КОНЕЧНЫЕ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ DН-ШИРИНА КОТОРЫХ НЕ ПРЕВОСХОДИТ ТРЕХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 2 (41)

УДК 510.54

Конечные нильпотентные группы ^н-ширина которых не превосходит трех

Я.Д. Половицкий, А.А. Волочков

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; тел. (342) 239-63-21

Описаны конечные нильпотентные группы, в которых максимальная длина антицепей нециклических подгрупп не превосходит трех.

Ключевые слова: нильпотентная группа; нециклическая подгруппа; антицепь. БОТ: 10.17072/1993-0550-2018-2-25-30

Введение

В настоящей статье описываются конечные нильпотентные группы в которых максимальная длина антицепей нециклических подгрупп ((н-ширина) не превосходит трех. Описание получено на базе статьи [1]. Там приведены все необходимые определения и используемые обозначения. Для удобства здесь мы продолжим нумерацию лемм, теорем и.т.п. из [1]. При ссылке, например, на лемму 2, если она не помещена в настоящей статье, мы имеем ввиду лемму 2 из [1].

1. Конечные неабелевы р-группы, ^н-ширина которых не превосходит трех

Теорема 3. Конечная неабелева р-группа С, (1н-ширина которой не превосходит трех, это одна из следующих групп, и только такая группа: (н = 1: 1. (8; 2. Мрп, рп = 8; (н = 2: 3. Б8; 4. Яге; (н = 3: 5. С/Ф(С) = Е4, Ф(С) = Еа, |Я(С)| = 2, одна максимальная подгруппа группы С — группа типа 2 х 4 остальные две максимальные подгруппы изоморфны Б8; 6. С = (а) X (Ъ),

© Половицкий Я. Д., Волочков А. А., 2018

а4 = Ъ4 = 1, Ъ-1 аЪ = а-1 (одна из групп Миллера—Морено); 7. С = (а) (Ъ), а8 = Ъ8 = 1, а4 = Ъ4, Ъ-1аЪ = а-1 (две ее максимальные подгруппы изоморфны М16, а третья — группа типа 2 х 8); 8. БВ1е.

Доказательство. Необходимость. Пусть (н = (н(С) < 3. Рассмотрим отдельно каждую из этих возможностей для (н.

1. (н = 1.

Если в такой р-группе С все истинные подгруппы циклические, то, так как она неа-белева, С = (8, то есть С — группа типа 1 теоремы 3.

Пусть в С существует истинная нециклическая подгруппа. Тогда из условия пункта 1 следует, что С — группа с единственной максимальной нециклической подгруппой, и так как С неабелева р-группа, то, как известно (см., напр., [2], задача 17.24), С — группа типа 2 теоремы 3.

2. (н = 2.

Такая группа, в силу следствия 5 леммы 9, является группой типа 3 или 4 теоремы 3.

3. (н = 3. Если в С есть циклическая максимальная подгруппа, то в силу следствия 4 леммы 9 С = б^ю, то есть С — группа типа 8 теоремы 3. Пусть все максимальные

подгруппы группы О — нециклические. Тогда из следствия 3 леммы 4 получаем, что ¿н(О) > р+1 и для Ф = Ф(О) |О/Ф| = р2. Отсюда и из условия 3 следует, что 3 > р +1, то есть р = 2 и |О/Ф| = 4, и потому О/Ф = Е4 (1). Значит, О — 2-группа, в О всего три максимальные подгруппы М1 ,М2,Мз (2), и так как они нециклические и ^н(О) = 3, то (2) — это ^н-базис О и ^н(М.) < 3 (3), г = 1,3. Из (1) также следует, что М. П М) = Ф (4) при любых г = г,^ = 1, 3. Из (4) и леммы 9 следует, что если хотя бы для одного г ^н(М.) > 2, то Ф — нециклическая группа (ибо иначе ввиду леммы 9 ^н(О) > 4). Если в О подгруппа порядка 2 единственна, то, так как О неабелева, она изоморфна $8, в противоречие с условием пункта 3 (ибо ^н($8) = 1). Значит, в О существует подгруппа Клейна.

Отметим также, что ввиду (1) к О применима лемма 8 и потому среди максимальных подгрупп (2) не может быть ровно двух абелевых.

Дальнейшее рассмотрение разобьем на два случая.

3.1. Хотя бы одна из максимальных подгрупп (2) имеет йн-ширину 2.

Пусть ^н(М1) = 2 (5). Тогда в силу теоремы 1 М1 — неабелева группа, и из доказанного в пункте 2 следует, что М1 изоморфна либо ^8, либо $16. Как показано перед пунктом 3.1, из (5) следует, что Ф — нециклическая группа.

