Малые движения идеальной стратифицированной жидкости, частично покрытой крошеным и упругим льдом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2018, том 8(36), №2, 173-186 УДК 517.98

Малые движения идеальной стратифицированной жидкости, частично покрытой крошеным и упругим льдом

Д. О. Цветков

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Симферополь, 295007, e-mail: tsvetdo@gmail.com

Аннотация. Изучается задача о малых движениях идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, частично покрытой крошеным и упругим льдом. Под крошеным льдом подразумеваем плавающие на свободной поверхности весомые частицы некоторого вещества. Упругий лед моделируется упругой пластиной. Используя метод ортогонального проектирования граничных условий на подвижной поверхности и введения вспомогательных задач, исходная начально-краевая задача сводится к равносильной задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. Получены условия, при которых существует сильное по времени решение начально-краевой задачи, описывающей эволюцию данной гидросистемы.

Ключевые слова: стратифицированная жидкость, крошеный лед, упругий лед, начально-краевая задача, метод ортогонального проектирования, задача Коши в гильбертовом пространстве, сильное решение.

Small motions of an ideal stratified fluid partially covered with crumbling and elastic ice

D. O. Tsvetkov

V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.

Abstract. We study the problem on small motions of ideal stratified fluid with a free surface, partially covered with crumbling and elastic ice. Under the crumbled ice we understand that on the free surface float heavy particles of some substance, and that these particles do not interact (or the interaction is small enough to be neglected) when the free surface oscillates. Elastic ice is modelled by an elastic plate. Using method of orthogonal projecting the boundary conditions on the moving surface and the introduction of auxiliary problems of the original initial-boundary value problem is reduced to the equivalent Cauchy problem for a differential equation of second order in some Hilbert space. We find sufficient existence conditions for a strong (with respect to the time variable) solution of the initial-boundary value problem describing the evolution of the specified hydrodynamics system. Keywords: crumbling ice, elastic ice, differential equation in Hilbert space, accretive operator, strong solution.

MSC 2010: 35D05, 34K30

Введение

В связи с новыми потребностями прикладных наук возрос интерес к изучению динамических характеристик жидкостей, обладающих разными специфическими

© Д. О. ЦВЕТКОВ

свойствами. К таким жидкостям, в частности, относятся стратифицированные и флотирующие жидкости. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и теоретическим содержанием возникающих здесь проблем. Во многих случаях математические модели таких проблем существенно нелинейны и поддаются исследованию лишь численными методами. Однако ряд интересных и полезных задач можно рассматривать в рамках линейных моделей, приводящих к нетрадиционным начально-краевым задачам. Это, безусловно, определяет самостоятельный математический интерес к таким проблемам.

Настоящая статья является продолжением работ [4, 5], в которых были начаты исследования начально-краевых задач динамики стратифицированной жидкости покрытой льдом. А именно, были рассмотрены задачи о малых движениях идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью Г = Г! и Г2, где Г1 — участок «чистой воды», Г2 — участок либо «крошеного льда», либо «упругого льда». Получены условия, при которых существует сильные по времени решения начально-краевых задач, описывающих эволюцию данных гидросистем. Под крошеным льдом подразумеваем плавающие на свободной поверхности весомые частицы некоторого вещества (см., например, [1]). Упругий лед моделируется упругой пластиной, близкая по математической постановке задача о колебаниях однородной жидкости в контейнере с упругим дном рассматривалась ранее в монографии [2]. Таким образом, остался не исследован случай, когда свободная поверхность состоит из участков крошеного и упругого льда.

1. Математическая формулировка задачи

Пусть идеальная стратифицированная жидкость, плотность р0 которой в состоянии покоя изменяется вдоль вертикальной оси Ох3: р0 = р0(х3), частично заполняет неподвижный сосуд и занимает в состоянии покоя область П, ограниченную твердой стенкой Б и свободной поверхностью Г = Г и Г2, где Г1 — участок «крошеного льда», Г2 — участок «упругого льда». Обозначим через р1 — поверхностную плотность крошеного льда, через р2 — поверхностную плотность упругого льда. Предположим, что начало О декартовой системы координат Ох1х2х3 выбрано на свободной равновесной поверхности Г, которая является плоской и расположена перпендикулярно ускорению силы тяжести д = -де3, где е3 — орт оси Ох3. Предполагаем далее, что твердая стенка Б С дП является липшицевой поверхностью, причем дБ = дГ — липшицева кривая.

