Малые движения и нормальные колебания системы трех сочлененных тел с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 23 (62) № 2 (2010), с. 19-39.

УДК 517.9:532

Э. И. батыр

МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ СОЧЛЕНЕННЫХ

ТЕЛ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ

В работе исследуется начально-краевая и спектральная задачи о малых колебаниях системы из трех сочлененных гиростатов, т.е. маятников с жидким наполнением, присоединенных один к другому. Формулируется теорема существования решений задачи Коши; описываются свойства нормальных колебаний; известная теорема Н.Е. Жуковского переносится на случай движения системы трех сочлененных гиростатов.

Ключевые слова: система трех сочлененных гиростатов, идеальная несжимаемая жидкость.

Уравнения малых колебаний гидромеханической системы.

Рассмотрим систему трех тел С к, к = 1, 3, последовательно соединенных между собой сферическими шарнирами. Первое тело С1 С К3 имеет неподвижную точку Ох, а тела С к, при к = 2, 3 - соответственно точки О к, соединяющие шарниром тело С к и Ск-1. Каждое тело С к С К3 имеет полость О к, заполненную идеальной однородной несжимаемой жидкостью плотности рк > 0, к = 1, 3.

Будем считать, что на данную систему тел в состоянии покоя действует однородное гравитационное поле д, а в процессе малых движений - силовое поле

Р := д + /(1,х),

где /(¿, х) - малая динамическая добавка к гравитационному полю.

Для описания малых движений системы сочлененных гиростатов введем неподвижную систему координат 0хххх2х3 с ортами ё3, ^ = 1, 3, так, чтобы д = -де3. Кроме того, введем подвижные системы координат Окхкх2хк, жестко связанные с телом Ск. Единичные векторы вдоль осей Окхк обозначим через ё^, ] = 1, 3,

к = 1, 3. Кроме того, будем считать, что центр масс Ск гиростата Ск находится на оси Окхк, к = 1, 3, а в состоянии покоя все точки Ок и Ск расположены на одной вертикальной оси, к = 1, 3.

Положение подвижной системы координат Ок хк хк хк относительно неподвижной системы 01х1х2х3 в процессе малых движений гидромеханической системы будем задавать малым вектором углового перемещения

3

4(*) = Е 5к(*)4, к = 173.

3 = 1

Тогда угловая скорость СЗкЮ тела Ск будет, очевидно, равна (15к/ЛЬ, а угловое ускорение этого тела - величине 125к/И2 = 1сЗк/И.

Обозначим через тк массу к-го тела, а через Тк - радиус-вектор, идущий из полюса Ок в любую точку тела Ск. Введем также векторы Нк = ОкОк+1, к = 1, 2.

Приведем теперь для каждого из гиростатов Ск линеаризованное уравнение изменения кинетического момента относительно точки Ок, к = 1, 2, 3, а также следствия из этой совокупности уравнений. Вид этих уравнений можно найти в [1], стр. 129-132, с.145, с.336, а также в [2]-[3]. Из этих уравнений следует, что левые и правые части последующего уравнения целиком входят в левые и правые части предыдущего. Тогда, беря соответствующие разности левых и правых частей, а также последнее уравнение, приходим к следующим уравнениям движения трех сочлененных гиростатов:

т1 х

Сх

х г^ (т1 + р1 IГ1 х ^д1 1^1+

йш1 - (Ш2 , дЦЛ , -х Н +--х Г2 + I ат2+

dí х Н1 + dí

+

+ у Н1 х

Н1 Ч Их Н1 + -жх Н2 + х Тз + ~ж] 1тз+

Сз

+ ац-1 - а2 (^2 - ^1) + д (т1^1 + (т-2 + тз) Н1) Р2-1 =

= У Г1 х Л(т1 + У Н1 х ¡2(1т2 + ! Н1 х /з1тз = ММ1; (1)

Сх С2 Сз

! Г2 х ^ х Т^ (1т2 + Р2 ^ Г2 х ^д^21^2 + J х ^ х Н1 ) 1т_2+

С2 П2 С2

, (- (1^1 - , 1^2 - . _ диз \

+ У Н2 Ч"С х Н1 + х Н2 + "С х Тз + "а^з) 1тз+

Сз

+ а\ (ш2 - и 1) - а2 (со3 - С02) + д (ш2^2 + тзЛ-2) Р262 =

= У /2 X /2йт-2 + У Я2 X /зйтз = М2; (2)

С2 Сз

/3 X ( "й^3 X /з) йтз + Рз I /з х ^й0з+

Сз Пз

+ / /з X (X Й1 + "й2 X ^ йтз + аз (из - Ш2) + дтз ¡зРгСз =

Сз

= у /з X /зйтз = Мз; (3)

Сз

В формулах (1)—(3): ¡к := Ск| — расстояние от Ок до центра масс Ск гиростата Ск,

Р2/к :=£ (к4 3=1

— проекция углового перемещения на плоскость Окхкхк, к = 1, 3. Предполагается также, что в шарнире Ок сила трения пропорциональна разности угловых скоростей примыкающих гиростатов С к и Ск_1, причем коэффициент пропорциональности ак > 0, к = 1,3. Далее, через йк = йк(Ь,х), х € 0к, обозначено поле относительной скорости движения жидкости в области 0к, к = 1, 3. Наконец, использовано обозначение

J(...)йmk := У (. ..)Рок й0к + J ( . .)Рк й0к, Ск П0к Пк где Оок С С к — область, занятая твердым телом постоянной плотности рок, а 0к — область, занятая жидкостью постоянной плотности рк, к = 1, 3. При этом, конечно же, нужно формально считать что в уравнениях (1)—(3) йк = 0 в области 0ок,

к = 173.

