КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ОДНИМ УСЛОВИЕМ ИНЦИДЕНТНОСТИ, СВЯЗАННЫМ С ОБРАЩЕНИЕМ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА. ЧАСТЬ 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

2017

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2(37)

МАТЕМАТИКА

УДК 512.54

Конечные группы с одним условием инцидентности, связанным с обращением теоремы Лагранжа. Часть 1

Я. Д. Половицкий

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; 8(342)236-82-83

Описывается один класс конечных групп, в котором для нециклических подгрупп выполняется одно из обращений теоремы Лагранжа (¿„-группы). Описаны нильпотентные ¿„-группы и установлен ряд свойств ненильпотентных ¿„-групп.

Ключевые слова: группа; теорема Лагранжа; нециклическая подгруппа.

DOI: 10.17072/1993-0550-2017-2-5-18

Введение

В нашем исследовании рассматривается класс -групп, в которых в качестве 2 берется свойство "быть нециклической группой". В работе [1] введено понятие -группы, связанное с одним из обращений теоремы Лагранжа для 2 -подгрупп. Пусть 2 - некоторое теоретико-групповое свойство.

В настоящей работе используются следующие обозначения:

N < О - N - нормальная подгруппа группы О;

Л8 - подгруппа 8 1 Л8; О (О) - наибольшая нормальная р-подгруппа группы О;

^ (О) - нижний слой р-группы О;

© Половицкий Я. Д., 2017

М<О - М - максимальная подгруппа группы О;

ф(о) - подгруппа Фраттини; Л\3 - полупрямое произведение подгрупп А и В;

ЛфО - подгруппа А неинвариантна в О; тг(О) - множество всех простых делителей порядка группы О;

- симметричная группа „-й степени;

Е - элементарная абелева группа

„

порядка р ;

Q2„ („ > 3) - обобщенная группа кватернионов;

М („ > 3) - модулярная группа;

Группа типа „ х „2 х ... х щ - прямое произведение циклических групп порядков

„!, „2,..., щ;

■ - конец доказательства.

Некоторые свойства Ьп -групп.

Нильпотентные Ьп -группы

Определение 1. Упорядоченную пару (А, В) собственных подгрупп конечной группы О назовем п-лагранжевой парой (короче - п1-парой), если выполняются следующие условия: 1. А - нециклическая группа; 2. |А| Ф В ; 3. |А| | |В|.

Определение 2. Группу О назовем Хя -

группой (или группой с п1-условием), если она конечна и либо подгруппы А и В из любой ее п/-пары (А,В) инцидентны (т. е. А < В), либо п/-пар в О нет.

Замечание. Из определения 1 видно, что подгруппа А из п/-пары (А, В) не может иметь в О простой индекс или быть максимальной подгруппой, ибо тогда В = О, в противоречие с определением 1.

Очевидно, £я -группами являются конечные циклические группы, группы

Р

Лемма 1. Если О - Хя -группа, N < О и N - нециклическая группа, то ^^ - ¿о -группа.

Лемма 2. Пусть ^^ - -группа, А и

В - собственные подгруппы группы О,

причем |А| Ф В и |А| | В . Если А > N и

В > N, то А < В.

Доказательство. Из условий леммы

следует, что

А

'Я

ф

В/

'я

а/

N

В/

N

рд; группы, все

порядков Р собственные подгруппы которых

циклические; группы, все нециклические подгруппы которых имеют простые индексы (в частности, группы порядков р2 д), группы с единственной собственной нециклической подгруппой.

Легко проверить, что £я -условие переносится на подгруппы и фактор-группы. В классе £я -групп содержатся

рассмотренные в [1] классы ¿-групп и -

групп. В настоящей работе мы будем использовать ряд результатов, полученных в [1], в том числе описание -групп.

Определение 3 (см. [1]). Группу О назовем -группой, если она конечная и либо для любых ее собственных подгрупп А и В из \А Ф В (1) и \А | В (2) следует, что

А < В , либо собственных подгрупп с парой условий (1) и (2) в О нет.

Так как свойство "быть нециклической подгруппой" переносится на надгруппы, то из леммы 2 из [1] получается

Поэтому из того, что ^^ есть -группа и

определения 3 следует, что ^^ < ^^, и потому А < В. ■

Следствие 1. Если ^^ - -группа и

для всякой п/-пары (А, В) группы О

выполняется А > N и В > N, то О является

¿и -группой (ибо в такой группе О всякая п1-

пара удовлетворяет условиям леммы 2, и потому и ее заключению).

Следствие 2. Пусть ^^ - -группа,

N - нециклическая разрешимая холлова п-подгруппа группы О. Если А < О, N 11А| (1), то для любой п/-пары (А, В) выполняется А < В.

Доказательство. Как следует из теоремы 6 из [1], -группа разрешима, а

тогда из условий следствия 2 следует и разрешимость группы О. Так как N -инвариантная холлова п -подгруппа группы О, то она - единственная холлова п -подгруппа группы О. Из (1) и Ц | |В| следует,

что число к = N делит и |А|, и |В|, и потому

А и В содержат (ввиду их разрешимости) холловы подгруппы порядка к. Но они есть и холловы подгруппы порядка к группы О. Ввиду единственности N имеем: N < А и N < В. Теперь в силу леммы 2 А < В. ■

Из леммы 3 работы [1] для рассматриваемого нами свойства 2 получается

Лемма 3. Пусть О - -группа, Н - ее

собственная подгруппа порядка т и хотя бы две максимальные подгруппы группы Н

|

и

нециклические. Тогда Н - единственная подгруппа порядка т группы О и Н < О.

Следствие. Если в Ья -группе О имеется абелева р-подгруппа В типа р х р х р или С типа р2 х р2, то В < О, С < О и В и С являются, соответственно, единственными подгруппами порядка р3 (р 4 ) группы О.

Доказательство. В каждой из подгрупп В и С не менее двух максимальных подгрупп являются нециклическими, и потому к ним применима лемма 3.

Лемма 4 (см., например, [2], задачи 17.23 и 17.24). Конечные р-группы, все истинные подгруппы которых циклические -это циклические р-группы, группы Е 2 и ^,

и только они; конечные р-группы с единственной максимальной нециклической подгруппой - это группы типа рп х р („ > 2) и модулярные группы Мпри р„ Ф 8, и

только они.

В работе [1] описано строение ¿ -групп.

