Алгебры суперсимметричных полиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Добровольский Н. М, Реброва И. Ю., Устян А. Е Подсыпании Ф. В., Подсыпании Е. В. Тульская школа теории чисел (к 105-летнему юбилею Владимира Дмитриевича Подсыпанина (16.01.191011.10.1968) и 65-летию тульской школы теории чисел) // Материалы XIII Междунар. конф. Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения (г.Тула, 25-30 мая 2015). Дополнительный том. Тула : Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2015.

АЛГЕБРЫ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛИНОМОВ А. Н. Сергеев (г. Саратов, г. Москва) E-mail: [email protected]

Симметрических полиномы играют важную роль во многих областях математики (1), в частности в комбинаторике, алгебраической геометрии, теории представлений и теории интегрируемых систем. Настоящая работа была мотивирована теорией интегрируемых систем и ее связями с теорией представлений. Кольцо симметрических полиномов Лорана Лт = Z[x±,... ,xm]Sm можно интерпретировать как кольцо Гротен-дика категории конечномерных представлений полной линейной группы GL(n). Эта интерпретация позволяет выделить в кольце Лп важный базис состоящий из функций Шура s\. Алгебра C 0 Лт также изоморфна алгебре интегралов соответствующей квантовой задаче Калоджеро-Мозера-Сазерленда.

Оказывается, что естественным аналогом кольца симметрических полиномов, для супергруппы GL(n,m) является кольцо суперсимметричных полиномов Лорана

Лт,п = {f е Z[x±, ...,xm,y±,..., | f + f e (Xi - yj)}

где (х{ — у^) обозначает идеал порожденный (х{ — х^). Оно является кольцом конечномерных представлений супергруппы ОЬ(и,т) (2) и предельным случаем алгебры интегралов деформированной задачи Калоджеро-Мозера-Сазерленда. построенной по системе корней супергруппы СЬ(и, т).

Основным результатом работы, является описание кольца Лт,п в терминах образующих и соотношений. Так как теория представлений супергруппы ОЬ(и,т) не является полупростой, поэтому не существует

простой явной формулы для характеров неприводимых представлений. Оказывается вместо этого естественно использовать характеры Эйлера, (3) которые позволяют построить естественный базис в кольце Лт,п и описать его в терминах образующих и соотношений. Определим функции Нк, Нк равенствами

1Ы1 — у3^^ , .к и* и < -1 -1 -1 -1\

- Ъ , Нк = Нк(Х1 ,...,ХП1,У1 ,...,Уп )

ПГ=1(1 -

к=0

Мы также считаем, что Н*к = Нк = 0, если к < 0. Для к € Ъ положим

и — аМ _ и ( л\п-ш у 1 . . .уп ,к Нк = Нк - Нк = Нк - (-1) X-—К-ш-к

Х1 . . . хш

В действительности, Н к является характером Эйлера для некоторой параболической подгруппы группы ОЬ(п,т). Несложно проверить, что Нк, Нк и А = принадлежат кольцу Лш,п.

Пусть Л = (Л1,..., Лр) последовательность целых чисел, а и, т - разбиения такие, и ¡(и) = к, 1(т) = I.

Пусть а последовательность определяемая по следующему правилу

(а,..., а1+р+к) = (т1,... ,т ,Л1,... ,Лр,и1,..., Ук)

Определим элемент алгебры Лш,п по формуле = det(aгj), где

Н1г+пз, 1 < г < I агз = ^ На.-г+3, ¡<г < I + р , 1 < 2 < I + р + к

На.-г+з, I + р < г < I + р + к

Теорема 1. Пусть числа р,д удовлетворяют условиям 0 < р < т, 0 < д < п, р — д = т — п и соответствующя последовательность Л является невозрастающей и имеет длину р и и1 + т1 < д. Тогда множество всех , является линейным базисом алгебры ЛШп.

Теорема 2. Алгебра Лш,п порождена образующими Нк, Нк, А, А-1

Нг1 Нг1+1 ... Нг1+ш .. . ... . =0

Нгт+1 Нгт+1 ... Нгт+1+ш

где г1,... ,гш+1 - пробегает множество всех последовательностей целых чисел.

Библиографический список

1. Macdonald I. Symmetric functions and Hall polynomials. 2nd ed. New York : Oxford Univ. Press, 1995.

2. Veselov A. P., Sergeev A. N. Grothendieck rings of the basic classical Lie superalgebras // Annals of Mathematics. 2012. Vol. 173.

3. Serganova V., Gruson S. Cohomology of generalized super grassmannians and character formula for basic classical Lie superalgebras // Proc. London Math. Soc. 2010. Vol. 101.

ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОРНЕВЫМИ КЛАССАМИ НЕКОТОРЫХ HNN-РАСШИРЕНИЙ С ЦЕНТРАЛЬНЫМИ СВЯЗАННЫМИ ПОДГРУППАМИ

Е. В. Соколов (г. Иваново) E-mail: [email protected]

Пусть G* = {G, t; t-1Ht = K, ф) — HNN-расширение группы G с подгруппами H и K, связанными посредством изоморфизма ф : H ^ K, и пусть подгруппы H и K лежат в центре группы G. В настоящей работе с помощью предложенного в [1] метода спуска и подъёма совместимых подгрупп получен ряд результатов об аппроксимируемости HNN-расши-рений указанного вида корневыми классами групп (по поводу корневых классов см. тезисы доклада Е. А. Тумановой в этом же сборнике).

Пусть H1 = H, K1 = K и, если подгруппы Hi и Ki уже определены, то Hi+i = Hi П Ki, Ki+i = Hi+1^>. Если для некоторого n ^ 1 имеет место равенство Hn = Kn, то, как легко видеть, подгруппа E группы G*, порожденная подгруппой Hn и элементом t, оказывается расщепляемым расширением подгруппы Hn при помощи бесконечной циклической группы с порождающим t. Приводимые ниже утверждения позволяют свести вопрос об аппроксимируемости HNN-расширения G* к решению, вообще говоря, более простой задачи об аппроксимируемости расщепляемого расширения E. Всюду далее будем предполагать, что C — корневой класс групп, содержащий хотя бы одну неединичную группу и замкнутый относительно взятия фактор-групп, G — C-аппроксимируемая группа, H и K — собственные центральные подгруппы группы G.

Теорема. Пусть класс C состоит только из периодических групп и для некоторого n имеет место равенство Hn = Hn+1. Пусть также существует нормальная подгруппа Q группы G, удовлетворяющая соотношению G/Q G C и хотя бы одному из следующих двух условий: