КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ОДНИМ УСЛОВИЕМ ИНЦИДЕНТНОСТИ, СВЯЗАННЫМ С ОБРАЩЕНИЕМ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА. ЧАСТЬ 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

2017

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 3(38)

МАТЕМАТИКА

УДК 512.54

Конечные группы с одним условием инцидентности, связанным с обращением теоремы Лагранжа. Часть 2

Я. Д. Половицкий

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; 8 (342) 236-82-83

В настоящей работе завершается описание £„-групп, начатое автором в работе [5].

Ключевые слова: группа; теорема Лагранжа; нециклическая подгруппа.

DOI: 10.17072/1993-0550-2017-3-13-26

Лемма 14. Пусть О - ¿„-группа, О=ЛаБ (1), где Б - нециклическая группа и в А существует собственная подгруппа А такая, что А < О (2). Если Н - нециклическая подгруппа группы В, Н < В, то Н < В и £ = (А АН) < О.

Доказательство. Так как |Н| 1|£|, то в

силу Ьп -условия Ух е О Нх ^ £, откуда ввиду (2) и определения следует, что £ < О. Тогда (£ п В) = Н < В.

Следствие 1. Если при условиях леммы 14 А = А х А (3), где А < О 0=1,2), то

О = А х В (4).

Доказательство. Применим лемму 14 для Н = В и обеих подгрупп А . В силу этой

леммы (А А В) < О (/—1,2). Отсюда, учитывая (3), получаем:

(А а В) п (А а В) = В < О, а тогда из (1) вытекает (4). ■

Следствие 2. Если О - Ь -группа,

О=ЛАБ (5), (А, В) = 1 (6), Л - элементарная

© Половицкий Я. Д., 2017

абелева ^-группа, Б - нециклическая группа и БФО (7), то в А нет собственных Б-допустимых подгрупп.

Доказательство. Пусть в А существует собственная Б-допустимая подгруппа А . Тогда отсюда и из (5) и (6) следует, что по теореме Машке А = А х А, где А также Б-допустима. Поэтому из абелевости А получаем, что А < О (/=1,2), а тогда в силу следствия 1 леммы 14 справедливо (4) и потому В < О , в противоречие с (7). ■

Следствие 3. Если О - Ь -группа,

О=ЛАБ, где В - нециклическая группа и в А существует собственная В-допустимая подгруппа А , инвариантная в А, то (А А В) < О (8)

Действительно, при условиях этого следствия А , очевидно, инвариантна в О, и к О применима лемма 14 при Н = В, т. е. справедливо (8).

Лемма 15. Пусть О=дАГ (1),

(, ) = 1 (2) и О является Ь -группой. Если в Q есть собственные Т-допустимые подгруппы Q1 и такие, что |Q1| Ф |£2| (3),

21 I |б2| (4) и Н = 2 хТ (5) - нециклическая

группа. Тогда 2: < <2 (6).

Доказательство. Рассмотрим подгруппу S=Q2хT (7). Тогда из условий (3) и (4) следует, что |Н| 1, причем |Н| Ф . Так как подгруппа Н нециклическая, то в силу Ь -

условия H<S. Тогда из (2), (4) и (7) вытекает справедливость (6).и

Следствие. Если О = 2 хТ (8) - Ь -

группа, <, |Г|) = 1, < = 2 х <2 (9), где 2 < О , 1=1,2, <11 I <2 и 21 Ф <2 , то О = 2 х (2 хТ) и подгруппы Т и H=Q1 хТ (10) циклические.

Доказательство. Предположим, что подгруппа Н нециклическая. Тогда в силу леммы 15 2 < 2, что ввиду (9) невозможно. Значит, Н - циклическая (а тогда ввиду (10) и Т циклическая). Поэтому 2 < С(Г), а тогда из (8) и (9) имеем: О = (2 х02)Г = 2 х (2 х Г).

Лемма 16. Если Ь -группа О предста-вима в виде О=QхT (1), 2 = Е3, |Г|, то

для любой Г такой, что 1 < Гх < Г , в Q нет собственных г -допустимых подгрупп и Т^О (2).

Доказательство. Пусть в Q есть собственная ^-допустимая подгруппа Q1. Тогда по теореме Машке 2 = 2 х 2 , где Q2 также Т1-допустима. Так как |2| = Ч3, то одна из подгрупп Qi (/—1,2) имеет порядок Так как такая подгруппа нециклическая, то в силу лем-

2

мы 7 нециклическая подгруппа порядка 4 в группе О единственна, а в элементарной абе-левой группе Q порядка 43 таких подгрупп не менее трех. Значит, такой подгруппы 2 нет. Отсюда и из (1), в частности, следует, справедливость (2).и

Лемма 17. Пусть группа О представима

в виде О=QхT (1), где (|2|, |Г|) = 1 (2), ТФО (3), Т - циклическая группа, Q - группа порядка 44 или типа 42 х 4 . Такая группа О является Ь -группой тогда и только тогда,

2о = (2) = Ф(2) = Е г (4); 3. Если Q абе-

Ч

лева, неабелева порядка 4 4 при 4 Ф 2 или неабелева порядка 16 с условием Q0<С(Т) (5), то Q0 - единственная собственная Т-допустимая подгруппа группы Q. 4. Если

2 с С(Г), то О =< а > х < Ь > , а4 = Ь4 = 1,

Ь хаЬ = а 1 и все истинные Т-допустимые подгруппы группы Q - это отличные от 1-й подгруппы группы Q0.

Необходимость. Пусть группа О удовлетворяет условиям леммы 17 и является Ь„-группой. Тогда Q - также ¿„-группа, и если

К = Ч4, то в силу теоремы 2 20 = Ф(2) = Е 2. Подгруппа 2 группы типа Ч2 х ч также изоморфна Е 2 . Из того, что 2 - характеристическая подгруппа группы Q, следует, что 2 ^ О, и потому 2 Т-допустима. Так как она нециклическая, то в силу леммы 7 Q0 - единственная Т-допустимая подгруппа порядка 42 группы Q. Ввиду того, что группа 2 нециклическая, по

лемме 1

2о

является ¿0-группой. Рассмот-

рим подгруппу H=Q0хT (6). В силу (1)

%=% хН2о (7).

Возможны два случая.

1. Н < О. Тогда

2о

- абелева Ь0 О,

когда она удовлетворяет следующим услови-

1. Г = Р; 2. Если 21 = Ч4,

ям:

то

группа, непримарная. Если 2| = Ч4, то

. 2о

делится на Ч 2 и О - нециклическая, ибо 20

- нециклическая, а таких ¿0-групп в

силу теоремы 1 нет. Значит, в случае 1

21 = Ч3 (8).

В силу (6), (2) и условия 1 по теореме Фраттини имеем: О = Н • N (Г) = (Г)

(11). Ввиду (3) и (11) 2 £ N(1) (12). Теперь из (11) получаем: 2 = 2021 (13), где 2 = N (Г) 2, причем 2 Ф 1. Если 21 = Ч , то 2 с 2 (в силу(4)), что невозможно ввиду (13), ибо 2 Ф 2 . Учитывая (8),

получаем, что Q1| = q2 . Из Q < О и (14) следует, что Q1 < N(Т), а тогда И(Т) = Т х Q , и потому подгруппа Q - вторая Т-допустимая подгруппа порядка q2 группы Q, ибо ^ Ф Q , в противоречие с доказанной

выше единственностью такой подгруппы. Значит, случай 1 невозможен.

