О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯМИ НЕИНЦИДЕНТНЫХ ПОДГРУПП, НЕ СОДЕРЖАЩИХСЯ В НЕКОТОРОЙ ПОДГРУППЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2020

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 3(50)

МАТЕМАТИКА

УДК 512.54

О конечных группах с циклическими пересечениями неинцидентных подгрупп, не содержащихся в некоторой подгруппе

Я. Д. Половицкий1, Т. М. Коневских1

1Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; 8(342) 239-63-21

Рассматриваются конечные группы, в каждой из которых С существует истинная подгруппа 5, такая, что пересечение любых двух неинцидентных подгрупп группы С, не содержащихся в 5, циклическое (БС-группа). Получен ряд свойств таких групп. Описаны некоторые подклассы класса конечных БС-групп.

Ключевые слова: группа; циклическая группа; пересечение; инцидентная подгруппа. DOI: 10.17072/1993-0550-2020-3-5-16

Введение

В работе [1] описаны два класса групп с циклическими пересечениями неинцидентных подгрупп (См-групп) - конечные разрешимые См-группы и бесконечные бинарно конечные См-группы. В настоящей работе рассматривается класс конечных БС-групп - групп, в которых цикличность пересечения требуется только для всех неинцидентных подгрупп, не содержащихся в некоторой выделенной подгруппе (сепарирующей подгруппе, введенной С. Н. Черниковым в [2]), включающей в себя класс конечных См-групп. Оба эти класса связаны с рассмотренным в [3] классом С/М-групп - групп с циклическими пересечениями максимальных подгрупп. В настоящей работе получен ряд свойств БС-групп и получено описание конечных нильпотентных БС-групп и конечных БС-групп с циклическими силовскими подгруппами.

Наряду со стандартными используются и следующие обозначения:

А ^ В - подгруппы А и В инцидентны;

© Половицкий Я. Д., Коневских Т. М., 2020

А ^ В - подгруппы А и В не инцидентны; группа типа пхт - прямое произведение циклических групп порядков п и т.

Основные определения и некоторые свойства $С-групп

Определение 1. Пусть в группе С существует такая истинная подгруппа Б, что либо для любых двух неинцидентных подгрупп А и В группы С, не содержащихся в Б, пересечение АПВ является циклической группой, либо таких пар (А, В) в С нет. Такую группу С назовем БС-группой, или группой с БС-условием, а Б - ее сепарирующей подгруппой (понятие сепарирующей подгруппы относительно некоторого набора теоретико-групповых свойств введено в [2]).

Очевидно, в определении 1 обе подгруппы А и В можно считать нециклическими.

Определение 2 (см. [1]). Группу, в которой либо пересечение любых двух ее неинцидентных подгрупп является циклической группой, либо любые две подгруппы инцидентны, назовем См-группой.

Замечание 1. Очевидно, каждая В Ф Sxi (9) (поскольку А и В нециклические),

С^-группа является ЯС-группой (достаточно взять 5 = 1). Также ЯС-группами являются конечные группы с единственной нециклической максимальной подгруппой.

Замечание 2. Так как любая истинная подгруппа ЯС-группы С, содержащая ее сепарирующую подгруппу, также, очевидно, является сепарирующей, то во всякой конечной ЯС-группе есть сепарирующая максимальная подгруппа.

Определение 3. Пусть С - конечная ЯС-группа, 5 - ее сепарирующая максимальная подгруппа. Тогда С назовем группой одного из следующих типов: Типа 1: если 5 Ф С;

Типа 2: если Б < в. Тогда =р - про-

стое число. Пусть Р - силовская ^-подгруппа группы С.

Тип 2 разобьем на два подтипа: Тип 2а: С - типа 2, Р Ф С; Тип 2Ь: С - типа 2, Р < С.

Замечание 3. В силу замечания 2 и определения 3 каждая конечная ЯС-группа С является группой хотя бы одного из типов 1, 2а или 2Ъ. Но так как в С может быть несколько сепарирующих подгрупп, то С одновременно может быть группой нескольких из этих типов.

Лемма 1. Всякая ЯС-группа С типа 1 является конечной С^-группой.

Доказательство. В силу определения 3 группа С конечная и в ней существует такая сепарирующая подгруппа Б, что Б < С (1) и Б Ф в (2). Отсюда следует, что Б = и потому, учитывая (2), имеем: 1с1Б1 > 3. Поэтому с1 Б з {Б^\БХ2,БХз} (3), где все Б^ различны (I = 1,3). Нетрудно видеть, что все Б*1 являются также сепарирующими подгруппами группы С, а в силу (1) Б*1 < С.

Поэтому любые две из подгрупп (3) не содержатся в третьей из этих подгрупп, а тогда, так как она - сепарирующая подгруппа, из ЯС-условия следует, что

(БХ^БХ1) = 2П. (4), 1,] = 13, I* ].

Пусть А и В - истинные нециклические подгруппы группы О и А ^ В (5). Если они содержатся в разных подгруппах из (3) или обе не содержатся в одной из них, то в силу (4) или ЯС-условия (АПВ) = гг (6).

Пусть А с Sxi (7), В с Sxi

и

(AftB) = С - нециклическая группа.

Тогда в силу (4) при i Ф j А Ф SXl (8) и

и, так как S i - сепарирующая подгруппа группы G, то выполняется (6), то есть подгруппа С циклическая, вопреки предположению. Наконец, если выполняется (7), а В Ф Sxi при любых j = 1,3, то в силу (4) и нецикличности А при i Ф j выполняются (8) и (9), а тогда, как показано выше, выполняется (6). Значит, С - циклическая группа, и ввиду произвольности выбора А и В (с условием (5)) G является С^-группой. □

Замечание 4. Если G - SC-группа, S - ее сепарирующая подгруппа, Н - нециклическая подгруппа группы G и Н Ф S, то в силу определения 1 любые две подгруппы группы G, содержащие Н, инцидентны. Поэтому, если |G| < от и Н < G, то G/H = Zpn - примарная циклическая группа.

Лемма 2. Пусть G - конечная группа, N <G, lg1Nl = k (1), n(k) = n (2). Тогда существует такой -элемент д Е (д1) = В (3), что

gN = 9lN (4), n(lgl) = n (5).

Доказательство. Рассмотрим

< giN >= H/N (6). В силу (1) и (6) k lg1l и | H/N l = к (7). Из (1) - (3) нетрудно видеть, что найдутся такие элементы д Е В (8) и b Е В (9), что д1 = gb (10), выполняется (5) и (Щ,к) = 1 (11). В силу (3), (6) и (9) ЬЕН , а тогда из (7) следует, что Ьк Е N (12). Но в силу (11) < Ьк >=< b >, а тогда из (12) следует, что b Е N. Отсюда и из (10) следует справедливость (4). □

Следствие. Если G/N - циклическая ж-группа, то G = N < д >, где п(д) = n(G/N).