Будем рассматривать основной случай устойчивой стратификации жидкости по плотности:

Функцию N(х3) называют частотой Вяйсяля-Брента, или частотой плавучести.

Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к состоянию покоя. Обозначим через и = и(г, х), х = (х1,х2,х3) Е П, поле скорости в жидкости, р = р(Ь, х) —

0 < N2mm < N2(хз) < N

тах

2

N02 < ж, N2(хз) = - , ро(0) > 0, (1.1)

отклонение поля давлений от равновесного давления Р0 = Р0(х3), р = р(^х) — отклонения поля плотности от исходного поля ро(хз), а через £ = £(Ь,Х) (X = (Х1,Х2) Е Г) — отклонение свободно движущейся поверхности жидкости Г(£) от Г по нормали п. Тогда малые движения исходной системы описываются следующей начально-краевой задачей (см. [4, 5]):

du f \ —*

dt = Po_1(x3)(-Vp - gpe3j + f(t,x) (вQ), (1.2)

divu = 0, ддр + Vp0 • u = 0 (в Q), (1.3)

u • n =: un = 0 (на S), un = -Z (на Г), f(dr = 0,

Jг

д2£ д2£ Р = 9Ро(0)( + р1 дцй ( на Г1 Р = К£ + р2 дЦ? (на Г2) (1.4)

и(0,х) = и0 (х), р(0, х) = р0(х) (X е П), £ (0, X) = £о(Х) (X Е Г). (1.5)

Записывая второй закон Ньютона для частиц крошеного льда и линеаризуем его, получим динамическое условие (1.4) на Г1 (см. подробнее [5]).

Линейный дифференциальный оператор К, заданный дифференциальным выражением (см. [4]):

К£ := ¿Д22£ + ро(0)д£ (1.6)

на области определения

Ъ(К) = {£ Е С4 (Г2) | £ = д£/ду = 0 (на72), М£ = = 0 (на дГ2 \ 72)} , (1.7)

где ¿> 0 — коэффициент жесткости льда, Д2 = д2/дх\ + д2/дх\.

Считаем, что на линии 72 := Г2 Р| Б контакта упругого льда с твердой стенкой Б выполнены условия жесткого закрепления льда как упругой пластинки £ = 0, д£/ду = 0 (на 72), где V - единичный вектор внешней нормали к дГ2 (расположенный, очевидно, в плоскости Ох 1х2). Далее, очевидно, что на остальной части границы дГ2 \ 72 области Г2, где упругий лед соприкасается с участком крошеного льда, поперечная сила и момент силы на кромке упругого льда должны равняться нулю. Математически эти условия записываются в следующем виде (см. [6, с. 270]):

д 2£

М£ = 0, = 0 (на дГ2 \ 72), где М£ = + (1 - а) ^,

М£ д ) д ( д2£ д2£ ( 2 2) д2£ )

= - дУ(Д2£) +(1 - а) ^{дх2 - У - ^ - ад У1 щ),

У — г-я координата единичного вектора внешней нормали V к границе дГ2, в — вектор касательной к дГ2, а а — так называемая постоянная Пуассона, характеризующая упругую пластинку. Константа а удовлетворяет неравенствам (см. [6, с. 424]): 0 < а < 1.

:i.9)

В начально-краевой задаче (1.2) — (1.5) можно исключить одну искомую функцию — поле плотности р(г,х), если ввести взамен поля скорости и(г, х) поле малых смещений частиц жидкости у(г,х), связанное с и(г,х) соотношениями

ду

— = и, у = 0 (в П). (1.8)

дг к ' • 1

Тогда придем к связи

р(г,х) = -Уро • у(г,х) + /о(х) = -р0(хз)уз(г,х) + /о(х), /о(х) := р(0,х) + ро(хз)уз(0,х), Уз := у • вз,

и к уравнениям для у (г, х) и p(t, х): д2 у

— = -р-1 (хз)Ур - N2(хз)узез + фо(х), у = 0 (вП),

дг2 (1.10)

Фо(х) = /(г,х) - д/о(х)вз/ро(хз).