Теорема 1 ([1], теорема 6). Группа О является ¿ -группой тогда и только тогда,

когда она - группа одного из следующих типов (ниже р и д - различные простые числа): 1. Конечная циклическая; 2. Нециклическая порядка р2 или рд; 3.

О = Q хТ, (О,, |Т|) = 1 и выполняется одно из

условий 3.1 или 3.2: 3.1 Q = Е2 и является

минимальной нормальной подгруппой группы О, т = р; 3.2 Q| = д Ф 2, Т - циклическая р-

группа непростого порядка, Z (о) <Т. 4.

О = Q8.

Следствие 1. Нильпотентная группа является ¿ -группой тогда и только тогда, когда она либо конечная циклическая, либо изоморфна ^ или Е 2.

Следствие 2. Конечная группа О является ¿ -группой тогда и только тогда, когда либо все ее истинные подгруппы циклические, либо О = Q хТ, где |т = р,

Q = Е 2 и Q является минимальной

нормальной подгруппой группы О.

Лемма 5. Пусть О - Ь -группа, Н - ее собственная нециклическая подгруппа порядка рк. Тогда при 5 > к каждая подгруппа порядка р5 группы О содержит Н. Если Н не является силовской р-подгруппой группы О, то Н содержится в р-ядре О (О) группы О.

Справедливость утверждений леммы 5 вытекает из определений Ь -группы и

Ор (О).

Следствие 1. Если р-группа О является нециклической Ья -группой, то ехр О < р2 (1).

При О^ ^ она содержит нециклическую подгруппу порядка р .

Доказательство. Если О = Q , то доказываемое утверждение верно. Пусть О^ Q . Тогда в силу известного результата

(так как О нециклическая) в О более одной подгруппы порядка р (см., например, [2], задача 17.36). Возьмем элемент г е Z(О)

такой, что = р. Как отмечено выше, 38 е О, что |8 = р и < г >Ф< 8 >, а тогда Н =< г > х < 8 > - нециклическая группа порядка р 2 . В силу леммы 5 в О нет циклических подгрупп порядка р 3 (ибо они не могут содержать Н), и потому справедливо (1). ■

Следствие 2. Если р-группа О является Ь -группой, то все ее нециклические подгруппы, не являющиеся максимальными, содержатся в ф(о).

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что по лемме 5 нециклические подгруппы, о которых идет речь в следствии 2, содержатся в каждой максимальной подгруппе, и потому принадлежит ф(о).

Лемма 6. Если Ь -группа О является нециклической р-группой и |о| > р4 (1), то

(о)<ф(о) и (О)> р2 (2).

Доказательство. Так как ввиду (1) О не является группой кватернионов, то из (1) и следствия 1 леммы 5 вытекает справедливость (2). Выберем элемент 2 е Z(О) порядка р;

составим подгруппу H =< г > х < g > (она существует в силу (2)). Это нециклическая группа порядка р2 и Н с ПДо). В силу (1) Н не является максимальной подгруппой группы О и потому ввиду следствия 2 леммы 4 Н с ф(о) (3).

Так как всякий элемент g порядка р из О, не содержащийся в < г >, содержится в такой подгруппе Н, то из (3) имеем:

П1 (о)СФ(о) ■

Следствие. Если Ь -группа О является р-группой экспоненты р, то |О| < р3. (Получается из леммы 6 ввиду того, что по условию следствия О = ^ (о) .

Теорема 2. р-группа О является Ь -

группой тогда и только тогда, когда она -группа одного из следующих типов: 1. Циклическая р-группа; 2. Нециклическая

2 3

группа порядка р или р ; 3. П^О) = Ф(О) ^ Ер2, |о| = р4. Если О

абелева, то она - группа типа р2 х р2.

Необходимость. Пусть О является нециклической Ь -группой. Тогда она

конечная (по определению Ь -группы). Если

|О| равен р2 или р3, то О - группа типа 2.

Пусть |о| > р4 (1). В силу следствия 1 леммы

5 в О существует нециклическая подгруппа Н

2

порядка р .

В силу (1) Н не является максимальной подгруппой группы О, и по следствию 2 леммы 5 Н с ф(о) (2). Поэтому ф(о) -

нециклическая группа и |ф(о) > р2 (3). Так

как О нециклическая, то ф(о) не является максимальной подгруппой группы О.

Пусть М<О. Если существует Т, что

ф(О) < Т < М (4), то |Т| > р3 (ввиду (3)). Но

в силу следствия 1 леммы 5 ехр О < р2 (5), и потому Т - нециклическая группа, а тогда по следствию 2 леммы 5 Т с ф(о), в противоречие с (4). Значит, ф(о) и

потому

Мо )

= р2 (6).

^ (о) Ф О. Если 5 - любой элемент из

О \ ^(о) (8), то в силу (5) 51 = р2 . Ввиду

(1) Б =< 5 > не является максимальной подгруппой группы О, и потому существует подгруппа ¥ такая, что Б < F < О (9), где |¥| = р3. Подгруппа ¥ ввиду (5)

нециклическая. Если |о| > р4, то ¥ - не максимальная подгруппа группы О, а тогда по следствию 2 леммы 5 ¥ с Ф(о) , и потому в силу (9) Б с Ф(О). Учитывая (7) и произвольность выбора 5 из (8), получаем, что О с ф(о), что невозможно в конечной, отличной от 1, группе. Значит, учитывая (1), мы получаем, что |о| = р4. Отсюда и из (6)

следует, что |ф(о) = р2 . Так как ф(о) нециклическая, то она - группа типа р х р , и потому ^ (о) з Ф(О). Отсюда и из (7) следует, что Ф(О) = ^ (О) и О - группа типа

4 теоремы 2. Если группа этого типа абелева, то она, как нетрудно видеть, - либо типа

р3 х р, либо р2 х р2 . В первом случае в О есть циклическая максимальная подгруппа, вопреки нецикличности ф(о). Значит, О -

Необходимость

типа

2 2 р2 х р2.

Из леммы 6 (учитывая (1)) получаем, что ^(О)сф(О) (7). Отсюда следует, что

группа доказана.

Достаточность. Группы типов 1 и 2 являются, очевидно, Ь -группами. В группе

типа 3 единственной нециклической подгруппой непростого индекса является ф(О), и по определению она содержится во

всех подгруппах порядка р 3 , ибо они

максимальные в О. Значит, О - Ь -группа. ■

Следствие 1. Если нециклическая Ь -

группа О является р-группой и не имеет собственных характеристических подгрупп, то О изоморфна Е 2 или Е 3.

