О МАКСИМАЛЬНЫХ АНТИЦЕПЯХ НЕЦИКЛИЧЕСКИХ ПОДГРУПП КОНЕЧНЫХ ГРУПП Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2 (41)

УДК 510.54

О максимальных антицепях нециклических подгрупп конечных групп

Я.Д. Половицкий, А.А. Волочков

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; тел. (342) 239-63-21

Находится максимальная длина антицепей нециклических подгрупп ((н-ширина) ряда известных конечных р-групп.

Ключевые слова: группа; нециклическая подгруппа; антицепь. БОТ: 10.17072/1993-0550-2018-2-16-24

Введение

В работе [1] — [4] получено описание конечных групп, в которых максимальная длина антицепей подгрупп ((-ширина) не превосходит пяти, и найдена (-ширина ряда известных групп.

В настоящей работе изучаются вопросы, связанные с максимальной длиной антицепей нециклических подгрупп ((н-шириной) конечных групп. Найдена (н-ширина ряда известных р-групп (в частности, имеющих циклическую подгруппу индекса р). Наряду со стандартными обозначениями в работе используются и следующие: группа типа к\ х к.2 х ... х к3 — прямое произведение циклических групп порядков к\,к2,... ,к3; □ — конец доказательства.

1. Некоторые общие утверждения о ^н-ширине групп

Определение 1. (1н-шириной группы О назовем наибольшую из длин антицепей ее нециклических подгрупп (обозначать ее будем через (н(О), иногда через (н).

© Половицкий Я. Д., Волочков А. А., 2018

Другими словами, (н(О) — это число неинцидентных нециклических подгрупп группы О, обладающее свойством: из любого большего числа нециклических подгрупп этой группы хотя бы две инцидентны.

В частности, группа ( н-ширины 1 — это в точности нециклические группы с условием инцидентности для нециклических подгрупп. Локально ступенчатые группы с этим условием описаны в [5].

Определение 2. Антицепь из т нециклических подгрупп группы О назовем т-нециклической антицепью.

Определение 3. Если (н(О) = п, то любую п-нециклическую антицепь группы О назовем (н-базисом О.

Я.Д. Половицким в [1] введено понятие ранга инцидентности (/-ранга) группы. Как отмечено в [4], в дальнейшем ему стало известно, что оно равносильно введенному еще в 1965 г. Л.Н. Шевриным в работе по полугруппам понятию (-ширины группы (полугруппы). С 2014 г (см. [4]) в работах Я.Д. По-ловицкого вместо понятия ранга инцидентности используется понятие ( -ширины группы.

Определение 4. (Л.Н. Шеврин) Максимальная длина антицепей в решетке подполугрупп (подгрупп) некоторой полугруппы (группы) называется й-шириной этой полугруппы (группы). й-ширину группы О будем обозначать через й(О).

Определение 5. Антицепь подгрупп группы О длины й(О) назовем й-базисом О.

Некоторые результаты о й-ширине группы из [1] — [4] мы будем использовать в настоящей работе. Это связано с доказанными ниже леммами 1 и 2.

Лемма 1. Пусть N<0 и N содержится во всех нециклических подгруппах группы О. Тогда йк(О) < ) (1). Если N -

нециклическая группа, то йн(О) = )

(2).

Доказательство. Введем обозначения:

п = йн(0) (3), т = ) (4). Пусть

{В-Ц = 1,п} — йн-базис О. Тогда, так как он является антицепью и в силу условия леммы Bj Э N, то {Bj/N^ = 1,п} является антицепью из п подгрупп группы G/N и потому ввиду (4) п < т (5), то есть выполняется (1).

Пусть подгруппа N — нециклическая. Если {О»|г = 1,т} — й-базис группы 0/N, то | О г |г = 1,т} — антицепь нециклических подгрупп группы О (ибо N нециклическая и Ог Э N). В силу определения йн-ширины и (3) имеем: т < п, откуда и из (5) следует т = п, то есть справедливо (2). □

Следствие. Если О (п > 2), то

п 2

группа типа р' хр2

йн(О) = (р - 1)(п - 1) + 2.

(1.1)

Доказательство. В такой группе О нижний слой

О1 ^ Ер2 (1.2)

содержится во всех ее нециклических род-группах. Поэтому в силу леммы 1,

йн(О) = й(О/О1).