С учетом сказанного перепишем исходную задачу (1.2) — (1.5) в виде: д2 у

—- = -р-1 (хз)Ур - ^(хз)узвз + фо(х), у = 0 (в П),

дг2

у •п =: уп = 0 (на Б), J уз ¿Г = 0, д2уз д2уз

р = дро(0)уз + р1д-2 (на Г ), Р = Куъ + р-^^^ (наГ2 ), (1.11) д у

— (0, х) = и(0, х) = и°(х), у(0,х) = у°(х), уз(0,х) = ((0,х) = (0(х) (х Е Г).

Начально-краевая задача (1.11) содержит лишь две искомые функции: векторное поле у(г,х) и скалярное поле давлений р(г,х). По решению у(г,х) задачи (1.11) решения и(г,х) и р(г,х) задачи (1.2) — (1.5) можно найти по формулам (1.8) и (1.9).

2. Проектирование уравнений движения

Начально-краевую задачу (1.11) приведем в дальнейшем к дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве. Для этого применим прием проектирования первого уравнения (1.11) на ортогональные подпространства (см. [2]). Свяжем с функцией ро гильбертово пространство Ь2(П,ро) вектор-функций со скалярным произведением

(u,v) = J p0(x3)u(x)v(x) dQ. (2.1)

п

Как следует из (1.1), для р = р0(x3) справедливы неравенства

0 <m < р0 < M < ж,

обеспечивающие эквивалентность норм, определенных по закону (2.1) и обычным скалярным произведением в L2(n).

Обозначим через J0(Q,p0) подпространство Ь2(П,р0), которое получается замыканием в норме L2(Q,p0) множества гладких функций

{ v Е ^(П) : div v = 0 (в П), vn = 0 (на дП) }.

В качестве других подпространств возьмем подпространства

Ghis(П,р0) = { J Е L2(n,p0) : J = ()-lVp, vn = 0 (на S),

V • v = 0 (в П), У pdr = 0 }.

г

G0,r(n, Р0) = { w Е L2(n, P0) : w = р-1 Vp, ф = 0 (наГ) }.

Лемма 1. Имеет место следующее ортогональное разложение:

L2(n,p0) = Л(П,р0) 0 Gh ,S(П, Р0) 0 G0,r (П,р0). (2.2)

Доказательство леммы повторяет доказательство аналогичного утверждения для пространства L2(n), когда в (2.2) р0(x3) = const (см. [2], с. 106).

Будем считать v(t,x) и p-1Vrp(t, х) функциями переменной t со значениями в L2(n,p0), тогда в силу уравнений и граничных условий (1.11), ортогонального разложения (2.2) имеем

v(t,x) Е Jc)(n,Р0) 0 Gh,s(П,Р0) =: J0,s(П,р0),

р—1Vp(t,x) Е G0,r(n,p0) 0 Gh,s(П,р0) =: G(n,pa).

Поэтому при каждом t будем разыскивать их в виде

v(t,x) = w(t,x) + р-^Ф(^), w(t,x) Е J0(n, р0), р-1VФ(t,x) Е GhS(П,р0), р-1 Vp(t,x) = р-1V'Pl(t, x) + р-1 Vp2(t,x), (2.3)

р-1Vp1(x,t) Е Gh,s(П,р0), р—1 Vp2(t,x) Е Go,г(П,рo).

Обозначим через Р0, Ph;S и Р0 г ортопроекторы на подпространства ,^(П,р0), Gh,s(П,р0), G0 , г(П, р0) соответственно. Тогда, подставляя (2.3) в первое уравнение (1.11) и применяя ортопроекторы, получаем

d2w д 2

+ Po

( -1 д Ф \

N (хз) ( ро — + wJ еа

= Р0Ф0,

dt2 (PO1 + PO1 Vpi + Ph,s

дФ

dt2

POO1VP2 + Po , г

N 2(хз)

( -1 дФ \

1ро дхз+wV

N'X^PO1

+ W3 1 ез

( -1 дФ ) ^

(А- дхз + W3Jез

дхз = Po , г Фо

Ph, S Фо

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Из соотношения (2.6) следует, что составляющая поля давлений, обусловленная слагаемым р-1Угр2, определяется лишь полем вертикального смещения уз и начальными условиями, следовательно, достаточно ограничиться рассмотрением первых двух соотношений, а также граничного условия с соответствующей заменой р ^ р1, так как р = р1 + р2, р2 = 0 (на Г).