Действительно, такая группа О абелева (ввиду характеристичности Z(о) ), совпадает с (О), то есть О - элементарная абелева и потому не может быть группой типа 3 теоремы 2. Значит, О изоморфна Е 2 или

Е.

р

Следствие 2. Абелева р-группа является Ь -группой тогда и только тогда, когда она либо циклическая, либо нециклическая порядка р3, либо группа

2 2

одного из типов р X р или р X р .

Следствие 3. р-группа с Ь -условием

удовлетворяет условию инцидентности для нециклических подгрупп разных порядков.

Следствие 4. Если силовская р-подгруппа Р Ь -группы О неинвариантна в

0, то Р - группа одного из следующих типов:

1. Циклическая; 2. Изоморфна ^; 3. Группа

одного из типов р х р или р X р ; 4. Изоморфна М 3 (р Ф 2) .

Доказательство. Так как РФО, то в силу леммы 3 она либо имеет одну максимальную нециклическую подгруппу, либо у нее нет максимальных нециклических подгрупп. Все такие группы перечислены в лемме 4 - это группы типов 1, 2 нашего следствия, типа р х р и рп х р (п > 2) и М (рп Ф 8). В силу теоремы 2 в последних

случаях п = 2, а тогда Р - одна из групп типа 3 или типа 4. ■

Замечание 1. Пусть О - неабелева группа типа 3 теоремы 2. Если ее центр нециклический, то

г (о)=ф(о) и О является р-группой Миллера-Морено. С точностью до изоморфизма, существует два типа таких групп (их задание образующими элементами и определяющими соотношениями получено Л. Редеи для р-групп любых порядков - см., например,

[2], 17.29). Если Ф(О) Ф г циклическая группа и |г| | р2 (ибо

ехр О = р2).

Замечание 2. Пусть О - группа типа 3 теоремы 2. В силу ее определения и следствия 2 леммы 5 единственной нециклической подгруппой порядка р 2 группы О является Ох(о) = Ф(о) . В силу следствия 1 леммы 5 ехр О = р2. Поэтому все элементы из О \ ^ (О) имеют порядок р 2 .

Лемма 7. Пусть О - Ь -группа, В < О, т - отличное от 1 натуральное число и (т, В) = 1 (1). Если в О существует В-

допустимая подгруппа М порядка т, то либо все подгруппы порядка т группы О циклические, либо М - единственная нециклическая подгруппа порядка т группы О (и М < О) и в О нет других В-допустимых подгрупп этого порядка.

Доказательство. Так как М по условию В-допустима, то, учитывая (1), имеем:

< М, В > =МхВ=5 (2).

Пусть в О существует нециклическая подгруппа Н такая, что |Н| = т (3). Тогда

|н| Ф |£ , |н| 11$|, и в силу Ь -условия

Н < 5 (4). Но ввиду (1) и (2) М -единственная холлова подгруппа порядка т группы 5, и потому из (3) и (4) следует, что Н=М. (5)

Если М - циклическая группа, то равенство (5) невозможно, а потому все подгруппы порядка т группы О -циклические.

Пусть М - нециклическая. Тогда из (5) следует, что М - единственная нециклическая подгруппа порядка т группы О и потому М < О. Если бы в О существовала еще одна В-допустимая подгруппа Т порядка т, то, как показано выше, Т - циклическая, а в силу Ь -

условия М с Т X В, откуда, как и выше, получаем Т=М. Значит, таких подгрупп в О нет. ■

Следствие. Пусть Ь -группа О имеет

подгруппу 5 = Я х В (6), Я содержит нециклическую подгруппу М порядка т, причем (т, В ) = 1 (6). Тогда М -

единственная подгруппа порядка т группы О.

Действительно, так как при условиях данного следствия все подгруппы группы Я В-допустимы, а в силу (6) все подгруппы порядка т содержатся в Я, то для О ввиду второго утверждения леммы 7 справедливо утверждение данного следствия.

Теорема 3. Нильпотентная группа О является Ь -группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов: 1. О = Р х Я, где Р изоморфна Е 2

или ^, Я - циклическая р'-группа (при Р = 08, Я - 2' -группа); 2. О = Р х Q, где Р изоморфна Е 2 или ^, Q = Е 2 (q Ф р, а

при Р = ^ ч Ф 2); 3. Конечная циклическая;

4. Нециклическая группа порядка р 2 или р 3 ;

5. |о| = р4, Ц(О)=М(ОЕр2 . Если О

абелева, то О = С 2 х С 2.

р р

Необходимость. Пусть О -непримарная нильпотентная Ь -группа.

Тогда по определению 2 она конечна. Если все ее силовские подгруппы циклические, то О - циклическая группа, т. е. группа типа 3.

Пусть О нециклическая и Р - любая ее нециклическая силовская р-подгруппа (такая существует). Тогда О = Рх Я (1), где Я - р'-группа. Если все максимальные подгруппы группы Р циклические, то, так как Р -нециклическая группа, в силу леммы 4, Р изоморфна ^ или Е 2. Если же хотя бы

одна из максимальных подгрупп группы Р была бы нециклической, то, так как порядки всех максимальных подгрупп Р одинаковы, в силу следствия леммы 7 максимальная подгруппа группы Р единственна, а тогда Р -циклическая (вопреки нашему

предположению).

Если Я - циклическая группа, то О -группа типа 1.

Пусть подгруппа Я - нециклическая. В О/

Р, то А з Р (2). Но |А| | , и потому |Р| |

(3). Так как Р - инвариантная силовская подгруппа группы О, то из (3) следует, что В з Р. Отсюда и из (2) в силу следствия 1 леммы 2 получаем, что О - Ь -группа.

Пусть О - группа типа 2. Нетрудно видеть, что всякая нециклическая подгруппа группы О содержит или Р, или Q, и потому либо А з Р, либо А з Q. Так как Р и Q -нециклические силовские подгруппы группы

О, а

О/

О являются, очевидно, Ь -

и являются, очевидно,

группами, то в силу следствия 2 леммы 2, примененного к

О или 0 , для любой п1-

силу леммы 1 0 является Ь0 -группой. Ввиду (1) = Я. Значит, Я -

нильпотентная нециклическая Ь -группа. В

силу следствия теоремы 1 , Я изоморфна Е 2

Ч

или ^. Отметим, что Р и Я не могут одновременно быть изоморфными ^ (ибо (Я|, |Р|) = 1), и потому О - группа типа 2 (если Q = Q , то Р = Е 2, т. е. обозначения Р

Ч

и Q просто поменяются местами).