2. НФО. Тогда непримарная ¿0-группа

О вида (7) неабелева, и в силу теоремы 1

/ Q0

Т = - ^-группа.

Пусть выполняется (5). Если в Q есть Т-допустимая подгруппа Q1 порядка д, то ^ с ^ и по теореме Машке ^ = ^ х ^ ,

где Q также Т-допустима. В силу (5) хотя бы одна из подгрупп S/=Q/АT, /=1,2 нециклическая. Пусть нециклическая. Тогда в силу ¿„-условия Ух е О £* с Н , откуда ввиду (6)

Тх с Н и Н < О вопреки условию 2. Значит, при условии (5) в Q нет Т-допустимых подгрупп порядка д.

Отметим, что если Q абелева или неабе-

4 , о

лева порядка q при q Ф 2, то выполняется (5), ибо в противном случае из известных результатов (см. например, [2], задача 18.5 для абелевых и теорему 4.36 из [6] для неабеле-вых групп) следовало бы, что Т < О , вопреки условию леммы. Поэтому для таких Q справедливо доказанное выше в пункте 2.

Далее рассмотрим отдельно группы Q

3 4

порядков q и q .

21. К = q3. Пусть Ы<Т и М Ф 1 (16). Тогда из (7) и описания группы типа 3.2 в

^ х = ^ (17)

теореме 1 имеем:

циклическая группа и

Qo /й

MQo/ /Уо

= Р .

2.2. \(Q = q4. Тогда как отмечено в на-

Q/

чале доказательства

группа типа

q х q и потому по теореме 1

/4

= Р , то

есть |Т| = р (ввиду (6)).

Итак, и в случае 2.1, и в случае 2.2 выполняется условие 1 леммы 17. Отсюда и из

(1) следует, что О, - группа типа 3.1 тео-

/ Q0

ремы 1 и по теореме 1 в

нет собствен-

ных -допустимых подгрупп. Если бы в

Q была собственная Т-допустимая подгруппа Qз порядка q3, то Qз<Q и потому Q3 з Ф(Q) = Q0 (последнее равенство отмечено в начале доказательства). Тогда Qз

является

Н

-допустимой, в противоречие

/ Qo

со сказанным выше. Значит, таких подгрупп Q3 в Q нет.

Из доказанного здесь и в начале пункта 2 следует, что для Q справедливо утверждение 3 леммы 17 о Т-допустимых подгруппах.

Пусть ^ с С(Т). Тогда (5) не выполняется, и потому, как показано в начале пункта 2, Q - неабелева группа порядка 16.

Рассмотрим C(Q0 ) = Q1 АТ, где

Qo < Q1 < Q . Если Q1 = Qo , то C(Qo ) = Н (см. (6)); но С(^ ) < О, а, как показано в пункте 1,

НФО. Значит, ^ > ^. Так

как

ql т-

Тогда F=QАM. Если М^Е, то Е удовлетворяет условию леммы 17; но в силу (17) Hl=QoАM < Е, а по доказанному в пункте 1 это невозможно. Значит, М < ¥, а тогда М с С О, и ^ х М) - непримарная ниль-потентная ¿„-группа, а таких групп (в силу определения Q в лемме 17) по теореме 3 нет. Значит, (16) невозможно, и потому

Т=р.

допустима, то из доказанного в пункте 2.2 следует, что ^ Ф 23, и потому ^ = Q, то есть С(^ ) = О, а тогда ^ = 2(Q) (ибо в Q в силу доказанного не может быть характеристических подгрупп порядка 23 ). Отсюда, как показано вначале, следует, что 2О = ФО.

Так как : 2(Q) = 4, то Q - группа Миллера-Морено (см. [2], задача 17.28), а тогда, учитывая, что ^ | = 4, из результатов Редеи (см.

например, [2], задача 17.29) получаем, что Q имеет вид, указанный в условии 4 леммы 17.

Мы показали, что группа О удовлетворяет заключению леммы 17. Необходимость доказана.

о

о

Достаточность. Пусть группа О имеет строение, описанное в лемме 17, и (А, В) (18)

- ее произвольная „/-пара. Так как

%

= Р

(19), то в силу замечания, сделанного после определения 2, А Ф 2 (20). Так как А<О, то отсюда и из (19) следует, что

21 =(А П 2)< 2.

Для А возможны два случая.

I. А - непримарная группа.

Тогда, так как в силу условия 1 леммы

17 Г = р, то А з Гх для некоторого х е О.

Но в силу (1) О=QхTc, и потому A=Q1хTx (21), где (22). Значит, подгруппа Q1

является Т-допустимой. Так как порядки Т-допустимых и ¿"-допустимых подгрупп группы Q, очевидно, одинаковы, то в силу условия

4 леммы 17 2 Ф Ч3, и потому |2| | Ч2 . Учитывая (22), для Q1 следует рассмотреть два случая.

1.1 2=ч 2

Из условий 3 и 4 леммы 17 следует, что 2 = 2 , т. е. А > 2 . Так как |А| | |В , то В непримарна, и потому В=Q2хTy (23) (для у е О) и ч 2| 2г|. Но В Ф О и потому

Q2<Q■ В силу условия 1.1 и условий леммы 17 из Т^-допустимости группы Q2 получаем, что Q2=Q0 (24). Но тогда в силу (23), (21) и условия 1.2 |В| = |А|, что невозможно в „/-парах. Значит, случай 1.1 невозможен.

I.2. |а|=Ч

Тогда в силу условий 3 и 4 леммы 17 2 с С(Г), О - группа порядка 16, указанная в условии 4 и потому Z(2) = 2о (25). Но 2 = ^ (2) (26), и потому в силу условия 1.2 2 с 2. Отсюда и из (21) и (25) имеем:

А = 2 х Гх, а тогда А - циклическая группа, вопреки определению „/-пары. Значит, случай 1.2 невозможен, и потому невозможен и случай I.

II. А - примарная группа.

Тогда из (1) и того, что |Г| = р и подгруппа А нециклическая, следует, что А - д-группа, т. е., учитывая (20), A<Q и |А| > 42 .

Возможны два подслучая. П.1. А^

Тогда либо B=Q (и тогда А<В), либо В имеет вид (23), где |22| = Ц (27) и поэтому в силу П.1 Q2<Q■ Как показано в пункте Ы (см. (24)) Q2=Q0, и в силу (27) |А| = 42. Теперь из

условия П.1 получаем, что |2| = Ч3, т. е. в силу условий леммы 17 Q - группа типа 42 х Ч . Но в такой группе единственной максимальной нециклической подгруппой является Q0, и потому в силу условия II. 1 A=Q0, а тогда в силу (24) и (23) получаем: А<В.

П.2. А не является максимальной подгруппой группы Q.

Тогда в силу (26) |2| = Ч4 (29), а

|А| = Ч2 (30). Группа Q ввиду условия 2 леммы 17 является группой типа 3 теоремы 2, и потому по этой теореме Q - Ь -группа. Если

В < 2, то по определению Ь -группы выполняется А<В.

Пусть В £ 2. Тогда В имеет вид (23),

где ввиду (30) и |А| | |В 42 112|, а тогда, как показано в пункте 11, выполняется (24). Так как А - нециклическая группа порядка Ч 2 , то ввиду замечания 2 к теореме 2 А = 2 , и в силу (24) и (23) имеем: А<В.