(1.3)

Из 1.3 и условия следствия вытекает, что О/О1 — группа типа рп-1 х р, и по теореме 7 из [3] й(О/О1) = р(п - 1) - (п - 1) + 2 =

(р - 1)(п - 1) + 2. Отсюда и из 1.3 следует справедливость равенства 1.1. □

Лемма 2. Пусть N <1 О и подгруппа N — нециклическая. Тогда ) <

йн(О) (1) и для всякого й-базиса |г = 1,..., т} (2) группы О/^ множество {Ог|г = 1,..., т} (3) является антицепью нециклических подгрупп группы О, содержащих N.

Доказательство. Действительно, если бы Ог Э Gj для некоторой пары (г,^), то 0i/N Э 0j/N, в противоречие с тем, что (2) является антицепью. Значит, (3) есть т-нециклическая антицепь О, где т = й(О/^), и по определению числа йн(О) выполняется (1). □

Следствие 1. Пусть О — группа типа 2т х 2п, где т > 3 и п > 3. Тогда йк(О) > 7 (9).

Доказательство. Из условий следствия видно, что О Э N, где N — группа типа 2т-2 х 2п-2 и N — нециклическая. Так как О/^ — группа типа 4 х 4, то в силу следствия 1 леммы 7 из [4] ) = 7, а тогда из неравенства (1) леммы 2 вытекает справедливость (4). □

Следствие 2. Пусть О = Р х д (5), где Р ^ Ер2, д = Ед2. Тогда йк(О) = р+д+2 >

7 (6).

Доказательство. Нетрудно видеть, что каждая истинная нециклическая подгруппа группы О содержит либо Р, либо д, но ввиду (5) не может содержать одновременно и Р, и д. Так как О/Р = £д2 и О/д = Ер2, то попарно неинцидентных подгрупп, содержащих Р, в силу леммы 1 из [2] в О равно

д + 1, а содержащих д — (р + 1). Так как

22 первые имеют порядок д2р, а вторые р2д,

то все указанные выше подгруппы попарно

неинцидентны и вместе составляют йн-базис

О. Поэтому справедливо (6). □

Следствие 3. Пусть О = Ер2 х где р = 2. Тогда йк(О) = р + 4 > 7 (7).

Доказательство. Как и при доказательстве следствия 2, нетрудно получить, что объединение множеств всех подгрупп порядка 4р2 (их 3) и 8р (их р + 1) является (н-базисом О (мы используем лемму 2 и то, что ((фв) = 3 и ((Ер2) = р + 1) и он состоит из (р +1) + 3 = р + 4 подгрупп. Отсюда следует справедливость равенства (7). □

Лемма 3. Пусть О — конечная нециклическая непримарная нильпотентная группа. Если (Н(О) < 6 (1), то О = Р х Б (2), где Р — нециклическая р-группа, Б — циклическая р' -группа.

Доказательство. Если в О существует две силовские подгруппы Р и ф, в каждой из которых более одной подгруппы простого порядка, то О содержит подгруппу К = Ер2 х Ед2 и в силу следствия 2 леммы 2 (н(К) > 7, в противоречие с (1). Значит, такая силов-ская подгруппа Р либо единственна, либо такой подгруппы в О нет.

Если наряду с такой р-подгруппой Р, где р = 2, силовская 2-подгрупа Р2 группы О нециклическая, то в Р2 по доказанному выше подгруппа порядка 2 единственна и потому Р2 = , п > 3. Значит Р2 содержит подгруппу фв. Но тогда О содержит подгруппу ^ = Ер2 х фв, а по следствию 3 леммы 2 (н(^) > 7, противоречие с (1). Значит, так как О нециклическая, в ней ровно одна нециклическая силовская подгруппа (Р или Р2) и потому справедливо утверждение леммы. □

Лемма 4. Число максимальных подгрупп группы Ерп равно р—Т (1).

Доказательство. Действительно, в такой группе количество подгрупп порядка р равно, очевидно, числу (1), а, как известно, этому числу равно и число ее максимальных подгрупп. □

Следствие 1. Если в конечной р-группе О |О/Ф(О)| = рп, то в О ровно в = р—г максимальных подгрупп. Если О нециклическая р-группа, то в > 3.

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из того, что при усло-

вии следствия О/Ф(О) = Ер п, и леммы 4. □

Следствие 2. (н(Ерз) = р2 + р + 1 > 7 (2).

Доказательство. Действительно, в группе Ерз (н-базис — это множество всех ее максимальных подгрупп, и из леммы 4 следует справедливость следствия 2. □

Следствие 3. Пусть О — конечная нециклическая р-группа и (н(О) < 6 (3). Тогда |О/Ф(О)| = р2 (4). Если все максимальные подгруппы группы О нециклические, то (н (О) > р + 1 > 3.

