CC BY
102019
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
Вып. 3 (46)
УДК 510.54
Одно обобщение минимальных нециклических групп
Я.Д. Половицкий, A.A. Волочков
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; тел. (342) 239-63-21
Рассматриваются конечные группы, в каждой из которых максимальная длина антицепей нециклических подгрупп (¿„-ширина) группы P больше максимальной ¿„-ширины s„ (P) ее собственных подгрупп. Описаны такие абелевы р-группы при s„ (P) < 5 и конечные р-группы, минимальные относительно свойства "любые две нециклические подгруппы инцидентны".
Ключевые слова: примарная группа; подгруппа; ¿„-ширина. DOI: 10.17072/1993-0550-2019-3-16-22
Введение
В работе [1] введено и рассмотрено понятие ^-ширины группы, а в [2] получено описание конечных нильпотентных групп, ^е-ширина которых не превосходит трех. Представляется естественным рассмотреть такие группы Р, ^е-ширина которых больше % (Р). При % (Р) = 0 это - минимальные нециклические группы. Поэтому при малых % (Р) такие группы можно считать обобщениями минимальных нециклических групп. В настоящей работе на базе результатов статей [1] и [2] получено описание таких конечных р-групп Р при % (Р) = 1. Наряду с общеизвестными обозначениями в работе используются и следующие:
• группа типа к\ х х ... к3 — прямое произведение циклических групп порядков к1, к2,...,к;
• й(Р) — ^-ширина группы Р (максимальная длина антицепей ее подгрупп)
©Половицкий Я. Д., Волочков А. А., 2019
• dH(P) (или dH) — de-ширина группы P — максимальная длина антицепей нециклических подгрупп;
• % (P) — максимальпая de-ширина соб-
P
• □ — конец доказательства.
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1. Группу G, для которой dH(G) = к назовем (^-группой.
Определение 2. Максимальную dH-ширину sH(G) собственных подгрупп группы G назовем ее подгрупповой de-шириной.
G
%(G) = k т0 G назовем Sefc-группой (к <Е N U {0}), или группой с sHk-условием. В частности, %о-группа — это группа, все истинные подгруппы которых циклические.
Определение 4. Если G — % ^-группа и dH(G) > к, то G назовем MHk-группой, или группой с MHk-условием (здесь М — первая буква слове more).
Так, Мно-группы — это минимальные нециклические группы. Такие конечные группы хорошо известны.
За,меча,тле 1. Из определений 3 и 4 и того, что dH (G) > % (G) видно, что группа G не является MH¿-группой тогда и только тогда, когда sH(G) = dH (G) (1). Такими группами, например, являются конечные группы с единственной максимальной нециклической подгруппой. Из теорем 1-4 работ [1] и [2] нетрудно получитьвсе конечные нильпотентные % ¿-группы, удовлетворяющие условию (1), для k < 3.
Из определения Мек-группы вытекает справедливость следующих двух утверждений:
Лемма 1. Если G — MH¿-группа и N — ее нециклическая инвариантная подгруппа, то для любой R, такой, что N < R < G, d(R/N) < k.
G
только тогда является М^-группой, когда: 1. Хот,я, бы для одной ее максимальной подгруппы, Mi dK(Mi) = k; 2. Для любой M < G dK(M) < k; 3. dK(G) > k.
Ниже в леммах 3—7 формулируется ряд утверждений, доказанных в [1], которые нам понадобятся при изучении MH¿.-групп.
Лемма 3. ([1], теорема 1) Конечные нециклические абелевы, р-группы, d
это группы следующих тлтов, и только они: dH = 1: р х рп; dH = 2 — не существуют; dK = 3: 22 х 22; dK = 4; 22 х 23; 32 х 32; dK = Ь: 22 х 24.
Следствие 1. В конечной нециклической абелевой р-группе P, для, которой dH(P) < Ь, ра,венет,во dH(P) = sK(P) выполняется только для P типа р х рп (и > 2J — в таких P dH(P) = sK(P) = 1.
Лемма 4. ([1], следствие леммы 1) Ес-G р п х р2 и > 2
dH(G) = (р - 1)(n - 1) + 2.