Лемма 3. Пусть G - SC-группа, S - ее сепарирующая подгруппа. Если Н < G и Н Ф S, то Н является SC-группой с сепарирующей подгруппой HHS. Если N < G (1) и N <S (2), то G/N - SC-группа с сепарирующей подгруппой S/N.

Доказательство. Справедливость

утверждения леммы для Н очевидна. Пусть выполняются (1) и (2). Если Ri/N < G/N, Ri/N Ф S/N i = 1,2 и R1/N % R2/N, то Rt < G, Ri Ф S (i = 1,2) и R1 % R2. Так как G есть «SC-группа, то тогда (R1HR2) - циклическая группа, и потому

R1/NHR2/N = (R1HR2)/N циклическая.

Отсюда следует справедливость последнего утверждения леммы. □

Определение 4. Пусть G - конечная SC-группа, S - ее сепарирующая подгруппа,

Б < С. Подгруппу Р < С назовем остовом С, если выполняются следующие условия: 1. Р < Б; 2. F<G; 3. F - нециклическая; 4. F - минимальная подгруппа группы Б, удовлетворяющая условиям 1-3.

Замечание 5. Из определения 4 видно, что никакой остов F нельзя представить в виде F = Р1 X F2, где < С, I = 1,2 и хотя бы одна нециклическая.

Замечание 6. Если в конечной БС-группе С есть нециклическая сепарирующая подгруппа Б < С, то существует остов F группы С, такой что Р < Б (это следует из определения 4).

Лемма 4. Пусть БС-группа С типа 2 имеет инвариантную сепарирующую нециклическую максимальную подгруппу Б. Для любой F <5 (1) такой, что F нециклическая и F < С (2) найдется такая А < С, что в = РА (3), п(в/Р) = п(А) (4), 1п(А)1<2 (5), А=<д> (6), Б = Р < др > (7). В частности, выполняются все утверждения леммы, если F - остов С.

Доказательство. В силу определения 5 выполняется 1С/Б1=р (8) и потому существует д1 6 (С\Б) (9), такой, что Ш=рк (10). В силу (2)

Н = Р < д1 >< в (11) и Н нециклическая (ибо F нециклическая). Пусть существует х 6 С, что Нх Ф Н (12). Так как 1НХ1 = |Я|, то ввиду (12) Нх $ Н (13). В силу (9) и (11) Н Ф Б, а тогда из Б < в следует, что Нх Ф Б. Отсюда, учитывая (13), из БС-условия получаем, что (НПНХ) = Т - циклическая группа. Но из (2) и (11) следует, что F < Т, а по условию леммы F нециклическая. Полученное противоречие доказывает, что (12) невозможно, и потому Н < С. Так как Н нециклическая, то в силу замечания 4 С/Н - примарная циклическая группа. Так как в силу (10) и (11) Н/Р -^-группа, то 1п(С/Р)1 < 2 (14).

Положим Н = Н1 (15). Пусть С Ф Н1. Так как С Ф Н1 и5 (ибо группа не может быть объединением двух своих истинных подгрупп), то существует д2 6 (С\(Н1иБ)) (16). Тогда Н2 = Р < д2 >Ф Б (17) и так как (Н1ПН2) > Р и F нециклическая, то (Н1ПН2) - нециклическая группа. Отсюда и из (13), (15), (17) и БС-условия следует, что Н1 ^ Н2, и, поскольку в силу (16) и (17) Н2 Ф Н1, то Н1 < Н2. Пусть уже построена цепочка подгрупп Н1 < Н2 <... < Нк (18) таких, что Н1 = Р^<д1> (19)

и д16 (С\(Н1-1иБ)) (20), 1 = 1, к. Если Н^ Ф С, то, как и выше, показывается, что существует дк+1 6 С, удовлетворяющий условию (20) при I = к + 1 и подгруппа Нк+1 вида (19) при этом же ¿, причем Нк < Нк+1, то есть цепочка (18) продолжается подгруппой Нк+1. Так как |С| < от, то через конечное число шагов получим, что эта цепочка оборвется, и потому при некотором т 6 N Нт = С, то есть С = Р •< дт > (21). Введем обозначение: п(в/Р) = п (22). Тогда ввиду (22) и (21) n(|gmF|) = п (23) и в силу следствия леммы 2 существует д 6 С, что л:(|g|) = п (24) и в = Р < д > (25). Если А =< д > (26), то в силу (24) п(А) = п (27). Теперь из (25) и (26) следует (3) и (6), из (22) и (27) получаем справедливость (4), а из (4) и (14) - справедливость (5). Теперь из (1), (3), (6) и (8) получаем, что др 6 Б, а тогда справедливо (7). □

Следствие 1. Пусть БС-группа С типа 2 имеет остов F, С = F X А (1), (^1^ = 1 (2), A = PXQ (3), Р = грп (4), Q — 2цт (5), 5 - сепарирующая максимальная подгруппа группы С, Р Ф Б (6), Б < в (7). Тогда для любой А1, такой что Р < А1 < А (8) подгруппа С1 = F X А1 (9) является БС-группой типа 2 с сепарирующей подгруппой Б1 = Р хА2 (10), где А2 < А1, l^1/^2l = V (11) и F является остовом и подгруппы С1, группы С1 и С - обе либо типа 2а, либо типа 2Ъ.

Доказательство. Из условий следствия 1 видно, что С с F (12) и |G/S| = р (13). Так как в силу (9), (6) и (8) С1 ФБ (14), то в силу леммы 3 С1 является БС-группой с сепарирующей подгруппой 51 = (БМ-!) < в1 (15). В силу (13), (14) и (15)

С/Б = °15/Б - °1/С1ПБ = °1/Б1 и в силУ (13) Б^ = р (16). В силу определения остова Р группы С имеем: F < Б, и потому из (9), (2) и (16) следует справедливость (10) и из (3), (10) и (16) следует справедливость (11). Подгруппа F нециклическая по определению остова. Из (15) и (16) следует, что С1 - БС-группа типа 2. Покажем, что F - остов С1. Так как F < и Р нециклическая, то существует Р1 < F (17), что ^1 - остов С1 и потому Р1 < С1. В силу (3) - (5) и (8) А= 2 (18). Если Р1 < F (19), то из (19), (9) и (2) получаем, что |л(G1/F1)| > 3, что противоречит одному из утверждений леммы 4 (для группы С1 с остовом Р1).

Значит, (19) неверно, и в силу (17) F1 = F, то есть F - остов и Gt. Если Р < Gt, то, так как ввиду (12) G1 < G, то Р < G1. Значит, G1 и G обе либо типа 2a, либо типа 2b. □

Следствие 2. Пусть G - конечная SC-группа, удовлетворяющая условиям следствия 1 леммы 4, причем возможно и А = Р. Если F = Ert (20) и в F есть собственная ^-допустимая подгруппа R1, то t = 2 (21) и F = R1xR2 (22), где Ri < G (23), i = 1,2.