Если О является р-группой, то, так как она Ь -группа, по теореме 2 О - одна из

групп типов 3-5.

Необходимость доказана. Достаточность. Группы всех типов 1-3 теоремы 3 являются непримарными нильпотентными группами. Пусть О - группа типа 1 и (А, В) (1) - ее произвольная п/-пара. Так как А - нециклическая и всякая нециклическая подгруппа группы О содержит

'Р /Q

пары (1) выполняется А < В, и потому О -Ьп -группа.

Циклическая группа (типа 3), очевидно, является Ь -группой. Группы типов 4 и 5

являются Ь -группами по теореме 2. ■

Следствие. Если Р - нециклическая силовская р-подгруппа непримарной нильпотентной Ья -группы и |Р| = р3, то

Р = Q8.

Ненильпотентные Ьп -группы

Лемма 8. Пусть О - Ь -группа, N < О. Если в О существует нециклическая подгруппа К порядка к и (к, N) = 1 (1), то все

подгруппы порядка к группы О -нециклические и содержатся в подгруппе Н = N X К (2), инвариантной в О. Если Н разрешима, то с1К - это все подгруппы порядка к группы О.

Доказательство. Пусть Я - любая подгруппа порядка к группы О. В силу (1) N П Я = 1. Рассмотрим подгруппу Т = N хЯ (3). Так как |к| = |я (4), то в силу Ь -

условия Ух е О Кх < Т (5), и ввиду (4) и (1) Т = N хК=Н. Отсюда и из (5) следует, что

Н < О. Так как ^^ = К и ^ Я, то

Я = К, т.е. Я - нециклическая группа и содержится в Н. Если Н разрешима, то ввиду (1) и (4) Я и К - ее холловы к-подгруппы, и потому они сопряжены в Н, т. е. Я с с1К . ■

Следствие 1. Пусть О - Ь -группа,

0 = Q хТ (1), (Q, |Т|) = 1 (2). Если в Т

существует собственная подгруппа порядка т, либо все подгруппы этого порядка группы Т -циклические, либо в Т единственная подгруппа этого порядка и она нециклическая. Эта подгруппа инвариантна в О и содержится в

Ф)

Доказательство. Пусть Т и Т2 - две собственные нециклические подгруппы группы Т и |Т| = \Т2\ = т (3). Так как в силу (2) к О применима лемма 8, то по этой лемме Т2 с Н = QхT (4). Рассмотрим подгруппу

Я =< Т, Т2 > (5). В силу определения Т и т2 имеем: Я < Т . Но в силу (4) Я < Н , и потому Я с (Н П Т = Т ) (6) (ввиду (4) и (2)). Из (5) и (6) следует, что Я = Т и Т2 < Т , т. е. в силу (3) Т2 = Т , вопреки выбору этих подгрупп. Значит, Т -единственная нециклическая подгруппа порядка т группы Т. Так как Т -нециклическая, то в силу Ь -условия Ух е О

Т'Х

! = т, то по

доказанному выше Т¡х = Т , т.е. Т ^ О. Теперь отсюда и из Q < О следует, что Qх Т = Qх Т, т. е. Тх с ф).■

Следствие 2. Если при условиях следствия 1 Т - нециклическая р-группа, то Т изоморфна ^ или Е 2.

Доказательство. При условии следствия 2 в Т не менее двух максимальных подгрупп, причем порядки их одинаковы. В силу следствия 1 все максимальные подгруппы группы Т - циклические, тогда в силу леммы 4 Т изоморфна ^ или Е 2. ■

Следствие 3. Если при условиях следствия 1 подгруппа Т непримарна, то всякая нециклическая силовская подгруппа группы Т инвариантна в О.

Лемма 9. Пусть О - Ь -группа,

1 < Я < 0, 5 < О, я 1, Щ Ф И и Я - 2 -группа. Тогда существует N < О, что Я < N < 5. В частности, группа О -непростая.

Тх < Т

Доказательство. В силу Ь2 -условия

Ух е О Ях с 5 , и потому N =< Ях | х е О >

- инвариантная подгруппа группы О, содержащаяся в 5 и содержащая Я. ■

Следствие 1. Если при условиях леммы 9 ЖБ, то либо Я < О, либо 5 < О .

Для Ь -групп из следствия 1 получаем:

Следствие 2. Если О - Ь -группа, Я -ее неинвариантная нециклическая подгруппа и Я<3<О, то 5 < О .

Известный результат, связанный с автоморфизмами циклических р-групп (см. задачу 18.4 из [2]) можно переформулировать так:

Лемма 10. Пусть 5=ЯхП, Я -циклическая р-группа, В - циклическая р'-группа. Если нижний слой Я группы Я содержится в С(в), то 5 = Я х В (1) и 5 -циклическая группа.

Действительно, при условиях леммы С(в)ф В, а тогда из [2] (задача 18.4) следует, что В < 5 и потому справедливо (1).

Следствие 1. Если 8=ЯхО, Я и В циклические, Я - 2-группа, а В - 2' -группа, то группа 5 - циклическая.

Следствие 2 (см. следствие 1 леммы 8 из [1]). Если 5 = Я хВ, Я - циклическая р-группа, В - циклическая р -группа и Вто подгруппа В не содержится ни в какой истинной нормальной подгруппе группы 5.

Доказательство этого утверждения приведено в [1].

Теорема 4. Пусть О=АхВ (1), где А -циклическая р-группа, В - циклическая р-

группа, В#О (2). Группа О является Ь -группой тогда и только тогда, когда она группа одного из типов: 1. |А| = р2,р Ф 2, В

- q-группа, 2(О) <В; 2. |А| = р,р Ф 2 .

Необходимость. Пусть О - Ь -группа,

удовлетворяющая условиям теоремы 4. В силу (2) и известного результата (см. например, [2], задача В = с(в)

Если А = р - простое число, то ввиду

(2) р Ф 2 и О - группа типа 2 теоремы 4.

Пусть А Ф р (4). Тогда ЗАХ < А такая,

что

= р .

Предположим, что |А| > р3 (5). Тогда ЗА2 < А такая, что |А2| = р2. В силу (1) и

цикличности группы А все подгруппы группы А инвариантны в О. Ввиду (3) подгруппа Н=А\ХВ нециклическая, и потому в силу Ь -

условия Ух е О Нх с (А2 х В) = Б, откуда

Вх с Б и Б < О, в противоречие со следствием 2 леммы 10.