Приведем теперь линеаризованные уравнения движения (уравнения Эйлера) идеальной жидкости в каждой из полостей 0к. Каждое уравнение записано в неинер-циальной системе координат Окхкхкхк, жестко связанной с телом Ск, к = 1, 3. Вид этих уравнений можно найти в [1], а также в [2]—[3]. Имеем

/ дй1 йсо1 Л ^ /^ч

Р1 I + X /1 = -Ур1 + Р1/1, ё1Уй1 = 0 (в 01); (4)

(дй2 йй1 йи2 Л ^ -> , ^ . ..

Р2 ( "д" + Xh1 + "й^ X Ы = -УР2 + Р2/2, ¿1Уй2 = 0 (в 02 ); (5)

(ддйз йи1 / йШ2 / йиз Л / , ,

РзЫ + х 111 + ~Ж х 112 + "й" х Гз) = -Урз+рз^, ё1Уйз = 0 (в 0з);

(6)

Здесь рк = Рк(¿,х) — отклонение полей давлений от их равновесных значений, а Iк^,х) := ¡(Ь,х) |пк, к = 173. _

В качестве граничных условий на границах д0к =: Бк, к = 1,п, выступают условия непротекания для идеальной жидкости:

йк ■ Пк = 0 (на Бк) к = 1,3, (7)

где Пк - внешняя нормаль к области 0к.

Для полной математической формулировки исследуемой начально-краевой задачи о малых движениях сочлененных гиростатов к уравнениям (1)—(7) следует добавить кинематические условия, которые удобно записать в виде:

= Р2^к, рз = из, к = М, (8)

а также начальные условия

йк (0, х) = йк (х), х € 0к, йк (0) = и0, бк (0) = $0, к = !Д (9)

Таким образом, в данной задаче искомыми являются соленоидальные векторные поля йк(¿, х), поля давлений рк(¿, х), угловые скорости ийк(^ и угловые перемещения гиростатов §к(¿), к = 1, 3. Их требуется найти из уравнений движения гиростатов (1)—(3), уравнений (4)—(6) движения жидкостей в полостях 0к, условий непротекания (7), кинематических соотношений (8) и начальных условий (9).

Далее для простоты считаем, что границы д0к = Бк областей 0к достаточно гладкие, например, дважды непрерывно дифференцируемы, т.е.

Бк = д0к € С2, к = 173. (10)

Закон баланса полной энергии

Будем считать, что задача (1)—(9) имеет классическое решение, т.е. все функции в уравнениях, граничных и начальных условиях непрерывны относительно своих переменных, и выведем из (1)—(9) закон баланса полной энергии исследуемой гидромеханической системы.

С этой целью осуществим следующие шаги. Обе части уравнений (1)—(3) умножим скалярно в Мз на й1, й и из соответственно, а обе части уравнений (4)—(6) умножим скалярно в Мз на й1, й2 и йз соответственно и проинтегрируем по областям О1, О2, Оз. Складывая теперь левые и правые части полученных соотношений, после преобразований с использованием формул векторного анализа приходим к соотношению вида

2d;< J jwi x f1 + ui|2dmi + J jwi x hi + W2 x /2 + U2|2dm2+

Gi G2

+ / jwi x hi + W2 X h2 + W3 X /3 + U3|2dm3 > +

G3 J

+ 1 [mili + (m2 + m3)hi]|P2ri|2 + (ш2*2 + m3h2)|P2f2|2 + m3l3|P2f3|2 j =

= — ai|wi|2 + «2|W2 - Wi|2 + aз|uJз - + ^ Mk • <4 + ^ pk fk • UkdQfc. 1 J k= k= nfc

(11)

Это соотношение есть закон баланса полной энергии изучаемой гидромеханической системы, записанный в дифференциальной форме. Действительно, слева в (11) стоит скорость изменения по времени полной (кинетической + потенциальной) энергии системы, а справа — мощность сил трения плюс мощность внешних сил, обусловленная действием дополнительных к гравитационным сил fi, /2, /3 соответственно, а также моментов сил Mi, M2 и M3, которые выражены через эти силы (см. выражения для них в правых частях (1)—(3)).

Начально-краевая задача о малых движениях системы сочлененных гиростатов.

Задачу (1)—(9) будем исследовать методами функционального анализа, теории уравнений в частных производных, а также теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Проектирование уравнений Эйлера на ортогональные подпространства.

Будем считать в задаче (1)—(9) искомые функции Uk(t,x), Vpk(t,x), к = 1, 3, функциями переменной t со значениями в гильбертовых пространствах L2(Qk) с обычной нормой

IlUk|||2(nfc) := У |Uk|2dQk, к =173, (12)

nfc

и соответствующим скалярным произведением.

Как известно (см., например, [4], стр. 38, а также [1]), пространство вектор-функций L2 (Qk) имеет ортогональное разложение

L2(^k) = fo(Qk) ® G(Qk), (13)

где Jo(Qk) — подпространство соленоидальных векторных полей с условием непротекания на границе Sk = dQk, т.е.

Jo(Qk) := {Uk е L2 (Qk) : divUk = 0(в Qk), Uk • nk = 0(на Sk)}, (14)

а С(Пк) — подпространство потенциальных полей:

С(Пк) := [ик е Ь2(Мк) : ик = }. (15)

Здесь операции ёгейк и ик •Пк понимаются для элементов из Ь2(Пк) в смысле обобщенных функций (рапределений), подробную информацию об этом можно найти, например, в [1], с.98-102.

