Оператор КМС типа b(1. 1) и супералгебра ли osp(3. 2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПЕРАТОР КМС ТИПА B(1.1) И СУПЕРАЛГЕБРА ЛИ osp(3.2) Г. С. Мовсисян, А. Н. Сергеев (г. Саратов) E-mail: movsisyangs@gmail.com, sergeevan@info.sgu.ru

В докладе будет рассказано о связи дифференциального оператора Калоджеро-Мозера-Сазерленда (КМС) типа B(1.1) с теорией представления супералгебры ли osp(3.2).

Рассмотрим оператор Калоджеро-Мозера-Сазерленда соответствующий системе корней типа B (1.1) [1]

L = (дм)2 + k(3v)2 - — (ди - kdv) - (1 + p)(du + dv)-

и — v

( д д \ д д 4

-(1 + 2p) — + — + 2—ди + 2k—дv--(ди - kдv), (1)

\ди дv) ди дv и - v

Естественной областью действия оператора (1) является следующая алгебра деформированных симметрических полиномов

Ai,i = {f е C[и, v] | (ди - kдv)f е (и - v)},

Известно [2], что базисом этой алгебры являются суперполиномы Джека, которые в этом случае имеют вид

Рл = vV---Л -k-lM--vA-V+1 = vV--^--vA-1 и^+1.

л Л - 1 - k-1(^ + 1) д + 1 - ^Л - 1)

где Л = (Л. д) - диаграмма Юнга - крюк.

Определим для каждой диаграммы Л многочлен ^Л по следующей формуле

= Е С<М. Л)Рм, где c(M, Л) = А [1] (2)

МеЛ Qm(M' fM

Теорема 1. Многочлены (2) являются собственными функциями оператора (1).

Следующая Теорема является основным результатом работы и показывает, что при определенной специализации параметров k, p собственные функции совпадают с характерами неприводимых конечномерных представлений супералгебры Ли osp(3, 2).

Теорема 2. 1) Если ß = Л - 1, то 3 lim 2|Л|-^Л = SchVЛ

k,p—1

2) Если ß = Л - 1,ß = 0 то при p +1 = Л(к+1) 3 lim -2|Л|—^л = SchVЛ.

k—-1

3) Если ß = 0, Л =1 то при p+1 = 2(к + 1) 3 lim 2Fл = SchVЛ, где |Л| =

k—-1

= Л+ß, Vл — неприводимое представление супералгебры Ли osp(3.2), [3].

Библиографический список

1.Sergeev A. N. BCœ Calodgero-Moser operator and super Jacobi polynomials // Advances in Mathematics, 2009. Vol. 222, № 5.

2.Sergeev A. N. Generalised discriminant, deformed quantum Calogero-Moser-Sutherland problem and super - Jack polynomials // Advances in Mathematics. 2005. Vol. 192, № 2.

3. Frappat L. Dictionary on Lie Algebras and Superalgebras. Great Britain : Academic Press, 2000.

ОБ АБСТРАКТНОЙ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ГИПЕРГРАФИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ ПОЛУГРУППАМИ ИХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ В. А. Молчанов, Е. В. Хворостухина (г. Саратов) E-mail: v.molchanov@inbox.ru, katyanew2007@rambler.ru

В настоящей работе рассматриваются так называемые гиперграфические автоматы, т.е. автоматы, у которых множества состояний и выходных сигналов наделены дополнительной алгебраической структурой гиперграфа. Это достаточно широкий и весьма важный класс автоматов, так как многообразие таких алгебраических систем охватывает, в частности, автоматы, у которых множества состояний и выходных сигналов являются плоскостями (например, проективными или аффинными), а также автоматы, у которых множества состояний и выходных сигналов разбиваются на классы некоторой эквивалентности.

В работе под гиперграфическим автоматом понимается полугрупповой автомат [1] A = (X,S,Y,Ö,X), у которого множества состояний X и выходных сигналов Y наделены такими структурами гиперграфов [2] Hx = (X, Lx) и Hy = (Y, Ly), что при каждом фиксированном входном сигнале s G S преобразование ös : X —> X - это эндоморфизм гиперграфа Hx и отображение Л5 : X —> Y - это гомоморфизм гиперграфа Hx в гиперграф Hy. Например, для любых гиперграфов Hx, Hy алгебраическая система Atm(Hx, Hy) = (Hx, S(Hx, Hy),Hy, с