Из доказанного в пунктах I и II следует, что О является Ь -группой. ■

Лемма 18. Пусть О=QхT (1) - Ь -группа, Q - нильпотентная группа, (2|, |Г|) = 1 (2), ТФО (3) и подгруппа Т - нециклическая. Тогда 2 = Е „, где п < 3 (4), и

Ч

в Q нет собственных Т-допустимых подгрупп.

Доказательство. Пусть в Q существует собственная Т-допустимая подгруппа Q1. Рассмотрим подгруппу S=Q1хT (5). Так как Т -нециклическая группа, то в силу Ь -условия

Ух е О имеем: Гх с $ 6), и потому подгруппа Н =< Гх | х е О X О ив силу (6) Н < $ (7). Из условия (3) следует, что Н > Г , а тогда из (7) и (5) имеем: H=Q2хT

(8), где 22 Ф1

и

22 < 21 < 2, т. е.

1 < 2 < 2 (9). Из (8), (2) и того, что Н < О, следует, что по теореме Фраттини О = Н • N(7) = 2 • N(7) (10). Но в силу (1) и (2) Т - холлова подгруппа группы О, а тогда

из (3), того, что Т - нециклическая группа и леммы 11 вытекает, что N(Т) = Т . Поэтому из (10) имеем: О=Q2T=Q2АT, откуда Q2=Q, в противоречие с (9).

Значит, в Q нет собственных Т-допустимых подгрупп, а потому в силу (1) нет и собственных характеристических подгрупп. Так как Q нильпотентна, то тогда, как известно, Q = Е „. Так как Q - Ь -группа, то в силу

Я

теоремы 2 выполняется (4). ■

Следствие 1. Если при условиях леммы

18 К = q3, то Т - группа одного из типов 2,

3.2 или 4 теоремы 1.

Доказательство. Пусть группа О удовлетворяет условию следствия 1 и в Т существует собственная нециклическая подгруппа Т2. Тогда по следствию 1 леммы 8 Т < О и потому QT = Q х Т . Теперь из следствия леммы 7 вытекает, что в Q - единственная подгруппа порядка q2, что невозможно, ибо по лемме 18 Q = Е 3 . Значит, все собственные подгруппы группы Т-циклические. Отсюда из того, что Т = ^^ по лемме 1 является

Ь -группой, и теоремы 1 следует, что Т -

группа одного из типов 2, 3.2, или 4 этой теоремы (мы учитываем, что Т - нециклическая группа по условию леммы 18). ■

Следствие 2. Пусть О=Q8АT (11) - Ь -

группа, 2\ |Т| (12) и в Т нет инвариантных в О силовских подгрупп. Тогда Т - циклическая 3-группа и (Т п 2 (О)) <Т (13).

Доказательство. Из (11) и леммы 18 следует, что Т - циклическая группа. Известно (см., напр., [3]), что AutQ% = £4 . Поэтому

фактор-группа ^^^ ) изоморфна некоторой

подгруппе Н группы 54. Отметим, что £4 = 4!= 24 .

Но

О

С(а )>Т •С ^ ^ )п т

С(Q8 )п

)п Т

= 3 (14), ибо в силу (3)

потому из (11) следует, что С(&)пТ = 2(О)пТ (15). Отсюда и из (14)

следует справедливость (13). Если Т не является 3-группой, то в силу (14) и (15) в (2 (О)п Т) содержится силовская г-

подгруппа Я группы Т (г Ф 3). Тогда Я < О, что противоречит условию следствия 2. Значит, Т - 3-группа.

Лемма 19. Пусть О=QАT (1), где ТФО

(2), (^, |Т|) = 1 (3), а Q - неабелева группа порядка q3, не изоморфная Q8. Группа О является Ь -группой тогда и только тогда, когда Т - циклическая группа, для любой отличной от 1-й подгруппы Т группы Т подгруппа 20 = 2 О является единственной собственной Т1 -допустимой подгруппой группы Q, ехр Q = q (4), q Ф 2. При ^ Ф 2 , такой,

что 1 < ^ < Q выполняется (С(^1) п Т) = 1 (5). Если 20 Ф 2(О) (6), то Т - ^-группа, р | ^ -1) и (т п С(2о)) <Т (7).

Необходимость. Пусть группа О удовлетворяет условиям леммы 19 и является Ь -группой. Если подгруппа Т нециклическая, то по лемме 18 Q - элементарная абелева группа, в противоречие с условием леммы 19. Значит, Т - циклическая группа.

Если в Q все истинные подгруппы циклические, то из леммы 4 следует, что Q = ^,

в противоречие с условием леммы 19. Значит, в Q есть нециклическая максимальная подгруппа 5 порядка q2.

Пусть 5 является Т -допустимой, где

1 < Т < Т . Тогда в силу леммы 7, 5 - единст-

2

венная нециклическая подгруппа порядка q группы Q и в Q нет Т -допустимых подгрупп порядка q2, отличных от 5.

Так как по условиям леммы 19 К = q3 и Q неабелева, то 20 = q (8).

Отметим,

что

£ з 2П

последняя группа изоморфна 2' -подгруппе (в силу (12)) группы Н. Так как Н | 24, то

(иначе

Т ф С(<28). Но Т - циклическая группа, и

Q = £ х 2 абелева группа, в противоречие с условием леммы). Тогда £

Ту

2п

является

-допустимой подгруппой элементар-

а

0

Q/

ной абелевой q-группы , и по теореме

/ Z (Л

Q/-S/

F/

F/

TZ

11Z0/

Машке 7 = S/7 хF , где

/Z0 / Z0 /Z0 / Z0 / Z0

допустима; поэтому F - вторая T1 -допустимая

2

подгруппа порядка q группы Q, в противоречие с доказанной выше единственностью такой подгруппы.

Значит, в Q нет T1 -допустимых подгрупп порядка q2. Подгруппа Z0 T1 -допустима при любой T — T ■ Если в Q есть отличная от Z T1 -допустимая подгруппа

R порядка q , то (Z0 х R T1-допустимая под-

2

группа порядка q , а таких по доказанному выше в Q нет.

Значит, Z - единственная собственная T1 -допустимая подгруппа группы Q. Рассмотрим подгруппу Qj (Q). Так как она - характеристическая подгруппа группы Q, то она Т-допустима. Если Q (Q) < Q, то по доказанному выше Z0 =Q(Q) , и, потому, так как |Z0| = q, Z0 - единственная подгруппа порядка

q группы Q0. Такая группа Q порядка q3 является, как известно, (см., напр., [2], задача 17.36) циклической или изоморфна Q8, в противоречие с условием леммы. Значит, Q(Q) = Q . Тогда либо справедливо (4), либо Q = D . Но в последнем случае в Q ровно

одна циклическая подгруппа порядка 2 , а она характеристическая в Q, в противоречие с доказанным выше. Поэтому справедливо (4) из формулировки леммы 19. Так как Q неабелева, то q Ф 2.

Пусть Q1 - собственная подгруппа группы Q, отличная от Z0. Если C(Q1 T = T0 Ф 1, то группа Q1 Tq-

допустима, а это по доказанному выше невозможно. Значит, справедливо равенство (5) из формулировки леммы 19. Пусть Z

ф Z (g) (9). Тогда существует T — T , что H1=Z0\T1 - нециклическая группа. Предположим, что T Ф T (10).