Доказательство. Из (20), (1) и (2) следует, что в силу теоремы Машке F предста-вима в виде (22), где R2 также ^-допустима и потому выполняется (23). В силу замечания 5 Ri (i = 1,2) - циклические группы, а тогда из (20) следует, что iRil = г, ( i = 1,2), и ввиду (22) и (20) выполняется (21). □

Следствие 3. Пусть G - SC-группа типа 2, S - ее сепарирующая подгруппа. Если в G существует нециклическая силовская q-подгруппа Q и Q < G (1), то G = Q \ Т (2), где q } 1Т1 (3), Т = Zk (4), ln(k)l < 2 (5). Если Q Ф S (6), то Т = Zpn (7) (p - простое число).

Доказательство. Так как ввиду определения 3 | | ^^ то из условий следствия 3 и теоремы Шура следует справедливость (2) и (3). Если Q < S, то ввиду (1) и нецикличности Q из леммы 4 при F = Q получаем справедливость (4) и (5). Если же выполняется (6), то из (2) и замечания 4 следует справедливость

(7). □

Следствие 4. Пусть G и F удовлетворяют условиям леммы 4. Если G' = F (1), то F - остов группы G.

Доказательство. Пусть F не является остовом группы G. Тогда из условий следствия 4 и определения остова следует, что существует F1 < F (2), что F1 - остов G. В силу леммы 4 G/F1 абелева, а тогда G' < F1. Отсюда и из (2) следует, что G' < F, в противоречие с (1). Значит, F - остов группы G. □

Лемма 5. Для конечных р-групп условия SC, См и CIMравносильны.

Доказательство. Равносильность условий SC и См для таких групп следует из теоремы 2 из [1]. Так как всякая См-группа является SC-группой, то для доказательства леммы достаточно показать, что всякая конечная примарная SC-группа Р является CIM-группой. Пусть S - сепарирующая подгруппа группы Р и S < Р (1). Так как Р - конечная р-группа, то S < Р (2). Пусть Mi < Р (3), i = 1,2.

Тогда Mi < Р (4). Если Mi Ф S при i = 1,2, то в силу SC-условия (М1ПМ2) - циклическая группа. При М1Ф S для Рг = М1 HS (5) из (2) и (4) получаем, что Рг < Р (6). Если Рг нециклическая, то из (6) ввиду того, что в силу (5) Рг < S из леммы 4 следует, что Р/Рг -циклическая группа, а так как она примарная, то Р1 содержится в единственной максимальной подгруппе группы Р, вопреки (5), (1) и (3). Значит, Рг - циклическая группа.

Из доказанного следует, что Р является CZM-группой. □

Хорошо известно следующее утверждение (см., например, [4], 18.5):

Лемма 6. Если Р - абелева ^-группа, А - p' -подгруппа из Aut Р и А централизует П^Р), то А = 1.

Следствие 1. Если G = R х В (1), R = Zrn (2), r \ 1В1 (3) и C(B)HR Ф 1 (4), то В с C( R) (5).

Следствие 2. Если при условиях следствия 1 В' = 1 (6) и В Ф G (7), то В = N(B) (8) и V Rt:1 < R1 < R (9) подгруппа Н = Rt х В (10) нециклическая и Н -$G (11).

Доказательство. В силу (7) и (1) В Ф C(R), а тогда из следствия 1 получаем, что С(В)№ = 1(12). Ввиду (1)

Ы(В) = R0 х В (13), где R0 < R, а тогда R0 с (Ctf)ftR), то есть в силу (12) R0 = 1 и из (13) следует справедливость (8), а тогда ввиду (10) Н нециклическая.

Пусть Н <G (14). Тогда из (10), (3) и (8) в силу обобщенной леммы Фраттини имеем: G = Н • N(В) = Rt • N(В) = R1хB, что ввиду (9) противоречит (1). Значит, (14) неверно и выполняется (11). □

Следствие 3. Пусть G = R х А (1), R = Zrt (2), 1А1= к (3), г \к (4), А' = 1 (5), А Ф G (6), Z = Z(G) (7). Если Аi<G (8), А1 = к (9) (i = 1,2) и А1ФА2 (10), то А1ПА2 = Z (11).

Доказательство. Так как G в силу условий следствия 3 разрешима, а в силу (1), (3), (4) и (9) А, А1, А2 - холловы подгруппы порядка к группы G, то по теореме Холла они сопряжены и в силу (5) подгруппы Аi (i = 1,2) абелевы. Ввиду (1), (3), (4) и (9) G = R х А1 (12). Рассмотрим подгруппу следующего вида L =< А1,А2 > (13). В силу (12) L = R0 х А1 (14), причем учитывая (10) и (13) 1 <R0<R (15). Подгруппа Т = А1^А2 (16) в силу (13) и абелевости Аi содержится в Z(L),

а тогда ввиду (14) Я0 с С(Т) и ввиду (15) ЯПС(Т) Ф 1. Отсюда, применяя к группе Я X Т следствие 1 леммы 6, получаем, что Т < С(Я) (17). Теперь из (12), (16), (17) и абелевости А1 получаем, что Т < 1 (18). Но из (6), (1) - (4) ввиду следствия 1 леммы 6 имеем, что гпя = 1, а тогда ввиду (1) - (4) и (6) К А (19). Но А[ сопряжена с А, и из (19) получаем, что 2 < (I = 1,2), а тогда из (16) следует, что 1 < Т (20). Из (18) и (20) получаем справедливость (11). □

Лемма 7. Пусть С - конечная БС-группа, 5 - ее сепарирующая подгруппа, Н <В <в (1), В ФБ (2), Н Ф (ВПБ) (3). Если существует такая V < С, что V Ф В (4), Т = УН <в (5) и Т Ф В (6), то Н - циклическая группа.

Доказательство. Пусть Н нециклическая. Ввиду (3) и (1) Н Ф Б, и потому в силу (5) Т ФБ (7). Ввиду (5) и (4) ВФТ и, учитывая (6), имеем: В ^ Т. Теперь отсюда и из (2) и (7) в силу БС-условия получаем, что ТПВ = Я - циклическая группа. Но ввиду (1) и (5) Я > Н, а Н нециклическая. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения леммы. □

Следствие. Пусть БС-группа имеет вид С = АхО (1), где (|A|,|D|) = 1 (2), А — 1к (3), |^(С)| >3 (4) и 5 - сепарирующая подгруппа группы С. Если

В = (А1х 01) < С (5), где А1 < А (6), А1 — гчш (7), 01 < и (8), 01 — ггг (9),

01ФБ (10) и В нециклическая, то |Al|=qФ2 (11).

Доказательство. Так как В нециклическая и ввиду условий следствия (И^, = 1 (12), то отсюда и из (7) следует, что цФ2 (13) - ибо АиЬ 12т является 2-группой. Пусть ^^ Фц (14). Тогда существует А0 такая, что 1 < А0 < А1 (15) и |.Д01 = ц (16). Рассмотрим Н = А0 X 01 (17). Так как В нециклическая, то в силу (17) и следствия 2 леммы 6 подгруппа Н нециклическая.

