CC BY
92019
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
Вып. 3(46)
УДК 512.544
О группах с циклическими пересечениями неинцидентных (максимальных) подгрупп
Я. Д. Половицкий, Т. М. Коневских
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; 8(342) 239-63-21
В работе рассматриваются группы с циклическими пересечениями неинцидентных подгрупп (См-группы). Описаны конечные разрешимые и бесконечные бинарно конечные См-группы на базе полученного в [1] описания конечных разрешимых С/М-групп. Изучение конечных неразрешимых С/М-групп сведено к описанию простых и некоторых квазипростых групп с этим условием.
Ключевые слова: группа; максимальная подгруппа; циклическая подгруппа; инцидентный. DOI: 10.17072/1993-0550-2019-3-23-31
Введение
В работе Я.Д. Половицкого [1] введен класс С/М-групп и описаны конечные разрешимые С/М-группы.
Определение 1 (см. [1]). Группу, в которой либо пересечение любых двух максимальных подгрупп является циклической группой, либо имеется не более одной максимальной подгруппы, назовем С1М-группой (или группой с С1М-условием).
В § 1 настоящей работы рассмотрены конечные С/М-группы, каждая подгруппа которых также является С/М-группой. Оказалось, что это в точности конечные группы с циклическими пересечениями неинцидентных подгрупп (См-группы). В работе найдены все конечные разрешимые См-группы.
В § 2 описаны бесконечные бинарно конечные См-группы.
В § 3 изучение конечных неразрешимых С/М-групп сведено к изучению таких простых групп и квазипростых групп с циклическим центром Z, совпадающим с подгруппой Фрат-тини, таких, что С/2 - простая С/М-группа.
Обозначения в работе стандартные: конец доказательства обозначается символом □.
§ 1. Конечные разрешимые Сд-группы
Определение 2. Группу, в которой пересечение любых двух неинцидентных подгрупп является циклической группой или неинцидентных подгрупп нет, назовем См-группой, или группой с См-условием.
Легко видеть, что См-условие переносится на подгруппы и фактор группы. Очевидно, См-группы - подкласс класса С/М-групп. В класс См-групп по определению входят группы с условием инцидентности для нециклических подгрупп. Локально ступенчатые группы с этим условием описаны в [2].
Лемма 1. Пусть О - конечная С/М-группа, и О = <А, В> (1), где 1 < А < О (2), В < О (3). Тогда АПВ - циклическая группа.
Доказательство. Из конечности О, (2) и (3) следует, что существуют такие максимальные подгруппы М1 и М2 группы О, что А <М1 (4), В <М2 (5). Если М1 = М2, то из (4), (5) и (1) следует, что О <М1 , в противоречие с определением Мх. Значит, М1 Ф М2, и в силу С/М-условия М1ПМ2 - циклическая группа. Так как ввиду (4) и (5) (АПВ)с (М1ПМ2), то АПВ - циклическая группа. □
© Половицкий Я. Д., Коневских Т. М., 2019
Следствие. Пусть О - конечная непри-марная С/М-группа, М <• О (6) и р\(|М|, \в : М|) (7). Тогда всякая силовская р -подгруппа В группы М циклическая.
Доказательство. Подгруппа В содержится в некоторой силовской р -подгруппе Р группы О, 1<Р<О. В силу (7) Р <М, а тогда ввиду (6) О = <М, Р>. По лемме 1 РПМ -циклическая группа. Так как В = РПМ, то В -циклическая группа. □
Теорема 1. Для конечной группы О равносильны условия: 1. О является Сы-группой; 2. О и все ее истинные подгруппы являются С/М-группами.
Доказательство. Импликация 1 ^ 2 очевидна.
Пусть О удовлетворяет условию 2, и А, В - ее неинцидентные подгруппы. Рассмотрим 5=<А, В>. В силу условия 2 5" является С/М-группой, а по лемме 1 АПВ - циклическая группа. Значит, О есть Сы-группа. □
Легко устанавливается справедливость следующего предложения:
Лемма 2. Если в группе О имеется единственная минимальная нециклическая подгруппа N и О/Ы - циклическая ^-группа, то О - Сы-группа.
Доказательство. Действительно, все нециклические подгруппы такой группы содержат N и инцидентны ввиду условия для О/Ы. □
Теорема 2. Для конечной нильпотент-ной группы О С/М-условие и Сы-условие равносильны.
Доказательство. Если О является Сы-группой, то в силу определений 1 и 2 О есть С/М-группа.
Пусть теперь О является нильпотентной С/М-группой. Все типы таких групп перечислены в теореме 1 из [1]. Если О циклическая, то она - Сы-группа. Группы типов 2 и 3 теоремы 1 из [1] являются Сы-группами в силу леммы 2. В р -группе О типа 4 этой теоремы одна из максимальных подгрупп циклическая, и потому как показано в лемме 7 из [1], О является Сы-группой.