Тогда найдется T2 такая, что T1<T2<T (11). Рассмотрим подгруппу H2=Z0\T2. Она также нециклическая, так как содержит H1. Так как выполняется (11), то H1<H2<G. Отсюда и из

того, что H1 нециклическая, в силу следствия 2 леммы 9 вытекает, что одна из подгрупп H1 или H2 инвариантна в О. Обозначим ее через Hi■ Из Нг < О и Hi=Z0\Ti (12) по теореме Фраттини следует, что

О = Нг • N (Г) = ^ • N (Г) (13). Из (12) и нецикличности Hi следует, что ^ £ N (Г ). (14) и (13) в силу (8) принимает вид О=ZoX Ч(Т,) (15). Так как |О| = Ч • ^, где ц) = 1, то из

(15) следует, что N (Г 2 = 2, где |2| = Ч2 . Так как 2 < О, то 2 < N(1, ), в противоречие с (14). Значит, (10) привело к противоречию, и потому Г = Г . Отсюда следует, что для любой М<Т подгруппа ZoX М= Z0 хМ, т. е. М с С^0). Если Т не-примарна, то она порождается своими максимальными подгруппами, а тогда из (16) следует, что Z0 с С(Г), и потому Z0 с Z(О),

вопреки условию (9). Значит, Т - р-группа и из

(16) следует (7) из формулировки леммы 19. Из

(7) и (8), ввиду того, что Z0 < О и ^

делит = Ч - 1, следует, что р | (ч -1).

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть группа О, удовлетворяющая условиям леммы 19, имеет описанное в этой лемме строение. Тогда в силу (1) и (2) она ненильпотентна. Покажем, что она является Ьп -группой. Пусть (А, В) - ее произвольная „/-пара. Если А > 2 (17), то, так как ^^ - циклическая группа, то она является ¿0-группой; так как Q - нециклическая силовская подгруппа, то по следствию 2 леммы 2 для пары (17) выполняется А1<В.

Пусть 2 £ А (18). Рассмотрим два возможных случая.

1. А - непримарна. Если ^ с Z(О), то из строения О следует, что A>Q, вопреки (18). Пусть ^ £ Z(О). В силу (18) и описания О в лемме 19, тогда A=Z0\TC для некоторого х е О. В этом случае |А| = чt. Но в О в силу

2 >

ее описания нет подгрупп порядков Ч •', а потому такие подгруппы А не могут быть первыми в „/-парах (17). Случай 1 при условии (18) невозможен.

2. Л примарна. Так как А нециклическая

и выполняется (18), то |А| = q2 . Если В > Q,

то А < В. Если же Q ф В, то, так как

А | |В|, имеем: |В| = q2t, а подгрупп такого

порядка в силу заключения леммы 19 в О нет. Итак, в случае 2 при условии (18) для пары (17) Л<Б.

Из доказанного следует, что О - ¿„-группа. ■

Лемма 20. Пусть О=QAT (1), где Q = Е , Т*О(2), д |Т| (3) и \Т\ не простой.

Такая группа О является ¿„-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов (ниже всюду р, д, г - различные простые числа).

1. Т=РАЯ, где Р = Ер 2, Я = г,

К Р] = 1 и в О нет инвариантных подгрупп простых порядков;

2. Т - группа, все истинные подгруппы которой циклические и для любой подгруппы

Т < Т (4) такой, что Т Ф С(0) (5) и \Т | не

простой, в Q нет собственных Т1 -допустимых подгрупп. Если хотя бы для одной подгруппы Т1 простого порядка г с условиями (4) и (5) в Q есть собственная Т1 -допустимая подгруппа, то Q = СЮ (6), Т1 - единственная подгруппа порядка г группы Т и Т не изоморфна Е 2 ;

3. Т - либо циклическая группа, либо Т=ЯА° (7), где |Я| = г, Р - циклическая р-

группа простого порядка, 2(Т) <Р. В Т существует единственная подгруппа Т1 такая, что выполняются (4) и (5) и в Q есть собственная Т1-допустимая подгруппа, Т1 - циклическая группа порядка рк, к > 2 и является единственной подгруппой этого порядка группы Т, (2(О)п Т) <Т] (8); в случае (7) Т < 2(Т). В О выполняется одно из следующих условий: а) если 2(О)пQ = 1, то СтЮ = 2(О) Тг (9); Ь) если (2(О)п Q) = ^ Ф1, то О = ^ х (Q А Т), q Ф 2, Т=Тг - циклическая р-группа, (2(О)пТ)<Т, = q(i = 1,2).

Необходимость. Пусть группа О, удовлетворяющая условиям леммы 20, является Ьп -группой. Так как Q - нециклическая

группа, то из ^^ = Т (ввиду (1)) и леммы 1

следует, что Т является Ь -группой.

Возможны два случая.

1. В Т существует собственная нециклическая подгруппа.

Тогда из приведенного в теореме 1 описания Ь -группы следует, что Т - группа типа 3.1 теоремы 1, т. е. Т=РАЯ, где Р = Е 2,

|Я| = г и в Р нет инвариантных в Т подгрупп

простых порядков. В силу следствия 1 леммы 8 нециклическая подгруппа Р инвариантна в О. Отсюда и из (1) получаем, что О = ^ х Р) А Я (10). Так как Р - нециклическая группа, то в силу леммы 1 О/р является Ь0 -группой. Но в силу (10) О/-р = (Q А Я) = Н . Ввиду того, что Q = Е 2, из теоремы 1 следует, что Н являет-

Я

ся группой типа 3.1 этой теоремы, и потому в Q нет инвариантных в О подгрупп простых порядков. Из доказанного следует, что О -группа типа 1 леммы 20.

2. Все собственные подгруппы группы Т - циклические.

Если для любой подгруппы Тг с условиями (4) и (5) в Q нет собственных Т1-допустимых подгрупп, то О - одна из групп типа 2 леммы 20 (описанная в первой части типа 2).

Пусть для некоторой подгруппы Т1, удовлетворяющей условиям (4) и (5) в Q существует собственная Тг-допустимая подгруппа Q1. Тогда, учитывая (1) и (3), по теореме Машке в Q существует такая собственная подгруппа Q2, что Q = ^ х ^ (11). Отметим, что = 1^1 = я . Рассмотрим подгруппы S1=Q1AT1 (12) и S2=Q2AT1. Если они обе циклические, то Тх с ), i = 1,2, и потому ввиду (11) Т с СЮ, в противоречие с (5). Значит, хотя бы одна из подгрупп или 52 (напрмер, 51) нециклическая. Пусть в Т есть отличная от Т1 подгруппа Т2 такая, что Т = |Т2| = т (13). Отсюда Т<Т и в силу Ьп -

условия, так как £ 11 ^ аТ2\ и £ | <^ аТ2\ , имеем: £ с ^ аТ2 ) = В, и потому Т с В,

а тогда Г с (В Г) = Г2, и в силу (13) Г = Г2, вопреки выбору Т2. Значит, Т1 -единственная подгруппа порядка т группы Т. В частности, Гх < Г (14). Дальнейшее рассмотрение случая 2 разобьем на два возможных подслучая.