Для перехода от (2.4), (2.5) к системе уравнений с двумя искомыми функциями введем новые элементы:

Ph

h,S

N 2(x3)w3 ез

P-V,

P

h,S

1

д Ф

N (x3)P0^dx e3

(2.7)

Тогда (2.5) дает интеграл Коши-Лагранжа

д 2Ф д2

+ Р1 + Ф + n - F = c(t) (вQ),

(2.8)

где с(г) - произвольная функция времени, Рн,яфо = ро 1УР. Рассмотрим (2.8) на Г1 и воспользуемся равенством

pi = gpo(0)v3 + pi^ = gpo(0)

gpo(0) p-

( -I дФ\

dt2

дФ ) д2

1 дФ д2 1 дФ

{p-sx3 + W3) +P1 w {p-8x;+W3J =

дx3 ) + Pl дt2

1 дФ дФ 1 д2 дФ

{P-sX3) = gsX3 + p1p-(0) W2W3) (на ri);

получим д2Ф

дt2

+ gpo

( _i дФ ) д2 ( _л дФ )

(vp- äx^yl + p1 W2 v-^)

+ Ф + n = F + c(t) (на Г1).

(2.9)

Аналогично, получаем

д2Ф 1 дФ

w+K\p-

дФ д2 дФ

У- ix-,) + p2W2 v-1 0x3) n = F+c(t) (наr

(2.10)

Соотношения (2.9) и (2.10) вместе с (2.4) дают уравнения для определения двух искомых функций т(г,х) и Ф(г,х), при этом учитываются связи (2.7). Таким образом, начально-краевую задачу (1.11) перепишем в виде:

д 2W д2

+ Po

2 1 дФ

N (x3) ( Po ix + W3\e3

Po^o ( в Q),

div W =0 (в Q), W • n = 0 (на д Q),

д2Ф ( _1 дФ\ д2 ( _1 дФ . т ^

+ gPo[ Po irr + P1^72 Po T^T +ф + П = F + c(t) (наr1),

dt2 д 2Ф д2

+ K P-

1

дх3 дФ

dt2 \ro дх3

( -1 дФ

дх3) + P2 W lPo дХ3

+ Ф + n = F + c(t) (наГ2 ),

(2.11) (2.12)

V-(р01(ж)УФ) = 0 ( в П), Ро1(ж)УФ • n = 0 ( на S ), Î Ф dr = 0, Î ^ dr = 0,

Jr Jr 0x3

д д i дФ \

-w(0,x) = Pâti0, -уР-öx; (0' X)j = [(ph,sU°(x)) • n]г , (2.13)

w(0,x) = Pov0' (V Ц(0'X^ = С0(X) (X G Г).

3. Переход к системе дифференциально-операторных уравнений

Напомним, что отклонение у3 |г = ^Ро 1+ частиц подвижной поверхности должно удовлетворять условию сохранения объема жидкости при колебаниях:

,rvî dT=l(Pö1 й+'";) dr=0 =* I £ dr=0'

так как w3|r = 0, р0 1 |г = const. Это же условие является необходимым условием разрешимости задачи Неймана

V-(рё1(ж)УФ) = 0 ( в П), р01(ж)УФ • n = 0 ( на 5 ),

д Ф f

р-1(0)— = ф (на Г), фёГ = 0. (3.1)

дх3 Jr

Функцию ф = р-1(0)(дФ/дж3)|г, будем рассматривать как элемент пространства H = L2,г := L2 (Г)0{1Г}, и искать в виде пары функций ф = (ф1; ф2), где ф1 = ф|Г1 и ф2 = ф|г2, то есть функций, заданных на соответствующих областях Г1 и Г2. Рассмотрим следующие подпространства пространства H :

H1 := {(Ф1; Ф2) | Ф1 G L2 (Г1) © {In } , Ф2 = 0} , H2 := {(Ф1; Ф2) | Ф2 G L2 (Г2) 0 {1г2} ,"1 = 0} .

Очевидно, что пространства H1 и H2 ортогональны относительно скалярного произведения в L2 (Г). Тогда пространство H можно разложить в ортогональную сумму трех пространств:

H = H1 ф H2 Ф H3, (3.2)

где H3 есть одномерное подпространство пространства H, натянутое на вектор ф: H3 = {v | v = аф, V a G C, ф = (mes Г2; —mesr1)} .