Если |0||р3, то О, очевидно, Сы-группа.
Наконец, пусть О - группа типа 6 теоремы 1 из [1], то есть О - р -группа,
\0 / Ф(С)| = р2 и Ф(О) - максимальная циклическая подгруппа группы О. Тогда для любой максимальной подгруппы М группы О
М / Ф(&)\ = р, то есть М - группа типа 4 теоремы 1 из [1] и, как отмечено выше, М является Сы-группой. Пусть А и В - неинцидентные подгруппы группы О. Если они содержатся в одной максимальной подгруппе группы О, то, как показано выше, АП В - циклическая группа.
Если же А и В содержатся в разных максимальных подгруппах М1 и М2 группы О, то, так как О - С/М-группа, М1ПМ2 - циклическая группа, и, так как (АПВ)с (М1ПМ2), то АПВ -циклическая группа. Значит, О является Сы-группой.
Таким образом, каждый из возможных типов такой С/М-группы О является Сы-группой. □
Теорема 3. Пусть конечная группа О удовлетворяет одному из следующих условий: 1. нильпотентна; 2. ненильпотентна и имеет дополняемую инвариантную циклическую подгруппу. Для такой группы С/М-условие и Сы-условие равносильны.
Доказательство. Как следует из определений 1 и 2, достаточно доказать, что если такая группа О является С/М-группой, то она
- Сы-группа.
Пусть С/М-группа О удовлетворяет одному из условий 1 или 2 теоремы 3.
1. Покажем, что любая максимальная подгруппа М группы О также является С/М-группой и удовлетворяет одному из условий 1 или 2 теоремы 3. Возможны 2 случая:
1.1. О нильпотентна. Тогда по теореме 2 она является Сы -группой, и потому М - ниль-потентная С/М-группа.
1.2. О удовлетворяет условию 2 теоремы 3.
Такие группы описаны в теореме 2 из [1].
Это группы одного из типов I-VII, приведенных в этой теореме. Из доказательства достаточности теоремы 2 из [1] видно, что каждая максимальная подгруппа такой группы О либо группа одного из типов этой теоремы, либо нильпотентная группа одного из типов теоремы 1 из [1]. В силу этих теорем М является С/М-группой и удовлетворяет одному из условий 1 или 2 теоремы 3. Мы доказали утверждение пункта 1.
2. Докажем, что О - Сы-группа.
Пусть А и В - любые неинцидентные подгруппы группы О. Докажем, что либо АП В
- циклическая группа, либо таких А и В нет.
Доказательство проведем индукцией по числу п, где п = .
При п = 1 таких А и В нет, и наше утверждение верно.
Пусть наше утверждение об А и В верно для всех конечных групп, удовлетворяющих одному из условий 1 или 2 теоремы 3, порядок которых меньше п - порядка О. Докажем, что тогда оно верно и для группы О порядка п.
Если А и В содержатся в разных максимальных подгруппах М1 и М2 группы О, то (АПВ) с (М1ПМ2) и, так как последнее пересечение по определению С/М-группы является циклической группой, то АП В - циклическая группа. Пусть А и В содержатся в одной максимальной подгруппе М группы О. Как показано в пункте 1, М - С/М-группа и удовлетворяет одному из условий 1 или 2 теоремы 3, и потому, так как М| < |а|, по предположению
индукции АП В - циклическая группа.
Этим доказано что О является См-группой. □
Теперь мы можем получить описание конечных разрешимых См-групп.
Теорема 4. Конечная разрешимая группа О тогда и только тогда является См-группой, когда она - одна из следующих групп:
1. С/М-группа, удовлетворяющая хотя бы одному условию теоремы 3 (такие группы описаны в теоремах 1 и 2 из [1]).
2. О=Р X б (1), где Р - р-группа, 0 = г (2)
ч
и выполняется одно из следующих условий:
2.1. Р = Е 7 (3) или Р = Е о (4) и для лю-
р2 р3
бой бо, такой, что 1 < бо < б (5), в Р нет собственных бо-допустимых подгрупп;
2.2. Р = Е ~ , в Р хотя бы для одной отлич-
р2
ной от 1 подгруппы бо группы б есть собственная бо-допустимая подгруппа; если б2 -подгруппа максимального порядка из таких бо,
то \б2/б2 П га) = ч (6);
2.3. 21 = 2(Р) - циклическая группа, Р2 = Ер2 (7), 21 = Ф(Р) (8), Р £ 08 (9), при
|Р| = р3 (10) 21 - максимальная циклическая
подгруппа группы Р, для б1 <б выполняется: 21 с С(б0 (11); для любой подгруппы б2, такой, что 1 < б2 < б, всякая собственная б2-допустимая подгруппа группы Р содержится в 21.