2.1. Г = г - простое число. Так как по

доказанному выше Т1 - единственная подгруппа порядка г группы Т, то Т не изоморфна

ЕГ 2 .

Рассмотрим подгруппу Я = Сг (2) (15). Пусть Я Ф 1 (16). Тогда найдется ¥ < Я такая, что |¥ = р - простое число. Из

¥ с С(2) (16) и (5) следует, что Г Ф ¥. Из условия 2.1 следует, что Г ^ ¥ = 1. По доказанному выше справедливо (14). Рассмотрим подгруппу А=Т1х е (17). Так как подгруппы 2 (= 1,2) из (11) Т1-допустимы и Е-допустимы (ввиду (16)), то они в силу (17) и А-допустимы. Подгруппа S1 нециклическая и

1 I 2 х А , и потому в силу Ьп -условия $ с (2 х А). Тогда отсюда и из (12) получаем, что 2 с (2 х А), и, так как А < Г и выполняется (3), то 2 с 2, в противоречие с (11). Значит, Л—1, и потому 2 = С(2), т. е. в О выполняется условие (6). Этим доказано, что О - одна из групп типа 2 леммы 20.

2.2. П не простой.

Пусть М<Т (18). В силу условия пункта 2.2 М Ф 1 (19). Очевидно, Т1 - допустимые подгруппы 2 (= 1,2) являются и М-

допустимыми. Рассмотрим подгруппы Bi=Q х М. Если хотя бы одна из них (например, В1) нециклическая, то в силу Ьп -условия

Вх с (2 х Г ) , откуда следует, что 2 с 2, в противоречие с (11). Значит, обе подгруппы В циклические, и потому М с с2 )(/ = 1,2), откуда в силу (11) получаем, что М с С (2) (20).

Если в Т1 более одной максимальной подгруппы, то все они в силу (20) содержатся в С«), а тогда (так как они порождают Т\) и Г с С(2), вопреки условию (5). Значит, в Т1 максимальная подгруппа единственна, а тогда, как известно, Т1 - примарная циклическая

группа, и в силу (5) и (20) М = Сг (2) <Т1

(24). *

Из доказанного и непростоты порядка Т1 (условие 2.2) следует, что Т не может быть группой порядка рд и элементарной абелевой группой. По доказанному перед пунктом 2.1, в Т нет отличных от Т1 подгрупп, порядок которой равен \ГХ |. Отсюда, в частности, следует, что Т не может быть изоморфной Q8, ибо в противном случае |Г | = 4 (ввиду условия

пункта 2.2 и того, что Т1 - циклическая группа), а в Q8 три подгруппы порядка 4. Отсюда, из условия пункта 2 и описания Ь -групп (таковой является Т) в силу теоремы 1 получаем, что для Т остаются только две возможности: 1. Т - циклическая группа; 2. Т - группа типа 3.2 теоремы 1 (ее описание приведено в типе

3 леммы 20: Т=Ях э(7), Щ = г, Р - циклическая р-группа непростого порядка, Z (Г) <Р

(25).

Если Т - типа 1, то есть циклическая группа, то М с Z(Г) (26) и потому из (1) и (20) следует, что М с Z(О) (27).

Пусть Т - группа типа 2 (т. е. вида (7) с указанными выще условиями). Отсюда и из условия 2.2 следует, что Гх с Ру для некоторого у е Г. При этом равенство Г = РУ невозможно, ибо тогда в силу (14) Ру < Г и Т абелева, вопреки (25). Значит, Г < РУ, а тогда из (25) следует, что Гх с Z(Г), и потому тоже выполняется (26) и, как показано выше, и (27). Теперь из Г £ Z(О), (24) и (27) получаем, что С (2) = ^(О)п1 Г)<Т! (28). Из этого и непростоты |Г |, в частности, следует,

что С(2)ф 2 (29). Теперь отсюда и из доказанного перед пунктом 2.2 следует, что для любой подгруппы Г £ С(2), такой, что Г <Г и \Г2\ - простое число, в Q нет собственных Т2-допустимых подгрупп (ибо в противном случае выполнялось бы С(2) = 2, в противоречие с (29).

Пусть в Т наряду с Г существует еще одна подгруппа Т2, удовлетворяющая условиям (4) и (5), для которой в Q есть собственная Т2-допустимая подгруппа. Из доказанного

выше следует, что |Т21 - непростой, Т2 - циклическая 5-группа (5 - простое число), и для М2<Т2 в силу (27) М2 с 2(О) (30). Пусть 5 Ф р (31). Рассмотрим подгруппу Е=(^лТ1) х М2 (32). Так как подгруппа V=QAT1 по доказанному вначале в пункте 2 содержит нециклическую подгруппу порядка Я • |Т|, то из (32) и следствия леммы 7

вытекает, что - единственная подгруппа такого порядка группы V, а в V есть еще и подгруппа 52 этого порядка. Значит, (31) невозможно, и потому 5=р, то есть Т2 - тоже р-группа.

Так как в силу (14) Т < Т( = 1,2), то

ТТ с Р, где Р - силовская р-подгруппа группы Т, причем из того, что Т - одна из групп типов 1 или 2, указанных в пункте 2.2, следует, что Р - циклическая р-группа. Тогда подгруппы Т1 и Т2 инцидентны, например, Т2 < Т . Так как Т2 Ф Тх, то Т2 < Т , и потому Т2 < М <ТЬ и в силу (20) Т2 с С^) , вопреки (5). Если Т < Т2 , то аналогичное противоречие получается из (30). Значит, Т1 - единственная подгруппа, удовлетворяющая условиям (4) и (5), для которой в Q есть собственная ^-допустимая подгруппа.

Пусть С (0) = С(2)пТ = £ ф Т (33). Тогда подгруппа Т3 = £Т Ф Т (34) (мы использовали (14)). В силу (5) Т Ф С(2) и подгруппа Q1 является Т3-допустимой. В силу единственности Т1, доказанной выше, Т3=Т1, в противоречие с (34). Значит, (33) невозможно, и потому Ст (е) < Т , т. е. Ст (¿) = Сц (Q) <Т (35) (в силу (24)). Из равенства, входящего в

(35), следует, что 2(О)п Т = 2(О)п Тх . Теперь отсюда, из (28) и (35) получаем: Ст (Q) = (2 (О)п Т) <Т1 и выполняется (8) из формулировки леммы 20.

Если (2 (О)п Q) = 1, то 2 (О) с Т, и из (8) вытекает справедливость (9). Отсюда и из доказанного выше следует, что О - группа типа 3.а леммы 20.

Пусть (2 (О) п Q) = ^ Ф 1. Тогда Q2<Q и Q2 Т-допустима. Из доказанной выше единственности Т1 теперь следует, что Т=Т1

(36), т. е. Т - циклическая р-группа. Равенство (1) в рассматриваемом случае принимает вид

О = ^1 х Q2) T=Q2 х ^ Т), причем я Ф 2 (ибо Т ф С^)), и в силу (36) и (8) (2(О)пТ)<Т. Значит, О - группа типа 3.Ь леммы 20.

Необходимость доказана. Достаточность. Пусть О - группа одного из типов 1,2 или 3 леммы 20 и (А, В)

(37) - ее „/-пара. Если К | |А|, то, так как Q -инвариантная силовская д-подгруппа группы О и ^^ - Ь0 -группа (ибо такова изоморфная

ей подгруппа Т - в силу описания Т в лемме 20 и следствия 2 теоремы 1), по лемме 2 для пары (37) выполняется Л<Б.

