 д£3) + Pm^ [P-1 Q^) +Ф + п = F + c(t) (наГ). (04)

дхзу ' дЬ2 х " дх3/

Это соотношение вместе с (1.19) дают уравнения для определения двух искомых функций х) и Ф(Ь, х), при этом учитываются связи (1.22). Таким образом, начально-краевую задачу (1.15) перепишем в виде:

д 2 W д2

+ Ро

N (x3) [ р-

1 дФ

(р ^ + W3)6 3

= РоФо (в П),

div W = 0 (в П), W • n = 0 (на дП),

д 2Ф д2

+ aBa\ р° 1

1 дФ д2 1 дФ

У- д^) + рт W2 (P-1 д^) + П = F + C(t) (на Г ^

П.25)

П.26)

V^ (рёЧж)УФ) = 0 (в П), р"1 (х)УФ • n = 0 (на S),

Г Г дФ

Ф dV = 0, —— dr = 0,

Jr Jr дх3

д д / дФ \

—w(0, х) = Рей0, д^^0"1 (0' x)j = [ (ph,su°(x)) •П] г , (1.27)

w(0,x) = РоЛ ( р"1 |Ф(0,ХП = (0(X) (X £ Г). V дхз )г

1.5. Переход к системе дифференциально операторных уравнений

Свяжем с поверхностью Г гильбертово пространство (скалярных) функций Ь2 (Г) со скалярным произведением

(ф,ф)г := ^ Ф (х) ф (х) dГ

и соответствующей нормой.

Лемма 2. Оператор Ба : Т>(Ба) С Ь2 (Г) ^ Ь2 (Г) является симметричным положительно определенным оператором, действующим в Ь2 (Г).

Доказательство. В силу формулы Грина и граничных условий для £ из области определения оператора Ба получаем:

(БаС, С) = - I Л2С • с dГ + а"1 дро(0) ^ К|^Г = ^ ^С|^Г + а-1дро(0) ^ \(>

> а-1дро(0) Г К?dГ = а-1дро(0)\\С\\2Ыг) ■

Отсюда следует, симметрия оператора Ба и положительная определенность в Ь2 (Г). □

Известно, что симметричный положительно определенный оператор, действующий в (вещественном) гильбертовом пространстве и заданный на плотном в этом пространстве множестве, допускает расширение по Фридрихсу до самосопряженного положительно определенного оператора с той же нижней гранью. Поэтому далее будем считать, в силу леммы 2, что оператор Ба уже расширен по Фридрихсу на более широкое множество, обеспечивающее самосопряженность расширенного оператора, который снова будем обозначать через Ба. Кроме того, V(Бa) С Нва, где НВа — энергетическое пространство оператора Ба.

Лемма 3. Оператор Ба : Т>(Ба) С Ь2 (Г) ^ Ь2 (Г) (после расширения по Фри-дрихсу) - неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор с дискретным спектром, 'то есть его спектр состоит из конечнократ-ных положительных собственных значений [Хк (Бас предельной точкой X = а собственные функции образуют ортогональный базис как в Ь2(Г),

так и в энергетическом пространстве ИВа. Обратный оператор Б-1 является компактным и положительным в Ь2 (Г). Энергетическое пространство ИВа С Ь2 (Г) оператора Ба состоит из тех элементов из Ь2 (Г), для которых конечна квадратичная форма

МВ„ = [ \^Г + а-1дро(0) [ К\ЧГ, (1.28)

'Г JГ

причем Ъ(бУ2) = ИВа.

Доказательство. Доказательство основано на положениях общей теории положительно определенных операторов, теоремах вложения функциональных пространств и понятии эквивалентных норм. Действительно, нормы ||-||В и ||-||# 1(г) эквивалентны. Так как согласно теореме вложения С.Л.Соболева пространство И1 (Г) компактно вложено в Ь2 (Г), то Ива также компактно вложено в Ь2 (Г). Поэтому, по теореме С.Г.Михлина (см., например, [10, с.145]) оператор Ба имеет дискретный спектр со свойствами, описанными в формулировке данной теоремы, а обратный оператор Б-1 является компактным положительным оператором: 0 < Б-1 = (Б-1)*. □

Для перехода к операторной формулировке исследуемой задачи рассмотрим ряд вспомогательных задач.