Как следует из (13)—(15), а также из соотношений (4)—(6) и граничных условий (7), для искомых полей скоростей ик(Ь,х) и полей давлений У'Рк(Ь,х) при любом Ь имеют место свойства

йк е /о(^к), У'к е С (Пк), к = 173. (16)

Опираясь на эти свойства, применим к уравнениям Эйлера (4)—(6) метод ортогонального проектирования на подпространства (13). Этот метод нашел широкое применение в задачах гидродинамики (см., например, [4], а также [1]).

Будем считать, что в уравнениях Эйлера (4)—(6) все функции являются непрерывными по Ь функциями со значениями в соответствующих пространствах Ь2(Пк), к = 1, 3. Обозначим через Р0,к : Ь2(Пк) ^ J0(Пk) ортопроектор на подпространство ,]0 (Пк), а через Ра,к : Ь 2(Пк) ^ С (Пк) — ортопроектор на дополнительное подпространство С (Пк), к = 1, 3.

Действуя ортопроекторами Род, Р0,2 и Р0,3 на обе части уравнений Эйлера (4), (5) и (6) соответственно и заменяя в силу сказанного выше д/дЬ на й/йЬ, приходим с учетом (16) к соотношениям

-Ж+М игх V = Р0^' (17)

_ + аЦ _ х ,ч + _ х л) = Р0,2т ( )

ййз (-Шх J -Ш2 J йшз Л J,, .

-Ж + Мх 1 + йй х 12 + х ^ = Р0МЬ), (19)

Аналогичные проектирования на подпространства С (Пк) дают связи

РхРсд (х J?J = -V'! + Р1Рс,1Л, (20)

р2Рс,2^х 11 + х = + р2Ра,212, (21)

„ / йш1 йШ2 -> йш3 Л ^ ^ -> , .

РзРа,з ( ~—ьь~ х 111 + х 12 + х гз ) = -^3 + РзРа,з Jз. (22)

Из (20)—(22) следует, что поля давлений Vpk непосредственно вычисляются через угловые ускорения йШк/йЬ и заданные функции ¡'к; в то же время эти давления не входят в уравнения (1)—(3), описывающие движения гиростатов. Отсюда приходим

к выводу, что в дальнейшем следует рассматривать систему соотношений (1)-(3), (17)-(19), (8)-(9).

Преобразования уравнений движения гиростатов. Соотношения (17)-(19) также позволяют вычислить непосредственно поля 1Йк/1£ через 1(к/И и -к, к = 1, 3. Подставляя эти выражения для 1Йк/1£ в уравнения (1)-(3), затем вычисляя выражения (. . .) 1тк согласно его определению и группируя слагаемые в виде Ск

интегралов [ (...) Юок и / (...) Юк, получим следующие уравнения движения гиростатов:

Ро1 ^ -1 х ^ х 1^01 + Р1 ^ -1 х ^х 1^1 +

П01 П

+Ро2 / Н1 х (^ х Н1 + ^гх ^10о2+Р2 / Н1 К^ х Н1 + ^х ^) 102+

п02 п2

+ Роз I Н1 х I — х Н1 + — х Н2 + — х -з ) 1Поз+

п0з

+Н1 х 1-х Н1+х Н2+-1- х ^; 10з+

пз

а1^1 - а2 (-2 - (4) + д (т^ + (т2 + тз) Н1) = = Ро^ -1 х ./о11^о1 + Ро^ Н1 х /о21^о2 + Ро^ У Н1 х /оз1Поз +

п01 п02 п0з

+Р1 ^ -1 х (РсдЛ) 1^1 +Р^ Н х (^,2/2) 1^2+Рз / Н х (РС,з/з) 1Пз = М (*);

п1 п2 пз

(23)

Ро2 / Т2 х (^ х Н1 + ^ х 10о2+Р2 / Рс,2 ( ^ х Н1 + ^ х 102+

п02 п2

+ Роз У Н2 х ^ ^ х Н1 + ^^ х Н2 + ^ х -з^ 10оз+

п0з

[ ? (Ъ (1(1 - 1(2 - 1(з \ \

+Рз уН2 х -1- х Н1+-ж- х Н2+-¿г х -з;; 10з+

пз

+ а1 ((2 - (1) - а2 (-з - (2) + д (т^Ь + тзН2) ^2^2 =

= Ро2 у -2 х /о21Оо2 + Роз у Н2 х -оз1Ооз +

п02 п0з

+ Р^ -2 х (Pc,2/2) 1^2 + Рз У Н2 х (Рс,з/з) 1Оз = М2 (¿) ; (24) п2 пз

[ - 1(1 - , 1(2 - , 1(з - А ло , Роз I -з х I — х Н1 + — х Н2 + — х -з 1 1^оз+

п0з

+Рз /х ( ^х Н1+^ х Н2+^ х ^) 1Оз+

пз

+ аз ((з - (2) + дтз1зР2^з =

= Роз У -з х /оз1Ооз + Рз J -з х (Рс,з/1) 1Пз = Мз (¿), (25) п0з пз

где использовано соотношене /к - Ро,к = РС,к, а /к — единичный оператор в М2(Ок),

к = 173.

Таким образом, влияние движения жидкости в области О к состоит в том, что в (23)-(25) единичные операторы /к заменены операторами ортогонального проектирования РС,к на подпространства (С(Ок), к = 1, 3. Заметим еще, что если поля -к потенциальны, то РС,к-к = -к, и тогда моменты внешних сил Мк(£) = Мк (£),

к = 173.

Подводя итоги этим преобразованиям, отметим, что теперь следует изучать задачу динамики гиростатов, исходя из уравнений (23)-(25), кинематических соотношений (8) и начальных условий (9) для (к и ¿к, к = 1, 3. При этом поля скоростей и давлений жидкости находятся по (к и §к посредством формул (17)-(19) и (20)-(22).