Дальнейшее рассмотрение продолжим отдельно для групп каждого из этих типов.

1. О - группа типа 1.

Тогда О = (Q х Р) а Я, где Q и Р - инвариантные в О нециклические группы (Q = Е 2, Р = Е 2) и, как следует из описания групп типа 1, всякая нециклическая подгруппа Л группы О содержит либо Q, либо Р. Случай А > Q рассмотрен в начале доказательства достаточности. Если же А > Р (40), то так как О/р = ^ А Я) в силу описания

групп типа 3.1 теоремы 1, то О/р по этой

теореме является Ь -группой, а тогда, так как

Р - нециклическая силовская д-подгруппа О, из (40) и следствия 2 леммы 2 вытекает, что А < В. Значит, О является Ьп -группой.

2. О - группа типа 2 или 3.

Пусть Л - Я' -группа. Тогда |А| | , и

потому в силу (3) А с Тх (38) при некотором х е О. Так как Л нециклическая, а все истинные подгруппы группы Т в группах типов 2 и

3 циклические, то из (38) следует, что А = Тх (39). Поэтому Т - нециклическая группа, (и потому Т Ф Т в описании группы типа 3), а тогда из описания групп типов 2 и 3 в лемме 20, учитывая, что Т ф СЮ, следует, что в Q нет собственных Ту -допустимых подгрупп Уу е О (ибо |Т| не простой). Так как |А| | |В|,

то из (39) следует, что | В|, а тогда

В з Ту для некоторого у е О . Теперь из (1) получаем О=QATy, откуда Б=Б1\Т', где

В =(В п 2)ф 1, ибо |В| >\А. Так как В1

является Т^-допустимой, то из доказанного выше следует, что B1=Q, а тогда В=О, в противоречие с определением „/-пары. Значит, „/пар (37) с Ч' -подгруппой А в группе О типов

1 и 2 леммы 20 нет.

Учитывая рассмотренные выше возможности для А, равенство (1) и то, что

2| = ч 2, осталось рассмотреть случай, когда |А| = чt, где ^ | |Г|, ^ Ф 1. Так как подгруппа А нециклическая, то А=Q1X Гх (41), где

2 = Ч , 1 < Г < Г и Гх £ С(2 ). Из описания групп типов 2 и 3 леммы 20 следует, что для групп типа 2 Г | = Р (42), а для групп

где к > 2, причем из описа-

типа 3

г:

= р

ния групп этих типов следует, что из подгрупп группы Т с условиями (4) и (5) такая подгруппа Т1 - единственная подгруппа, соответственно, порядков р или рк (к > 2) и одна, для которой в Q есть собственная Т1-допустимая подгруппа. Из определения „/пары (А, В) следует, что |А| | |В| и |В| > Ц, и

потому подгруппа В имеет один из следующих видов:

I. B=Q3хT¡ (43), где = 4, И > \ГХ\

(44).

II. B=Q Т3 (45), где И | |Гз| (46),

Г < Г.

Рассмотрим отдельно каждую из этих возможностей для В.

I. В - группа типа I.

Если В - нециклическая группа, то

Г3У £ с(0) , а тогда из того, что С(2) < О,

следует, что Г3 £ С(2), и для групп типа 2

|Г3| = р, в противоречие с (44), а для групп

типа 3 неравенство (44) противоречит доказанной выше единственности порядка подгруппы Ть не принадлежащей С (2), для которой в Q есть собственная ^-допустимая подгруппа.

Пусть В - циклическая подгруппа, то

есть в силу (43) 2 с С(Г3у ) (47). Если О -

группа типа 2, то, так как А - нециклическая подгруппа и выполняется (42), то в силу определения группы типа 2 Сг (2) = 1 (48), и в

то же время, так как |T3y| непростой, из описания групп этого типа следует, что T3y Œ C(Q), в противоречие с (48). Пусть G -группа типа 3. Из (43) и теоремы Машке следует, что Q = Q3 х Q4 (49), где подгруппа Q4

- Г/ -допустимая. Если подгруппа Q \T3y -нециклическая, то из единственности подгруппы T в группе такого типа получаем, что

|т/| = |Г|, в противоречие с (44). Значит, Q Œ c(t/ ), а тогда в силу (47) и (49)

T3y œ C(Q).

Если теперь G - группа типа 3а, то Ty Œ Z (G) < T , а тогда |T | - |Т I, в противоречие с (44). Если G - группа типа 3в, то T = T , а тогда (44) невозможно. Значит, случай I невозможен. II. B - группа типа II, т. е. выполняются (45) и (46).

Если Г | Ф |Г|, то из (46) и того, что T является L0 -группой (в силу описания Т в группах типа 2 и 3 и следствия 2 теоремы 1) вытекает, что T < T (50). Из единственности

T в группах этих типов следует, что T ^ T, и потому из (1) получаем, что S=(^xT1) < G. Отсюда T[x œ S (51) и из (41) и (50) имеем: A < S < B, т. е. A < B.

Пусть теперь |T3| = |T| (52). Так как А -

нециклическая группа, то по определению групп типов 2 и 3 T1 - единственная подгруппа такого порядка в группе T, и потому из (52) следует, что T = T, т. е. B = S (в силу (45)).

Теперь из (41) и (51) получаем, что A < B.

Из доказанного следует, что и в случае 2 G является Ln -группой. ■

Теорема 8. Ненильпотентная группа G является L -группой тогда и только тогда,

когда она - группа одного из следующих типов (некоторые типы пересекаются; ниже всюду р, q, r, р - различные простые числа):

I. Неабелева группа порядка pq, pq2 или

pqr;

II. G=Q\T, (Q, |T|) = 1, T^G и выполняется одно из следующих дополнительных условий:

11.1. Q = Е 3 и для любой отличной от

1 подгруппы Т1 группы Т в Q нет собственных Т1 -допустимых подгрупп; все истинные подгруппы группы Т - циклические;

11.2. Q = Е 2, Т - группа непростого

порядка, все истинные подгруппы которой циклические, и для любой Тх < Т (а ), такой,

что Т ф С О (Р) и |Т| не простой, в Q нет

собственных Т1 -допустимых подгрупп. Если хотя бы для одной подгруппы Т1 простого порядка г, удовлетворяющей условиям (а ) и (Р), в Q есть собственная ^-допустимая подгруппа, то Т1 - единственная подгруппа порядка г группы Т, Т не является элементарной абелевой группой и Q = C(Q);

11.3. Q = Е 2, Т - либо циклическая,

либо Т=ЯАР, где |Я| = г, Р - циклическая р-

группа непростого порядка, 2 (Т) <Р, и из всех подгрупп группы Т, не принадлежащих С(^), существует лишь одна подгруппа Т1, для которой в Q есть собственная Т1-допустимая подгруппа; Т1 является циклической группой порядка рк, к > 2, и единственной подгруппой порядка р группы Т, (2(о) п Т) < т . Если Т - нециклическая, то 2(Т) з Т . В О также выполняется одно из следующих условий:

a) если (2 (О) п Q) = 1, то

ст Ю = 2 (О) < т;

b) если (2(О) п Q) = ^ Ф 1, то О = Q2 х (£ат ), Я Ф 2, Т = Т1,

|й| = Я, = 1,2)

11.4. 0 = Е 2. Т=РАЯ, Р = Ер2, |Я| = г,

в О нет инвариантных подгрупп простых порядков, [Q, Р] = 1 (т. е. О = х

Р)

11.5. Q - группа порядка Я4 или типа Я2 х я , |т| = р и выполняется следующее: 1. Если |0| = я4, то Qo =^1 Ю = Ф(О) = Е^ .

