Об абстрактной определяемости универсальных гиперграфических автоматов полугруппами их входных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2. 1) Если ß = Л - 1, то 3 lim 2|Л|-^Л = SchVЛ

k,p—1

2) Если ß = Л - 1,ß = 0 то при p +1 = Л(к+1) 3 lim -2|Л|—^л = SchVЛ.

k—-1

3) Если ß = 0, Л =1 то при p+1 = 2(к + 1) 3 lim 2Fл = SchVЛ, где |Л| =

k—-1

= Л+ß, Vл — неприводимое представление супералгебры Ли osp(3.2), [3].

Библиографический список

1.Sergeev A. N. BCœ Calodgero-Moser operator and super Jacobi polynomials // Advances in Mathematics, 2009. Vol. 222, № 5.

2.Sergeev A. N. Generalised discriminant, deformed quantum Calogero-Moser-Sutherland problem and super - Jack polynomials // Advances in Mathematics. 2005. Vol. 192, № 2.

3. Frappat L. Dictionary on Lie Algebras and Superalgebras. Great Britain : Academic Press, 2000.

ОБ АБСТРАКТНОЙ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ГИПЕРГРАФИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ ПОЛУГРУППАМИ ИХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ В. А. Молчанов, Е. В. Хворостухина (г. Саратов) E-mail: v.molchanov@inbox.ru, katyanew2007@rambler.ru

В настоящей работе рассматриваются так называемые гиперграфические автоматы, т.е. автоматы, у которых множества состояний и выходных сигналов наделены дополнительной алгебраической структурой гиперграфа. Это достаточно широкий и весьма важный класс автоматов, так как многообразие таких алгебраических систем охватывает, в частности, автоматы, у которых множества состояний и выходных сигналов являются плоскостями (например, проективными или аффинными), а также автоматы, у которых множества состояний и выходных сигналов разбиваются на классы некоторой эквивалентности.

В работе под гиперграфическим автоматом понимается полугрупповой автомат [1] A = (X,S,Y,Ö,X), у которого множества состояний X и выходных сигналов Y наделены такими структурами гиперграфов [2] Hx = (X, Lx) и Hy = (Y, Ly), что при каждом фиксированном входном сигнале s G S преобразование ös : X —> X - это эндоморфизм гиперграфа Hx и отображение Л5 : X —> Y - это гомоморфизм гиперграфа Hx в гиперграф Hy. Например, для любых гиперграфов Hx, Hy алгебраическая система Atm(Hx, Hy) = (Hx, S(Hx, Hy),Hy, с

функциями 6'(х, = ^(х), А'(х, = ф(х) (где х Е X,

) Е 3(Нх, Ну)) является гиперграфическим автоматом, который называется универсальным гиперграфическим автоматом над гиперграфами Нх, Ну.

Изоморфизмом гиперграфического автомата А = (Нх, 3, Ну ,6, А) в гиперграфический автомат А1 = (Нх1, 31,Ну1, 61, А1) называется упорядоченная тройка 7 = (/, п,д) отображений / : X —> X1,п : 3 —^ 31 и д : У —^ У1, сохраняющих алгебраическую структуру таких автоматов, т. е. f является изоморфизмом гиперграфа Нх в гиперграф Нх1, п -изоморфизмом полугруппы 3 в полугруппу 31, д - изоморфизмом гиперграфа Ну в гиперграф Ну1 и для любых значений х Е X, й Е 3 выполняются условия /(6(х,в)) = 61(/(х),п(в)), д(А(х,в)) = А1(/(х),п(й)).

Гиперграф Н = (X, Ь) называется эффективным, если любая его вершина принадлежит некоторому ребру этого гиперграфа. Пусть р - некоторое натуральное число. Гиперграф Н будем называть гиперграфом с р-определимыми ребрами, если в каждом ребре этого гиперграфа найдется по крайней мере р +1 вершина и, с другой стороны, любые р вершин этого гиперграфа содержатся не более, чем в одном ребре. Например, эффективный гиперграф с 1-определимыми ребрами - это гиперграф, ребра которого образуют нетривиальное разбиение множества вершин без одноэлементных классов. Кроме того, если рассмотреть плоскость как гиперграф, вершинами которого являются точки этих плоскостей, а ребрами - соответствующие прямые, то проективная плоскость и аффинная плоскость с числом точек более четырех являются эффективными гиперграфами с 2-определимыми ребрами.

В работе решена задача об абстрактной определяемости универсальных гиперграфических автоматов над эффективными гиперграфами с р—определимыми ребрами своими полугруппами входных сигналов.

Теорема. Пусть Л1ш(Нх, Ну), Л1ш(Нх1, Ну1) - универсальные гиперграфические автоматы над эффективными гиперграфами с р— определимыми ребрами Нх, Ну и Нх1, Ну1 соответственно. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) гиперграфы Нх, Ну изоморфны гиперграфам Нх1, Ну1 соответственно;

2) полугруппы входных сигналов 3(Нх, Ну),3(Нх1, Ну1) автоматов Л1ш(Нх, Ну), Л1ш(Нх1, Ну1) изоморфны;

3) автоматы Л1ш(Нх, Ну), Л1ш(Нх1, Ну1) изоморфны.

Таким образом, полученный результат показывает, что универсальные гиперграфические автоматы над эффективными гиперграфами с р—определимыми ребрами определяются с точностью до изоморфизма своими полугруппами входных сигналов.

Библиографический список

1. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. М. : Высшая школа, 1994.

2. Зыков А. А. Гиперграфы // УМН. 1974. Т. 29, № 6.

ПРОБЛЕМА ВАРИНГА ДЛЯ ПЯТЫХ СТЕПЕНЕЙ С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ Н. Н. Назрублоев (г. Душанбе) E-mail: nasrullo_86@bk.ru

В работах [1-4] были изучены поведения коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида

ЕХ

e(amn), y/x < у < -—

ln x

x—y<m^x

в множестве точек первого класса при n = 2,3,4 и приложены при выводе асимптотических формул с почти равными слагаемыми в проблеме Варинга (для кубов и четвёртых степеней ) в [5,6] и кубической задаче Эстермана в [4]. Поведения T(a,x,y) в множестве точек первого класса при произвольном фиксированном n были изучены в работах [7-9].

Доклад посвящен асимптотической формуле в проблеме Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми, при выводе которой используется вышеупомянутый результат, а также оценка T(a, x, у) в множестве точек второго класса [10] и теорема о правильном порядке интеграла от тридцать второй степени модуля T(a,x,y) [11].

Теорема. Пусть N > N0 — натуральное число, е — произвольное положительное число, не превосходящее 10—8, L = ln N, тогда для числа J(N, H) представлений N суммою 33 пятых степеней чисел Х{, i = 1, 2,..., 33 с условиями

Х{ (33

< H, H > N1—340 -