Из (16), (9) и (17) следует, что |n(H)| = 2. Отсюда и из (4) следует, что существует V < С, что V — (18), (р,дг) = 1 (19), то есть УПН = 1. Ввиду (5), (7), (9) и (13) V ФВ (20). В силу (5) и (10) В Ф Б (21). Из (18), (1) и (2) следует, что либо V < А, либо можно считать, что V < О (22). В первом случае ввиду (3) V < С и Т = УН <в (23) - ввиду (17) - (19), (7) и (15).

В случае (22) У01 < О и в силу (17), (6), (15) и Ао < С тоже выполняется (23).

В силу (10) и (17) Н ФБ, и, так как Н < В, из доказанного следует, что для Н выполняются все условия леммы 7, а так как в силу (15) и (17) А1 Ф Н, то ввиду (17) - (19) и (23) В Ф Т. Теперь из леммы 7 получаем, что Н -циклическая группа, в противоречие с доказанным выше. Значит, (14) неверно и ^^ = д. Отсюда и из (13) следует справедливость (11). □

Лемма 8. Пусть С - конечная БС-группа, 5 - ее сепарирующая подгруппа, р < С, ^ =рп (1) и Р ФБ (2). Если существует V: 1 <У < С (3), такая, что р \ |У| (4) и для некоторой нециклической истинной подгруппы Р1 группы Р Ь = УР1 < С (5), то Р1 с Б (6). Если (5) выполняется для любой Р1< Р (в частности, если V < С), то в Р не более одной нециклической максимальной подгруппы и Р изоморфна одной из следующих групп: 2рп, Q8, Мрп (рп Ф 8) или группе типа р X рп-1 (п > 2).

Доказательство. Пусть Р1 Ф Б (7). Тогда ввиду (5) ЬФБ, а из Р1<Р (8), (4) и (5) следует, что Ь ^ Р. Поэтому в силу БС-условия В = ЬПР - циклическая группа. Но из (5) и (8) следует, что Р1< В, а Р1 нециклическая. Полученное противоречие доказывает, что (7) неверно, и потому выполняется (6).

Если в Р есть две нециклические максимальные подгруппы Р1 и Р2 и УР( < С (I = 1,2), то по доказанному выше с Б, а тогда Р = Р1Р2 с Б, вопреки (2). Значит, в Р не более одной такой подгруппы, и потому, как известно (см., например, [4], 17.23 и 17.24), Р - одна из групп, перечисленных в лемме 7. □

Лемма 9. Пусть конечная группа С представима в виде С = Р хТ (1), где Р - ее силовская ^-подгруппа. Такая С является БС-группой с сепарирующей подгруппой 5 < С (2) и Р Ф Б (3) тогда и только тогда, когда С = Q х В (4), где Q — гцгп (5),

Ц \ |B| (6), а В - конечная См-группа (если Р циклическая, то Q = Р, а В = Т).

Необходимость. Пусть группа С, удовлетворяющая условиям леммы, является БС-группой и выполняются (2) и (3). Тогда из (1) - (3) следует, что Б = Р1хТ (7), где Р1<Р (8).

Для Р возможны два случая:

1. Р = грп.

Пусть Т^<Т(1 = 1,2) и Тг^.Т2 (9). Рассмотрим Н1 = РхТ (10), (I = 1,2). Из (3) и (10) следует, что Н Ф Б (11), а из (9) и (10) Н1 ^ Н2 (12). Поэтому в силу ЯС-условия и

(10) Н1ПН2 = Рх (Т1ПТ2) (13) - циклическая группа, а тогда Т1ПТ2 = (14). Значит, Т является С^-группой. Для случая 1 необходимость доказана.

2. Р - нециклическая группа.

Тогда, так как в силу (1) Р < С и выполняется (3), из замечания 4 следует, что С/Р = 2цт, и потому ввиду (1) Т = 2цт (15). Значит, С имеет вид (4) (при Q = Т и В = Р). Из (3) и (1) в силу второго утверждения леммы 8 (где V = Т) следует, что Р - одна из групп, перечисленных в конце этой леммы. Все такие группы, как следует из леммы 7 из [3], являются С^-группами, и потому Р - С^-группа. Значит, В = Р есть С^-группа и выполняются (5) и (6). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть для С выполняются (4) - (6) и В - С^-группа. Чтобы нам можно было использовать предыдущие обозначения, положим Q = Р и В = Т. Тогда С -группа вида (1), Р = 2рп (16), р \ |Т| (17) и Т - С^-группа. Возьмем 5 вида (7) с условием

(8). Тогда выполняются (3) и (2).

Пусть Н^ < С (I = 1,2) и выполняются

(11) и (12). Тогда из (11), (12), (7), (8), (11) и (16) следует, что Н > Р, а потому из (1) следует, что Н1 имеют вид (10), где 1 <Т( <Т (18), а из (10) и (12) следует справедливость (9). Так как Т - С^-группа, то из

(9) и (18) следует, что выполняется (14). Из

(10) и (17) следует справедливость (13), а тогда из (13), (14), (17) и (16) получаем, что Н1ПН2 - циклическая группа. Значит, С является ЯС-группой с сепарирующей подгруппой 5. □

Лемма 10. Конечная непримарная нильпотентная группа С тогда и только тогда является ЯС-группой, когда С = Q х В (1), где Q = !чт (2), д \ 1В1 (3), а В - конечная нильпотентная С/М-группа (такие группы описаны в теореме 1 из [3]).

Доказательство. Так как в силу теоремы 3 из [1 ] для конечных нильпотентных групп С/М-условие и С^-условие равносильны, то достаточность утверждения леммы 10 следует из леммы 9.

Докажем необходимость.

Пусть С - конечная нильпотентная ЯС-группа и Я - ее сепарирующая максимальная подгруппа. Тогда существует силовская р -подгруппа Р группы С, такая что Р Ф Б. Так как С нильпотентна, то С = Р х Т. Значит, для С выполняются условия леммы 9. В силу этой леммы справедливы (1) - (3), а В -нильпотентная С^-группа. Как отмечено выше, тогда В является С/М-группой. □

Лемма 11. Пусть А - холлова ж-подгруппа конечной разрешимой группы С, Т1<Т2< С (1), л(Т2)Пп = 0 (2). Если в С существуют подгруппы Н1 = ^ Х Ах (3), Н2 = Т2Х АУ (4), где х,уЕС, Н^ Н2 (5) и Т1<Н2 (6), то Н1ПН2 = Т1Х (Ах1ПАу1) (7), Н1 = Т1Х Ах1 (8), Н2 = Т2Х Ау1 (9),

(Х1,У1 Е С).