2. Если Q абелева, неабелева порядка я 4 при Я Ф 2 или неабелева порядка 16 с условием ^ ф С(Т), то 20 - единственная Т-допустимая подгруппа порядка Я2 группы Q.

3. Если Q0 з C(t), то G =< a > Л< b > ,

a4 = b4 = 1, b xab = a — и все истинные ¿-допустимые подгруппы группы Q - это отличные от 1 подгруппы группы Q .

11.6. Q - неабелева группа порядка q3 экспоненты q, q ф 2; T - циклическая группа и для любой T1 такой, что 1 < T < T , единственной собственной Tj -допустимой подгруппой группы Q является Z(Q) = Z . При

Z0 ф Z (G) T является р-группой, (C(Z 0 )n T) <T и p|(q -1);

11.7. Q = Q, T - циклическая 3-группа,

(Z (G)n T) <T;

11.8. Q и T - циклические группы и выполняется одно из следующих условий:

1. Q = q Ф 2, T отличен от p, p2 и pr;

2. |Q равен q2 или qr, T - р-группа, Z(G)<T;

11.9. Q и T - циклические группы,

IQ = P1P2 fa Ф 2, i = 1,2), Q = P x P2, T - q-группа, M = C (P ) <T, M ф Z (G);

11.10. Q| = q Ф 2, T = Q8;

III. G=(PJЛB1) x (Р2ЛВ2),

P| = p Ф 2 (i = 1,2), B1 и B2, соответственно,

циклические p -группа и p -группа,

(Bi n Z(G)) <Вг (7 = 1,2).

IV. G=S X ^8лЯ), S - циклическая группа, R - циклическая 3-группа, (,б)= 1,

(Z (G)n R)<R;

V. G=Q x (РлЯ), Q изоморфна E 2 или

Q , p| = p Ф 2, Я - циклическая r-группа

(при Q = Q8 г Ф 2), (Z(G)n R) <R.

Необходимость. Пусть G - ненильпо-тентная ¿„-группа. По определению 2 она конечна. В силу теоремы 7 G имеет инвариантную силовскую q-подгруппу Q, и потому по теореме Шура G=QлT (1), где (Q, |T| ) = 1 (2).

Рассмотрим два возможных случая. 1. В G существует нециклическая инвариантная силовская q-подгруппа Q.

В силу теоремы 2 тогда либо Q равен q2 или q3, либо Q = q4 и ^(Q) = O(q) = E г.

Так как по условию пункта 1 Q - нециклическая группа и в силу (1) ^^ = Т , то по

лемме 1 подгруппа Т является Ь -группой.

Для Т имеется две возможности. 1.1 ТФО.

Рассмотрим различные случаи для Q, перечисленные выше в начале пункта 1.

1.1.1. Q - элементарная абелева ч-группа, Ф Ч.

Как отмечено выше, тогда 2 - либо Ч3, либо ч2.

Пусть 2| = Ч3 • Тогда в силу следствия 1 леммы 18 Ь -группа Т не может быть группой типа 3.1 теоремы 1, и потому ввиду следствия 2 теоремы 1 все истинные подгруппы группы Т циклические.

В силу леммы 16 в Q нет собственных Т1-допустимых подгрупп для любой Т1, такой, что 1 < Т ^ Т , и О - группа типа II с условием 11.1.

Если 2| = Ч2, то О - либо группа порядка Ч2р (т. е. одна из групп типа I), либо в силу леммы 20 О - группа типа II с одним из условий П.2-П.4.

1.1.2. Q - группа порядка Ч3 или Ч4 , не являющаяся элементарной абелевой.

Если Q - абелева группа типа ч 2 х 4

или группа порядка Ч4 , то в силу леммы 18 Т

- циклическая группа, а тогда по лемме 17 О -группа типа II с условием П.5 теоремы 8.

Если Q - неабелева группа порядка 43, не изоморфная Q8, то по лемме 19 О - группа типа 2 с условием П.6.

Пусть 2 = 2 (3). Тогда по лемме 18 Т

- циклическая группа. Если в Т нет инвариантных в О силовских подгрупп, то ввиду следствия 2 леммы 18 О - группа типа II с условием П.7 теоремы 8: Пусть в Т есть инвариантная в О силовская подгруппа и - произведение всех таких подгрупп, содержащихся в Т. Тогда, учитывая то, что подгруппа Т циклическая, из (1) и (3) получаем: О=Б х ^в^Т^ (4), где Т < Т и (,|)= 1 (5). Так как О -

ненильпотентная группа, то Т Ф 1 и Т1ФО. Теперь подгруппа H=Q8\T1 (6) удовлетворяет условиям следствия 2 леммы 18 и потому является группой типа II с условием П.7, т. е. Тг

циклическая 3-группа и (Т (И)п> Т ) < Т . Из этого, учитывая, что ввиду (4) и (6) Т(ИТ(О), из (6) получаем: (Т(ОТ )<1. Так как 5 - циклическая группа (ибо 5<Т (7)) и Т1 - 3-группа, то из (2), (5) и (7) получаем, что {,б) = 1. Значит, О -

группа типа IV теоремы 8.

Рассмотрение случая 1.1 закончено. 12. Т < О.

Тогда из (1) следует, что О = 2 х Т (8). Так как О ненильпотентна, то Т - ненильпо-тентная Ь -группа, а тогда по теореме 1 Т -

либо нециклическая группа порядка рг, либо одна из групп типа 3 этой теоремы. Если Т -группа типа 3.1, то Т=РлЯ(9), Р = Ер2 (10) и

Щ| = г. В силу (8) и (9) Р < О и

= (2 х Щ) (11) - нециклическая нильпо-

тентная группа порядка ч"г(п > 2). Но так как Р в силу (10) нециклическая, по лемме 1

является Ь -группой, а нециклических

Ь -групп вида (11) в силу следствия 1 теоремы 1 нет.

Значит, Т - либо нециклическая порядка рг, или группа типа 3.2 теоремы 1, т. е.

Т=Р\Я, где |Р| = р Ф 2, Я - циклическая г-группа и 2(Т)<Я (возможно, и 2(Т)=1). Так как в силу (8) Т(Т)^ Т(О), то (Т (о)п! Щ)<Я.

В силу (8) = 2, и потому, так как Т

- нециклическая, в силу леммы 1 Q является Ь -группой. Так как Q по условию пункта 1 нециклическая, то в силу следствия 1 теоремы 1, Q изоморфна Е 2 или 2. Из доказанного

о Q и Т, (8) и (2) следует, что О - группа типа V теоремы 8.

Рассмотрение случая 1 закончено. 2. Все инвариантные силовские подгруппы группы О - циклические.

По доказанному вначале группа О имеет вид (1) с условием (2), причем Q в силу условия пункта 2 - циклическая группа.

Рассмотрим два возможных случая для подгруппы Т из (1)

2.1. Т - непримарная группа.