Переход к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка. Будем считать, что в задаче (23)-(25), (8), (9) искомым объектом является вектор-столбец

-(*): = (-1 (*); ад; ад)" , (26)

где индекс (...)т означает транспонирование (в данном случае строки). Тогда, в силу (8) имеем

((*) := (сад;(2С0;(з(*))т = = 12-(^)/1^2. (27)

Эти соотношения позволяют трактовать совокупность уравнений (23)-(25) как одно дифференциальное уравнение вида

С^ + А^Т + В- = ММ (¿), -(0) = <5°, -(0)= ((0)= (о, (28)

рассматриваемое в пространстве

Н := С3 ® С3 ® С3 (29)

с соответствующей нормой

ЙН = 1_1|2 + I 12 + |_3|2, (30)

а также тривиальную задачу (см. (8), (9))

й_) _

—_к = Шк, к = 1,3. (31)

При этом

_0 := (_0; _0; _0)Т , Ш0 := (Ш0; Ш0; Ш0)т , м(Ь) := (А(Ь); М^2(Ь); М3(Ь))Т , (32) а операторные матрицы

С = (С1т)'^,т=1, А = (А1т)3,ш=1, В = (В1т)'1гт=1, (33)

элементы которых определяются соответствующими выражениями из (23)—(25), стоящими при й2/йЬ2, й/йЬ и самой искомой функции, заданы посредством следующих формул:

С11_1 := Р01 ^ _1 х х г^ йП01 + Р1 У _1 х ^Ра,1 х п)) йП1+

Пох Пх

+ Р02 У _11 х х йП02 + Р2 J 11 х [Ра,2 (_1 х йП2 +

По2 П2

+ Р03 У _11 х х йП03 + Р^ У111 х (Ра,3 (_1 х И^) йП3; (34)

Поз Пз

С12_2 := Р0^ _11 х ^_2 х йП02 + Р2 J Ъ х (Ра,2 (_2 х йП2 +

По2 П2

+ Р03 _11 х (_2 х йП03 + Р3 _11 х ^Ра,3 (_2 х йП3; (35)

Поз Пз

С13_3 := Р03 11 х (__3 х йП03 + Р3 11 х (Ра,3 (_э х йП3; (36)

Поз Пз

С21_1 := Р02 У _2 х х йП02 + Р2 У _2 х (Ра,2 (_1 х И^) йП2 +

По2 П2

+ Р03 _12 х (_1 х И^ йП03 + Р3 12 х ^Ра,3 (_1 х И^) йП3; (37)

Поз Пз

С--! := Ро2 у Г2 х (¿2 х 1Оо2 + Р^ -2 х ( Рс,2 ( -2 х Т2 ) ) 1О2 +

п02 п2

+ Роз у Н2 х ^2 х Н^ 1Ооз + Рз у Н2 х (^Рс,з (¿2 х Н2

п0з пз

С-^ := Ро^ Н2 х ^з х -з) 1Ооз + Рз У Н2 х (Рс,з (^з х Тз)

п0з

пз

С-^ := Роз у -з х (¿1 х нд 1Ооз + Рз у -з х (^Рс,з (¿1 х Н1

п0з пз

Cз2/2 := Ро^ -з х х Н^ 1Ооз + Р^ У -з х (Рс,з х Н2)

п0з

пз

Cзз/з := Роз У Тз х (^з х 1Ооз + Рз У -з х (Рс,з (^з х Тз)

п0з пз

А :=

а1 + а2 -а2

0

а2

0

а2 + аз -аз аз аз

1Оз; (38)

1Оз; (39)

1Оз; (40)

1Оз; (41)

1Оз; (42)

(43)

а операторная матрица В диагональна и

Вц-! := д(т1^1 + (т2 + mз)Нl)P2/l =: дЬцР2-1;

В-^ := д(т2/2 + mзН2)P2/2 =: gb22P2/2;

В—йз := д(тзгз)P2/з =: gbззP2/з. (44)

Свойства операторных коэффициентов эволюционного уравнения. Рассмотрим, опираясь на формулы (34)—(44), общие свойства операторных матриц С, А и В дифференциального уравнения (28).

Лемма 1. Матрица В неотрицательна и имеет трехмерное ядро, натянутое на векторы

0,0, б?)7" , (0,0,е1)Т , (о, 0, е!)Т . (45)

Лемма 2. Матрица А является положительно определенным оператором, действующим в комплексном пространстве Н с нормой (30).

Теорема 1. Операторная матрица С, элементы которой определены формулами (34) — (42), допускает представление

С - Ств + С

пр

(46)

в виде суммы операторной матрицы Ств , связанной с движением собственно твердых сочлененных тел, и матрицы Спр , связанной с движением идеальной жидкости в полостях этих тел. Назовем матрицу Спр по аналогии с термином, введенным Н.Е. Жуковским, присоединенной матрицей инерции.

Каждая из матриц в (46) является положительно определенным самосопряженным оператором, действующим в (комплексном) пространстве Н, при этом их квадратичные формы соответственно равны

Ств 5, 5 ) — Р01

н

51 х г1

^01 + Р02

51 х /¡1 + 52 х г2

(^02 +

Пох

По2

+ Р03

51 х /1 + 52 х /2 + 5з х Гз

^03 (47)

Поз

Спр 5,5 — р1

н

Ра,1(51 х п)

+ Р3

(01 + р2

Ра,2(51 х /1 + 52 х г2)

(Ш2 +

П2

Ра,з(51 х /1 + 52 х /2 + 5з х г3) (0з. (48)

Пз

Замечание 1. Если рассмотреть для сравнения с изучаемой задачей случай, когда в полостях 0к содержится не идеальные жидкости, а твердые тела той же плотности рк, к — 1, 3, то такая задача о малых движениях сочлененных твердых тел снова сводится к эволюционному уравнению вида (28), где операторы А и В — те же, что и в (28), а оператор инерции СоТв имеет вид

Сотв - Ств + Сж .