Рассмотрим каждую из возможностей для М1 .

3.1.1 М1 = Я8.

Тогда |М.| = 8 (6), г = ТД |О| = 16 (7) и | Ф| = 4. Так как Ф — нециклическая группа, то Ф = Е4 (8). Отсюда следует, что Mi = $8, и потому в силу (6) каждая из подгрупп Mi (г = 1,3) изоморфна либо либо абелева порядка 8.

Пусть М. = для всех г = 1, 3. Так как в группе ^8 только один ^н-базис из двух подгрупп Клейна и одна из них в силу (8) есть Ф, то для каждой М. он имеет вид {&, Ф}, г = 173 .Но тогда 32,3з, Ф} — 4-нециклическая антицепь, в противоречие с условием 3.

Значит, в силу 3.1.1 хотя бы одна из под-

групп М2 или М3 (пусть это будет М2) абе-лева. Так как она нециклическая (что отмечено в начале пункта 3), справедливо (6), и в силу условия 3 и следствия 2 леммы 4 М. = Е8, то М2 — группа типа 2 х 4. Далее, как отмечено перед пунктом 3.1, М. неабелева, и потому М3 = ^8 (9). Из полученного вида максимальных подгрупп группы О следует, что ехр(О) = 4.

Так как О неабелева, то О/2 нециклическая, и потому ввиду (7) |2| равен 4 или 2. Если |2| = 4, то ввиду (7) О/2 = Е4, а тогда все М. содержат Ф (г = 1,3) и из |2| = |Ф| следует, что 2 = Ф, значит О — группа Миллера—Морено, вопреки условию 3.1.1. Из доказанного следует, что |21 = 2, и О — группа типа 5 теоремы 3.

3.1.2. М1 = $16.

Тогда в М1 есть единственная циклическая максимальная подгруппа А порядка 8, и из М1 <О следует, что А<О. Как отмечено перед пунктом 3.1, в О более одной подгруппы порядка 2, и потому существует В < О такая, что В ^ А и |В| =2. Рассмотрим подгруппу М = А X В. Так как |М| = 16, то в силу условия 3.1.2 М < О. Но М П М1 = А — циклическая группа, а тогда и Ф циклическая, в противоречие с тем, что отмечено в начале пункта 3. Значит, случай 3.1.2 невозможен. Рассмотрение случая 3.1 закончено.

3.2. Среди подгрупп М. (г = 1,3) нет групп ^н-ширины 2.

Здесь возможны два подслучая.

3.2.1. ¿н(М1) = 3.

По доказанному в начале пункта 3 в О существует подгруппа Клейна 3. Рассмотрим К = N (3). Из условия 3 и следствия леммы 11 получим, что |О : К| =2* < 3, то есть |О : К| < 2 (10). Отсюда, в частности, видно, что К <1 О (11). В силу леммы 2 и условия 3 ¿(К/3) < ¿„(К) < 3 (12). Отсюда и из леммы 6 получаем, что К/3 — группа одного из следующих типов: I циклическая группа; II группа Клейна; III изоморфна $8.

Разобьем их рассмотрение на две части.

3.2.1.1. К/3 изоморфна Е4 или $8 (это случаи II и III).

Тогда ¿(К/5) = 3 (13) и в силу (12) ^н(К) = 3 (14). В рассматриваемом случае в К есть три максимальные нециклические

подгруппы R^R2,R3 (15), содержащие S.

В случае II |R| = 16, а exp(R) = 4, а в случае III |R| = 32, а exp(R) < 8. Поэтому в обоих этих случаях в R нет циклических максимальных подгрупп. Тогда в силу (14) множество (15) — это ^н-базис R. Далее рассмотрение случаев II и III продолжим отдельно.

II. R/S = E4.

Тогда в силу сказанного выше о максимальных подгруппах группы R имеем: S = $(R) и, так как справедливо (11), S<G. Поэтому R = N (S) = G и S = Ф(С) = E4, а тогда dH^(G)) = 1. Мы видим, что G удовлетворяет всем условиям следствия 1 леммы 12 и в силу этой леммы dH(Mi) < 2, в противоречие с условием 3.2.1. Значит, случай II невозможен.

III. R/S ^ Qs.

Тогда существует F/S < R/S такая, что |F/S| = 2 (16), |F| = 8 (17) и F содержится в подгруппах Ri (i = 1, 3). Так как ввиду условия III R/F = E4, то F = Ф^) (18) и F <G (19).