Доказательство. Из (1) - (4) и (6) следует, что В = (Н1ПН2) = Т1Х А0 (10), гд ¿0 -холлова ж-подгруппа группы В. Так как С разрешима, то в силу (10) и теоремы Холла Л0 с (Ах1ПАу1) = F (11), где Ах* - холлова ж-подгруппа группы Н1, а АУг - холлова ж-подгруппа группы Н2. Тогда из (3) и (4) следует справедливость (8) и (9), а из (11), так как F - ж-подгруппа группы В, а Ао - ее холлова ж-подгруппа, получаем, что А0 = F (12) и из (10) - (12) следует справедливость (7). □

Следствие. Если в лемме 11 А - силовская ^-подгруппа группы С, то утверждения (7) - (9) этой леммы справедливы для любых конечных групп.

Лемма 12. Пусть С - ЯС-группа типа 2, 5 - ее сепарирующая подгруппа, Б < С (1), Б < С (2), А - абелева ж-подгруппа группы С, А Ф Б (3). Если существует Т < С (4), такая, что Т = 2гп (5), г£п (6), Н = Т Х А < С (7), то при Ах * АУ (8) выполняется (АХПАУ) ^С(Т) (9).

Доказательство. В силу (2) и (3) Ухе С Ах Ф Б (10). Из (4) и (7) следует, что Нх = ТХАх< С (11). Ввиду (10) и (11) Нх Ф Б (12). Пусть выполняется (8). Возможны два случая.

1. НХ*НУ

Нн \= \н I,

Так как \НХ\= \Ну \ , то ввиду условия 1 Нх ^ НУ (13). Так как ввиду (2) наряду с (12) НУ Ф Б, то отсюда, из (12), (13) и ЯС-условия следует, что V = НХПНУ (14) - циклическая группа. Наряду с (11) НУ = Т Х Ау, и, учитывая (11) и (14), имеем: V зТ Х(АхПАУ), и из цикличности V следует справедливость (9). 2. Нх = Ну.

Тогда Нх = Т\АХ = Т\АУ. В силу (5) и (6) Ах и Ау - холловы ж-подгруппы группы Нх. Отсюда и из (8) в силу следствия 3 леммы 6 получаем, что АХПАУ = Z(HX), а тогда ввиду (11) справедливо (9). □

Хорошо известны следующие утверждения о некоторых классах конечных p -групп (см., например, [4], 17.11-17.22, 18.8, 18.11, 18.13, 18.17, 18.18, 18.21).

Лемма 13. Конечная p -группа, имеющая циклическую максимальную подгруппу, изоморфна одной из следующих групп: 1. Zpn; 2. Zpn-i X Zp (n>2);

3. Mpn (n>3); 4. D2n (n>3); 5. Q2n (n>3); 6. SD2"(n>4). Из класса M этих групп подкласс L групп, не имеющих нециклических характеристических максимальных подгрупп, составляют следующие группы: a) Q2n; b) Ü2n; c) Zpn; d) Ep2, а подкласс А класса М, состоящий из всех таких p -групп Р, для которых Aut Р не является p -группой, составляют следующие группы: I. Ер2; II. Zpn-i X Zp, n>3, p ^2;

III. Zpn, p ^2; IV. Mpn, p ^2; V. Q8. Пересечение последних двух классов: (ША) = {Ep2,Q8,Zpn p Ф 2}.

Лемма 14. Пусть Q = ^ (1), Qi < Q (2), lQil = 4 (3), i = 1,35. Если <p 6 Q (4) и <P(Qi) = Qi (5), то <p4 = 1 (6).

Доказательство. Так как [Q1, Q2, Q3} -все подгруппы порядка 4 группы Q, то <P(Qi) = Qj (7) (возможно и i = j), i,j = 1,35. Если <p(Qi) = Qi (8) для любого i = 1,3, то, так как Qt = Z4 и потому | Aut Qt | = 2 (9), из (8) и (9) следует, что = 1, а тогда справедливо (6). Если же (8) выполняется не для всех i, то в силу условия (5) имеем: = Q2, а

V(Qi) = Q3, а тогда, учитывая (5), имеем: <p2(Qi) = Qi для всех i = 1,3. Учитывая (9), как и выше, получаем, что выполняется (6) и в этом случае. □

Следствие. Пусть G = Q \В (1), Q = Q8 (2), 2 \ |ß| (3) и существует Q1<Q (4), такая, что |Q1| = 4 (5) и Q1<G (6). Тогда G = QxB (7).

Доказательство. Ввиду (1) - (3) любой элемент b е(В\1) индуцирует в Q 2'-автоморфизм а в силу (6) = Q1.

Но отсюда и из (2), (4) и (5) и леммы 14 следует, что |^|| 4, и потому (р - тождественный автоморфизм, а тогда из (1) следует (7). □

Некоторые подклассы класса СУ-групп типа 2

Теорема 1. Непримарная группа С является БС-группой типа 2Ъ тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов (ниже всюду Q — Zqm (1), Z = Z(G) и р Ф д):

1. С = Q хТ, ц \ |Г|, Т - конечная См-группа;

2. С = (Р1 X Q) X Р2, Р1Ф г (2) и выполняется одно из условий:

2.1. Р1 — Ер2, |Р2| = р и для любой Q1, такой, что 1 < Q1 < Q (3) в Р1 нет собственных

-допустимых подгрупп;

2.2. |Р1 = р, Р2—грп-1, рФ2.

Необходимость. Пусть С - непримар-

ная БС-группа типа 2Ъ. Тогда в силу определения 3 О - конечная группа и для ее сепарирующей подгруппы Б выполняются Б < С (4), |G/S| = р (5), а для силовской р -подгруппы Р группы С выполняется Р < С (6). Поэтому (|Р|,|С/Р|) = 1 (7), а ввиду (5) Р & Б (8). Из (7), ввиду теоремы Шура, имеем: С = РхВ (9), где ^^к (10), р\к (11). Если й < С, то С = Р хй, и в силу леммы 9 С - группа типа 1 теоремы 1.

Пусть И Ф С (12). Из (4), (5), (10) - (12) тогда следует, что И < Б, и потому ввиду (9) 5 = 51хО (13), где 51 = (РП5) Ф 1 (14), а в силу (4) и (6) 51 < С (15). Ввиду (5) С = РБ и, учитывая (14), |Р/51|=р (16). В силу (9) - (11) И является холловой подгруппой группы С, и потому, в силу (13), и холловой подруппой порядка к группы Б. В силу теоремы Шура для 5 (вида (13)) все холловы подгруппы порядка к группы 5 сопряжены в Б. Отсюда и из (13) и (4) следует, что по обобщенной теореме Фраттини С =Б^Ы(0) = Б1 • N(0) (17).

Введем обозначение: Ыф) = Т (18). Из (9), (18) и (6) имеем: Т = Р2хй (19), где Р2 = (РПТ) (20) и ввиду (12), (9), (19) и (18) 1 < Р2 < Р (21). В силу (17), (18), (5) и (14) Т Ф Б (22), и потому ввиду (13) и (19) Р2 Ф 5 (23). Если Р - циклическая группа, то ввиду (16) 51 - единственная максимальная подгруппа группы Р, а тогда ввиду (18), (21) и (13) Р2 < 51 < Б, в противоречие с (23).