2.4. Р = 08, в = г3п, |0/0 п г (а) = з.
Необходимость. Пусть О является конечной разрешимой См-группой. Тогда она и
С/М-группа. Такие С/М-группы описаны в [1]. Если О удовлетворяет хотя бы одному из условий теоремы 3, то она - группа типа 1 теоремы 4.
Пусть О не удовлетворяет ни одному из условий теоремы 3. Тогда по теореме 4 из [1] О - группа одного из типов VIII или IX этой теоремы, и нам требуется лишь выделить из них См-группы. В обоих этих случаях О имеет вид (1), где Р - р -группа, и выполняется (2).
Пусть для бо с условием (5) в Р есть нециклическая собственная бо-допустимая подгруппа Р1. Тогда Р п (Р1 X бо ) = Р1 - нециклическая группа, в противоречие с См-условием. Значит, в Р могут быть только циклические собственные бо-допустимые подгруппы. Отметим также, что Р, как подгруппа См-группы О, также является См-группой.
Дальнейшее рассмотрение См-групп типов VIII и IX продолжим отдельно.
1. О - группа типа VIII.
Тогда по определению такой группы (в
теореме 4 из [1]) Р = Е , где п > 2 . Ввиду
рп
того, что Р есть См-группа, легко видеть, что п = 2 или п = 3, то есть справедливо (3) или
(4). Если для любой подгруппы бо с условием
(5) в Р нет собственных бо-допустимых подгрупп, то О одна из групп типа 2.1 теоремы 4.
Пусть для некоторой такой бо в Р есть собственная бо-допустимая подгруппа Р1. Тогда в силу теоремы Машке Р = Р1 х Р2 (12), где Р2 также бо-допустима. Если |Р| = р3, то хотя
бы одна из подгрупп Р (/ = 1,2) нециклическая, в противоречие с тем, что доказано перед пунктом 1. Значит, выполняется (3).
Пусть б2 - максимальная из подгрупп бо группы б, для которых в Р есть собственная бо-допустимая подгруппа и бз <• б2 (13). Тогда справедливо (12), где Р (/=1,2) являются
62-допустимыми, и потому Р также
63-допустимы. В силу См-условия для любого / = 1,2 (Р X бз) п (Р X б2) = Рг X бз - циклическая группа, и потому бз с С(Рг), а тогда в силу (12) бз с С(Р). Отсюда и из (13) вытекает справедливость (6). Этим доказано, что О -группа типа 2.2 теоремы 4.
2. О - группа типа IX.
Тогда, по определению такой группы (в теореме 4 из [1]) для О справедливы (1), (2), 21 = 2(Р) - циклическая группа и справедлив
изоморфизм P/Zl = ЕрШ (14); ^ < Ф(О) , а
для подгруппы Ql <• Q выполняется (11). Отметим, что из (14) следует, что Фс Zl (15).
Так как Р является Сы-группой и в силу (14) неабелева, то из теоремы 1 из [1] следует, что Р - группа одного из следующих типов:
a) порядка p3, Р' ф 1;
b) хотя бы одна из максимальных подгрупп группы P циклическая р| > р4, Р' ф 1;
c) |Р/Ф(Р)\ =p2 (16), Ф(P) - максимальная циклическая подгруппа группы Р и |Р| >p4, Р' ф 1.
Для группы типа a) ввиду (14) и (15) выполняется (7) и (8). Для таких групп типа с) из (15) и (16) следует справедливость (7) и (8).
Пусть P - группа типа Ь). Тогда из известного описания таких групп (см., напр. [3], задачи 17.19-17.22) и (14) следует, что Р = М п, п > 4 . Но в такой группе единственная максимальная нециклическая подгруппа М< P, а тогда М< О, вопреки доказанному перед пунктом 1. Значит, случай Ь) невозможен.
Мы показали, что при условии (10) Zl -максимальная циклическая подгруппа группы Р.
Пусть Q2 - отличная от 1 подгруппа группы Q. Рассмотрим H=P X Q2 (17). Так как О - Сы-группа, то Нявляется С/М-группой.
Возможны два подслучая: 2.1. Р £ Q8.
Тогда в силу теоремы 1 из [1] для любой Q2, где 1 < Q2 < Q, подгруппа Н ненильпотент-на.