Значит, неравенство (5) невозможно, и потому ввиду (4) |А| = р2 (6). Из (2) и следствия 1 леммы 10 вытекает, что р Ф 2 .

Отметим, что в силу следствия 2 леммы 10 НФО (7), а ввиду (3) А п Z(О) = 1.

Для подгруппы В возможны два случая:

1. В непримарна. Тогда В = 2 х 2 (8), где (2Х|,|Q21) = 1 (9). Если подгруппа Б = А X 2 нециклическая, то в силу Ь -условия Ух е О Бх с Н и потому с Н (10). Если же Б циклическая, то в силу леммы 10 подгруппа Ах 2 = А х 2 , а тогда в силу (1) 2 с Z(о) , и опять справедливо (10). Значит, (10) выполняется для г = 1,2, а

тогда из (8) следует, что Вх с Н и потому Н < О, в противоречие с (7). Значит, случай 1 невозможен.

2. |В| = Чп . Пусть М<В. Рассмотрим

подгруппу Н = А хМ (11) группы Н. Пусть Н нециклическая. Так как Н <Н и выполняется (7), то в силу следствия 2 леммы 9 Н < О . Поэтому Н < (АхМ) = Т , а тогда из следствия 2 леммы 10, примененного к группе Т, вытекает, что М < Т , и потому А с с(м) (12), а тогда в силу (11) Н -циклическая группа, вопреки

предположению. Значит, Н циклическая, т. е. справедливо (12), а тогда из леммы 10 получаем, что Т = А х М, откуда в силу (1) следует, что М с Z(О). Так как А п Z(0) = 1, то М = Z(О), и потому Z(о) <В. Отсюда и из (6) следует, что О -группа типа 1 теоремы 4. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть О - группа типа 1. Тогда любая ее собственная нециклическая подгруппа имеет вид (А1 х в)х , где х е О и Ц = р. Но эти подгруппы имеют в О

простые индексы, и потому в О нет п/-пар. Значит, группа О по определению 2 является Ь -группой.

В группе О типа 2 всякая нециклическая подгруппа С содержит А. Поэтому если (С, О) - п/-пара, то С з А, так как А -инвариантная силовская р-подгруппа группы О и из |С IО следует, что р | |О , то О з А. По следствию 1 леммы 2 С<О, и потому О является Ь -группой. ■

Теорема 5. Пусть О - конечная неабелева группа, все силовские подгруппы которой циклические. Группа О является Ь -

группой тогда и только тогда, когда она -группа одного из следующих типов:

I. 0=АхВ (1), где А и В - циклические

группы, (А, В) = 1 (2) и выполняется одно из условий: 1.1. А = р,р Ф 2; 1.2. Ц = р2 Ф 4 или |А| = р^р2, В - ч-группа и Z (О) <В;

II. О = (РхВ2)х(Р> хВ1),

|Р| = р,(г = 1,2),р, Ф2, В1 и В2, соответственно, циклические р -группа и р4 -группа, (В, п Z(О)) < В, (г = 1,2);

III. О = (Р х Р )хВ,

|Р | = р, (г = 1,2), р Ф 2, В - циклическая 4-

группа и М = С (Р )<в и М ф Z(О).

Необходимость. Пусть группа О удовлетворяет условиям теоремы и является Ь -группой. Как известно (см. например, [4]),

группа О с циклическими силовскими подгруппами представима в виде (1) с условием (2) и циклическими подгруппами А и В. Так как по условию О неабелева, то ВФО

(3).

Если А - примарная группа, то по теореме 4 О - группа одного из типов Г1 или 12. Пусть А непримарна. Обозначим через ^ произведение всех силовских подгрупп группы А, содержащихся в Z(О) = Z . Тогда

А = А0 х Z 0

О = А, х х В) = А х В ,

где | А|, Но |) = 1 и В ФО (иначе В < О, вопреки (3)). По построению группы А0 для каждой силовской р-подгруппы Р из А0

Р ф 2 0,

потому в силу леммы 10

Р п 2 = 1, откуда А0 п 2 =1.

Поэтому не нарушая общности можно считать, что в (1) А п 2 = 1 (4). Введем обозначение: |я*(а) = т .

Пусть р - любая силовская р -подгруппа группы А (г = 1,2, т).

Так как р ф 2 (ввиду (4)), то все подгруппы Н = Р АВ (5) - нециклические. Если Н < В, так как В - холлова подгруппа

разрешимой группы О, то по обобщенной теореме Фраттини для холловых подгрупп О = Н • N (В) = р N (В), и потому

Р) с N (В) при у Ф г, а тогда Р) с (2 п А), вопреки (4). Значит, Н ФО (6). Пусть т > 3 (7). Тогда в А существует различные силовские подгруппы Р , Р и Р . В силу

Ь -условия из нецикличности подгрупп Нг (при любом г) следует, что Ух е О:

НХ с ((Р X Р] ) а В) п

((Р X Рк ) А В) = Р А В = Нг , откуда Н < О, вопреки (6). Значит, (7) неверно и т = 2 (ввиду непримарности А), и потому А = Р X Р (8).

Предположим, что |Р| непростой. Тогда существует подгруппа 5", такая что 1<Я< Р . В силу (4) 5 ф С(В), и потому подгруппа ¥=БаВ - нециклическая. Так как ¥< Н , то из следствия 2 леммы 9, учитывая, что Н ФО, получаем, что ¥ < О. Так как ¥>В, то из следствия леммы 10, примененного к группе Н , получаем, что В < Н , а тогда Н = Р х В, в противоречие с нецикличностью Н .

Значит, |Р | = р . Аналогично получаем, что |Р2| = р2 (рх Ф р2); числа Р (г = 1,2) простые. В силу (4), рг Ф 2.

Пусть 1 < В0 < В . Учитывая, что Р < О , рассмотрим подгруппы 5г = Р А В (10). Если 5 - нециклическая группа, то в силу Ь„-условия Ух е О имеем:

с (Р А В) п ((р X Р) А В о) = р А Во = 5,, т.е. 5 ^ О (11). Нециклические подгруппы группы О, содержащие А, также инвариантны в О, ибо О' с А. Значит, в О все нециклические подгруппы, отличные от (РгАВХ)(г=1,2), инвариантны.

Рассмотрим возможные случаи для

я(в).

1. |^(в) > 2 (12). Отметим, что при

М<В, если обе подгруппы РАМ и Р2АМ циклические, то М с 2(О) (13) (в силу (8) и (1)).