Напомним, что отклонение г>3\г = (р-1 (дФ/дх3) + 'Шз^г частиц подвижной поверхности должно удовлетворять условию сохранения объема жидкости при колебаниях:

1

( -1 дФ N 1Ро" ^ + W3)

dr = 0, так как W3|r = 0, pö"1|r = const.

V3 dr = I ( p0 — + w^ dr = 0

г г

r дФ _ „ _1

7 дхз

Г

Это же условие является необходимым условием разрешимости следующей задачи. Вспомогательная задача (задача Неймана).

V-(р-1(х)УФ) = 0 (в П), р-1(х)УФ • п = 0 (на 5),

д Ф Г

р-1(0)—= ф (на Г), /ф^Г = 0. (1.29)

дхз I

Введем в пространстве Н0 = Ь2гг := Ь2 (Г) 0 {1г} его оснащение в виде Н+ С Н0 С Но, где Н+ = Н1/2 (Г) П Н =: Н^/2, Н_ = (Н+)* =: Н_1/2. Здесь через Н_1/2

г

обозначено пространство, сопряженное с Н^/2 с центральным пространством Ь2,г. В частности, Н_1/2 состоит из тех элементов из Н_1/2(Г), которые продолжимы нулем в классе Н _1/2(дП) (см. [11], гл. 3).

Будем считать, что ф = (р_1 —— ) есть заданная функция из пространства

\ дхз)г

Н_ 1/2. Тогда, рассматривая задачу Неймана с заданной ф, получим (см., например, [12]), что

ф (х) = Тф Е Н1я (Пр) ,

где Т : Н_1/2 — НИ я (П,р0) - ограниченный линейный оператор. Здесь Щ я (П, р0) — подпространство квазигармонических функций, удовлетворяющих условию Неймана на Б, пространства Н^ (П,р0) с квадратом нормы

\\ф\\щ(я,Р0) := /ро1 1^ф|2 dП, [ф dГ = 0.

Введем теперь оператор следа 7г: для любой ф (х) Е Н1,8 (П,р0) по определению

7гФ := Ф|г .

Отметим, что оператор 7г ограниченно действует из Н1 (П,р0) (а потому и из подпространства НИ я (П,р0)) в Н+ = Н^/2. Отсюда получаем, что

7гФ= ф| г= ^Тф = ^(ро1 д£) г = с(р_' Ц) г, (I-30)

где оператор С = 7гТ : Н_ 1/2 = Н_ — Н^/2 = Н+ является линейным ограниченным оператором.

В работе [12] доказана следующая лемма.

Лемма 4. Сужение оператора С на Н0 С Н_ является линейным компактным самосопряженным положительным оператором, действующим в пространстве Н0.

Следствием доказанной леммы является такое утверждение: оператор С : Н0 — Н0 имеет обратный оператор С_1, который является неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором, действующим в Н0 и заданным на области определения V (С= ^ (С), плотной в Н0. Кроме того, оператор С_1/2 переводит V {С_1/2) = Н+ в Н0, а оператор С1/2 — соответственно Н0 в V {С_1/2) = Н+ (изометрическим образом). Как следует из общей теории оснащенных гильбертовых пространств, расширение оператора С_1/2 (которое будем обозначать так же) с V (С_1/2) = Н+ на Н0 является изометрическим оператором,

переводящим все Н0 на все Н- = Нг1/2. Соответственно оператор С1/2 (после расширения на Н-) переводит изометрически все Н- на все Н0.

Согласно выше приведенным построениям, перепишем систему уравнений (1.25) и (1.26) вместе, проектируя дополнительно (1.26) на Н0; затем осуществим замену:

Ф = ( 1 = С~^у, у е Но, (1.31)

(«'Эг = с-фу- уе H

считая, что

РНо^ е Ъ{С-1/2)} и применим к преобразованному уравнению (1.26) оператор С-1/2, в результате получим

ß2w

W dt2

+ Po

N2(хз) ((UC~l/2y)e3) e3

+ Po

N 2(x)w3 ез

Рофо,

I + PmC

-1

:i.32)

y + aC-1/2BC~1/2y + C~1/2Ph0 (Ф + n) = C~1/2PhqF.