Введем действующие в пространстве H ортопроекторы Pi, P2 и P3 на подпространства И\, H2 и H3 соответственно. Они будут действовать по следующим правилам:

Piu = (ui — щ; 0) , P2u = (0; u2 — u2) , (3.3)

îli = (mes Ti)-1 Ui dTi, P3u = (I — Pi — P2) u = (Ui; U2).

JVi

Для удобства дальнейших построений введем подпространство И2 := И2 ф И3, тогда

H = Hi ф И2. (3.4)

Отметим, что И2 на подпространство H2 действует по закону H2u = P2u + P3u = (ùi; u2).

С учетом сказанного, граничные условия в (2.11) на Г и Г2 можно записать покомпонентно в следующем виде:

д2Ф д2фх

+ gpoùi + Pi^t^ + Ф + П = F + c(t) (на Г1 ), (3.5)

д2Ф д 2 ф2

— + Кф2 + P2-д^Т + Ф + П = F + c(t) (на Г2 ).

Спроектируем пару уравнений (3.5) на подпространства ортогонального разложения (3.4). Для этого предварительно выделим явно элемент из подпространства Hi (для обозначения среднего интегрального значения функции, заданной на Г или ее части, снова будем использовать знак " ", см. (3.3)):

д2(Ф I ) д2 г ~ ~ д2'ù д2 ~

^2 + QP [Ф|Г1 — (Ф\г:1 )J + gpaiùi + gpo(Ùi — ù) + Pi^t + Pi ^ Ù — ù) +

+ — ф + ф + (п — ù) + ù = (F — F) + F + c(t) (на Г!). (3.6)

Здесь элементы (gp0(ф i — фх); 0^ и (д2/дЬ2)(ф\ — ф\); 0^ являются функциями переменной t со значениями в Hi. Далее, элемент (^pl(д2фl/дt2); р2(д2ф2/дtпринадлежит подпространству H2 ф{1г}. Значит, проекцию на H2 можно представить в следующем виде:

А д2 (J \ Р/ д2ф± д2фЛ ( д2ф± д2ф2 \ ,37.

Из условия ортогональности функции 1г получаем:

/ д2фЛ , ( д2ф2 \ d = + р2д^)

mes Г mes Г2

о.\ :=-, а2 = 1 — о.\ =-, 0 < о.\ < 1.

mes Г + mes Г2 mes Г + mes Г2

Аналогично с элементом (gpo^i; Кф2). Для него имеем:

Л (фи Ф2) := Р2 (gpoi>ï, КФ2) = (дро^ - КФ2 - c^ , (3.8)

c2 = ai (дрофА + «2 , ai = 1 - a2 =-— .

V / V / mes I 1 + mes 12

Введем обозначения:

Ря (FIn ; F|r2 ) = (Fin ; F|r2 ) = Pi (Fin ; F|r2 ) + P2 (Fin ; F|r2 ) =

= (F |n - (FÎTT); 0) + ((FÎT); F ta) =: fi + p2. Ря (Ф|Р!; Ф|) = (Ф|Р!; Ф|Р2 ) = I (Ф|Р1 ; Ф|Г2 ) + р №1 ; Ф|Г2) =

= (ф|Г1 - (); о) + ((ФфкТ); фь) =: Ф1 + Ф2.

ря Ыг1 ; п|г2) = (п|Г1 ; п|Г2) = pi Ыг1 ; nta) + р2 СпЬ; nta) = vki - ((Г1); 0) + ((п|Г1); nta) =: ni + m-

Будем считаем слагаемые функциями Ь со значениями в соответствующем гильбертовом пространстве. Поэтому, заменяя производные д/дЬ на й/йЬ, окончательно после проектирования системы (3.6), получаем:

дро - фъ о) + Pidt? (Vi - фъ о) + ^ (ф|г1 - (ф|Г1); о) +

+ (ф|г1 - (); о) + (п|г1 -о) = (f|п - (); о),

(3.9)

Ai(Фъ Ф2) + A2 (ipi; Ф2) + ((ф|г1 );ф|г^ +

+ ((Ф( Г1); ФЬ) + ((пк); п|Г2 Г1 ); Fh) - (3.10)