Если бы Н имела дополняемую в ней инвариантную циклическую подгруппу, то, так как она удовлетворяет условиям теоремы 2 из [1], Н была бы одной из групп типов I-VII, перечисленных в этой теореме. Но во всех этих типах, кроме типа IV, нет неабелевых силов-ских подгрупп (а P по условию неабелева). А группа Н типа IV имела бы вид Н = А X Q8, где |А| = д. Сравнивая это с (17), мы получаем
противоречие (ибо в Н вида (17) инвариантная силовская подгруппа P нециклическая и потому не может совпадать с А). Значит, Н не является группой ни одного типа теоремы 2. Тогда по теореме 4 из [1], Н - группа одного из типов VIII или IX этой теоремы. Так как P неабелева, то Н - группа типа IX, и по теореме 4 из [1] P/Zl - абелева группа и является минимальной нормальной подгруппой группы Н^1.
Пусть Pl - собственная Q2-допустимая подгруппа группы P.
Предположим, что Pl < Zl (18). Тогда, учитывая (17) и (7), PlZl/Zl < Н^1 и из минимальности нормальной подгруппы P/Zl группы Н^1 получаем: P = PlZl (19). Но, как показано перед пунктом 1, Pl и Zl - циклические группы (ибо Pl и Zl - Q2-допустимы) и из (19) следует, что P абелева, вопреки определению группы типа IX. Значит, (17) не выполняется, то есть Pl с Zl.
Так как в силу 2.1 справедливо (9), то из доказанного в пункте 2.1 следует, что О - одна из групп типа 2.3 теоремы 4.
2.2. Р = Qs.
Известно (см., напр., [3], задача 18.18), что = , то есть \AutQí,\ = 3 • 23 (20).
Так как О/С= Р < АмР , то отсюда и из 2.2 (1), (2) и (20) следует, что q = 3, то есть Q = 13п и |Q/Q П С(Р)\ = 3, то есть
|Q/Q п %(С)| = 3 . Из доказанного в 2.2 следует, что О - группа типа 2.4 теоремы 4. Необходимость доказана.
Достаточность.
Покажем, что группа каждого из типов теоремы 4 является Сы-группой.
1. Всякая группа типа 1 является Сы-группой по теореме 3.
2. О - группа типа 2.
Так как в силу (1) и (2) О^ - примарная циклическая группа, то любые две подгруппы группы О, содержащие P, инцидентны.
В силу теоремы 1 из [1] во всех подтипах 2.1-2.4 типа 2 P является С/М-группой, а тогда ввиду теоремы 1 P есть Сы-группа.
Значит, учитывая (1) и цикличность Q, для проверки Сы-условия в каждом из этих подтипов достаточно рассмотреть пары неинцидентных подгрупп, хотя бы одна из которых не содержит P и является непримарной нециклической.
2.1. В группе О подтипа 2.1 таких подгрупп нет, и потому такая группа - Сы-группа.
2.2. О - группа подтипа 2.2.
В О все упомянутые выше нециклические подгруппы имеют вид В = Pl X QX (21), где Р = р (22), ибо в силу (6) для любой Qз, такой, что Qз < Q2, подгруппы вида P2 ^ Qз = P2 х Qз циклические для любой P2, такой, что |Р2| = р (ибо Qз с Z(О)). Из (21), (6) и (22) следует, что все собственные под-
группы группы В циклические, а тогда пересечение В с любой неинцидентной ей подгруппой циклическое. Значит, О является См-группой.
2.3. О - группа подтипа 2.3.
Всякая не содержащая Р непримарная подгруппа такой группы имеет вид
Н = 22 X 0Х (23),
где
22 < 21 (24) и
1 < б2 < б. Если б2 < б, то б2 < б1 и из (23) и определения группы типа 2.3 следует, что Н -циклическая группа (ибо в силу (11)
62 с С(22), и потому 0х с С(2г) , так как 22 < О). Значит, б2 = б и Н = 22 X 2 (25).
Пусть Н1 = 2з X бг (26) - вторая подгруппа такого вида (2з < 21 (27)).
Найдем их пересечение 8 = Н1ПН2. Если Б содержит силовскую д- подгруппу б2 группы О, то из (25) и (26) следует, что Н = 22 X б2 и Н1 = 2з X б2, а тогда ввиду (24), (27) и того, что 21 - циклическая р -группа, Н и Н1 инцидентны. Значит, если Н и Н1 не инцидентны, то силовская д- подгрупа 0 группы Б содержится в 0[ (/ е О).
Тогда, так как 22 и 2з инцидентны (например, 22 < 2з), S = 22 X бз (28). Но по определению группы типа 2.3. 22 с С(бО (29) и, так как 22 < О, то 22 с С( 0[), и потому
63 с С(22). Отсюда и из (28), так как 22 и б1 -циклические группы, следует, что S - циклическая группа.