(49)

Здесь Ств — тот же, что был описан соотношениями (46) и (47), а Сж — самосопряженный положительно определенный оператор, связанный с движением отвердевших жидкостей; его квадратичная форма

2

Сж М) н — Е Рк

к=1

к-1

^2(5] х /) + 5к х Гк 3=1

(0к,

(50)

имеет такой же вид, как выражение (47) для Ст

2

Теорема Жуковского, потенциалы Жуковского. В задаче динамики твердого тела с полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью, хорошо известен следующий факт, полученный Н.Е. Жуковским [7]: если поле массовых сил потенциально, то такая гидромеханическая система движется так же, как движется под действием этого поля сил другое твердое тело с измененным моментом инерции <ЛтеМ = / + Jnp, где JT — момент инерции твердого тела (без жидкости), а Jnp — присоединенный момент инерции, связанный с движением жидкости в полости.

Предыдущие рассмотрения задачи о малых колебаниях системы сочлененных гиростатов позволяют установить аналогичный факт.

Теорема 2. (Обобщенная теорема Жуковского).

Если поле внешних дополнительных массовых сил потенциально,

/ = V/, Л = /к, ь = /|пок, k = М, (51)

то система сочлененных гиростатов с полостями, целиком заполненными идеальными жидкостями, движется под действием внешних сил так же, как движется под действием этого внешнего поля сил система сочлененных твердых тел с измененной матрицей инерции, т.е. с матричным оператором (46)—(48).

Выражение (48) для квадратичной формы присоединенной матрицы инерции Спр позволяет вычислить ее, используя так называемые потенциалы Жуковского — функции переменной x, x £ , зависящие лишь от геометрических характеристик области Qfc, k = 1, 3. Перейдем к более подробному изложению таких построений применительно к исследуемой задаче о движении системы сочлененных гиростатов. Введем потенциальное поле

Pg,i (Л1 х /i) = (Ii - P0>i) (Л1 х /i) =: V^i £ G(Qi). (52)

Так как div(/i х /i) = 0 и по определению (14) подпространства J0(Qi также div(Po,i(/i х /i)) = 0, то из (52) следует, что потенциал поля V^i находится с помощью решения задачи

A^i = 0 (в Qi), ^ = f/i х/Л ■ ni (на Si), (53)

dni V /

причем для его однозначного нахождения можно дополнительно потребовать, чтобы

У ^idSi = 0. (54)

Si

В самом деле, для элементов из Jo(Qi) нормальная компонента поля на границе Si = dQi равна нулю, откуда приходим к граничному условию Неймана в задаче (53)—(54) для гармонической функции = ^i(x), x £ Qk.

Из (53)—(54) следует, что поле V^i является потенциально-гармоническим. Этим же свойством будут обладать поля, построенные по потенциалам Жуковского.

з .

Так как 5^) — ^ 5\ то решение задачи (53)—(54) можно представить в 3 = 1

виде

з

ф1 — £ 51 (1)-фц, (55)

3 = 1

где }з=1 — потенциалы Жуковского для области 01. Они являются решениями следующих задач

Дфу — 0 (в 01), д^3 — (ё! х п) ■ П1 (на Б ), Iфц(Б1 — 0, 3 —173,

(56)

и зависит, как уже упоминалось выше, лишь от геометрических характеристик области 01.

Введем теперь потенциальное поле, отвечающее второму слагаемому в квадратичной форме (48):

Уф2 :— Ра,2 (51 х //1 + 52 х г^ — (/2 - Р0,2) ($1 х /1 + 52 х г^ . (57) Здесь постоянное поле 51 х /1 уже потенциально, так как

51 х/1 — у( (д1 х/Л ■ Ъ) . (58)

Поэтому аналогично предыдущим построениям имеем

з

ф2 — (51 х /1) ■ Г2 + £ 52(1)ф2з, (59)

2

3 = 1

где {Ф23 }з=1 — потенциалы Жуковского для области О2:

23 — 0 ( в О2 ), дф21 — (в2 х Г2) ■ П2 (на Б ), I Ф23

ДФ23 — 0 ( в О2 ), дф3 — (ё2 х Г2) ■ П2 (на 32 ), J Ф23(— 0, 3 — 1, 3.

(60)

Эти функции зависят лишь от конфигурации области О2.

Наконец, для третьего слагаемого из (48) соответственно определяем:

Уфз :— Ра,з (51 х /1 + 52 х /2 + 5з х г^ . (61)

Тогда

з

фз — (¿1 х /1 + 52 х /2) ■ гз + £ 5зз(г)фз3, (62)

3=1

где {фз3}з=1 — потенциалы Жуковского для области 0з:

дфз3 _ (3 дпз

Дфз3 — 0 (в 0з), дп3 — (4 х Гз) ■ Пз (на ), j фз3(Бз — 0, 3 — 1,3.

(63)

Определение 1. Будем называть функции (ж)}|=1, определяемые формулами (55), (56), (59), (60), (62), (64), обобщенными потенциалами Жуковского, отвечающими задаче о малых движениях трех сочлененных гиростатов.

Очевидно, обобщенные потенциалы Жуковского зависят не только от конфигураций областей , но также и от способа соединения гиростатов С, к = 1,3.

Проведенные рассмотрения показывают, что для квадратичной формы, определяемой присоединенной матрицей инерции, справедлив следующий результат.