Значит, подгруппа Р - нециклическая. Тогда из (6), (9) и замечания 4 следует И = Q — Zqm (24) и выполняется (1). В силу (19)-(21) Р%Т.

Отсюда ввиду (8), (22) и (20) из ЯС-условия следует, что Р2 = РПТ - циклическая группа, то есть Р2 = Zpt (25). Отметим, что если Р2 с Z(P) (26), то из (9) и (19) следует, что Р2 с Z (27).

Ввиду (9)-(12) G ненильпотентна. При Q1 удовлетворяющем условию (3) в силу леммы 8 для любой истинной нециклической Q1-допустимой подгруппы Р0 < Р выполняется Р0 < S (28) (ибо PoQí < G, и потому применима лемма 8). В частности, для всякой истинной характеристической нециклической подгруппы Р0 группы Р выполняется (28).

В силу (8) и леммы 3 Р является ЯС-группой с сепарирующей подгруппой S1 (вида (14)), и потому ввиду леммы 5 Р есть CIM-группа. Из описания таких примарных CIM-групп в теореме 1 из [3] следует, что нециклическая группа Р есть группа одного из следующих типов:

I. |Р| = рп ,п = 2,3;

II. 1Р/М1 = р,М = Zpn-i, п > 2;

III. |Р/Ф(Р)| = р2, Ф - максимальная циклическая подгруппа группы Р.

Рассмотрим каждый из них.

1. |Р| =рп ,п = 2,3.

Так как Р нециклическая, то при п = 2 она - группа типа II, а при п = 3. I = (ехр Р) < р2. При I = р2 Р - группа типа II. Если же I = р и Р неабелева, то Р - группа типа III (группы типов II и III рассмотрим ниже). Остается случай Р = Ерз (29). Тогда для определенной выше подгруппы S1 имеем: S1 = Ер2 (30). Из (8) и доказанного выше о Р0 следует, что для любой Q1 из (3) в Р нет отличных от S1 Q1 -допустимых подгрупп порядка р2. Поэтому, так как Р абелева, то, как отмечено выше, выполняется (27) и | Р21 = р. Отсюда и из (30) и (23) Р = S-^ X Р2, и ввиду (24), (9) и (27) G = (S1\Q)X Р2 (31).

Если в S1 существует собственная Q1-допустимая подгруппа Р4, то 1Р41 = р и Р0 = Р2 X Р4

Q1 -допустима. В силу доказанного выше справедливо (28), а тогда Р2 < S, в противоречие с (14). Значит, таких Р4 нет. Отсюда и из (1) и (31) следует, что G - группа типа 2 теоремы 1 с условием 2.1 (где S-y = Р-у Ф Z, ибо иначе Р с Z, вопреки (12) и (9)).

2. 1Р/М1 =р,М = Zpn-i.

Если Aut Р является p -группой, то из (9) и (24) следует, что G нильпотентная, в противоречие с отмеченным выше. Значит,

Aut Р не является p -группой, а тогда из леммы 13 следует, что Р - одна из следующих групп:

1. Ер2 ; 2. Zpn-i X Zp, п > 2,р Ф 2;

3. Mpn,,рФ2; 4. Q8.

В последнем случае ввиду (16) |S1| = 4, и из (9), (15) и следствия леммы 14 получаем, что G = Р X Q (32) и G нильпотентна, что не имеет места. Значит, случай 4 невозможен.

Если Р - типа 1 и р # 2, то, учитывая (26) и (27), получаем, что Р - одна из групп типа 2.2. Пусть Р = Е4. Тогда из (15), (14), (9) и (2) ввиду теоремы Машке получаем: Р = S1 X Р1, |S1| = 1Р11 = 2, S1 < G, Р1< G. Но отсюда следует, что Р < Z и выполняется (32), что, как отмечено выше, невозможно.

Значит, остается рассмотреть случай, когда Р - группа типа 2 или 3. При п > 2 в каждой из групп этих типов есть единственная нециклическая максимальная подгруппа. Так как она характеристическая в Р, то в силу доказанного выше (см. (28)) содержится в S, и потому в силу (14) и (16) совпадает с S1. Вне S1 в любой группе Р типа 2 или 3 есть только ее циклические максимальные подгруппы (порядок рп-1) и потому в силу (23) Р2 = Zpn-1 (33) и Р2 < Р (34). Поэтому Р2 < Р и в силу (19), (24) и (9) Р2 < G (35), а тогда С(Р2) < G (36). Если Р2 Ф Z, то, так как в силу (9) D с С(Р2), отсюда и из (34), (24) и (9) С(Р2) = Р2Х Q, и ввиду (36) Q < G и G нильпотентна, что не имеет места. Значит, Р2 с Z (37). Тогда в силу (34) Р абелева. Так как Р - типа 2 или 3, то H = ^(Р) = Ер2 (38). Если Р3 = H ПР2 (39), то из (35) и H < G следует, что Р3 < G, и потому Р3 Q-допустима. Теперь, если к группе H X Q применить теорему Машке, то получим: H = Р3Х Р1 (40), где I Р-^ I = р (41) и Р1 Q-допустима. Тогда из (2) и абелевости Р следует, что Р1 < G (42). Из (40) и (39) следует, что (Р1ПР2) = 1, а тогда, ввиду (34) и (41), Р = Р1Х Р2. Теперь отсюда и из (9), (42) и (37) получаем:

G = (Р1XР2)XQ = (Р1 XQ)XР2 (43). Так как G ненильпотентна, то выполняется (2) и ввиду (41) р Ф 2. Мы получили, что G- группа типа 2 с условием 2.2. теоремы 1. Рассмотрение случая 2 окончено. 3. Р - группа типа III.

В силу (15) и (16) S1 з Ф(Р). Введем обозначения: H/Ф(Р) = H (для любой H с условием Ф(Р) < H < G). Так как ввиду (15) S1 < G и из определения группы типа III Р =

Ер2, то, применяя к G теорему Машке, получим: Р = Si X M (44) и M < G. Так как M > Ф (Р), то, в силу определения группы типа III, M - нециклическая группа, причем МФБ (ибо иначе ввиду (44) Р с S, вопреки (8)). Так как MQ < G, то существование такой группы M противоречит первому утверждению леммы 8. Значит, случай 3 невозможен. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть G - группа одного из типов теоремы 1. Во всех этих типах |G| < от.

1. Группа типа 1 в силу леммы 9 является БС-группой, где S = Т X Q1, Q1 < Q, и потому Q Ф S. Значит, G - БС-группа типа 2b (ибо Q < G).

2. G - группа типа 2.

Тогда G = (P1\Q)X Р2 (48) и Р = Р1хР2 -силовская ^-подгруппа. Возьмем S = (P1 X Q) X Р3 (49), где Р3<Р2 и покажем, что G -БС-группа с сепарирующей подгруппой S (для каждого из типов 2.1 и 2.2). Достаточно проверить выполнение БС-условия для любой пары нециклических неинцидентных подгрупп Ht < G, где Я; Ф S (50), (i = 1,2).