Наконец, рассмотрим пересечения Я подгруппы Н с собственными непримарными подгруппами группы О, содержащими Р - это подгруппа вида Р = Р X б4, где б4 < б1 (29). Тогда Я = 22 X бз, где бз < 0! (8 е С) . Как и выше, из (29) получаем, что Я = 22 х бз - циклическая группа.
Этим доказано, что О - См-группа.
2.4. О - группа подтипа 2.4.
Как показано в [2], в такой группе бз -единственная минимальная нециклическая подгруппа, и, так как О/бв - примарная циклическая, любые две нециклические подгруппы группы О инцидентны. Значит, О -См-группа. □
Замечание
Из теоремы 4 и теоремы 4 из [1] видно, что в классе конечных разрешимых групп С/М-группа и См-группа отличается лишь теми группами типов VIII и IX теоремы 4 из [1],
которые не являются группами типов 2.1-2.4 теоремы 4.
§ 2. Бесконечные бинарно конечные Сд-группы
Определение 3. Группу, в которой либо пересечение любых двух неинцидентных бесконечных подгрупп конечно, либо любые две бесконечные подгруппы инцидентны, назовем Рм-группой или группой с Ем-условием.
Очевидно, что среди периодических групп См-группы - подкласс класса Ем-групп.
Определение 4. Нижним слоем периодической абелевой группы А называется подгруппа, порожденная всеми элементами простых порядков группы А.
Лемма 3. Пусть О - бесконечная бинарно конечная группа. Если нижний слой А1 каждой ее абелевой подгруппы А является Ем-группой, то группа О черниковская и для ее полной части Р выполняется либо Р = Ср„ (1), либо Р = Срю х С^ю (2), где
возможно ир = д, ир Ф д.
Доказательство. Докажем сначала, что <ю (3) для любой абелевой подгруппы А группы О. Предположим противное. Тогда для некоторой абелевой А выполняется = ж (4). Так как О периодическая, то
А = ^ В (5), где В - конечные циклические группы, причем ввиду (4) множество J бесконечно. Поэтому оно представимо в виде J = Jl и J2, где (JlПJ2), Jl и J2 бесконечные. Рассмотрим подгруппы С = ^^ В и
Б = ^^ В группы А1. Ввиду бесконечности
геЗ 2
JlПJ2 \с п Б
= ж, в противоречие с Рм-
условием для А1. Значит, выполняется (2). Отсюда и из леммы 1.10 из [4] следует, что группа А черниковская, то есть О удовлетворяет условию минимальности для абелевых подгрупп. Как показано в [5], О - черниковская группа. В силу Рм-условия выполняется (1) или (2). □
Следствие. Всякая бесконечная бинарно конечная См-группа О черниковская, а для ее полной части Р выполняется одно из двух условий:
1. Р = С „ ;
2. P = Ri х R2 (6), R2 = C œ (8) и p ф q (9).
где
ri = cp*>
(7),
Доказательство. Так как О есть и Ры-группа, то в силу леммы 3 группа О черни-ковская. Если P не является группой типа 1, то из леммы 3 следует, что выполняются (6)-
(8). Пусть (9) неверно, то есть р = q (10). Тогда нижний слой Pl группы P имеет вид: P = 51 х 52, где |5г| = р, 5 < Яи (/ = 1,2). Пересечение (Я1 х 52)П(51 х Я2) = 51 х 52 = Pl -нециклическая группа, вопреки Сы-условию. Значит, (10) неверно, то есть выполняется
(9)л
Лемма 4. Пусть в бесконечной бинарно конечной группе О существует инвариантная
квазициклическая подгруппа А: А = С да (1).
р
Такая О является Ры-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов:
1. С С да Х С да ;
р д
2. С = Срда х Срда ;
3. G - C œ х Z n ;
p q
4. G - C „ X Z
; Z(G) n Cp„ -1, p Ф 2;
5. G - Cp^ х Zpn ;
6. G / A = Z
7. G = C
2n
A = C,
|Z(G) п A - 2 ;
Необходимость. Пусть в G существует такая подгруппа A. Так как |А| =œ, то из
определения Р^-группы следует, что в G/A любые две подгруппы инцидентны, и потому, как нетрудно видеть, выполняется одно из условий: 1. G / A = C œ ; 2. G/ A = C œ ;
3. G/A = Z n ; 4. G/ A = Z n ; 5. G
qn pn
-- A.
Введем обозначение: Z = Z(О). В случаях 1 и 2 группа О - типа 1 или 2 леммы 4. В случае 3 при А с Z О - группа типа 3, а при А < Z в силу следствия 1.12 леммы 1.17 из [4]
р Ф 2 % п А = 1 и О - группа типа 4. В случае
4 при р Ф 2 ввиду следствия 1.13 леммы 1.17 из [4] А с Z и потому О - группа типа 5; при р = 2 в силу леммы 1.16 из [4] при % п А > 4 О - одна из групп типа 5, а в противном случае % п А = 2 и О - группа типа 6. В случае 5 О -группа типа 7.