Здесь через и : Н-1/2 ^ з(^,р0) обозначен оператор, который посредством

1/2

решения задачи (1.29) ставит в соответствие элементу ф е Нт 1 функцию р-^Ф е Сн, з(П,ро); В = РщБаРщ. Введем следующие обозначения:

M11W := Po

N 2(хз )w3 ез

М12У := Po

N2(хз) ((UC-1/2y)e3) ез

M21W := C-1/2Ph0Ф, р-1УФ = Pf

h, S

N 2(хз^з ез

:i.33)

M22y := с-1/2Ph0п, P-Vn = Ph,s

N2(хз) ((UC-1/2y)ез) ез

В дальнейшем все искомые функции и заданные функции переменной Ь и пространственных переменных будем считать функциями одной переменной Ь со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах, что уже и было учтено в проведенных выше построениях. В связи с этим далее все производные д/дЬ будем заменять на й/йЬ.

Начально-краевая задача (1.25) — (1.27) свелась к задаче Коши для дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве Н = ^(&,р0) ф Н0:

А

С

d2

—С* + (B + M) X = F,

X (0) = X0, X' (0) = X1,

о

0 I + Pm C

-) ■ в =(0

0

т

0 aC-1/2BC-1/2

Poфo

) M = (М11 М12)

) , M \М21 М22)

( P0ф0 \ у = w

[c-1/2Ph0f^ x ч У)'

'1.34) '1.35) :i.36)

Лемма 5. Оператор В = РНоВаРНо — положительно определенный неограниченный в Н0 оператор с компактным положительным обратным оператором В _1.

Доказательство. В силу самосопряженности оператора ортогонального проектирования РНо, для Уи,у Е Р(В) = Р(Ва) 0 {1г} С Н0 имеем:

(Ви,у) = (РноВаРнои, у) = (ВаРн0и,Рноу) = (Ваи, у) =

= (и, Вау) = (Рн0и, ВаРн0у) = (и,Рн0ВаРноV) = (и, Ву)

откуда следует, что оператор В — самосопряженный. Далее имеем:

(Ви, и) = (Ваи, и) > с \\и\\2 , (1.37)

значит, В - положительно определенный оператор, и следовательно, ограниченно обратим. Обратный В_1 при этом является положительным оператором.

Покажем, что обратный к В оператор является компактным. Для этого достаточно доказать, что Нв компактно вложено в Н0. Любое ограниченное множество X из Нв, в силу (1.37), будет ограниченным и в Нва. Как было показано ранее, Нва компактно вложено в Ь2 (Г). Но в силу вложения X С Нв С Н0 = Ь2 (Г) 0 {1г} С Ь2 (Г) получаем, что X компактно в Н0. Таким образом, любое ограниченное множество в Нв компактно в Н0, а следовательно, В_1 - компактный оператор, что и требовалось доказать. □

Лемма 6. Операт,ор-,мат,рица М из (1.35) обладает свойствами О < М < N021, где N02 - константа из (1.2), О и I - нулевой и единичный операторы в Н.

Доказательство приведено в лемме 5 работы [12]. 1.6. Теорема существования сильного решения

Сделаем в задаче (1.34) замену С_1/2у = г и подействуем оператором diag (/; С1/2) к обеим частям уравнения (1.34), в результате приходим к следующей задаче Коши

C1 — X1 + Mb X1 = F1, X1(0) = X?, X1 (0) = X*, (1.38)

d1 dt2

c= 0 \ м +в=( M11 M12°1/2 \ + (0 M

C1 ^0 C + pmI) , M1 + B1 = )с 1/2M21 C1/2M22C1/2) + aB) X1 = (W) = (с-1/2y) ' F = ( 0 C1/2) F■

Из построений, приведенных выше, следует, что

0 ^C1 = C* eL(H), 0 < B = B*, D(B) = Но, 0 < M1 = M\ e L(H),

где С — пространство ограниченных операторов. Таким образом, операторный коэффициент при искомой функции не является положительно определенным оператором. Данный факт не позволяет воспользоваться известной теоремой о существовании и единственности сильного решения (см., например, [13, с.44]), в связи с этим требуются дополнительные построения. Перепишем уравнение (1.38) в следующем виде:

— ( ™ \ + ( 1о + Ми Ми \ ( Я \ = ( ¡1 \ + ( 1о 0 \ ( я \

¿12\ + у ы21 В + М22)\ г) \ ¡2 ) \0 0)\ г)'

ип = м1Ъ М12 = мис1/2, М21 = с 1/2М21, М22 = с 1/2м22а1/2,

А = С + рт1, В = аВ, ¡1 = Рофо, ¡2 = Рно Р.