Доказательство. Из условий данного следствия и неравенства (2) следствия 2 леммы 4 вытекает, что |О/Ф(О)| < р2, и, так как О нециклическая, справедливо (4). В силу следствия 1 и леммы 4, в О ровно (р+1) максимальных подгрупп. Если все они нециклические, то составляют (р+1)-нециклическую антицепь, и потому справедливо (4). □

2. Конечные абелевы группы, ^н-ширина которых не превосходит пяти

Лемма 5. Пусть О — группа типа рт х рп, р = 2 (1) с п,т большими 1, и (н(О) < 5 (2). Тогда О — группа типа р2 х р2.

Доказательство. Пусть заключение леммы не выполняется, то есть, например, п > 3 (3). В этом случае в О существует нециклическая подгруппа N типа рт-1 х р (ибо т > 1) и О/N — группа типа р х рп-1 (4), где (п — 1) > 2 (5) — в виду (3). В силу леммы 2 (н (О) > d(О/N) (6). Из (4) и теоремы 7 из [3] имеем: d(О/N) = р(п — 1) — (п —1) + 2 = (р — 1)(п — 1) + 2 > 6 (мы использовали (1) и (5)), что в силу (6) противоречит условию (2). Значит, справедливо (3). □

Теорема 1. Конечные нециклические абе-левы р-группы, йн-ши,ри,на которых не превосходит пяти, это группы следующих типов, и только они:

1. (н = 1 : р х рп;

2. (н = 2 — не существует;

3. (н = 3 : 22 х 22;

4. (н = 4 : 22 х 23 и 32 х 32;

5. йн = 5 : 22 х 24.

Доказательство. Необходимость. Пусть О — конечная абелева р-группа, не являющаяся циклической, и йн(О) < 5 (1). Рассмотрим подгруппу О1 = 01(О).

Если |О1| > р3, то в О1 содержится подгруппа К = Ерз, а в силу следствия 2 леммы 4 йн(К) > 7, в противоречие с (1). Значит, |О1| < р2. Если |О1| = р, то так как О абеле-ва, она является циклической вопреки условию теоремы. Значит, |О| = р2, и потому О — группа типа рт х рп (2). Если т, п отличны от 1, то в силу условия (1) из леммы 5 (при р = 2) и следствия 1 леммы 2 (при р = 2) получается, что т < 2. Поэтому возможны два случая.

1. т = 1. Тогда О — группа типа р х рп (3) и йн(О) = 1. Нетрудно видеть, что всякая группа типа (2) при йн(О) = 1 имеет тип

(3).

2. п = 1, т = 2. Тогда О — группа типа р2 х рп (4) и п > 2 (5). Поэтому в силу условия леммы 1 йн = (р — 1)(п — 1) + 2 (6), то есть (р — 1)(п — 1) = йн — 2 (7). Отсюда в силу (5) йн = 2, что и отмечено в теореме.

Для йн > 3 из (7) имеем: (п — 1)|(йн — 2) (8) и (р — 1)|(^н — 2) (9). Из условий (7)—(9) мы можем найти все типы групп О, для которых 3 < йн(О) < 5. Рассмотрим каждый из этих случаев.

2.1. йн(О) = 3. Тогда из (7) и (8) следует, что п = 2, р = 2, то есть О — группа типа

22 х 22.

2.2. йн(О) = 4. Учитывая (7), имеем: (р — 1)(п — 1) = 2, то есть либо р = 2 и п = 3, либо р = 3 и п = 2 — получаем группы типов

22

23 и 32 х 32.

р-группа. 3 < йн(Р) < 5 тогда и только тогда, когда Р — группа типа 22 х 2к, где 2 < к < 4, или 32 х 32.

Лемма 6. (см. теоремы 1 и 14 из [3] и теоремы 4 и 5 из [4]) Конечные группы, й-ширина й которых не превосходит трех и конечные абелевы группы й ширины 4 и 5 — это группы следующих видов, и только они: й = 1 : Ърп; й = 2 : Ърдп п > 2, Ърдг, (8, группа Клейна; й = 3: Ър2дп (п > 2), %рдг, <8, группа Клейна; й = 4 : группы типов 2 х 4, 3 х 3, 2 х 2 х 2 х р (р = 2), Ъ

(п > 2), Ъ„з„п (п > 3) ; й = 5 : Ъ„4

2.3. йн(О) = 5. Тогда в силу (7) (р—1)(п — 1) = 3, откуда р = 2, п = 4 и О — группа типа 22 х 24. Небходимость доказана.