G
па, типа рп х рт, где р = 2, и > 2, m > 3.
d (G) < Ь G р2 х р2
Лемма 6. ([1], следствие 1 леммы 2). Если G ^ группа m una 2m х 2п, где m > 3 и n > 3, то dH(G) > 7.
Лемма 7. ([1], следствие 2 леммы 4) dK(Ep3) = p2 + p + 1 > 7.
2. Конечные примарные абелевы
Mдля 1 < k < 5
Теорема 1. Конечная абелева р-группа P является М„¿-группой для 1 < k < 5 (1) тогда и только тогда, когда она — группа одного из следующих типов: М„1-группа: р2 х р2 или изоморфна Ерз; М„2-группа: не существует; Мн3-группа: 22 х 23; М„4-группа: 22 х 24; 32 х 33; 23 х 23; М„5-группа: 22 х 25.
Доказательство. Необходим,ость. Пусть такая группа P является Мн¿-группой для k
ствам (1). В силу лемм 2 и 3 k = 2 (2), то есть P не может быть Мн2-группой.
Ниже в доказательстве необходимости мы получим все типы Мн¿-групп, перечис-
k
дого из этих типов будут найдены при доказательстве достаточности.
Рассмотрим нижний слой Pi группы P. Pp Pi = Epn, причем, так как в силу (1) P
n > 2 n > 3
Pi содержится подгруппа P2 = Ep3 и в силу леммы 7 dH (P2) > 7. Поэтому, если P2 < P, то P не может быть Мнк-группой для чи-k
Значит, P = P2 = Ep3, то есть P — одна из групп теоремы 1.
В силу доказанного выше и (3) остается n = 2 P
— группа типа pm х ps (4), где ms > 0. Если s = 1, то в силу леммы 3 dH (P) = 1, а P
Мн¿-группой при значениях k из (1), вопре-
s>2
m>2
нарушая общности, можно считать, что в (4) m > s > 2 P
симальные подгруппа М типа pm-i х ps (6), m > 2 m = 2
Р — группа типа р2 х р2 — одна из групп теоремы 1.
Пусть т > 3 (7). Отметим, что из условий теоремы 1 и леммы 2 следует, что (4(М) < 5 (3).
Дальнейшее рассмотрение проведем отдельно для р = 2 и р = 2. 1.р = 2.
М М
р2 х р2
(н(М) = (р - 1)(2 - 1) + 2 < 5, то есть р < 4,
р = 3
и (3) получаем, что т = 3 8 = 2, и потому Р 32 х 32
одна из групп теоремы 1. р=2
Тогда в силу (4) Р — группа типа 2т х 2я (11) и выполняются (5) и (7). Ввиду (5) для 8 есть две возможности: 2.1. 8 = 2.
Тогда Р — тип а 2т х 22 (12), аМ~ типа 2т-1 х 22 (13), где в сил у (7) т — 1 > 2. По-
( (М) =
(2 — 1)(т — 2) + 2 < 5, то есть т < 5, и в си-3<т<5
что Р — подгруппа одного из типов 23 х 22, 24 х 22 ми 25 х 22 — все такие группы есть в теореме 1. 8>3
Р
группа М1 таи а 2т х 2я-1. Есл и 8 > 3, то М1
гда (М1) > 7, в противоречие с условиями 8 = 3 Р
2т х 23 М1 2т х 22
Из леммы 4 и условий теоремы 1 следует: (М1) = (2 — 1)(т — 1) + 2 = т + 1 < 5, то т<4
т = 3 т = 4
Р 23 х 23
одна из групп теоремы 1.
Пусть выполняется (17). Тогда в силу (6) М 23 х 23
(н(М) > 7, в противоречие с условиями теоремы 1. Необходимость доказана.
Р
ного из типов, перечисленных в теореме 1. Чтобы показать, что она является Мн
к 1 <<
5
к( максимальных нециклических подгрупп, а ( (Р) > к
леммы 3,4,6 и, при необходимости, один из приведенных ранее типов теоремы 1. Получим, что все приведенные в теореме 1 типы групп являются Мн¿.-группами при значени-к
1.