Теорема 3. Квадратичную форму присоединенной матрицы инерции Спр в задаче о колебаниях трех сочлененных гиростатов можно вычислить по формуле

3 ,

(Спр 5, 5) = £ рЛ |2 ^, (64)

^ 1 ^к

где ^ — обобщенные потенциалы Жуковского, выраженные через компоненты векторов ¿1, ¿2 и ¿3 следующим образом:

3 3 3

х1............. ' " 52(

2=1 1=1 2=1

3 3 3

= £ ¿2 (*)^2, ^2 = £ й! (ё! X Я1) ■ ¿2 + £ 52, (65)

3 3 3

^3 = £ й! (¿1 X Я1) ■ ¿3 + £ йГ (¿Г X Я2) ■ ¿3 + £ ¿3(^32, (66)

1=1 т=1 2=1

^2 — потенциалы Жуковского, определяемые однозначно по решениям задач (56), (60), (64).

Таким образом, при исследовании задачи о малых движениях системы сочлененных гиростатов необходимо предварительно вычислить потенциалы Жуковского для областей Од., к = 1, 3, целиком заполненных идеальной жидкостью.

О разрешимости начально-краевой задачи о малых движениях системы сочлененных гиростатов. Опираясь на дифференциальное уравнение (28) и связь (31), на соответствующие начальные условия (см. (28), (32)) и свойства операторных коэффициентов А, В и С, выраженные в леммах 1, 2 и теореме 1, рассмотрим вопрос о разрешимости начально-краевой задачи (1)—(9) о колебаниях системы из трех сочлененных гиростатов.

Теорема 4. Пусть в задаче (1)—(9) выполнены следующие условия:

Ц0 е /о(0к), 4!, ¿0 е М3, к = 173, (67)

а малое внешнее поле / = /(¿, х) удовлетворяет следующим свойствам: поля

¿к (¿,ж):= /(¿,ж)|пк, /0к (¿,ж):= /(¿,ж)|п0к, к = 173, (68)

являются непрерывными функциями t £ [0, T] со значениями в пространствах L2(Qk) и L2(Q0k) соответственно.

Тогда задача (1)—(9) имеет единственное решение на отрезке [0, T], которое обладает следующими свойствами:

10. Функции 5k (t) являются дважды непрерывно дифференцируемыми по t £ [0, T] вектор-функциями со значениями в C3, т.е.

55k(t) £ C2 ([0, T]; C3) , k = ТТЙ; (69)

соответственно функции tik(t) обладают свойствами

ujk(t) £ C1 ([0, T];C3) , k = T~n (70)

20. Поля скоростей Uk(t,x), x £ Qk, являются непрерывно дифференцируемыми по t функциями при t £ [0, T] со значениями в J0(Qk):

Uk(t,x) £ C1 ([0, T]; J0 (Qk)) , k = 1^. (71)

30. Поля давлений Jk(t,x), x £ Qk, обладают свойствами

Vpk(t,x) £ C ([0, T]; G(Qk)) , k = T"n. (72)

Иными словами, 'решение задачи (1)—(9) таково, что все слагаемые во всех уравнениях являются непрерывными функциями t £ [0, T] со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах.

Теорема 5. Если выполнены условия теоремы (4), то для решения задачи (1) — (9) справедлив закон баланса полной энергии в форме (11), где все слагаемые, в том числе первые производные по t от кинетической и потенциальной энергий, являются непрерывными функциями t £ [0, T].

Нормальные колебания системы сочлененных гиростатов.

В данном параграфе изучается задача о так называемых нормальных движениях исследуемой гидромеханической системы. Формулируются свойства собственных значений и корневых элементов исследуемой задачи.

Постановка задачи о нормальных колебаниях. Будем считать, что на систему сочлененных гиростатов не действует дополнительное поле внешних сил, т.е. J(t,x) = 0. Тогда, как следует из (1)—(3), (11), (23)—(25), (32), заданные правые части в возникающих эволюционных уравнениях — тождественно нулевые вектор-функции переменной t, в частности, в первом уравнении (28) M(t) = 0 (см. (32)). Движения такого вида будем называть свободными.

Определение 2. Будем говорить, что решение задачи о свободных движениях системы сочлененных гиростатов являются нормальными колебаниями, если искомые функции зависят от £ по закону ехр(—А£), т.е.

4 (£) = ё-Л44, <4 (£) = ё-Л*<4, к = 173,

г4 (£,ж) = ё-Л*г4 (ж), Рк (£,ж) = ё-Л4рк (ж), к = 1,3. (73)

В этих формулах А е С — неизвестный заранее спектральный параметр задачи, а множители при ехр(-А£) — так называемые амплитудные элементы. Отметим еще, что Ие А (> 0) дают декремент затухания нормальных колебаний, 1т А = 0 — их частоту.

Рассмотрим нормальные колебания исследуемой гидромеханической системы на основе нескольких возникших эволюционных уравнений. Для задачи (23)—(25), (8) приходим к уравнениям

-АС/ + А/ + В5 = 0, -А5 = 4, 4,5 еНе (С3)3, (74)

для задачи (28), (31) (а также из (74)) получаем эквивалентную спектральную задачу

А2С£ - АА£ + В5 = 0, -А5 = /. (75)

Простейшие свойства спектра и системы корневых элементов. Свойства собственных значений и корневых элементов задач (74), (75) сформулируем в виде отдельных утверждений.