Осуществим замену В1/2г = в последнем уравнении и применим оператор diag (11; В-1/2) к обеим частям уравнения, в результате приходим к задаче

( я \ ( 1о + Ми Мив-1/2 \ ( я \ =

¿г2\ В-1/2АВ-1/2Я1 ) + ^ В-1/2М21 I + В-1/2М22в-1/2 ) )

=( А) +( I0 0)(:). (139)

Пусть теперь В-1/2АВ-1/2т\ = т2, что равносильно

Аб := В-1/2АВ-1/2Я1 = В-1/2АВ-1/2( В1/2г) = В-1/2Аг = Я2. (1.40)

С учетом сказанного приходим к следующей задаче Коши:

И2у , , ,

+ Лю = ь + Ню, У(0) = (1(0); Ю2(0))', V (0) = (Я (0); 1^(0))', (1.41)

A := IbF, R = ( 10 0

(о 0) , f = (fi; В-1/20, v = (w; w2y

Т =( 10 + М11 М12В-1/2 \ =( 1о 0 \ (142)

Тв = ^ В-1/2М21 I + В-1/2М22В-1/2 ) , Р V 0 А-1 ) , (1Л2)

где 1в — самосопряженный, ограниченный и положительно определенный оператор, V(IвР) = Ъ(Р).

Введем эквивалентную норму в пространстве Н: [У1; ю2\ := (I-1ю1; ю2), тогда

\IbFV1; У2] = (РУ1; Ю2) = (ю1; Рю2) = (ю1; I-11вРю2) = [ю1; 1вРю2],

следовательно, 1вР — самосопряженный оператор, более того, он является неограниченным и положительно определенным оператором.

Определение 1. Сильным (по переменной Ь) решением задачи (1.41) на отрезке [0,Т] назовем такую функцию у(Ь) со значениями в Н, для которой выполнены следующие условия:

1. ь(Ь) еV(IBF) при любом Ь е [0; Т], 1ВГь(г) е С ([0; Т]; Н),

2. ь(Ь) е С2 ([0; Т]; Н),

3. выполнено уравнение (1.41) и начальные условия. Лемма 7. Если выполнены условия

у(0) е V(F), и'(0) е V(F12), /(Ь) е С1 ([0; Т]; Н). (1.43)

тогда задача (1.41) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; Т].

Доказательство. Так как оператор 1вF является самосопряженным и положительно определенным в пространстве с эквивалентной нормой, поэтому он является генератором семейства косинус-функций, действующих в этом пространстве (см. [14, с.175-177]). Далее, так как оператор Я из (1.41) ограничен, то возмущенный оператор 1вF — Я, согласно теореме 8.5 из [14, с.177], также является генератором семейства косинус-функций. Отсюда следует, что при выполнении условий (1.43) задача (1.41) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,Т]. □

Вернемся по всем преобразованиям обратно к задаче (1.38). Пусть выполнены условия (1.43), тогда задачи Коши (1.41), согласно лемме 7, имеет единственное сильное решение на отрезке [0; Т]. С учетом замены (1.40) имеем

( V0 = (1°; т°У еV(F)) ^ е !о(П,ро), 1 еV(A-в1)) ^

^ (т0 е !о(П,ро), А-^О = АВ1 (Ав )В1/2г° е Но) ^ ^ (т0 е !о(П,ро), еЪ{В1/2) ) . Далее,

( V1 = (11; е D(F1/2) ) ^ (т1 е !о(П,ро), т1, еV(A-в1/2)) ^ ^ (т1 е !о(П,ро), АВ1/2т\ = А -1/2Ав В^г1 = АВ/2В1/2г1 е Н0) ^ ^ (V е !о(П,ро), г1 еV(B1/2)) .

/(Ь) е С1 ([0; Т]; Н) ^ /1 = Рофо е С1 ([0; Т]; Х(П,ро)) ,

В-1/2/2 = В-1/2Рн0F е С1 ([0; Т]; Но) ^ Рофо е С1 ([0; Т]; Х(П,ро)) , Рн0F е С1 ([0; Т]; Но) ^ Л(Ь) е С1 ([0,Т]; Н).

Здесь оператор Вв 1/2 является ограниченным оператором. Таким образом, доказана следующая лемма.