Отметим, что при проверке этого используется, что в любой группе Р типа рт х ря, т>8>2
лическая подгруппа Мо — это группа типа рт-1 х ря или рт х ря-1 (ибо Р — 2-порожденная абелева группа, ехр(Р) = рт, |Р/М0| = р и потому ехр(М0) = рт-1)
Для примера приведем доказательство достаточности для нескольких типов групп теоремы 1.
Р р 2 х р 2
М0 р х р2
( (М0 ) = 1 ( (Р) =
(2 — 1)(р — 1) + 2 = р + 1 > 1. Значит, Р
М1
2. Р = Ерз
Тогда М0 = Ер2 и (М0) = 1, а в силу леммы 7 (Ерз) = р2 + р + 1 > 7. Значит, Ерз является Мн 1-груипой. Р 22 х 23
М0 2 х 23 22 х 22
( ( М0 ) = 1 ( ( М0 ) = 3 ( (Р) = 4 > 3 Р М 3
Этим мы завершаем доказательство достаточности. □
Сравнивая типы групп, приведенных в лемме 3 и теореме 1, получаем утверждения: Следствие. Каждая нециклическая абелева р-группа Р, для которой (Р) < 5, кроме групп типа р х рп при п > 2, является Мн£-группой при некотором к, таком, что 1 < к < 4.
Замечание 2. Если С является Мн^^^^^^той, то ^(С) может быть сколь
угодно большой. Это видно на примере Р р 2 х р 2
ше при доказательстве достаточности теоремы 1 (пункт 1), (н (Р) = р + 1, а % (Р) =
1. При больших простых р в этой Мн 1-группе разность (Р) — ^ (Р) = р сколь угодно большая. Это связано с тем, что в такой группе "очень много "максимальных нециклических подгрупп, и потому (Р) не зависит от (Р).
Ниже мы будем рассматривать только Мн ^^ПЫ И Мн2-ГруППЫ.
3. Конечные примарные неабелевы Мн^группы
Лемма 8. ([2], теорема 3). Конечная неа-белева р-группа Р, йн-ширина которой не превосходит, трех, это — одна из следующих групп,, и только такая группа: ^ = 1:1. 2. Ырп, рп = 8; ^ = 2; 5. I £16,- ^ = 3. 5. Р/Ф(Р) = £4, Ф(Р) = £4, (Р)| = 2; 6. Р = (а) X (Ь), а4 = Ь4 = 1, Ь-1аЬ = а-1 (0(9на из групп Миллера-Морено); 7. С = (а) (Ь); а3 = Ь3 = 1 а4 = Ь4, Ь-1 аЬ = а-1; <§. 5^16.
Следствие 1 Среди конечных неабелевых р-групп Р, для, кот,орых йн(Р) < 3; равенство вн(Р) = (Р) (1) выполняется только для групп Мрп (рп = 8^ (в т,а,ких группах для, любой нециклической подгруппы, К ^ (К) = ^ (Р) = 1 (2)). Следствие 2 Конечная примарная внк-группа, Р, для, которой йн(Р) < 3; тогда и только тогда не является М„^-группой, когда, к = 1 и либо Р = Мрп (рп = л,ибо Р _ группа типа р х рп, п > 2. Для конечных р-групп условия вн2 и Мк2 равносильны.
Доказательство. Необходим,ост,ь истекает из следствия леммы 3 и следствия 1 леммы 8. Достаточность очевидна, ибо для групп упомянутых в следствии двух видов выполняются (1) и (2). Из доказанного вытекает справедливость последнего утверждения следствия 2. □
Р
не имеющая циклической максимальной подгруппы, и существует £8 < Р (!)■ Тогда, Р = £8 X Z2 (2) и каждая, подгруппа группы £8 инвариант на в Р. Такая группа Р является М„ 1-группой тогда и только тогда, когда Р = £8 х Z2 (3). Если (3) не выполняется, то Р — М„2-группа.