Необходимость доказана.
Достаточность. В группах всех типов леммы 4 кроме 1 и 2, все бесконечные подгруппы инцидентны, и потому такие группы являются Р^-группами.
В группе типа 1 всякая бесконечная подгруппа содержит либо единственную квазициклическую р-подгруппу R, либо единственную квазициклическую q-подгруппу Q. Так как в G/R и G/Q любые две подгруппы инцидентны, то из неинцидентных бесконечных подгрупп C и D одна содержит Q, а вторая R, и потому |с п D . Значит, группа типа 1 является Р^-группой.
В р-группе G типа 2 всякая собственная бесконечная подгруппа почти квазициклическая. Пусть C и D - две такие подгруппы и |c п D = ю . Тогда (C п D) содержит квазициклическую подгруппу S и из определения группы типа 2 следует, что G = S х T, где T = C ю . Но тогда C/S и D/S инцидентны, то
есть инцидентны C и D. Значит, для неинцидентных бесконечных C и D |c п D <ж, и
потому группа типа 2 является Р^-группой. □
Теорема 5. Бесконечная бинарно конечная группа G является Р^-группой тогда и только тогда, когда она - одна из следующих групп: 1. Группа одного из типов 1-7 леммы 4; 2. В G существует P = (C жх C ) <l G,
G/P - примарная циклическая группа и для любой примарной циклической подгруппы S, не содержащейся в P, в P нет собственных бесконечных S-допустимых подгрупп.
Необходимость. Пусть G является Pw-группой. В силу леммы 3 группа G черни-ковская, а ее полная часть P есть группа типа
(1) или (2) этой леммы. Если P - группа типа
(2) при p Ф q или типа (1), то G удовлетворяет условиям леммы 4 и потому она - группа одного из типов 1-7 этой леммы.
Пусть P - группа типа (2) леммы 3 при p = q, то есть P = C ^ х C ю . Если в P существует квазициклическая подгруппа N, инвариантная в G, то в силу леммы 4 G = P, то есть G -группа типа 2 леммы 4.
Пусть в P нет собственных бесконечных подгрупп, инвариантных в G. Ввиду Pw-условия G/P - примарная циклическая группа, то есть либо G / P = Z иG - p-
группа, либо G / P = Z n .
q
да
Пусть S - любая циклическая подгруппа группы О, не принадлежащая Р.
Если в Р есть собственная бесконечная S-допустимая подгруппа Р, то (р п (р^Р1, в противоречие с Рм-условием. Значит, в Р нет собственных S-допустимых подгрупп. Очевидно, достаточно считать S примарной циклической. Необходимость доказана.
Достаточность.
Для групп типа 1 - то есть групп всех типов леммы 4 - достаточность доказана в этой лемме. Пусть О -группа типа 2 теоремы 5. Все ее подгруппы, содержащие Р, инцидентны. Пусть Я - истинная бесконечная группа О, не входящая в Р и не содержащая Р.
Тогда Я = АК, где А £ С ж , А < Я, К < О,
р
К £ Р, < ж. Подгруппа А К-допустима, а
потому она S-допустима и для некоторой примарной циклической подгруппы S, не содержащейся в Р, в противоречие с определением группы О. Значит, таких Я нет, и потому всякая бесконечная подгруппа группы О либо содержится в Р, либо содержит Р. Так как Р -группа типа 2 леммы 4, то она - Рм-группа.
Из доказанного следует, что О - Рм-группа. □
Теорема 6. Бесконечная бинарно конечная группа О является См-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов (ниже 2 = 2(О)): 1. типов 1, 3 и 7 леммы 4;
2. О = мХ б, N £ Ср!Ю , р Ф 2, (г П 0) <б;
3. С/N = 2; N £ С , \г п n = 2 ;
0 £ ^ 4П
4. С = С
ж х г р .
Необходимость. Пусть О является См-группой. Тогда она и Рм-группа и в силу теоремы 5 О либо группа одного из типов 1-7 леммы 4, либо группа типа 2 теоремы 5, содержащая подгруппу Р = А х В, где
А £ В £ Срж .
Покажем, что такая группа Р не является См-группой.
Пусть А1 < А, В1 < В и \А\ = \в\ = р. Тогда (А х В1)П(А1 х В) = А1 х В1 - нециклическая группа, в противоречие с См-условием.
Значит, О не может быть группой типа 2 теоремы 5 и группой типа 2 леммы 4.