Достаточность. Пусть О — группа одного из указанных в теореме 1 типов. В группе О типа рх рп все нециклические подгруппы инцидентны, и потому йн(О) = 1. Для всех остальных типов групп, указанных в теореме 1, справедливо равенство (7), и в силу следствия леммы 1, эти типы имеют указанную в теореме 1 йн-ширину. □

Следствие. Пусть Р — конечная абелева

(п > 4), Ър2д2г, типов 2 х 2 х дп (д = 2, п > 2), 23 х 2, 3 х 3 х д (д = 3).

Замечание. В теореме 5 из [4] уточнены два типа непримарных абелевых групп й-ширины 4, приведенные ранее в теоремах 10 и 14 из [3].

Теорема 2. Конечные непримарные абелевы группы с условием 0 < йн < 5 (1) — это группы следующих типов, и только они (р, д,г, £ — различные простые числа): йн = 1 : р х р х дт; йн = 2 : р х р х дгт, р х р2 х дп, р х рп х д (п > 2); йн = 3 : р х р х дг£, р х р2 х дг, р х р х д2гп (п > 2), р х р3 х дп (п > 2), р х рт х д2 (т > 3); йн = 4 : р х р х дпг£ (п > 2), р х р2 х дпг (п > 2), рхртхдг (т > 3), 4х4хр (р = 2), р х рт х д3 (т > 4); йн = 5 : р х р х д4гп (п > 4), р х р5 х дп (п > 4), р х рп х д4 (п > 5), рхрхд2г2£, рхр2 хд2г2, рхр2 хд2 22 х 22 х дп (д = 2,п > 2), 32 х 32 х д (д = 3).

Доказательство. Необходимость. Пусть О — группа, удовлетворяющая условиям теоремы. Из условия (1) и леммы (3) следует, что О = Р х 5 (2), где Р — нециклическая р-группа, Б — циклическая р'-группа и йн(Р) < 5. В силу теоремы 1 Р — группа типа рт х рп и т < 2. Поэтому подгруппа Р1 = ^1(Р) = Ер2 и содержится во всех нециклических подгруппах группы О. В силу леммы 1 йн(О) = й(О/Р1) (3), причем ввиду (2) в О/Р1 все р'-подгруппы циклические. Теперь из (1) — (3), абелевости О и описания групп й-ширины, не превосходящей пяти (в работах [1] — [4]), необходимые для нас сведения из которого приведены выше в лемме 6, нетрудно получаются все типы

изучаемых в теореме 2 групп (они приведены там для каждого рассматриваемого значения dH). Отметим, что при получении указанных типов учитывается и возможность того, что p G n(G/Pi). Необходимость доказана.

Достаточность. Если G имеет один из указанных в теореме 2 типов, то, учитывая, что Pi имеет тип p х p, из (2), (3) и леммы 6, без труда проверяется, что такая группа G имеет указанную в теореме 2 йн-ширину. □

3. О ^н-ширине некоторых конечных неабелевых р-групп

Хорошо известно следующее утверждение:

Лемма 7. (см. например, [6], задача 17.28). Конечная р-группа G тогда и только тогда является группой Миллера—Морено, когда |G/Z(G)| = р2 и Z (G) = $(G).

Следствие. Пусть G — конечная неабе-лева р-группа, dH(G) < 6 (1), Z = Z (G) — нециклическая группа, подгруппа S = Qi(G) содержится во всех нециклических подгруппах группы G и G/S = Ep2 (2). Тогда G является группой Миллера—Морено, S = Ep2 (3), ^h(G) = p+1 (4) и p G {2, 3, 5} (5).

Доказательство. В силу условий следствия S С Z, а тогда из (2) и неабелевости G получаем, что S = Z (6). Далее, из того, что Z нециклическая и G неабелева, следует, что все максимальные подгруппы группы G — нециклические, а тогда из условия следствия для S получаем, что S С $(G), и в силу (3) S = $(G). Отсюда и из (6) следует Z = $(G). Отсюда и из условия (2) в силу (6) и леммы 7 получаем, что G — группа Миллера—Морено. В силу (6) подгруппа S абелева и нециклическая, а тогда из ее определения следует, что S = Epn (n > 2). Но ввиду условия (1) и следствия 2 леммы 4 n < 2, и поэтому n = 2 и выполняется (3). По лемме 1 dH(G) = d(G/S), а последнее число ввиду (2) равно (p + 1). Этим доказано (4). Так как ввиду (1) (p+1) < 6, то справедливо (5). □

Лемма 8. Пусть О — конечная неабелева р-группа, |О/Ф(О)| = р2 (1) и в О существуют две абелевы максимальные подгруппы. Тогда О — группа Миллера— Морено.