Так как В непримарна, то В=ММ2 (14), где М,<В (/=1,2). Рассмотрим подгруппы Т1=Р,АМ1 и Т2=РгАМ2. Если они обе нециклические, то по доказанному перед пунктом 1 инвариантны в О, а тогда (РгАМ1)(Р,АМ2)=РгА(ММ2)=РгАВ= Н, < О

(мы использовали (14)), в противоречие с (6). Если же обе подгруппы Т1 и Т2 циклические, то Р с С(в) , откуда Р с 2 , вопреки (4).

Значит, одна из подгрупп Т1 или Т2 циклическая, а вторая нециклическая, и, в частности, М ■ с С(Р ) при некотором у.

Если |^(в) > 3 (16), то в В есть 3

максимальные подгруппы М , М , М . Так

как В = МгМ^ при г Ф у, то по доказанному

выше для каждой из этих максимальных подгрупп выполняется (15) при некотором г. Но подгрупп Р две, а подгрупп М - три, и

поэтому для некоторого г в С(Р) будут

содержаться две группы М и М , и, так как

М}Мк = В, то С(Р)з В, а тогда Р с 2 ,

вопреки (4).

Значит, (16) невозможно, и в силу (12) \л(в\ = 2 (17). Тогда В = В х В (18), где

В - р -группа, В - р -группа. Поэтому в циклической группе В в силу (17) существуют

максимальные подгруппы

М,

и

м„

индексов, соответственно, р и р .

и

Как показано выше, одна из подгрупп ¥1=РгхМ1 и ¥2=РгхМ2 - нециклическая. Пусть ¥1 нециклическая. Тогда р1 Ф 2 ив силу доказанного выше М2 с С(Р ) (19).

Рассмотрим подгруппы Я1=Р2хМ1 и Я2=Р2хМ2. Возможны подслучаи.

1.1.1 Я2 - нециклическая группа. Тогда по доказанному выше (для группы Тг) Я1 циклическая, и потому М с С(Р2 ) (20). Из (19) и (20) следует, что подгруппа ¥ = М1 п М содержится в С(Р х Р2 ), а тогда ¥ с 2 (21). Отметим, что

так как индексы подгрупп М1 и М2 в В взаимно просты, то

В/

В/

В/

= p3 p4 (22). Пусть

Ci<Bi и C2<B2. Тогда силу (22)

В/

C1C2

и

F = C х C (23). Из

цикличности В,

В2 с М (23); аналогично из

= РзРа , и в В имеем: = p следует, что

В/

= Ра

следует, что В с М2 (24). Отсюда и из (19) следует, что В с С(Р ) (25), а из (23) и (20) получаем, что В2 с С(Р2) подгрупп

Р х В (мы использовали (25)) и Р1 хВг=2\ в силу (18) и доказанного выше для групп Т. одна нециклическая, т.е. это 21.

Аналогично из подгрупп 2т=РгхВ\ и Р х В2 (использовали (26)) нециклическая -22. Так как В,<В, то по доказанному в начале (см. (11)) < 0(, = 1,2). "

Так как 2 п 2 = 1, то тогда О = (Р хР2)х В хВ2) = 21 х22 = (Р х В2 ) х (Р х В ) . Так как 21 нециклические, то В Ф Z(г = 1,2). Тогда в силу (21) и (28) (В п Z) = С <Вг (/ = 1,2). Отсюда, из (27) и

(9) следует, что О - группа типа II теоремы 5.

1.1.2. Я2 - циклическая группа.

Тогда Р2 с С(М2). Так как справедливо (24) (ибо его доказательство не использует условия 1.1.1), то Р2 с С(В2) (29), и Р2 х В2 - циклическая группа. Тогда Р2хВ1=22 в силу (18) и доказанного о

подгруппах Ti - нециклическая группа и потому Q2 < G (30), а также p2 Ф 2.

Рассмотрим подгруппу Ql=PlЛB2. Возможны два подслучая:

1.1.2.1. Qi - нециклическая группа. Тогда по доказанному выше Q < G.

Отсюда из (30), как и в пункте 1.1.1, получаем, что группа G представима в виде (27) и, как показано в этом пункте, G - группа типа II теоремы 5.

1.1.2.2. Q1 - циклическая группа. Тогда Q = P х В (31) и р с С(В2 ).

Отсюда и из (29) получаем, что A с С(В2), а тогда В с Z .

Теперь отсюда из (31) и того, что P < G, следует, что Q < G и

G = Q1 хQ2 = (р хВ2)х(P2 хВх) = P2 л (P хВ2 хВ1).

Так как здесь последний множитель -циклическая группа и |P | = p , то G - одна из групп типа I.1 теоремы 5. 2. |^(В) = 1.

Тогда В является ^-группой для некоторого q Ф p (i = 1,2). Пусть М<В. Если

М с Z(G), то, так как в силу (8) G=AлB= (P х P ) лВ, ввиду (4) М = Z(g) и G - одна из групп типа III теоремы 5 (при

И = Р1Р2)-

Пусть М ф Z(g) . Тогда, например, P ф с(м) и подгруппа H=P^M -нециклическая. По доказанному перед пунктом 1.1 H < G. Тогда по теореме Фраттини имеем: G = H • N(M ) = P • n(m ) Отсюда следует, что p2 | |N(M), и потому, так как P < G, имеем: P < N(M). Тогда PM = P х М и М с C(P ). Так как В ф C(P ) (ибо иначе P2 с Z, вопреки (4)), то М = С (P ). Из доказанного следует, что G - группа типа III теоремы 5. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть G - группа одного из типов теоремы 5.

1. Группы типов I.1 и I.2 при |A| = p2

являются L -группами по теореме 4. При

\A = Р1Р2 все нециклические подгруппы, не являющиеся максимальными, содержат A, и потому, так как ^^ примарная циклическая,

в G выполняется L -условие.

2. Пусть G - группа типа II и (С, D)

(32) - ее «/-пара. Ее подгруппы Q\=P\XB2 и Q2=PiXB\ являются в силу их описания и теоремы 1 L0 -группами, причем обе они -инвариантные холловы подгруппы группы G. Поэтому если С > Q (при некотором i), то из

|с | |d и разрешимости С следует, что

D > Q , а тогда из леммы 2 следует, что

С < D.