Пусть Я; непримарна. Тогда из определения групп типов 2.1 и 2.2 следует, что Я; з Р1 (51), ибо в Р1 ввиду определения групп этих типов нет собственных Ç1-допустимых подгрупп для любой Q1 с условием: 1 < Ç1 < Q. Для групп типа 2.1 это означает, что Я; з Р (52) (ибо в них Р1< Р и P1cS, а для Я, выполняются (51) и (50)). В группе G типа 2.2, как нетрудно видеть, вне S из p -подгрупп находятся только такие подгруппы: Р4 = Zpn-1 < Р (53) (Р4 > Ф(Р) (54)) - это следует из того, что Р - группа типа рп-1 X р. Поэтому Я; з Р4 (55). Но так как в такой группе G Р2 < Р, (Р2 из (40)), то отсюда следует, что Р2 з Ф(Р), и так как ввиду (48) Р =

P1 X Р2, то получаем, что Р1 Ф Ф(Р), а тогда, ввиду (54) и |Р1| = р, (Р1ПР4) = 1 и из (51) и (59) следует, что Я; з (P1 X Р4) = Р, то есть тоже выполняется (52).

Итак, для всех непримарных Я; с условием (50) выполняется (52). Так как в силу определения группы типа 2 G/P = Zqm, то любые две такие подгруппы Я1 и Я2 инцидентны.

Отметим, что в силу (52) Я; > Р0 для любой Р0 < Р.

Все примарные нециклические подгруппы группы G содержатся в Р, а такие Р в

группах типа 2.1 и 2.2, как показано в теореме 1 из [1] в силу теоремы 1 из [3] являются См-группами.

Этим доказано, что С - БС-группа с сепарирующей подгруппой 5 вида (49).

В силу (48) - (50), Р = (Р1 х Р2) с С и Р Ф Б. Значит, С - БС-группа типа 2Ь. □

Следствие 1. В группе типа 2.2 любые две нециклические подгруппы, не содержащиеся в Б, инцидентны (это видно из доказательства достаточности, так как единственная максимальная нециклическая подгруппа группы Р типа р х рп-1 содержится в 5).

Следствие 2. Конечная разрешимая группа С тогда и только тогда является БС-группой типа 2Ь, когда она - либо группа типа 1 теоремы 1, где Т - конечная разрешимая См-группа, либо группа типа 2 этой теоремы.

Отметим, что конечные разрешимые См-группы описаны в [1].

В силу следствия 2 теоремы 1 для получения описания конечных разрешимых БС-групп теперь достаточно получить описание таких групп типа 2а.

Теорема 2. Пусть С - конечная неабе-лева непримарная группа, все силовские подгруппы которой циклические. Такая группа С является БС-группой типа 2а тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов (ниже всюду Р, Q, Я, соответственно, циклические силовские р-, д- и г-подгруппы группы С, Z = Z(G), а в типах 1 -3 ни одно из полупрямых произведений не является прямым).

1. С = Ях^хР), |Р| = гФ 2.

2. С = (^ х Я) X Р, ц, |Р| = г, 2 \цг и V х,у 6 С, таких, что Рх Ф Ру, выполняется (Р*ПРу) =

3. С = QxP, цФ 2.

Необходимость. Пусть С, удовлетворяющая условиям теоремы, является БС-группой типа 2а. Тогда, в силу определения 3, ее сепарирующая подгруппа 5 удовлетворяет условиям Б с С (1) и |G/S| = р (2), а РФС (3). В силу (2) и (3) V х 6 С Рх Ф Б (4). Так как все силовские подгруппы группы С циклические, то, как хорошо известно, С = А X И (5), где А — гк (6), И — (7) и (|Л|, |£|) = 1 (8). Так как С неабелева, то О Ф С (9). Не нарушая общности, можем считать, что все инвариантные силовские подгруппы группы С содержатся в А, и потому если Т - силовская /-подгруппа группы С и Т с Б (10), то Т Ф С (11).

Из (3) и (5)-(8) следует, что Р Ф А, а тогда, ввиду (8), |Р| | |D|. Поэтому в качестве Р можно взять силовскую ^-подгруппу группы D, то есть Р < D (12). Из (2) и (8) следует, что S з А, а тогда из (5) и (2) следует, что 5 = Ах Di (13), где |D/Di| = р (14).

Предположим, что Р с С(А) (15). Так как ввиду (5) С(А) = (А X D2) < G (16), где D2 с D, то в силу (8) и (16) D2 < G, а тогда, так как в силу (15) Р с D2, то ввиду (7) Р < G, вопреки (3). Значит, Р Ф С (А) (17).

Пусть R - силовская подгруппа группы А, такая, что Р Ф C(R) (18) - в силу (17) хотя бы одна такая R существует. Тогда подгруппа Н = R \ Р (19) нециклическая и, в силу следствия 1 леммы 6, имеем: C^)HR = 1 (20).

Для дальнейшего понимания отметим, что если D = Р (21), то в силу (13) и (14) S = А\Р1 (22) и 1Р/Р11 = р (23).

В силу условий теоремы G непримарна, и потому для ln( G)| возможны лишь два случая: ln(G)| > 3 или ln(G)| = 2. Рассмотрим каждый из них. 1. |TT(G)|>3.

Тогда из (19), (18), (4) и следствия леммы 7 получаем, что |R| = г Ф 2 (24).

Предположим, что ln(G)| > 3 (25). Тогда существуют силовская ^-подгруппа Q и силовская í-подгруппа Т группы G, каждая из которых содержится либо в А, либо в D, такие, что (рг, qt) = 1 (26). В силу (5) - (8) и (26) каждая из подгрупп Q и Т перестановочна и с R, и с Р, и потому ввиду (19) и с Н. Учитывая условие 1, имеем: HQ < G, НТ < G и HQ % НТ. Так как в силу (4) и (19) HQ Ф S и НТ Ф S, то из полученного выше и ЯС-условия следует, что HQПHТ = Н - циклическая группа, в противоречие с доказанным выше. Значит, (25) невозможно, а тогда из условия 1 следует, что ln(G)| = 3 (27).

Поэтому либо А, либо D - примарная группа. Рассмотрим каждый из этих случав. 1.1. D - примарная группа. Тогда ввиду (12) выполняются (21) - (23) и в силу (27), (3) и (5) G =А\Р (28), А = Q X R (29), то есть G = (Q X R) \ Р (30).

Возможны два подслучая. 1.1.1 Или Q с Z, или R с Z.

Пусть Q с Z. Тогда выполняется (18) (ибо иначе в силу (30) G - абелева, вопреки условию). Поэтому по доказанному в начале пункта 1 справедливо (2) и учитывая (24) и (30), G - одна из групп типа 1 теоремы 2 (ибо

С = (Я \ Р) X Q - одна из таких групп. Аналогично при Я с Z выполняется Q Ф С(Р) (31), откуда следует

|Q| = q Ф 2 (32) и С - группа типа 1, где подгруппы Q и Я поменялись местами (можно поменять их обозначения). 1.1.2 Q ФZ,RФZ.