Доказательство. Из существования в О двух абелевых максимальных подгрупп следует (см. напр. [6], задача 17.25), что О имеет точно (р + 1) абелевых максимальных подгрупп. Но из (1) видно, что в О всего (р + 1) максимальных подгрупп, и поэтому О — группа Миллера—Морено. □

Ниже мы найдем (н-ширину конечных нециклических р-групп, имеющих циклическую максимальную подгруппу. Все типы таких групп известны (см. напр., [6], задача 17.17). В группах типа р х рп и Мрп (рп = 8) все нециклические подгруппы инцидентны, и потому там (н = 1. Далее, (н(Мв) = 2, ибо в Мв всего две собственные нециклические подгруппы и они не инцидентны.

Для нахождения (н-ширины остальных типов упомянутых выше групп (это ^2п , ф2п и БВ2п) удобно использовать следующую лемму:

Лемма 9. Пусть в конечной группе О любые две максимальные подгруппы имеют циклическое пересечение. Если |М1,...,М^} — множество всех максимальных нециклических подгрупп группы О, К1,..., К — их (н-базисы, то К П Кj = 0 (1) для любых г,^ при г = ] (г,^ = 1,к), множество К = и^=1Кг (2) — (н-базис О и (н(О) = Е^=1 (н(МО (3).

Доказательство. Пусть В,, Bj — любые антицепи нециклических подгрупп соответственно из групп М,, Mj. Покажем, что В, П Bj = 0 (4) при г = Предположим, что Bi П в. Э В. Тогда, так как В, С М,, в. С М,, то В < М, П М, (5). Но последнее пересечение по условию леммы — циклическая группа, а подгруппа В, входящая в антицепь нециклических подгрупп, нециклическая. Значит (5) невозможно, и потому выполняется (4). Из доказанного следует справедливость равенства (1).

Проверим, что множество К вида (2) является антицепью. Так как справедливо (1),

то в К нет повторяющихся подгрупп. Предположим, что существуют #1,#2 из К, такие, что #1 < #2 (6). Тогда в силу (2) #1 С К, Я2 С Ку и потому #1 С Мг (8), #2 С Му (9), причем г = j (ибо каждая Кг есть антицепь). Но из (6) и (9) следует, что #1 С Му, а тогда в силу (7) #1 С Кг П Ку, в противоречие с (1). Значит, К — антицепь.

Введем обозначения: йн(Мг) = тг (10), где г = 1,к. Тогда Кг — множество из тг элементов, и в силу (2) и (1) |К| = ^к=1 тг (11).

Покажем, что К есть йн-базис О. Пусть Б — любая антицепь нециклических подгрупп группы О. Тогда, очевидно, Б = ик=1 Вг (12), где Вг = Б П Мг ибо каждая нециклическая подгруппа группы О содержится в некоторой Мг. Так как Б — антицепь, то Вг — антицепь нециклических подгрупп, содержащихся в Мг. В силу (10) |Вг| < тг (14), г = 1,к. Но по доказанному выше справедливо (4), и потому из (11) и (12) следует, что |Б| < т1 + ... + = |К|. Значит, в антицепи К наибольшее число нециклических подгрупп группы О, то есть К — йн-базис О и йн(О) = |К|, а из (10) и (11) тогда следует справедливость равенства (3). □

Следствие 1. йн-ширина группы Б2п (п > 3) равна 2п-2. Один из йн-базисов этой группы — множество всех ее четверных подгрупп.

Доказательство. Как отмечено в [6] (задачи 17.20, пункты 9 и 10) группа О = В2п имеет два класса сопряженных четверных подгрупп, а нормализатор каждой такой подгруппы изоморфен ^8, то есть имеет порядок 8. Поэтому в каждом таком классе сопряженности 2п-3 подгрупп. Объединение Р этих двух классов — это 2п-2-нециклическая антицепь. Так как эти подгруппы являются максимальными нециклическими, то можно предположить, что Р — это йн-базис О и ) = 2п-2 (13). Докажем эти два утверждения для всех п > 3 индукцией по п. При п = 3 в ^23 всего две нециклических собственных подгрупп. Эти четверные подгруппы составляют йн-базис этой группы, и поэтому при п = 3 и равенство (13) выполняется.