Свойство 10. Число А = Ао = 0 является 3—кратным собственным значением задач (74), (75). Отвечающее ему собственное подпространство Н0 состоит из элементов вида

Т =(0,/3)Т , ¿^ е кег В = 0, (76)

где

^ = (¿1 = ¿3ё3; ¿2; ¿3) Т. (77)

Свойство 20. Если А = 0, то задача (74) либо (75) равносильна спектральной проблеме

¿(А)<5 := (А - АС - А-1Р2ВР2) 5 = 0, 5 е Н, (78)

Собственные значения А расположены симметрично относительно вещественной оси и по собственным элементам й находятся по формулам

(Д ¿)^ ± ^(Д - 4 (Сй, ¿) ^ ■ (в^й, Рг^), 2 (ся, 4

А± = --—-^- (Л)--^; (79)

'н

Кроме того, они обладают свойством

Ие А > 0. (80)

Свойство 30. Невещественные собственные значения Л, а также те вещественные Л (они положительны), которым отвечают, кроме собственных, присоединенные элементы, расположены в сегменте

F :={Л е С : И,е Л ^ 1 Лтт (с-1/2 АС-1/2) , |Л| < Лт«* (С"1^^-^2) | , (81)

где Лтгп (С-1/2АС-^2) > 0— минимальное собственное значение оператора С-1/2АС-1/2, а Лтах (Сц / В^- / ) — максимальное собственное значение задачи

В1 = ЛСй, (82)

причем

(7И := Сц - СюСо-о1Со1 > 0, С, := ДСР,-, г,; = 0,1, (83)

где Р1 : Н —У Н1 и Р0 : Н — Н0 ортопроекторы на Н1 и Н0 соответственно (в силу леммы 1 оператор В допускает представление в виде В = ^гад (В1; 0) в ортогональном разложении Н = Н1 ф Н0, Н0 = кег В, dimН0 = 3, dimН1 = 2-3 = 6, где Н0 = кег В — подпространство, натянутое на элементы (45), а Н1 состоит из элементов вида Р2й := Р2^2; , т.е. из набора проекций векторов ¿к на

плоскости Окж|, к = 1, 3).

Свойство 40. Если выполнено условие

Лтт (с-1/2АС-1/2) > 2Лтах (<5-11/2В1<5-11/^ , (84)

то задача (75) не имеет невещественных собственных значений и присоединенных элементов.

Свойство 50. Задача (74) о нормальных колебаниях трех сочлененных гиростатов имеет 6 ■ 3 = 18 собственных значений (с учетом их кратностей). При этом, как уже упоминалось в свойстве 10, Л = 0 — трехкратное собственное значение.

Свойство 60. Физический смысл нормальных движений, отвечающих собственному значению Л = 0, для трех сочлененных гиростатов состоит в следующем: этому Л соответствуют не движения, а новые состояния покоя гидромеханической системы, которые получаются из исходного состояния поворотом гиростатов на произвольные углы ¿3, ¿3, ¿3 соответственно.

Свойство 70. Если трение в шарнирах отсутствует, то А = 0. В этом случае задача (74) принимает вид

Вй - ЛСсс = 0, сс + Лй =0, еН. (85)

Данная задача имеет 2 ■ 3 = 6-кратное собственное значение Л0 = 0, ему отвечает 3 первых присоединенных элементов соответственно вида

сс0 =0, ¿0 = ¿0 е кег В = Н0, сс1 = сс1 е кег В, ¿1 = 0. (86)

Кроме того, задача (85) имеет 2 ■ 3 = 6 пар чисто мнимых собственных значений А± = ±Цк/2 ((7Г11/2Бп(71-11/2) , к = !Д (87)

Свойство 80. В качестве следствия из свойства 70 получаем также утверждение: при достаточно малом трении в шарнирах (коэффициенты ак > 0, к = 1, 3, достаточно малы) задача (74) имеет 3-кратное нулевое собственное значение и 3 собственных значения (вероятно, вещественных, а потому положительных) в окрестности нуля. Тогда всего в задаче (74) может быть не более 2 ■ 3 = 6 пар комплексно сопряженных собственных значений.

Свойство 90. Предыдущие свойства решений задачи (74) показывают, что трение в шарнирах играет существенную роль в данной задаче: если оно отсутствует, то спектр расположен на мнимой оси; если оно достаточно велико (выполнено условие (84)), то этот спектр расположен на неотрицательной полуоси; если трение умеренное, то спектр расположен (кроме нулевого собственного значения) в правой комплексной полуплоскости, причем может быть, по-видимому, не более чем 2-3 = 6 пар невещественных комплексно сопряженных собственных значений. Каждой такой паре А0 = а0 + гв0 отвечает декремент затухания а0 > 0 нормального движения гидромеханической системы и частота колебания в0 > 0.

Свойство 100. В качестве еще одного следствия из свойства 70 приведем такой факт: в задаче о свободных движениях гидромеханической системы, отвечающей задаче (85) при отсутствии трения в шарнирах, т.е. в задаче

С— + Б§ = 0, — = ш, (88)

йЬ йЬ '

возможны тривиальные решения вида

§(Ь) = ¿0 + Ьш0, §0 = §0, Ш0 = (89)

Они соответствуют произвольному перемещению системы при Ь = 0 на ¿0 = (§0 1; ¿о 2; §0 з) , а затем медленному равномерному вращению каждого гиростата с угловой скоростью ш0 = (ш3;1; 2; 3)т.

Свойство 110. Отметим, наконец, еще одно математическое обстоятельство: система корневых (собственных и присоединенных) элементов этой задачи образует базис в пространстве Н = НФН1 = (С3)3 ф (С2)3 = (С5)3 = С15.

Индефинитный подход. К исследуемой проблеме нормальных колебаний системы из 3 сочлененных гиростатов можно применить еще один подход, основанный на теории самосопряженных операторов, действующих в пространстве с индефинитной метрикой (см. например, [8], [9] и [10]). Очень краткие сведения о таких операторах можно также найти в параграфе 1.4 монографии [1].