Р
Р
ва, Р = £2п (см., напр., [3], 17.36), а тогда в Р
Р
существует подгруппа ^2 = (г) (4), такая, что ^2 С (5). В силу (1) и того, что [Р : £8] = 2, ввиду (5) имеет место равенство (2).
Пусть хотя бы одна из подгрупп N = (а)
(6) порядка 4 группы £8 не инвариантна в Р. Тогда из (2), (4) и (6) следует, что гаг = Ь
(7), Ь е £8 \ N (8), |Ь| =4 (9). Из (7) следует: (га)2 = Ьа (10). Из (6) и (8) следует, что Ьа е £8 \ N и потому |Ьа| = 4. Теперь из (10) для элемента £ = га следует, что |£| = 8,
Р
подгруппа, вопреки условию леммы. Значит, N<lP, и, учитывая, что ввиду (2) подгруппа порядка 2 из £8 инварианта а в Р, все подгруппы из £8 инвариантны в Р.
Пусть Р является Мн 1-группой. Если N < £8 (10), ^| = 4 (11), то, как выше показано, N<P. Подгруппа Т = N X Z2 (12) порядка 8 нециклическая и в силу Мн1-условия (Т) = 1, а тогда из лемм 3 и 8 следует, что Т — абелева группа типа 4 х 2, то есть N С С(^2). Так как это выполняется для всех подгрупп порядка 4 группы то
Р
(3) |01 (Р)| = 4 и для любой М<Р |М| = 8 и справедливо |^(М)| < 4. Если М нециклическая, то М — тип а 4х2 или изомор фпа ^8-В силу лемм 8 и 3 для таких М (М) = 1. Но (£8 х ^2) > 1, поэтому группа Р ви-М1
соответствующая часть леммы. Р
мы и не имеет вид (3). Тогда по доказанному выше %(Р) > 2 и потому хотя бы для одной подгруппы N с условиями (10) и Т
¿н(Т) > 2 и Т неабелева. Так как |Т| = 8 и Т
рядка 4 и более одной подгруппы порядка 2, то Т = Б8. В силу леммы 8 (Т) = 2, (13) ¿н(Р) > 2 (14). Так как (£8) = 1, то из (13) следует, что (Р) = 2, и) ввиду (14) Р
является Мн2-группой. □
р
Р является М„1-группой тогда и только тогда, когда она — одна из следующих групп: 1. Б8; 2. |Р| = р3; ехр(Р) = р = 2; 3. ^16/^. Р = $8 х Р/Ф(Р) = Яр2; р = 2 Ф(Р) = ^(Р) = Ер2, (Р)| = р; б. Р = (а) X (Ь), ар2 = ЬР2 = 1 Ь-1аЬ = ар+1 (группа Миллера-Морено); 7. С = (а) (Ь); а8 = Ь8 = 1 а4 = Ь4, Ь-1аЬ = а-1.
Доказательство. Необходимость. Пусть
рР Мн 1-группой. Тогда |Р | = рп, п > 3. В силу определения 3 (Р) > 1 (1). Поэтому при п = 3 Р
изоморфной ни ни Мрз (р = 2). Значит, либо Р = либо ехр(Р) = р = 2, то есть Р
| Р| > р4 Р
Мн 1-группа, то в силу лемм 2,3 и 8 любая максимальная нециклическая подгруппа М Р
дующих видов: р х рп (3), М = $8 (4) или М = Мрп (рп = 8) (5), причем хотя бы одна М
Рассмотрим два возможных случая:
1. Хотя бы одна из максимальных подгрупп
Р
Р
вестно (см. напр., [3]) изоморфна одной из групп Мрп , , ИЛИ 5^2" . В силу условия (2) и леммы 8 (Мрп) = 1, и поэтому ввиду (1) Р = Мрп. Тогда из (2) и возможных видов (3)—(5) нециклических мак-
Р
Р = $16) то есть Р — группа типа 3 теоремы
2. Случай 1 рассмотрен.
Р
нециклические.