Пусть наши два утверждения верны для п — 1, то есть йн(^2п-1) = 2п-3 (14) и все четверные подгруппы группы ^п-1 составляют ее йн-базис.

Как известно (см. напр., [6], задача 17.20, пункт 4), в всего две максимальные

нециклические подгруппы М1 и М2, Мг = £2„-1 (15), г = 1, 2 и М1ПМ2 — циклическая группа. Пусть В1 и В2 — множества всех четверных подгрупп, соответственно, групп М1 и М2. В силу предположения индукции и леммы 9 множество В = В1 и В2 всех четверных подгрупп группы является ее йн-базисом и йн(^2п) = йн(М1) + йн(М2) = 2■ 2п-3 = 2п-2 (мы использовали (15) и (14)). Этим доказано равенство (13) и существование в йн-базиса из всех ее четверных пдгрупп, то есть утверждение следствия 1 верно для любого п > 3. □

Следствие 2. Если О = (2п (п > 4), то йн(О) = 2п-3 (16) и множество всех подгрупп группы О, изоморфных группе кватернионов, составляет ее йн-базис.

Доказательство. Из определения О имеем: О/2 = £2П-1, где 2 = 2(О) — единственная подгруппа порядка 2 группы О и 2 содержится во всех ее подгруппах. Если А — нециклическая подгруппа группы О и А/2

— циклическая, то А абелева и, так как содержит единственную инволюцию, циклическая, в противоречие с выбором А. Значит, А/2 также нециклическая. Поэтому если йн(О) = т (18), и {Ог|г = 1,т}

— йн-базис О, то {Ог/2|г = 1,т} — т-нециклическая антицепь группы О/2, и потому если йн(О/2) = § (19), то т < 8 (20). Обратно, если {Вг/2|г = 1,в} — йн-базис О/2, то {Вг|г = 1,в} — в-нециклическая антицепь О, и потому в силу (18) в < т, откуда ввиду (20) в = т, то есть в = йн(О) = йн(О/2) (21). Но в силу (17) и следствия 1 леммы 9 йн(О/2) = 2(п-1)-2 = 2п-3, и поэтому ввиду (21) выполняется (16), и в силу этого же следствия йн-базис группы О/2 состоит из всех ее четверных подгрупп Вг/2, г = 1,в. Но тогда |Вг| = 8, в Вг — единственная подгруппа порядка 2 и Вг нециклическая, то есть Вг = ((8. В силу доказанного выше (см. (21)) {Вг|г = 1,в} — йн-

базис О. Он состоит из подгрупп, изоморфных фв, причем из всех таких подгрупп (ибо из С = фв следует, что С/^ — четверная группа). □

Следствие 3. Если О = £^2п (п > 4), то (н(О) = 3 ■ 2п-4 ив О существует (н-базис, состоящий из всех ее подгрупп, изоморфных фв, и всех четверных подгрупп (то есть всех минимальных нециклических подгрупп группы О).

Доказательство. Известно (см. напр., [6], задача 17.12, пункт 4), что в такой группе О всего две максимальные нециклические подгруппы — М1 = ^п-1 и М2 = ^п-1, причем М1 П М2 — циклическая группа. Отсюда в силу леммы 9 и ее следствий 1 и 2 получаем существование в О указанного в следствии 3 (н-базиса (являющегося объединением (н-базисов М1 и М2) и справедливость равенства (н(О) = (н (М1) + (н(М2) =

□

2п-3 + 2п-4 = 3 ■ 2п-4.

Следствие 4. Пусть О — конечная нециклическая р-группа, имеющая циклическую максимальную подгруппу. (н(О) = 3 (22) тогда и только тогда, когда О = (23)

Доказательство. Необходимость. Пусть (н(О) = 3. Так как в О существует циклическая максимальная подгруппа, то, (см., напр., [6], задача 17.17), О изоморфна одной из следующих групп: типа р х рп-1, Мр4, ^2п, ф2п или (группы (24)). У пер-

вых двух типов (н = 3 — это отмечено перед леммой 9, у Б2п и ф2п число (н четное (следствия 1,2 леммы 9). По следствию 3 леммы 9 (н(Б^2п) = 3 ■ 2п-4 и из (22) следует, что п = 4, то есть справедливо (23). Необходимость доказана.