Лемма 8. Если выполнены условия:

X0 = (W; z0Y Е J0(Q,p0) 0D(B1/2) X} = (w1; z1)' E /0(П,р0) 0D(B1/2),

Fi(t) E С1 ([0, T]; H) , H = Jo(^,po) 0 Яо, то существует единственное сильное решение задачи (1.38).

Определение 2. Сильным (по переменной t) решением задачи (1.9) — (1.12) на промежутке [0,T] назовем набор функций и (t,x), p (t,x), р (t,x) и ( (t,x), для которых выполнены следующие условия:

1°. и (t) Е С1 ([0,T] ; Jo,S (П,Ро)) , P-1 Vp Е С ([0,T] ; G (П,ро)) ,

р (t) Е С1 ([0,T]; L (П,р0)), где £2(П) - гильбертово пространство скалярных функций со скалярным произведением

Р \ -1

(ф,'Ф)£2(П) := Я2 [ро^:^^^;^] Ф(х)ф(х) Ш Jn

и при любом Ь е [0,Т] справедливо первое уравнение (1.9); д(

2°. ип = — е С ([0, Т]; Но); выполнено граничное условие на Г:

Р = ртд^ — ^С + ЯРо(0)С е С ([0,Т]; Ь2(Г)) ,

где все слагаемые являются непрерывными по Ь функциями со значениями в Ь2(Г). 3°. выполнены начальные условия (1.12).

Возвращаясь от задачи (1.38) по всем преобразованиям назад, приходим к условиям существования сильного (по переменной 1) решения исходной начально-краевой задачи (1.9) — (1.12).

Теорема 1. Пусть выполнены условия

и е Зо,8 (П,ро), р° е £2(П), /(ь) е С ([0,Т]; ^Ро)) со е V(B) = { (е я2(Г), С = 0 (на дГ) } П Но, Но = Ь2 (Г) е {1г} , С1 = [(Рн,8й?(х)) • п]г е Ъ{В1/2) = { С е Н 1(Г), С = 0 (на дГ) } П Но.

Тогда задача (1.9) — (1.12) имеет единственное сильное по Ь решение.

2. Спектральная задача

Рассмотрим задачу о собственных колебаниях, положим Fi = 0 в уравнении (1.38) и будем считать, что Xi(t) = eiMtXi, где ш - частота, а Xi G J0(П, р0) ф H0 — мода колебаний. Задача (1.38) переходит в спектральную задачу

\CiXi = MbXi, А := ш2. (2.1)

Отметим несколько предварительных соображений.

1. Так как оператор Mb = Mß > 0, кроме того существует C-1 и при этом 0 < C-1 = (C-1) G L(H), тогда из (2.1) приходим к задаче XLX1 = C-1MBXi. Спектр оператора C-1 Mb вещественный и неотрицательный: a(C-1 Mb) С R+.

2. В случае, когда идеальная стратифицированная жидкость полностью заполняет произвольный сосуд, соответствующая спектральная задача может быть приведена к задаче

M1 ijj = Aw, w G J0(Q,p0).

При этом спектр задачи точечный, плотный на отрезке [0; N02], а моды собственных колебаний дают внутренние волны, обусловленные наличием стратифицированной жидкости.

2.1. О существовании внутренних волн

Рассмотрим случай А G [0; NQ ] и установим наличия внутренних волн в стратифицированной жидкости.

Записав уравнение (2.1) в компонентах, перепишем в следующем виде

I AIqW = Mi 1 w + Mi 2 C1/2z,

\ -Mi/2B21w = (-A (C + pmI) + Ci/2M22Ci/2 + aß) z =: T(A)z. ( . )

Сделаем предположение

NQ2 (C + Pml) < Ci/2M22Ci/2 + aB, (2.3)

тогда оператор-функция T(А) при любых А G [0; Nq] положительно определена, поэтому при этих А существует обратный оператор T-i(A) G L(H). Выразим из второго уравнения системы (2.2) величину z и подставим в первое, получим

R^w := (А10 - Mii + M12Ci/2T~i(X)C 1/2M2i) w = 0, А G [0; N02]. (2.4)

Теорема 2. Предельный спектр пучка R(X) совпадает с отрезком [0; Nq].