В связи со сказанным перед пунктом 1
Р
можны следующие случаи: 2.1. Существует М < Р,такая, что М = $8. Так как Р является Мн 1-группой, то в Р
Р
морфных $8-
Тогда из условия пункта 2 и сказанного выше о максимальных подгруппах груп-РМ
М
нециклическая подгруппа каждого из существующих там порядков единственна, и, так как M < P, в P все нециклические подгруппы инвариантны. Пусть {Mi, M2,..., M^} —
P
как P нециклическая, то l > 2. Рассмотрим N = Q1(Mi) (6), i = 1,7. Так как Mj — видов (3) или (5), то N = Ep2 (7) для каждого i = 1,l. ОчвВИДНО, Nj < P. Возможны два случая.
2.2.1. Существуют такие Nj и Ns, что N = N j = s).
Тогда P содержит подгруппу K = Nj Ns (8), где |K| > p3 (9). Пусть K < P (10). Тогда K < Mj при некото ром i, но отсюда и из (6) и (8) следует, что K С Q1(Mi) = Nj, что ввиду (9) противоречит (7). Значит, (10)
K=P
справедливы (2), (8) и (7), то |P| = p4 и P = Nj xNS — абелева группа, вопреки условию теоремы 2. Значит, случай 2.2.1. невозможен.
2.2.2. Nj = Nj = N при любых i, j = 1, l. Тогда ввиду (6) и (7) Q1(Mi) = Q1(P) =
N = Ep2 (11). Отсюда и из условия 2 следует, что N < $(P) (12). Так как каждая Mj — группа одного из видов (3) или (5), то Mj/N — циклическая группа для всех i = 1, l. По-
p P/N
ные подгруппы циклические, а тогда, как из-P/N
I. P/N = Zpfc; II. P/N = Ep2; III. P/N = Qg
p = 2 P
ственная максимальная подгруппа, в противоречие с доказанным вначале в п. 2.2. Зна-
P
II или III. Дальнейшее рассмотрение разобьем на два случая.
p=2
Тогда либо P/N = E4 (13), ли60 P/N
N
ся во всех нециклических подгруппах груп-P
ет, что dH(P) = d(P/N) (14) Но, очевидно, d(Qs) = d(E4) = 3, и потому из (14), (13) и
III получаем, что dH(P) = 3. Отсюда в силу
P
типов 5 — 7 леммы 8, ибо в группе SD16 типа 8 этой леммы есть циклическая максимальная подгруппа, в противоречие с условием
2. В группе Р типа 5 леммы 8, как отмечено в теореме 3 из [2], есть Ыг = и, так как в силу леммы 8 = 2, Р не явля-
ется Ын 1-группой, в противоречие с условием теоремы 2. Группа типа 6 — это одна из групп типа 6 теоремы 2 (при р = 2), а группа типа 7 этой леммы — это группа типа 7 теоремы 2.
Случай 2.2.2.1 рассмотрен. 2.2.2.2. р = 2 Р
(12) и неабелевости Р следует, что Ф(Р) = N = П1(Р) = Ез (15),>| = р4 (16), Р/Ф(Р) = Ерз (17) и ехр(Р) < р2 (18). Введем обозначение: 2 = 2(Р). Пусть Ф(Р) < 2
Р
ем, что Ф(Р) = 2 и Р — группа Миллера-Морепо. Учитывая (15) и известные результаты о строении таких групп (см., напр., [3], 17.29) имеем: Р = (а) X (Ь), арт+1 = ЬРп =1, Ь-1аЬ = а1+рт. Из (16) и (18) следует, что т = 1, п = 2 и Р — одна из групп типа 6 р = 2
Пусть (19) не выполняется, то есть Ф(Р) С 2 (20). Если 2 — нециклическая группа, то |^(2)| > р2, и, так как в силу (15) |^(Р)| = р2, то ^(Р) = ^1(2), то есть в силу (15) N < 2 и) так как Ф(Р) = N (в силу (15)), то Ф(Р) С 2, вопреки (20). Зна-2 | 2 | = р 2 Р
следует, что Р/2 = Ерг, и в Р существует (р+1) максимальных подгрупп, содержащих 2
подгруппы группы Р, а тогда 2 < Ф(Р) и в силу (21) и (16) выполняется (19), в противоречие с (20). Значит, (21) неверно, откуда
Р
|2| = р
Р
Необходимость доказана.