Пусть Q ф С (33) при /=1, 2. Тогда из G = Qi хQ2 и (Qi|,Q1) = 1 (34) следует, что С = С х С2 (35), где С < Q (36). Но в группах Qi, как следует из

описания групп типа II, все собственные подгруппы циклические, и потому из (34)-(36) следует, что С - циклическая группа, а тогда (С, D) не является «/-парой. Значит,

(33) невозможно.

Из доказанного следует, что G - L -группа.

3. Пусть G - группа типа III теоремы 5 и (32) - ее «/-пара. Так как G - нециклическая группа, то из описания группы типа III в теореме 5 следует, что либо С = P2 х Bx (для некоторого x е G), либо С > р (37). В первом случае |G: С| = p - простое число, а

такая подгруппа С не может быть в (32), ибо тогда D=G. Значит, выполняется (37). Так как

|с | |d (по определению «/-пары, то из (37)

следует, что D > р (38). По определению группы типа III G=P:XT (39), где T=P2^B (40) и для подгруппы M = Св (P2) выполняется: M = Z (T) <Б (41). Из (40), (41) и теоремы 1 следует, что Т является L0 -группой. В силу

(39), G/- - Т v, пптпл™ G/

/р^ = T , и потому G - L -группа. В

группы G , и по определению L -группы / Pi

С/

^р < °р , откуда следует, что С < О.

Значит, О является Ь -группой. ■ Теорема 6. Всякая Ь -группа разрешима.

Доказательство. По определению Ь -группы группа О конечна. Докажем сначала непростоту группы О при |О| Ф р . Если она

примарна, то это утверждение верно.

Пусть О непримарна. Если все силовские подгруппы группы О циклические, то, как известно (см., например, [4], теорема 9.4.3), группа О непростая.

Пусть в О существует нециклическая силовская подгруппа. Если хотя бы одна из нециклических подгрупп группы О не является максимальной, то в силу следствия 2 леммы 9 группа О не простая.

Пусть теперь каждая нециклическая подгруппа группы О является максимальной. Тогда, в силу сделанного выше предположения, в О существует силовская р-подгруппа Р, такая, что Р<О, причем все истинные подгруппы группы Р -циклические. В силу леммы 4 либо Р = , либо является группой типа р х р, и по доказанному в утверждении 2 из [1] группа О - непростая.

Итак, во всех возможных случаях (они рассмотрены выше) при |О| Ф р группа О -

непростая.

Дальнейшее доказательство

разрешимости О проведем индукцией по порядку т группы О.

При т=2 группа О разрешима. Пусть все Ь -группы, порядки которых меньше т,

разрешимы. По доказанному выше, существует N < О, где 1 < N < О. Группы N

G/

'N

являются, как отмечено в начале

силу (37) и (38), ^р и

d/

xp

подгруппа

работы, Ь -группами. Так как их порядки меньше т, то по предположению индукции они разрешимы, а тогда и О разрешима. ■

Лемма 11. Пусть О - Ь -группа, Р - ее нециклическая холлова к -подгруппа. Если РФ О, то Р = N(Р).

и

Справедливость этого утверждения вытекает из леммы 6 из [1], примененной к свойству S "быть нециклической группой".

Лемма 12. L -группа G, все силовские подгруппы которой циклические, тогда и только тогда является L -группой, когда она либо циклическая, либо G=A\B (1), где AI = p (2), p Ф 2 (3), В - циклическая q-группа, q Ф p и Z (g) < B (4).

Необходимость. Пусть G - L -группа с циклическими силовскими r-подгруппами по всем простым r, являющаяся и L0 -группой.

Если G абелева, то в силу условия леммы она циклическая.

Пусть G неабелева. Тогда она имеет вид (1). Из теоремы 1 следует, что |^(G) = 2.

Поэтому G не может быть группой типов II и III теоремы 5. Она не может быть и группой типа I.2 этой теоремы, ибо в перечне L0 -

групп в теореме 1 инвариантный множитель не может быть циклической группой порядка

p2 или PjP2 . Значит, G - группа типа I.1 теоремы 5, и потому выполняются (1)-(3). В силу теоремы 1, тогда G - либо группа типа 3.2 этой теоремы, либо неабелева группа порядка pq, и потому B - циклическая q-группа с условием (4) - возможно и Z (G) = 1.

Достаточность. Все типы групп, перечисленных в лемме 12, в силу теоремы 1 являются L -группами, и в силу теоремы 5 -

L -группами, а все их силовские подгруппы -циклические. ■

Лемма 13. Пусть G - L -группа, P - ее неинвариантная силовская p-подгруппа порядка p , отличная от циклической группы и Q. Тогда Qj (p) - инвариантная в G группа, изоморфная E 2.

Доказательство. Из условий леммы и следствия 4 теоремы 2 вытекает, что P является либо группой типа p2 х p , либо изоморфна M 3 (p Ф 2). Поэтому

Q(P) = Ep2 . Так как |P| = p3, то Q(P) <P.

Отсюда, ввиду P-&G, в силу следствия 2 леммы 9 получаем, что Q(p) < G .■

Теорема 7. Всякая L -группа G имеет инвариантную силовскую подгруппу.

Доказательство. По определению L -

группы группа G конечна. Будем доказывать теорему индукцией по порядку m группы G. При m=2 утверждение верно. Пусть теорема верна для всех групп, порядок которых меньше m. Докажем ее справедливость для L -группы G порядка m.

Если G нильпотентна, то утверждение теоремы верно. Пусть G ненильпотентна. Если все ее силовские подгруппы циклические (по всем простым числам), то, как известно (см., напр., [4]), утверждение теоремы для G верно.

Пусть в G существует нециклическая силовская подгруппа.

В силу теоремы 6, G разрешима. Поэтому она имеет элементарную абелеву р-подгруппу А, такую, что A < G (1). Любая силовская р-подгруппа P группы G содержит A. Если P < G, то утверждение теоремы верно.

Пусть P-&G (2). Тогда A<P (3). Так как А является L -группой экспоненты р, то по

теореме 2 |A| | р3. Если |A| = р3, то из

теоремы 2 следует, что A=P, вопреки (3).

Значит, |a| | р2 (4).