Доказательство. Пусть выполнено условие (2.3). Зафиксируем произвольное Al G [0; Nq] и рассмотрим задачу

(А1о - Mii + Mi2Ci/2T^(А^ 1/2M2i) w = 0, w G Jo(n,po). ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2019, том 9(37), №1

Эта задача на собственные значения для самосопряженного оператора Ыц, возмущенным компактным оператором М12С1/2Т-1(А1)С1/2М21. Весь спектр оператора Ыц является предельным и заполняет весь отрезок [0; N2]. Согласно теореме Вей-ля, для каждого А2 Е [0; Nq] существует ортонормированная последовательность Вейля {Wi}^=1, зависящая от А1 и А2, для которой

|| (A2I0 - Ып + Ы12С1/2Т-1(А1)С1/2Ы21) щ\\ ^ 0 (i ^ ж).

Выбирая А2 = А1 и соответствующую последовательность Вейля, приходим к выводу, что для нее

|| (AJ0 - Ы11 + М12С1/2Т-1А)С1/2Ы21) Will ^ 0 (i ^ ж).

Это означает, что произвольно выбранная точка А1 Е [0; Nq] принадлежит предельному спектру задачи (2.4). Поскольку точки, лежащие вне отрезка [0; Nq], могут быть только конечнократными собственными значениями, указанный отрезок совпадает с предельным спектром пучка Я(А). □

Важным следствием полученной теоремы является следующее утверждение: в устойчиво стратифицированной идеальной жидкости, частично заполняющей сосуд произвольной формы с упругой мембраной на свободной поверхности, существуют внутренние волны, обусловленные наличием сил плавучести; квадрат частот внутренних волн образуют множество [0; Nq].

2.2. О свойствах мод поверхностных волн

Рассмотрим случай А > Nq , когда ожидаются поверхностные волны. Осуществляя замену z = а-1/2Б-1/21 = B-1/2Zz и применив оператор В-1/2 ко второму уравнению (2.2), получим

J (Iq - А-1Ыц) w - А-1ЫиС 1/2B-1/2z = 0,

\ Iz - АВ-1/2 (С + P1I) B-1/2Z + В-1/2С1/2M21W + В-1/2С1/2Ы22С1/2B-1/2Z = 0.

В силу предположения А > Nq и оценки ¡ВпЦ < Nq, оператор I - A-1B11 обратим, с учетом этого перепишем последнюю систему

I I qW - А-1^ - А-1 Ми)-1М12С 1/2B-1/2Z = 0,

\ Iz - АВ-1/2 (С + pmI) B-1/2Z + В-1/2С1/2M2lW + В-1/2С1/2Ы22С1/2B-1/2Z = 0.

В последней системе исключая W, приходим к спектральной задаче для операторного пучка Ь(А):

Ь(А)! := (I - АВс + В0 + А-1Г(А)) z = 0, А> N^,

Вс := B-1/2(pmI + С)B-1/2, Во := В-1/2С1/2М22С1/2B-1/2, (2.5)

F(А) := В-1/2С 1/2М21Я(А)М12С 1/2В-1/2, Я(А) := (I - А-1 Мп)-1.

Дальнейшее исследование основано на идее факторизации пучка Ь(А), т.е. на разложении его на операторные множители определенного вида. Для этого понадобиться следующий результат (см., [15, c.81]).

Теорема 3. Пусть для самосопряженного операторного пучка

M(ß):= ßI - A - B(ß) (2.6)

те

выполнены условия: 1. 3 t G (0,r) : ||A||t-i + \\Bk\\tk-i < 1,

k=i

те

2. B(ß) ßk Bk, \ß\ <r, 0 <r < oo; A = A*, Bk = B*k, k =1, 2,... k=i

Тогда

1. Пучок M(ß) допускает факторизацию M(ß) = M+(ß)(ßI - Z), т.е. такое разложение на множители, при котором M+(ß) голоморфна и голоморфна обратима в круге \ß\ < t, t G (0,r), а спектр a(Z) С (-t; t) и оператор Z подобен самосопряженному оператору.

2. Если выполнены условия A G &те(H), kerA = {0}, Bi G &те(Н), 'то задача M(ß)z = 0 имеет на промежутке (-t,t) дискретный спектр

a(Z) = {0}U{ß3}?=i, ß3 ^ 0 (j ^o),

где ßj = ßj (Z) - изолированные конечнократные собственные значения оператора Z. Этим значениям отвечает совокупность {^j С H собственных элементов (присоединенных нет), образующих базис Рисса в H: ф/j = F1/2zj, j = 1, 2,..., где {zj - ортонормированный базис, составленный из элементов самосопряженного компактного оператора F-i/2(ZF)F-i/2.