Пусть ui (t) := - ф/^о) ^ Hi и P2 (t) := ф2) G H2, с учетом обозначений, перепишем (3.9) — (3.10) в виде

d2ui d2 г —4—" \

gpoui + pi— + dtâ (ф|г1 - (ф|г1 ); 0] + Ф! + ni = fi, (3.11)

d2p t2 г ^^—\ ___ ___

Ai"^ + A2H2 + -£2 ((ф|г1 ); ф|г^ + Ф2 + H = f2- (3.12)

Представим в (3.11) — (3.12) слагаемые, содержащие элемент Ф, в виде операторной матрицы, действующей на вектор-столбец (и1; и2)1. Для этого рассмотрим Ф|п в виде

Ф = Ф1 + Ф2, (3.13)

где Ф11 ^ - решение (первой) вспомогательной задачи

V-(p-1(x)VT1) = 0 (в П), p-1(x)VT1 • n = 0 (на S)

Ф1 dr = 0,

Р-1(0)^т1 = Ф1 - Ф\ (на Г1),

Р-г(0)= 0 (на Г2 ),

дх3 ' дх3

а Ф2 ^ — решение (второй) вспомогательной задачи

V-(р-1(х)ЪФ2) = 0 (в П), р-1(х)ЪФ2 • п = 0 (на 5)

(3.14)

Ф2 dr = 0,

Р-1(0)TT2 = ф1 (на Г1 ),

Р-1(0) IT1 = ф2 ( на Г2 ).

(3.15)

дх3 дх3

Граничные условия на Г = Г1 и Г2 в задачах (3.14) и (3.15) соответствуют условиям

( ТЛ ~1(Г\ ^д Ф2 - / ТЛ

Ро (0)^— = U1 (на Г), Р- (0)-— = U2 (на Г),

(3.16)

дх3 дх3

причем выполнены необходимые условия разрешимости этих задач (см., например, [2, с. 46]).

Введем оператор Т1, который ставит в соответствие функции и1 = Р1ф £ Н1 решение задачи (3.14): Ф1 = Ф^ = Т1(ф1 — ф^ 0) = Т1Р1ф = Т1и1.

Рассмотрим теперь значения функции Ф1 на границе Г. Введем оператор следа на границе Г: 7 (Ф1|п) := Ф1|г и представим функцию Ф1|г в виде суммы ее проекций на подпространства Н1 и Н2: Ф1|г = Р17Т1Р1ф + 1Н2^Т1Р1ф =: С11и1 + С21и1.

Введем оператор Т2, который ставит в соответствие функции Н2 = Н2ф £ Н2 решение задачи (3.15): Ф2 = Ф2|п = Т2(ф\, ф2) = Т2Р2ф = Т^.

Снова рассмотрим значения функции Ф2 на границе Г и представим функцию Ф2|г в виде суммы проекций этой функции на подпространства Н1 и Н2:

Ф2^ = Р11Т2Н2ф + Н21Т2Н2ф =: С12Н + С22и2. С учетом сказанного, имеем

(Ф|гх — (Ф|ГТ);о)

'(Ф^ф^

Введем ряд обозначений

0) \ = ( C11 C12 N ( пЛ

((Ф|ГТ);Ф|г^^ / V C21 C22 ) V U2 ) '

(3.17)

Ф1 =: B21U1, Ф2 =: B31U2, P-1V^1 = p-W2 = Pf

1

h,S

N 2(x3)w3 e3

П1 =: B22U1, p- 1VV1 = Ph,s

U2 =: B33U2, p- 1VU2 = P}

h,S

N 2(x3)((Ü1U1) e3)e3

N2(хз) ((U2U2)ез)ез

г

г

Bnw := Po

N 2(x3)w3e3

B13M2 := Po

B12U1 := Po

N2(хз) ((Uiui)e3) ез

N2(x3)((U2ЭД) ез

Здесь через иг (г = 1, 2) обозначен оператор, который посредством решения вспомогательной задачи (см. (3.14), (3.15)) ставит в соответствие элементам п:, и2 функцию р-:1УФг е <,я(П, Ро) (г = 1, 2).