Проблема нормальных колебаний исследуемой гидромеханической системы сводится к спектральной задаче вида

Av = \v, v := (J; T = (с 1/2ti; -гВ\/2 (P2J)) Т , (90)

гр £H, $1 £Hi, v £H = H®Hi, dim H = 3n, dim Hi =2n, n = 3, (91) где оператор A определен формулой:

= ( C-1/2 0 \ ( A iP2Bi/2 \ ( C-1/2 0 \ =

A0 ) 1^0 I)

= ( C-1/2AC-1/2 iC-1/2P2B1/2 \

= ^ iB\/2P2C-1/2 0 ). (92)

Этот оператор является (максимальным) аккретивным оператором, действующим в H. Однако он обладает еще одним замечательным свойством: он является самосопряженным оператором в пространстве с индефинитной метрикой. Введем, опираясь на ортогональное разложение H = H®H1 оператор

J :=diag(l3„; -hn), n = 3, (93)

где I3 n и I2n единичные операторы в H и H1 соответственно. Очевидно, этот оператор обладает свойствами

J = J* = J-1, (94)

т.е. является канонической симметрией.

Для элементов из H введем наряду с обычным скалярным произведением

(v,w),fL := (ф; H + (V1; J1) , V = (гр; ip^ , w = (J; J 1)Т , (95)

так называемое индефинитное скалярное произведение

[v,w] := (ф; - (V1; J1) =(JV,w)il. (96)

Соответствующее пространство с индефининой метрикой обозначим (по аналогии с пространством Л.С. Понтрягина Пк) символом Hк, где, согласно (93), к = 2n, т.е. количеству отрицательных квадратов в квадратичной форме

[v,v]:= ||гр||H -IIJ1IIH = (Jv,v)HH, dimH1 = 2n, n = 3. (97)

Заметим теперь, что

= ( I3n 0 \ ( C-1/2AC-1/2 iC-1/2P2B1/2 \ =

JA = \ 0 -im) \iB\/2P2C-1/2 0 ) =

= ( C-1/2AC-1/2 iC-1/2P2B1/2 \ = ( (98) = -iB]/2P2c-1/2 0 =(JA) , (98)

т.е. действительно является оператором, самосопряженным в пространстве Hк с индефинитной метрикой (97). Это важное обстоятельство, а также конечномерность пространства , dim = 5n, позволяет сразу установить свойства решений спектральной задачи (90), а потому и связанных с ней задач (75) и (74).

Теорема 6. Спектр задачи (74) (либо (75)) о нормальных колебаниях системы n = 3 сочлененных гиростатов может иметь при наличии трения в шарнирах и A >> 0 не более 2к = 4n = 4 ■ 3 = 12 невещественных (комплексно сопряженных) собственных значений. Остальные 6n — 4n = 2n = 2 ■ 3 = 6 собственных значений вещественны (неотрицательны) и обладают следующими свойствами: Л = Ао = 0 является n = 3-кратным собственным значением и ему не отвечают присоединенные элементы, остальные n = 3 собственных значений положительны и им также не отвечают присоединенные элементы.

Если выполнено условие (84), то все собственные значения задачи (74) вещественны (и неотрицательны), а собственные элементы спектральной задачи (90), (91) образуют J-ортогональный базис в пространстве Hк, причем отвечающие элементам этого базиса собственные значения положительны.

Список литературы

[1] Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М., 1989.

[2] Батыр Э. И. Малые движения двойного маятника с полостями, содержащими идеальную несжимаемую жидкость. — //Ученые записки ТНУ.— Симферополь, 2001. — Том 14(53), №1 — С. 18-23.

[3] Батыр Э.И. Малые движения системы последовательно сочлененных тел с полостями, содержащими идеальную несжимаемую жидкость. — //Ученые записки ТНУ.— Симферополь, 2002. — Том 15(54), №2 — С. 5-10.

[4] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970.

[5] Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. 1972. Вып. 4. С.52-73.

[6] Харламов П.В. Составной пространственный маятник // Механика твердого тела. 1972. Вып. 4. С.73-82.

[7] Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Избр. соч.— Т. 1. — М.; Л.: Гостехиздат, 1948. — С. 31 - 152.

[8] Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М., 1986.

[9] Iohvidov I.S., Krein M.G., Langer H. Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaces with an Indefinite Metric. Akademie. Verlag, Berlin, 1982.

[10] Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., 1972.

Мал1 рухи i нормальш коливання системи трьох зчленованих тш з по-рожнинами, що 3anoBHeHi iдеальною нестисливою рiдиною.batyr

У робот дослщжуеться початково-краева та спектральна задач1 про мал1 коливання системи з трьох тш. Система являе собою ланцюг послщовно з'еднанних твердих т1л. Кожне тшо такого ланцюга е простат. Формулюеться теорема юнуван-ня розв'язюв задач1 Кош1; описуються властивост нормальних коливань; вщома теорема Н.6. Жуковського переноситься на випадок руху системи трьох тш.

Ключов1 слова: система трьох зчленованих простатав, щеальна нестислива рщи-на.

Батуг, E.I.Small movements and normal oscillations of a system of three connected bodies with the cavities, filled by an ideal incompressible fluid.batyr

In this paper we considered an initial-boundary value and spectral problems about the small movements of a system of three bodies. The system is a circuit of the consistently connected hard bodies. Each of the bodies of such circuit is a gyrostat. The existence theorem of solutions of the Cauchy problem is formulated. The properties of normal oscillations are described. The known N.E. Zhukovsky's theorem is transferred on a case of a movement of three bodies.

Keywords: system of three connected gyrostats, ideal incompressible fluid.