Чтобы воспользоваться этой теоремой, осуществим в (2.5) замену А = ß-i и умножим обе части уравнения на ß:

G(ß)z := ßL(ß-i)z = (ßI - BC - B(ß)) z = 0, (2.7)

B(ß) := -ßBo - ß2F(ß-i), ß < NQ-2.

Задача (2.7) есть задача для пучка вида (2.6), так как F(ß-i) является голоморфной функцией относительно ß:

те

F (ß-i) = Y1 ßk Fk, Fk = B-i/2C i/2M2iMki Mi2Ci/2 B-i/2. k=0

При этом справедливо

те

B(ß) := -ßBo - ß2F(ß-i) = -ßBo - ß2Y, ßkFk = -ßB-i/2Ci/2M22Ci/2B-i/2-

k=0

-ß2B-i/2ci/2M2iMi2Ci/2B-i/2 -ß3B-i/2Ci/2M2iM2uM12Ci/2B-i/2 -... =

те

=: ßkBk, где \\Bk|| < (N^)k • \B-i\ • \\C||. k=i

Лемма 9. При \ß\ = t < N0 для G(ß) имеет место оценка

оо

II B II t-1 + Y^ HR II tk-1 < Pm^B II + IIB II ' II \\Bc W-t + ^IIBk W-t <—— + t. (1 _ tN02)

k=1

Доказательство.

IIBcIIt-1 + £ IIBkIItk-1 = IIB-1/2(P1I+ C)B-1/2W + IIB1 II + IIB2IIt + IIBI2 + ... <

k=1

< PmIB~l]I + 11 + N0 • IIB-1 II • IC II + (No2)2 • IIB-1 -HC IIt +... =

= ^-Ч + WB-1 i, ^ + N0t + (no)2e +..)

PmIIB-1II + IIB-1!

t t • (1 _ tN2)

□

Следствием леммы 9 и теоремы 3 является Лемма 10. Пусть

D := (pm • IIB-1II • N0 _ l)2 _ 4 • N0 • ЦБ-1! • ЦСII > 0. (2.8)

Тогда пучок G(ß) из (2.7) допускает спектральную факторизацию

G(ß) = G+(ß)(ßI _ Z), \ß\ <t E (t-)t+))

(pm •IIB-1II • N2 + l) ±VD (2.9)

fc = ^--' ^ <N-2.

При этом G+(ß) голоморфна и голоморфна обратима для \ß\ < t Е (t-,t+), а спектр a(Z) С (_t; t).

Полученные факты позволяют доказать следующую теорему.

Теорема 4. Если выполнено условие (2.8), тогда операторный пучок L(A) из (2.5) допускает спектральную факторизацию

L(A) = L+(\)(I _ AZ); (2.10)

при этом L+(A) голоморфна и голоморфна обратима для

(рт -цк-1ц- N2 + 1) _VD

A > (t-)-1 >N2, t- = A-^-,

а также задача (2.5) имеет дискретный спектр С Хк = [Хк(2)}_1,

состоящий из изолированных конечнократных собственных значений с предельной точкой +ж. Собственные элементы {гк= гк(2), отвечающие собственным значениям {Хк}£=1 С [(¿_)-1, +ж), образуют базис Рисса в Н0.

2.3. Об асимптотике спектра поверхностных волн

Лемма 11. На промежутке ((1_)-1; +ж) собственные значения Хк задачи (2.5) при к — ж имеют асимптотическое поведение:

Хк = — (! + —(к[1 + о(1)А (к — +ж). (2.11)

Рт \ Ро9 \rnesГ) )

Доказательство. Рассмотрим спектральную задачу (2.5) для операторного пучка

Ь(Х):

Ь(Х)1 := (I — ХВс + Во + Х-1 Г(Х)) г = 0,

где Х-1 Г(Х) - аналитическая оператор-функция при Х — +ж, и при этом Х-1 Г(Х) — 0; оператор В0 - компактный оператор. Тогда для операторного пучка (2.5) справедлива теорема Маркуса-Мацаева (см., например, [8, с.71-72]) и асимптотика задачи определяется асимптотикой укороченного пучка (I — ХВс)г; = 0. Известно, что при к — ж асимптотическое поведение собственных чисел Хк (Вс) имеет вид (см., [5]) Хк(Вс) = Р^ (1 + —(к[1 + о(1)А (к — +ж). □

Рт \ Ро9 \тейГ/ )

Список цитируемых источников

1. Capodanno, P. Small planar oscillations of a container with elastic cover containing two immiscible liquids // Eur. J. Mech. B. — 1990. — Vol. 9, No. 3. — P. 289-306.