Перепишем первое уравнение (2.11) и систему уравнений (3.11) — (3.12), с учетом обозначений, в виде системы уравнений, которая в векторно-матричной форме принимает вид:

dL dt2

(о 0)(:)

+

+

( о n2 )+(

Bii

В 21

B12 В22

(:)=( Т) •

(3.18)

A = N + C := ( p10Jl 0 J + ( Cl ) ' N2 = diag(pc^/i; A2), (3.19)

В,1 = Bi ь В1 2 = ( В12 Bi3 ) , Î?2 1 = ^ B2 1 ) ' B22 = ( if'' B33) '

B f1 в12) ,и = ("1; ?2Y, / = (/1; hY, (3.20)

В21 В22

/0, I1 единичные операторы в J0(Q,p0) и H соответственно.

Начальные условия задачи (2.11) — (2.13) порождают начальные условия для уравнения (3.18):

(W; и0) = (w(0); u(0))', (w1; и1)' = (V(0); и'(0))', (3.21)

w(0) = P0V0, и(0) = (P1C0; P2ZY, w1)) = P0U0, и1(0) = (P1 ((Ph, s и0) • Я) ; P2 ((Ph,sU°) • Я))'.

Итогом рассмотрения задачи (2.11) — (2.13) в этом параграфе является

Теорема 1. Начально-краевая задача (2.11) — (2.13) равносильна задаче Коши (3.18) — (3.21) для дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве H = Jc(n,p0) 0 H.

Лемма 2. Оператор C (см. (3.19)) самосопряженный компактный и положительный оператор, действующий в пространстве H = H1 ф H2.

Оператор B (см. (3.20)) самосопряженный ограниченный и неотрицательный оператор, действующий в пространстве в H = ,J0(Q,p0) ф H.

Оператор К : D(K) С L2 (Г2) ^ L2 (Г2) (после расширения по Фридрихсу) — неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор.

Данные утверждения доказаны в леммах 5, 6 и теореме 1 из [4].

Лемма 3. Оператор N2 (см. (3.19)) на области определения

D(N2) = Hi Ф V(Ä2), V(Ä2) = {ф; ф2) е H2\Ф2 е d(k)}, (3.22)

является неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором.

Доказательство. Рассмотрим Ä2 введенный в (3.8).

Для Vu, v е D(ä2) С H2, u = (щ; u2), v = (V\, v2), в силу самосопряженности оператора ортогонального проектирования H2 и оператора K, имеем:

(Ä2U, v) = (P2 (pogui; KU2); (щ; V2)) = ((родщ; KU2); P2 (vi; V2)) = = ((родщ; KU2); (vi; v2)) = (родщ; щ)Нз + (Кщ; v2)H2 = = (ui; pogvi)h3 + (u2; Kv2)h2 = ((ui; щ); (pogvi; К щ)) = = (P2 (Ui; u2);(pog'Ui; Kv2)) = ((Ui; щ); P2 (pogvi; Kv2)) = (u; Ä2v),

откуда следует, что оператор Ä2 — самосопряженный. Далее имеем:

(Ä2u,u) = (роgui; ui)H3 + (Ku2; щ)Н2 ^ min (с; pg) \\u\\%2 , (3.23)

где (Ku2,u2)h2 ^ с \\u2\\H2, а значит, Ä2 — положительно определенный оператор в H2. Тогда и для оператора N2 = diag(p0gIi; Ä2) эти свойства сохранятся, то есть оператор N2 — неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор, и следовательно, ограниченно обратим. Обратный N-1 при этом является положительным оператором. □

Изучим свойства оператора Ni, который имеет вид (см. (3.18)):

Ni = diag(piIi,Ai), ÄiH = (рф - ci; Р2Ф2 - Ci), (3.24)

см. подробнее (3.7). Опираясь на представления оператора Äi, учитывая связь между сФ1 и ф2: Ф1 mesri + ф2 mesr2 = 0, имеем:

(aIu2,U2)h2 = ((рф - ci; Р2Ф2 - Ci); (ф\; ф2)) = V ' Н2

= (рф - ci; фЛ + (р2ф2 - ci; Ф2)Н2 = рМ \фi\2dri + р2 \ф2\2dF2 >

V ' Нз .Ir- ,1т„

Нз JVi JF 2

> k •\u12\h2, k := min^i, р2). Из полученного результата следует

Лемма 4. Для Ai и Ni из (3.24) справедливы оценки:

k\I ^ Ai ^ k21, ki := min(pi;p2) > 0, > k2 := max(pi, р2) > ki > 0,

kiI ^ Ni ^ k2I, где 1 и I единичные операторы в H2 и H соответственно.