Дальнейшее рассмотрение разобьем на два случая:

I. В G существует нециклическая силовская q-подгруппа Q при q Ф р.

Рассмотрим подгруппу H = A \Q (5). В силу (3), H Ф G (6). Так как H - конечная группа, то существует подгруппа S, такая, что Q< S < H (7). Отсюда и из (6) следует, что S Ф G, а ввиду (5) S=Ai\Q (8), где A < A. Если Q < G, то утверждение теоремы для G выполняется. Пусть Q-&G (9). Тогда из Q<S и следствия 2 леммы 9 получаем, что S < G. Отсюда и из (8) по теореме Фраттини получаем, что G = S • N(Q) = A1 • N(Q) . Из (9) и леммы 11 следует, что N(Q) = Q, и

потому G=Ai\Q. Тогда Ai - силовская р-подгруппа группы G, в противоречие с тем, что A1 < A < P . Значит, (9) невозможно и

Q < G.

В случае I утверждение теоремы для группы G доказано.

II. Все силовские г-подгруппы группы О при г Ф р - циклические.

Тогда в силу предположения, сделанного вначале, группа Р -нециклическая, а тогда, как видно из следствия 4 теоремы 2, либо |Р| = р2 (10),

либо \Р = р3 (11).

В силу (4), |А| - либо р2, либо р.

Рассмотрим каждую из этих возможностей для |А .

п.1. А=р2.

Тогда в силу (3) и сказанного вначале пункта 2 о Р , справедливо (11). Из (2)

Р/

следует, что (11) и условия П.1

О (

/ А

Р/

/а

(12). Так как ввиду

: р и выполняется

условие II, то все силовские подгруппы

группы

О

ХА

- циклические. Но А -

нециклическая группа, и потому по лемме 1 является Ь -группой, причем ввиду (12) - нециклической. Из сказанного и леммы 12, учитывая (12), получаем, что 0/д = х

(13) - неабелева группа, где ^^ = ч (14), а тогда О = рЗч (15). Из (13) и (14) следует,

что Я = (А х 2) < О (16) и Ю = ч (17). Из (16) по теореме Фраттини имеем:

о = т(д)=а • N2) (18). Если А с N2)

(19), то из (18) следует, что N(2) = О, т. е. 2 < О и теорема верна.

Пусть А ф N(2) (20). Так, А -нециклическая группа порядка р2; если бы число р2 делило n(2), в силу Ь -условия должно выполняться (19), в противоречие с

(20). Значит, n(2) не делится на р2, а тогда

из (15) и (17) следует, что = рч. Так как рЧ | |я , то если N(2) нециклическая группа, то в силу Ь -условия N(0) < Я, а тогда ввиду (1 8) О=Я, что невозможно, ибо |Я| < |0 . Если же N(2) - циклическая

группа, то ввиду (18), 0/д - циклическая

группа, что противоречит отмеченной выше неабелевости этой группы. Значит, (20) невозможно, а тогда, как было показано, 2 < О.

Итак, в случае П.1 теорема доказана.

П.2. \А = р .

Как показано в начале пункта II, для Р выполняется одно из равенств: (10) или (11). П.2.1. |Р| = р3.

Так как выполняется (2), то по лемме 13 либо ^ (Р) - группа типа р х р,

инвариантная в О, либо Р = 2 (21). В первом случае в качестве А можно взять (р) , и по доказанному в пункте П.1 для группы О теорема верна.

Пусть выполняется

А = 2

и так как А < О, то А с Z(о) (22). По предположению индукции фактор-группа , являющаяся Ь -группой порядка, меньшего т, имеет инвариантную силовскую Ч-подгруппу , и потому Я < О (23).

В силу (2), Я Ф Р, т. е. ч Ф 2 (24). Тогда Я=Ах2= А х 2 (25) - ввиду (22), где 2 - силовская ч-подгруппа группы О. Теперь из (23)-(25) следует, что 2 < О, и теорема 4 в случае (21) для группы О верна.

П.2.2. |р = р2 .

Если в О существует инвариантная ч-подгруппа V при ч Ф р, то, так как по условию пункта II V - циклическая группа, ее нижний слой инвариантен в О, и его можно взять в качестве А, а тогда, так как Р -нециклическая силовская р-подгруппа, получаем ситуацию, рассмотренную в пункте I (только числа р и ч меняются местами). По доказанному там для О теорема верна.

Пусть в О нет инвариантных ч-подгрупп для любых простых ч, отличных от

р. В силу условия II и того, что

Р/

А

= р

(ввиду (П.2.2 и П.2), в все силовские

подгруппы - циклические. Тогда, как

известно (см. напр. [4])

О/ = Б/ /А - /А

х

Я

(26),

где

R

/А

S/

'А

i = 1 (27) и подгруппы и

- циклические. Если p | S^

то

/А А Р < G, вопреки (2). Значит, p не делит

Р/

а тогда

Р/а < %, откуда

'А

что 5 с N(F), а тогда в силу (30), О = N(F)

и ¥ < О, что, как уже показано выше, приводит к противоречию.

Поэтому в случае 11.2.2 в О существует инвариантная ^-подгруппа, и потому, как показано в начале пункта 11.2.2, теорема в этом случае для О верна. ■

Завершающая часть настоящей работы будет напечатана в следующем выпуске 3(38) журнала за 2017 год.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д. Конечные группы с некоторыми условиями инцидентности, связанными с теоремой Лагранжа // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2016. Вып. 3(34). С.5-20.

2. Белоногое В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 300 с.

3. Горчаков Ю.М. Теория групп. Тверь, 2002. 115 с.

4. Холл М. Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 468 с.

Далее, S=AxF (29), где F - циклическая p'-

группа. Отсюда и из (27) следует, что F -холлова ж -подгруппа группы G (где

Ж = 7T(f) ).

Если S - циклическая группа, то, так как в силу (26) S < G, из (29) следует, что S = А х F , откуда F < G, и потому (ввиду цикличности F) в G есть инвариантная q-подгруппа, вопреки нашему предположению. Значит, S - нециклическая группа. Так как G разрешима, то ее холловы ж -подгруппы сопряжены, и потому к ней применима обобщенная теорема Фраттини: из S < G и F с S следует, что G = S • N(F)= )

(30). Отсюда, так как p2 | |G|, следует, что p | |N(F) . Но тогда |S = p • IF делит |N(F). Отсюда и из I -условия получаем,

Finite groups with one incidence condition connected with the inversion of Lagrange's theorem. Part 1

Ya. D. Polovitsky

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru; 8(342)236-82-83

One class of finite groups in which for noncyclic subgroups one of the inversions of Lagrange's theorem holds true (¿„-groups) is described in this paper. In the part 1, nilpotent L„-groups are described and several properties of non-nilpotent ¿„-groups are established.

Keywords: group; noncyclic subgroup; Lagrange's theorem.