Р
ного из видов 1 — 7 теоремы 2. В силу леммы 8 для всех таких видов (Р) > 1. Поэтому ввиду определения 3 для доказательства того, что Р является Ын 1-группой, достаточно проверить, что %(Р) = 1 (22). Проверим это для каждого типа. Пусть Ы < Р и Ы нециклическая. Р
Тогда |Р | = р3, и потому любая Ы — типа р х р и выполняется (22).
2. Р = $16.
Тогда Ы = (Ы) = 1 и потому вы-
полняется (22).
3. Р = $8 х ^2
Ы1
лемме 9. Р
Тогда |Р| = р4 (23), р = 2 |Ы| = р3 (24) и |П1 (Ы)| = р2, ибо Ы Э П1(Р). Отсюда следует, что либо Ы = Ырз (р = 2), либо Ы — типа р х р2. В обоих этих случаях (Ы) = 1 (25), и потому выполняется (22). Р
Р
Ы
группа, и | (Р)| = р2, то есть Ы — груп-
р х р 2
Р
В теореме 3 из [2] отмечено, что либо Ы = Ы16, либ о Ы — тип а 2 х 8. Так как в силу леммы 8 (Ы^) = 1, а группы типа 2 х 8 также имеют ^н-ширину 1, то выполняется (2.2). □
Определение 5. Будем говорить, что в группе О выполняется условие инцидентности для нециклических подгрупп (7Н-условие), если любые две ее нециклические
О
одной нециклической подгруппы.
Определение 6. Группу с ^-условием
назовем 7^группой.
Описание бинарно конечных 7^групп содержится в работе [4]. Из определений 6 и 5 видно, что группа О является 7^группой тогда и только тогда, когда (О) < 1.
Интересно рассмотреть минимальные не 7^группы (минимальные 7^группы).
Замечание 3. Пусть О - минимальная не 7^группа, тогда в силу сказанного выше Ъ(О) > 2, & вн(О) < 1 (2). Но если % (О) = 0, то О — минимальная нециклическая группа, а тогда (О) = 1, в противоречие с (1). Значит, % (О) = 1 (3). Отсюда и из (1) следует, что О является Ын 1-группой. Обратно, если О — Ын 1-группа,
С
нимальная 7Ж-группа. Значит, М1
групп и минимальных 7Ж-групп совпадают.
Теперь из теорем 1 и 2 и замечания 3 получается
рС
ется минимальной JN-группой (то есть М1
она — одна из следующих групп: 1. группа типа р2 х р2; 2. С = Ерз; 3. группа одного из 7 типов теоремы 2.
Заключение
На базе результатов данной статьи получено описание конечных нильпотентных М 1 М 2
но в следующей статье.
Список литературы
1. Половицкий Я.Д., Волочков A.A. О максимальных антицепях нециклических подгрупп конечных групп // Вып. 2(41), 2018, с.16-24.
2. Половицкий Я.Д., Волочков A.A. Конечные нильпотентные группы ¿„-ширина которых не превосходит трех // Вып. 2(41), 2018, с.25-30.
3. Белоногое В.А. Задачник по теории групп. М.:Наука. 2000. 230 С.
4. Черников П.С., Половицкий Я.Д., Чечулин В. Л. Группы с условием инцидентности для нециклических подгрупп // Укр. матем. журнал. Т. 48 Т4. 1996. С. 533-539.
One generalisation of a minimal noncyclic groups
Ja.D. Polovitsky, A.A. Volochkov
Perm State University; 15, Bukireva St., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru; (342) 239 63 21
A finite groups, in which maximal length of antichains of noncyclic subgroups (de-width) of the group P is more than maximal dH-width sH (P) of its propere subgroups are considered. Such an abelian p-groups with %(P) < 5 and finite p-groups, which is minimal regarding property «any two noncyclic subgroups is incident» are described
Keywords: p-groups\ subgroup-, dH-width.