4. Теорема существования сильного решения

Определение 1. Сильным (по переменной t) решением задачи (1.2) — (1.5) на промежутке [0,Т] назовем набор функций и (t,x), p (t,x), р (t,x), Z (t,x), для которых выполнены следующие условия:

1. р (t) Е C1 ([0, T] ; L (Q)), где L2(Q) — гильбертово пространство скалярных функций со скалярным произведением (ф,ф)^2(п) := g2 /п [po(x3)N2(x3)] p(x)^(x) dQ,

и (t) Е C1 ([0,T] ; Jo,s (Q,Po)) , PolVp Е C ([0,T]; G (Q,po)) и при любом t Е [0,T] справедливо уравнение (1.2);

2. ип = dZ/dt Е C ([0,T] ; H); выполнены граничные условия на Г1 и Г2:

Р = gpoZ + PidZ Е C ([0, T]; L2(ri)) , p = KZ + P2Е C ([0, T] ; ¿2^2)) ,

где все слагаемые являются непрерывными по t функциями со значениями в ¿2(Г1) и ¿2(Г2) соответственно; а также выполнены начальные условия (1.5).

Теорема 2. Пусть выполнены условия

U Е Jo,s (Q,Po) , Po Е L2(Q), f (t) Е C1 ([0,T]; J2(Q,Po^ , Zo Е L2 (Г) , J Z odr = 0, Z o|r2 ЕЪ(К), Z1 := [(Ph,su°(x)) • n]r Е L2 (Г) , J Zldr = 0, Z 1|г2 Е D(Ki/2).

Тогда задача (1.2) — (1.5) имеет единственное сильное по t решение.

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда задача Коши (3.18), (3.21) имеет единственное сильное по t решение, что следует из теоремы 2 работы [3]. Дальнейшее доказательство основано на обратном переходе от задачи Коши (3.18), (3.21) к начально-краевой задаче (2.11) — (2.13), а затем к задаче (1.2) — (1.5). □

Список цитируемых источников

1. Габов, С. А., Свешников, А. Г. Математические задачи динамики флотирующей жидкости // Итоги науки и техники, сер. Мат. анализ. — 1990. — Т.28. — С. 3-86.

Gabov, S.A., Sveshnikov, A. G. Problems in the dynamics of flotation liquids. Journal of Soviet Mathematics 54, No.4, 979-1041 (1991).

2. Копачевский, Н. Д., Крейн, С. Г., Нго, ЗуйКан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. — M.: Наука, 1989. — 416 с.

Kopachevsky, N. D., Krein, S.G., Ngo,ZuyCan. Operator methods are in linear hydrodynamics: evolution and spectral problems. Moscow: Nauka, 1989. (in Russian)

3. Копачевский, Н. Д., Цветков, Д. О. Задача Коши, порожденная колебаниями стратифицированной жидкости, частично покрытой льдом // Таврический вестник информатики и математики. — 2018. — Т.38, №1 — С. 31-39.

Kopachevsky, N. D., Tsvetkov, D. O. Cauchy problem generated by oscillations of stratified fluid partially closed by ice. TJCM 38, No.1, 31-39 (2018). (in Russian)

4. Цветков, Д. О. Малые движения идеальной стратифицированной жидкости, частично покрытой упругим льдом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2018. — Т.28, №3 — С. 328-347.

Tsvetkov, D. O. Small motions of an ideal stratified fluid partially covered with elastic ice. Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science 28, No.3, 328-347 (2018). (in Russian).

5. Цветков, Д. О. Колебания стратифицированной жидкости, частично покрытой крошеным льдом // Известия вузов. Математика. — 2018. — Т.62, №12. — С. 70-85.

Tsvetkov, D. O. Oscillations of stratified liquid partial ly covered by crumpling ice. Russian Mathematics 62, No.12, 70-85 (2018).

6. Rektorys, K. Variational methods in mathematics, science and engineering (2th ed.). D. Reidel Publishing Company, 1980.

Получена 21.04.2016