2. Capodanno, P. Vibrations d'un Liquide dans un Container Cylindrique Summetrique a Fond Elastique en Apesanteur // Mecanique Appliquee. — 1993. — Vol. 38, No.1. — P. 59-72.

3. Capodanno, P. Vibrations d'un Fluide Compressible une Cavite Fermee par Une Membran Supportee par un Ecru // Mech. Resch Communicat. — 1995. — Vol. 22, No.1. — P. 1-7.

4. Копачевский, Н.Д., Орлова, Л. Д., Пашкова, Ю. С. Дифференциально-операторные и интегро-дифференциальные уравнения в проблеме малых колебаний гидродинамических систем // Ученые записки Симф. ун-та. — 1995 — Т. 41, № 2. — С. 98-108.

Kopachevsky, N. D., Orlova, L.D., Pashkova, Yu. S. Differential-operator and integro-differential equations in the problem of small oscillations of hydrodynamic systems. TJCM, 41:2, 98-108 (1995).

5. Пашкова, Ю. С. Колебания жидкости в сосуде, закрытом упругой мембраной, и общие вопросы эволюции гидродинамических систем. — Донецк: Автореф. дис., 1996. — 15 с.

Pashkova, Yu. S. Fluid oscillations in a vessel closed by an elastic membrane, and general questions of evolution hydrodynamic systems. PhD thesis, Donetsk, 1996. (in Russian)

6. Кононов, Ю. Н., Шевченко, В. П. Свободные колебания двухслойной жидкости с упругими инерционными мембранами на свободной и внутренней поверхностях // Теор. прикл. мех. — 2001. — №32. — С. 158-163.

Kononov, Yu. N., Shevchenko, V. P. Free vibrations of two-layer fluid with an inertial elastic membrane on free and inner surfaces, Theoretical and applied mechanics, 32, 158-163 (2001).

7. Тихонов, А. Н ., Самарский, А. А. Уравнения математической физики. — M.: Наука, 1972. — 592 с.

Tikhonov, A. N., Samarskii, A. A. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1972. (in Russian)

8. Kopachevsky, N. D, Krein, S. G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid. — Birkhauser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 2001.

9. Цветков, Д. О. Колебания стратифицированной жидкости, частично покрытой крошеным льдом // Известия вузов. Математика. — 2018. — Т. 12 — С. 70-85.

Tsvetkov, D. O. Oscillations of Stratified Liquid Partially Covered by Crumpling Ice. Russian Mathematics, 62:12, 58-72 (2018).

10. Михлин,С.Г. Курс математической физики. — M.: Наука, 1968. — 576 с.

Mikhlin, S. G. A course of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1968. (in Russian)

11. Копачевский, Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые ее приложения. — Симферополь: ООО "Форма". 2016. — 280 c.

Kopachevsky, N. D. Abstract Green formula and some of its applications. Simferopol, 2016. (in Russian)

12. Копачевский, Н. Д., Цветков, Д. О. Малые движения идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, полностью покрытой крошеным льдом // Уфимский математический журнал. — 2018. — Том 10, №3. — С. 44-59.

Kopachevsky, N. D., Tsvetkov, D. O. Small motions of ideal stratified liquid with a free surface totally covered by a crumbled ice, Ufa Math. J., 10:3, pp. 43-58 (2018).

13. Копачевский, Н. Д. Интегродифференциальные уравнения Вольтера в гильбертовом пространстве: Специальный курс лекций. — Симферополь, 2012. — 152 с.

Kopachevsky, N. D. Volterra integro-differential equations in Hilbert space: Special lecture course. Simferopol, 2012. (in Russian)

14. Голдстейн, Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. — Киев: Вища школа, 1989. — 347 с.

Goldstein, J. A. Semigroups of linear operators and applications. Oxford: Oxford University Press, 1985.

15. Копачевский, Н. Д. Спектральная теория операторных пучков: Специальный курс лекций. — Симферополь, 2009. — 128 c.

Kopachevsky, N. D. Spectral theory of operator pencil. Simferopol, 2009. (in Russian)

Получена 01.03.2019