Если в Т есть нециклическая силовская р-подгруппа Р, то в силу следствия 3 леммы 8 Р < G, в противоречие с условием пункта 2 (ибо Р в силу (1) и (2) - силовская р-подгруппа группы О). Значит, все силовские подгруппы группы Т - циклические. Отсюда и из (1) и (2), так как Q - циклическая группа, следует, что все силовские подгруппы группы О - циклические. Тогда, так как О неабелева (по условию теоремы 8), из теоремы 5 получаем, что О - либо одна из групп типа II с условием 11.8.1, либо типа III теоремы 8.

2.2. Т - примарная группа.

Если Т - циклическая группа, то, так как О неабелева, по теореме 5 О - либо одна из групп типа II с одним из условий П.8.1 или П.8.2, либо типа П.9 теоремы 8.

Пусть Т - нециклическая группа. Тогда по лемме 18 Q - элементарная абелева д-группа. Так как она циклическая, то = q (9), q Ф 2. В силу следствия 2 леммы 8 либо Т = (10), либо Т = Е 2 . В последнем случае |Т| = qp2 и О - одна из групп типа I теоремы 8. Если выполняется (10), то О - группа типа II с условием П.10 теоремы 8.

Необходимость доказана.

Достаточность. Покажем, что группа каждого из типов теоремы 8 является нениль-потентной Е -группой. У каждой из этих

групп есть неинвариантная холлова подгруппа и потому они ненильпотентны.

I. Если в группе О типа I существует собственная нециклическая подгруппа, то она имеет в О простой индекс, и потому в О нет «/-пар. В силу определения 2 О является Е -группой.

II. Пусть (А, В) (12) - «/-пара группы типа II. Ниже группу типа II с условием П.к будем называть группой типа П.к.

Отметим, что из описаний всех групп типов II.1-II.10 следует, что в них все собственные подгруппы группы Т - циклические, и потому в силу следствия 2 теоремы 1 Т является Е -группой. Если А из (12) удовлетворяется условию А > Q, то, так как в силу общих условий типа II Q - инвариантная разрешимая холлова подгруппа группы О и ^^ = Т -

Е -группа (как показано выше), то в силу следствия 2 леммы 2 имеем: А<В.

Поэтому ниже при рассмотрении групп типов II.k достаточно рассмотреть еще только те пары (12), в которых Q ф A (13).

II. 1. Пусть G - группа типа II. 1. Все, не содержащие Q ее нециклические подгруппы, как следует из описания групп этого типа, - это

подгруппы A = Tx (для любого x е G), причем в случае, когда T - нециклическая группа. Тогда в (12) |B делится на q и |T| (ввиду (1)), а

по определению группы типа II. 1 единственной такой подгруппой B является G, т. е. B=G, в противоречии с определением «/-пары. Поэтому «/-пар вида (Tx, в) в G нет. Из этого и доказанного выше следует, что G является L -группой.

II.2-II.4. Группы этих типов являются L -группами в силу леммы 20.

11.5. Группы этого типа являются L -

группами в силу леммы 17.

11.6. В силу леммы 19 такие группы являются L -группами.

11.7. Пусть G - группа этого типа, и |Т = m. Все подгруппы порядка 2m , где

m | m, группы G циклические, ибо Z (Q) з Z (G). Пусть в G есть нециклическая подгруппа A порядка 4t , где ^ | m . Так как по определению группа типа II.7 (T Z(G)) <T, то tj = m, и потому A=R\T(14) для некоторого x е G и = 4. Так как T - 3-группа, а |Awt R = 2, то из (14) следует, что A = R х Tx, а такая группа циклическая, ибо R и T - циклические и (R, T) = 1. Значит, таких нециклических подгрупп A в группе G нет. Поэтому все нециклические подгруппы группы G содержат Q. Так как Q - силовская 2-подгруппа группы G, то для всех «/-пар (12) в силу следствия 2 леммы 2 выполняется A<B. Этим доказано, что G является L -группой.

11.8. II.9; III. Группы этих типов являются L -группами в силу теоремы 5.

II.10. Пусть G - группа этого типа. Тогда для подгруппы А из (12) имеем:

A Ф Tx Vx е G (ибо подгруппы T имеют в G простой индекс q и потому не могут быть первыми подгруппами в «/-парах). Но тогда A>Q, вопреки (13). Значит, G является L -группой.

IV. Пусть О - группа типа IV.

Тогда О = £ х ¥ (17), то ¥ = 2 хЯ -группа типа П.7, и по доказанному выше Р является Ь -группой. В силу (17) всякая нециклическая подгруппа А группы О имеет вид А = £ х р , где £ < £ , р < ¥ и так как £

циклическая группа и (£ |, |) = 1, то ¥ -нециклическая. Тогда по доказанному выше о группах типа П.7 р > 2, а тогда А1 > 2 .

Так как ^^ = (£ х Щ) - циклическая группа,

то она является Ь -группой, а тогда, так как 2 - нециклическая силовская 2-подгруппа группы О в силу следствия 2 леммы 2 А<В.

Из доказанного следует, что О является Ь -группой.

V. Пусть О - группа типа V, А - ее собственная нециклическая подгруппа из (12) и

Т=РхЯ. Так как ^^ и являются Ь -

группами, а Q и Т - разрешимые холловы подгруппы группы О, то при А > 2 или А > Т для «/-пар (12) в силу следствия (2) леммы 2 выполняется А<В.

Пусть А = 21 х Т (18), где 2 < 2, Тх < Т . Так как в Т и Q в силу определения группы типа V все истинные подгруппы циклические и

(21, |Т |) = 1, то отсюда и из (18) следует, что А - циклическая группа, вопреки определению п/-пары. Значит, О - является Ь -группой. ■

Теоремы 8 и 3 дают полное описание Ьп -групп.

Заключение

В настоящей работе на базе ряда результатов, представленных в [1] при описании

L-групп и некоторых свойств L -групп, получено полное описание класса L -групп.

Так как в классе L -групп содержится описанный в [1] класс L-групп, то из полученного в настоящей работе описания L -групп

можно получить, по-видимому, и описание L-групп (т. е. основную теорему 5 из [l]). Но при описании строения L -групп мы использовали ряд результатов работы [l], в том числе описание L -групп (теорема 6 из [l]), а последняя

получена там как раз из описания L-групп (т. е. из теоремы 5). Поэтому описание L-групп на базе L -групп будет некорректным, если

предварительно не описать отдельно L -

группы. Возможно, тогда удалось бы результаты работы [1] изложить короче.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д. Конечные группы с некоторыми условиями инцидентности, связанными с теоремой Лагранжа // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2016. Вып. 3(34). С. 5-20.

2. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 300 с.

3. Горчаков Ю.М. Теория групп. Тверь, 2002. 115 с.

4. Холл М. Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 468 с.

5. Половицкий Я.Д. Конечные группы с одним условием инцидентности, связанным с обращением теоремы Лагранжа. Ч. 1 // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 20l7. Вып. 2(37). С. 5-1S.

6. Isaacs Martin. Finite Group. Theory. American. Math. Sos. 200S. 3бб p.

Finite groups with one incidence condition connected with the inversion of Lagrange's theorem. Part 2

Ya. D. Polovitsky

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru; 8(342)236-82-83

In this paper the description on ¿„-groups, which begin of the author in [5], are complete.

Keywords: group; cyclic subgroup; Lagrange's theorem.