Достаточность. В силу следствия 1 леммы 9 (н(Б^1в) =3 ■ 2е = 3. □

Следствие 5. В конечной группе О (н(О) = 2 (25) тогда и только тогда, когда О изоморфна или ф16.

Доказательство. Достаточность следует из того, что в ^в и ^16 всего по две не инцидентных нециклических подгрупп. Докажем

необходимость. Пусть выполняется (25). Тогда О нециклическая и в ней не более двух максимальных нециклических подгрупп. Но в силу следствия 1 леммы 4 в О не менее трех максимальных подгрупп, и потому в О есть циклическая максимальная подгруппа, то есть О — одна из групп (24). Если она — группа одного из первых двух перечисленных там типов, то, как отмечено перед леммой 9, при условии (25) О = Мв. Если О = ^2п, то по следствию 1 леммы 9 (н(О) = 2п-2 = 2, откуда п = 3 и О = А. Отметим, что ^в = Мв, то есть мы пока получим один тип р-групп с условием (25). Если О = ф2п, то по следствию 2 леммы 9 (н(О) = 2п-3 = 2, откуда п = 4 и О = ф^. Наконец, если О = , то по следствию 3 леммы 9 (н(О) = 3 ■ 2п-4 = 2. Мы получили все искомые типы групп. □

Лемма 10. Пусть в конечной группе О все максимальные подгруппы М1, М2,..., Мп нециклические и (н(М,) = 1 (1), г = Т~га. Тогда (н(О) = п (2) и {М,|г = 1~га} (3) — (н-базис О.

Доказательство. Покажем, что множество (3) — (н-базис О. Очевидно, что оно яв-1яется п-нециклической антицепью. Если {б?Ц = 1,т} — (н-базис О, и т > п (4), то хотя бы две его подгруппы содержатся в одной максимальной подгруппе М, и в силу условия (1) они инцидентны, в противоречие с определением (н-базиса. Значит, (4) не выполняется и потому (3) — (н — базис О, а тогда выполняется (2). □

Лемма 11. Для всякой нециклической подгруппы В конечной группы О справедливы неравенства: |с1(В)| < (н(О) (1) и (н(О) > (В)/В) (2).

Доказательство. Справедливость (1) следует из того, что с1(В) есть антицепь нециклических подгрупп. Так как все подгруппы группы О, содержащие В, нециклические, то выполняется (2). □

Следствие. Пусть О — неабелева р-группа, (н(О) = в. Тогда для любой нециклической подгруппы В группы О | с1 (В) | = рь < в.

Лемма 12. Пусть в конечной группе О существует к максимальных нециклических подгрупп Б1,..., (1), удовлетворяющих условиям: Бг П Бу = Р (2) для любых различных г, j (г, j = 1,к), ^н(Б1) > 3 (3) и ¿н(Р) < 1 (4). Тогда ^(О) > к (5).

Доказательство. В силу (3) в ^н-базисе подгруппы Б1 находится три попарно не инцидентных нециклических подгрупп В1,В2,В3. Из (4) следует, что по крайней мере две из них (пусть это В1 и В2) не содержатся в Р, и потому в силу (2) В1 и В2 не содержатся в каждой из подгрупп Б2,..., . Отсюда и из того, что Бг < О следует, что {В1, В2, Б2,..., } — (к + 1)-нециклическая антицепь и потому выполняется (5). □

Следствие 1. Пусть О — конечная р-группа, |О/Ф(О)| = р2 (6), множества {М1,..., Мр+1} всех максимальных подгрупп группы О является ее йн-бази,сом и ¿н(Ф(О)) < 1 (7). Тогда ^н(Мг) < 2 (8) для любого г = 1,р + 1.

Доказательство. Пусть существует такое г1, что ^н(Мг1) > 3 (9). В силу (6) Мг П Му = Ф(О), и |Му/Ф(О)| = р (для всех г, j = 1,р + 1). Из сказанного выше и условия (7) видно, что для М1,..., Мр+1 (10) выполняются все условия леммы 12 и по этой лемме ^н(О) > р + 1, в противоречие с тем, что (10) есть -базис О. Значит, (9) не выполняется, то есть справедливо (8) для всех г = 1,р + 1. □

Следствие 2. Пусть О — конечная р-группа, |О/Ф(О)| = р2, все максимальные подгруппы группы О составляют ее йн-базис и ЗМу < О, что ^н(Му) > 3 (11). Тогда ^н(Ф(О)) > 1 (12).