Остаются следующие случаи (ниже указаны типы леммы 4).
1. О - группа типа 1, 3, 7 - это группы типа 1 теоремы 6.
2. О - группа типа 4.
Тогда О = мХ б, где N £ С, р Ф 2,
0 £ г4П .
Пусть 0 < -0 и А = р , А1 < м.
В силу См-условия (м Хб^ПА Хб) = А1 X б1 - циклическая группа, то есть А1 с С(бО. Тогда в силу леммы 1.16 из [4] мс С(бО, то есть б1 < 2. Так как по определению группы типа 4 0 <Х г , то О - группа типа 2 теоремы 6.
3. О - группа типа 6.
Тогда С / N £ г^п (1), N £ С.
\г п n = 2 (3). в
2п (1),
силу (2)
N = и N. к=1
(2), (4),
= 2к (5). В силу (1) О/м = <м (6). Если
^ = а £ м, то м<а>Г\ N <8> = м<а> - циклическая 2-группа (в силу См-условия) при любом к. Но при некотором к = т | > \а\, а
тогда а с N . Поэтому в силу (6) \С / Щ = 2.
Этим доказано, что О - группа типа 3 теоремы 6. 4. О - группа типа 5.
Тогда О = мх В, где N £ С ж ,
в £ г п рп
и
Пусть м1 < м, В1 < В
= р . Если В1 Ф В, то (мх В1)П(м1 х В) = м1 х В1 £ Ер2 - нециклическая группа, в противоречие с См-условием. Значит, В1 = В и О - группа типа 4 теоремы 6. Необходимость доказана.
Достаточность. Проверим, что группы типов 1 -4 теоремы 6 являются См-группами.
1. О - группа типа 1, то есть группа одного из типов 1, 3 или 7 леммы 4.
Группы всех этих типов в силу леммы 4 являются Рм-группами ив то же время локально циклические, и потому они -См-группы.
2. О - группа типа 2.
Все ее истинные бесконечные подгруппы содержатся в подгруппе Н = м х Ъ1, где Ъ{= г П 0, и потому они локально циклические. Поэтому их пересечения со всеми конечными
00
подгруппами циклические. Конечные примар-ные подгруппы группы О - циклические.
Пусть Т1 и Т2 - две нециклические конечные непримарные подгруппы группы О. Тогда Т1 = Nk X О (7), Т2 = Nе X О (8), где N < Nе (9). Если Т1 П Т2 содержит силов-скую ^-подгруппу то Т1 = Щ X 02,
Т2 = Nе X О, и, так как Щ и Nе инцидентны, то Т1 и Т2 инцидентны. Значит, если Т1 и Т2 не инцидентны, то в силу определения типа 2 ^ <0, и потому имеем: Т1 П Т2 = N х ^ -циклическая группа. Мы показали, что О -С^-группа.
3. О - группа типа 3.
Единственная бесконечная ее подгруппа - это N = С .
По условию О = где £ с N (10).
Так как N представим в виде (4), то
G = U H (11), где H
k=1
k < H е
(12) при к < I и Ик = N. <в> (13). В силу (10) <^> = N (14).
да
Из (11) и (12) следует, что О = У Ик (15). В
к=т
силу (13) и (14) при к > т £ е N и И к : N | = 2 . Тогда И к имеет циклическую подгруппу индекса 2, и в силу леммы 7 из [1] Ик являются С^группами при любом к > т .
Если теперь А, В - любые две конечные подгруппы группы О, то в силу (15) существует п > т, что А < Ип и В < Ип . Так как Ип - С^группа, то А П В - циклическая группа. Значит, О - С^группа. 4. О - группа типа 4.
Тогда из ее определения следует, что всякая конечная нециклическая подгруппа группы О содержит ее нижний слой О1 = Е 2
и О/О1 = С . Поэтому все конечные нециклические подгруппы группы О инцидентны. Так как в О истинная бесконечная подгруппа единственная и изоморфна С , то О -
С^группа. □
§ 3. О конечных неразрешимых С/М-группах
Лемма 5. Если конечная С1М-группа О имеет истинную нециклическую нормальную подгруппу 5, то О разрешима.
Доказательство. Так как G -CZM-группа и S нециклическая, то G/S имеет единственную максимальную подгруппу, то есть ввиду конечности G / S = Z n (1).
Если S нильпотентна, то ввиду (1) G разрешима. Пусть S ненильпотентна. Тогда она имеет неинвариантную силовскую ^-подгруппу P и N(P) Ф G. Так как S < G, то по лемме Фраттини для любой такой P G = SN(P) (2). В силу леммы 1 (N(P)HS) -циклическая группа, и потому P циклическая.
Итак, в S все неинвариантные силовские подгруппы - циклические.