Тогда справедливы (18) и (31), подгруппы Н (см. (19)) и Ь = Q \ Р (33) нециклические, и потому, как показано в начале пункта 1, выполняются (24) и (32), а тогда 2\qr (34).

Пусть х,у 6 С и Рх Ф Ру (35). Введем обозначение Р0 = Рх П Ру (36). Из (4), (19) и леммы 12 получаем, что Ро с С(Я) (37). Точно так же, рассматривая вместо Н подгруппу Ь вида (33), из леммы 12 и (32) получим, что Р0 с С^) (38) при х и у с условием (35). Из (36)-(38) и (30) получим: Ух,у6в, таких, что выполняется (35), Р0 < Z (39). Но в силу условия 1.1.2 и (30) Z с Рх, V х 6 С, т. е. в силу (36) Z < Р0, а тогда отсюда и из (39) Р0=Z (40). Теперь из (30), (24), (32), (36), (35) и (40) получаем, что О - группа типа 2 теоремы 2.

Случай 1.1 рассмотрен. 1.2. А = Я - г-подгруппа.

Тогда из (27), (12) и (5) имеем: О = РxQ (41) и С = R\(РXQ) (42). Отсюда в силу (3) получаем, что подгруппа В = Я \ Р (43) - нециклическая. Теперь из (27), (4), (43) и (42) мы видим, что к С применимо следствие леммы 7 (при А1 = Я и И1 = Р), и в силу этого следствия 1Я1 = г Ф 2 (44). Из (32) и (44) следует, что С - группа типа 1 теоремы 2. Случай 1 рассмотрен. 1. Ы(С)1 = 2.

Тогда С = Q \ Р и, так как С - неабеле-ва группа, то q Ф 2 выполняется (3) и С -группа типа 3 теоремы 2. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть С - группа одного из типов теоремы 2. Проверим, что она является неабелевой ЯС-группой типа 2а.

Во всех этих группах, как отмечено в теореме, полупрямые произведения не могут быть прямыми и потому эти группы неабелевы.

Покажем, что каждая из них является ЯС-группой. 1. С - группа типа 1.

Так как С неабелева, то хотя бы одна из подгрупп Q или Р неинвариантна в С. Пусть выполняется (3).

Положим Б = Я X ^ х Р1) (45), где Р1 < Р (46). Тогда выполняются (1), (2) и (4).

Пусть ЖС (47) и Н Ф Б (48). Тогда ввиду (45) - (48) Н з Рх (49) для некоторого х 6 С. Нам достаточно рассматривать только нециклические Н, а тогда из определения группы типа 1 следует, что Нзй.

Отсюда и из (49) следует, что Н з В = ЯхРх (50). Но С = Я, а тогда из (50) следует, что В с С и потому В = Я X Р. Но С/В — Q - циклическая д-группа Значит, если Н1 Ф Б (51), Н2 Ф Б (52) и Н[ нециклические, то Н1 з В (1 = 1,2) и Н1/В ^ Н2/В, а тогда Н1 ^ Н2- Этим доказано, что С является БС-группой с сепарирующей подгруппой 5 (причем любые две ее нециклические подгруппы, не содержащиеся в Б, инцидентны).

2. О - группа типа 2.

Положим Б = Ах Р1 (53), где А - вида (29), а Р1 удовлетворяет (46). Пусть Н нециклическая и выполняется (48). Так как по определению группа типа 2 теоремы 2 С = АхР = ^хЯ)хР (54) и р\ |Л|, то из (48) и (53) следует справедливость (49) и Н непримарная, то есть НПА Ф 1 (55).

Поэтому ввиду (29) и (49) либо Н = QxPx (56), либо Н0 = ЯхРУ (57) (Н0 удовлетворяет тем же условиям, что и Я). Очевидно, что НПН0 - циклическая группа.

Пусть Н1 и Н2 - две подгруппы вида (56), то есть H1 = Qx Рх1 (58), H2 = Qx Рх2 (59) и Н1ФН2 (60).

Введем обозначение: К = Н1ПН2 (61).

Тогда из (58)-(61) и леммы 11 имеем: К = Q X В (62), где В = Рхз П Рх* (63) и рхз ф рх^ (64). Из описания групп типа 2 следует, что В = 7, а тогда из (62) получаем, что К - циклическая группа.

Точно так же, как и выше, из описания группы типа 2 получаем, что и для Н1 и Н 2 вида (57) (Я1ПЯ2) - циклическая группа.

Из доказанного следует, что С -БС-группа с сепарирующей подгруппой 5 вида (53).

3. С - группа типа 3.

Тогда С = QxP (65), Ц—Ч^. Положим Б = Q X Р1 (66), где Р1 вида (46).

Пусть Н1 и Н2 - две нециклические подгруппы группы С с условиями (51) и (52). Тогда в силу (65) Q ПЯ; Ф 1 и ввиду (66) и (46) Н( з РХ1, I = 1,2. Поэтому H1 = Q1X Рх 1 (67), H2 = Q2XPX2 (68), где 1 <Qi<Q, 1 = 1,2. Так как Q - циклическая д-группа, то можно, не нарушая общности, считать, что Q1 < Q2. Тогда из (66), (67), учитывая обозначения (61) и (63) в силу леммы 11 имеем: К = Q1x В (69). Но из (64) и (63), применяя к С следствие 3 леммы 6, имеем: В = 7, а тогда из (55), (63) и ц \ |B| следует, что К - циклическая группа. Учитывая определение К (см. (61)), мы показали, С - БС-группа.

Так как во всех пунктах 1-3 выполняется (3) и в силу определения 5 (см. (45), (46), (56) и (53)) выполняются (1) и (2), то из доказанного выше следует, что каждая из групп типов 1-3 является БС-группой типа 2а. □

Заключение

На базе полученных в работе результатов будет продолжено изучение конечных разре-ш имых БС-групп.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д., Коневских Т.М. О группах с циклическими пересечениями неинцидентных (максимальных) подгрупп // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2019. Вып. 3(46). С. 23-31.

2. Черников С.Н. Группы, имеющие сепарирующие подгруппы // Группы с заданными свойствами подгрупп. Киев, 1975. С. 6-14.

3. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 2. С. 22-35.

4. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 240 с

H. ff. Помоeицким, T. M. KoneecKUX

About finite groups with cyclic intersections of nonincident subgroups not contained in some subgroup

Ya. D. Polovitsky, T. M. Konevskikh

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru; 8(342) 239-63-21

We consider finite groups G in which a true subgroup S exists. This subgroup S has the following property: the intersection of any two non-incident subgroups of G that are not contained in S is a cyclic (SC-group). Several properties of such groups are obtained. Some subclasses of the class of finite SC-groups are described.

Keywords: group; cyclic group; intersection; incident subgroup.