Действительно, если предположить, что (12) не выполняется, то в силу следствия 1 леммы 12 4(Му) < 2, в противоречие с условием (11).

Лемма 13. Пусть О — конечная р-группа, Ф = Ф(О), |О/Ф| = р2 (1), ¿н(Ф) < 2 (2) и в О существуют такие три максимальные подгруппы М1, М2, М3, что ^н(Мг) = 3, г = 1, 2, 3. Тогда ^н(О) > 4

(4).

Доказательство. В силу условия (1) в G p + 1 максимальных подгрупп Mi (i = 1,p + 1) и Mi П Mj = Ф (5) при любых i = j. В каждой из подгрупп Mi,M2,M3 выберем по ^н-базису (в силу леммы (3) в каждой из них не менее трех подгрупп).

Возможны два случая.

1. Хотя бы в одном из этих трех dH-базисов найдутся две подгруппы, не содержащиеся в Ф (пусть это будут Si и S2 из Mi, это всегда возможно при ¿н(Ф) < 2). Тогда {Si,S2, M2, M3} (6) — антицепь (ибо в силу

(5) Si £ Mj при j = 2,3 и Mj < G). Мы нашли 4-нециклическую антицепь и потому выполняется (4).

2. Условие 1 не выполняется, то есть в каждом из трех выбранных ^н-базисов группы Mi только одна подгруппа не содержится в Ф (пусть это будут Ri, R2, R3 (R < Mi, i = 1, 2, 3)). Тогда, как отмечено в пункте 1 из (2) следует, что ^н(Ф) = 2. В силу следствия 5 леммы 9 Ф изоморфна D или Qi6. Но в каждой из таких групп — единственный ^н-базис из двух подгрупп (пусть это будет Ti,T2). Тогда {Ri,Ti, T2} — ^-базис Mi (i = 1, 2, 3), и потому {Ri, R2, R3, Ti,T2} — 5-нециклическая антицепь и выполняется

(4). □

Лемма 14. Пусть G/S — циклическая 2-группа, S — группа Клейна и все максимальные подгруппы группы G нециклические. Тогда dH (G) > 7 (1) и G содержит подгруппу, изоморфную Eg.

Доказательство. Так как G/S = (g), то g2 G S. Если g2 = 1, то так как |G| = 2k+2 и G нециклическая, то (g) < G, вопреки условию леммы. Значит, g2 =1 и потому G = S X (g) (2). Известно (см., напр.

[6], задача 11.11), что Aut(S) = S3. Отсюда, учитывая, что G — 2-группа, следует, что |G/C(S)| < 2. Теперь из этого и из (2) получаем, что при |g| =2 в G содержится под-

оА;

группа T = S х (g2 ), изоморфная E8, и в силу следствия 2 леммы 4 dH(T) > 7, а тогда выполняется и (1).

Если же любой элемент из G \ S является инволюцией, то в G все отличные от 1 элементы имеют порядок 2 и потому G — абелева группа. Тогда G = S х (g) = Eg и

опять выполняется (1) и второе утверждение леммы 4. □

Заключение

Основываясь на полученных в настоящей статье результатах, авторами получено описание конечных групп (н-ширина которых не превосходит 3. Описание конечных неинцидентных групп с этим условием приводится в другой статье из настоящего сборника.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д. Ранг инцидентности // Алгебра и линейная оптимизация: Тр. меж-дунар. сем. Екатеринбург, 2002. С. 184—186.

2. Половицкий Я.Д. Группы, имеющие небольшие ранги инцидентности // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Вып. 5. С. 6569.

3. Половицкий Я.Д. Конечные группы ранга инцидентности 4 // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 2(2). С. 4—14.

4. Половицкий Я.Д. (-ширина некоторых групп. Конечные группы (-ширины 5 // Вестник Пермского университета. Сер. 13Математика. Механика. Информатика. 2014. Вып. 1(24). С. 13—24.

5. Черников Н.С., Половицкий Я.Д., Чечулин В.Л. Группы с условием инцидентности для нециклических подгрупп // Украинский математический журнал. 1996. Т. 48. N4. С. 533—539.

6. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.:Наука, 2000. 230 С.

About maximal antichains of noncyclic subgroups of a finite groups

Ja.D. Polovitsky, A.A. Volochkov

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru; (342) 239 63 21

A maximal length of antichains of noncyclic subgroups (dH-width) of some known p-groups are found.

Keywords: group; noncyclic subgroup; antichain.