Пусть R - произведение всех инвариантных силовских подгрупп группы S.
Если R = 1, то в S все силовские подгруппы циклические, а тогда, как известно, S разрешима, и ввиду (1) G разрешима.
Пусть R ф 1. Тогда S = R X T (3), где ( R, ) = 1, и, по доказанному выше, все силовские подгруппы группы T циклические. Тогда T разрешима, и так как R нильпотентна, в силу (3) S разрешима. Теперь из (1) получаем, что G разрешима. □
Определение 5. Группа G называется квазипростой, если G = G и G/Z(G) - простая группа.
Теорема 7. Конечная непростая CZM-группа G либо разрешима, либо является квазипростой группой с циклическим центром Z, Z = Ф(G) (1) и G/Z - простая CZM-группа.
Доказательство. Если G имеет истинную нециклическую нормальную подгруппу, то в силу леммы 5 G разрешима.
Пусть все истинные нормальные подгруппы группы G циклические и R - произведение всех таких нормальных подгрупп. В силу непростоты G R ф 1 . Если R = G, то G разрешима.
Пусть R ф G (1). Тогда R - истинная нормальная подгруппа группы G и по нашему предположению R - циклическая группа, а из (1) и определения R следует, что G/R - простая группа. Так как G - CZM-группа, то G/R -CZM-группа.
Рассмотрим C(R). Так как C(R) < G, то либо C(R) = G (2), либо C(R) < R (это видно из определения R). Так как R абелева, то в последнем случае C(R) = R (3).
Пусть выполняется (3). Тогда G/R = R < AutR (4). Так как R циклическая, то, как известно, AutR - абелева группа. Тогда из (4) следует, что G разрешима.
да
Пусть выполняется (2). Тогда из простоты G/R следует, что R = Z(G) (5).
Для подгруппы G возможны два случая:
1. G' = G.
Тогда G в силу определения 5 является квазипростой группой. Пусть Z <х Ф(G) (6). Тогда существует такая M<G, что Z <х M, и потому G = MZ. Отсюда следует, что M < G и G/M абелева, то есть G с M, в противоречие с условием 1. Значит, (6) не выполняется, и потому Z с Ф(G). Теперь из простоты G/Z получаем справедливость (1).
Этим доказано, что в случае 1 G - квазипростая группа, удовлетворяющая условиям теоремы 7.
2. G' ф G.
Тогда из определения R следует, что G с R, и потому G/R абелева. Так как R циклическая, то G - разрешимая группа. □
Следствие. Пусть G - конечная неразрешимая CZM-группа и существует M <• G такая, что для любого xe (GM)
M ПMx| = p (7), где p - простое число. Тогда G - простая группа.
Доказательство. Пусть G не простая. Тогда в силу теоремы 7 она квазипростая и
Z = Z(G) = Ф(G). Поэтому (M ПMx) з Z, и в силу (7) M ПMx = Z. Отсюда следует, что (m / Z) п (Mx / Z) = Z (8) - единица группы G/Z. Так как последняя группа простая, то N(M/Z) = M/Z. Отсюда и из (8) следует, что G/Z - группа Фробениуса, и по теореме Фробениуса она не простая, в противоречие с теоремой 7. Значит, G - простая группа. □
Заключение
В § 1 получено описание конечных разрешимых См-групп (теорема 4). Оказалось, что этот класс "не очень сильно" отличается от класса конечных разрешимых С/М-групп.
В § 2 найдены все бесконечные бинарно конечные См-группы (в частности, все они локально разрешимы).
В § 3 описание конечных неразрешимых С/М-групп сведено к описанию простых и некоторых квазипростых групп с этим условием. Описание таких групп, по нашему мнению, представляет несомненный интерес.
Список литературы
1. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 2(21). С. 22-35.
2. Черников Н.С., Половицкий Я.Д., Чечулин В.Л. Группы с условием инцидентности для нециклических подгрупп // Укр. матем. журнал. 1996. Т. 48, № 4. С. 533-539.
3. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 240 с.
4. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980. 383 с.
5. Черников Н.С. Локально конечные охгА -факторизуемые группы // Исследования по теории групп. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976. С. 63-110.
On groups with cyclic intersections of nonincident (maximal) subgroups
Ya. D. Polovitsky, T. M. Konevskikh
Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru; 8(342) 239-63-21
The paper considers groups with cyclic intersections of nonincident subgroups (C^-groups). Finite solvable and infinite binary finite C^-groups are described based on the description of finite solvable CIM-groups obtained in [1]. The study of finite unsolvable CIM-groups is reduced to the description of simple and some quasisimple groups with this condition.
Keywords: group; maximal subgroup; cyclic subgroup; incident.