Предположим, что подгруппа F абелева. Тогда, так как она нециклическая и справедливо (17), F — группа типа 2 х 4 (ибо в силу следствия 2 леммы 4 и условия 3 F не изоморфна Es). Поэтому S = Q1(F) и в силу (19) S<G, а тогда R = G. Так как 4(F) = 1 и ввиду (18) F = Ф^), то, как и в конце пункта II, получаем, что dH(F) = 1 и ввиду (18) F = Ф^), то, как и в конце пункта II получаем, что dH(Mi) < 2, в противоречие с условием 3.2.1.

Значит, подгруппа F неабелева. Она содержит подгруппу Клейна и имеет порядок 8 (в силу (17)), и потому F ^ Ds (20). Тогда dH(F) = 2. Всякая максимальная подгруппа Ri группы R в силу (18) содержит F. Если dH(Ri) = 2, то в силу следствия 5 леммы 9 Ri = Qi6, а в такой группе в силу (20) не может содержаться F. Значит, dH(Ri) = 3 (i = 1, 3). Мы видим, что R удовлетворяет всем условиям леммы 13, и по этой лемме dH(R) > 4, в противоречие с условием 3. Значит, случай III невозможен, и так как невозможен и II, то и случай 3.2.1.1 невозможен.

3.2.1.2. R/S — циклическая группа (случай I из отмеченных в начале пункта 3.2.1)

Если все максимальные подгруппы группы R нециклические, то по лемме 14 dH (R) > 7, в противоречие с условием 3.

Значит, в R есть циклическая максимальная подгруппа и потому R = G (21) и в силу (10) R < G (22). Если R абелева, то из условия 3 и следствия 2 леммы 4 вытекает, что R ^ Es, и поэтому S = Q1(R), а тогда ввиду R<G имеем: S<G и R = G, в противоречие с (21). Значит, R — неабелева группа. Если dH(R) = 3, то в силу следствия 4 леммы 9 R = SD16. Но тогда R' — циклическая группа порядка 4 (см. [2], задача 17.22), в противоречие с 3.2.1.2 (ибо S = E4). Значит, dH(R) < 2. Но из (22) и условия пункта 3.2 следует, что dH(R) = 2, и потому dH(R) = 1. В силу (22) Ф < R, и потому dH (Ф) < 1.

Мы видим, что G удовлетворяет всем условиям следствия 1 леммы 12, и в силу этого следствия dH(M^^) < 2, в противоречие с условием 3.2.1. Значит, случай 3.2.1.2 невозможен, и из невозможности 3.2.1.1 следует, что и случай 3.2.1 невозможен.

3.2.2. dH (Mi) = 1, i = 173.

Как показано в начале пункта 3, G есть 2-группа. В силу доказанного в пункте 1 этой теоремы неабелевы подгруппы Mi изоморфны Qs или M2n (n > 4), а абелева по теореме 1 — группа типа 2 х 2n. В каждой из таких подгрупп нет нециклических подгрупп одинаковых порядков, и потому все нециклические подгруппы группы G инвариантны в G.

Как отмечено в начале пункта 1, в G существует подгруппа Клейна S, а ввиду сказанного выше S < G. Так же, как и в начале пункта 3.2.1 (для R) получаем, что G/S — группа одного из типов I—III, приведенных в пункте 3.2.1 (то есть либо циклическая, либо изоморфна E4 или Qs).

Рассмотрим две возможности для Ф.

3.2.2.1. Ф — нециклическая группа.

Так как Ф < Mi, то из сказанного в начале пункта 3.2.2 о виде подгруппы Mi следует, что Ф = Qs, а тогда Ф содержит группу Клейна, то есть можно считать, что S < Ф (23). Поэтому G/S — нециклическая группа (то есть случай I невозможен) и изоморфна либо E4 (случай II), либо Qs (случай III). Поэтому Mi/S — циклическая группа (i = 1, 3). Возможны два подслучая.

3.2.2.1.1. S С Z.

Тогда в силу сказанного выше все Mi абелевы, то есть G — 2-группа Миллера— Морено. Описание и свойства таких групп хорошо известны (см., напр., [2], задачи 17.28 и 17.29). Как там отмечено, в такой группе Z = Ф, и потому в случае II Z = Ф = S, а тогда, как следует из результатов Редеи (см., напр., задачу 17.29 из [2]), G — группа типа 6 теоремы 3. Для случая III таких групп Миллера—Морено, как нетрудно проверить, нет.

3.2.2.1.2. S С Z.

Так как S = E4, то Aut(S) = S3. Отсюда и из того, что G — 2-группа следует, что |G/C(S)| = 2. Значит, C(S) = Mi и ввиду сказанного перед пунктом 3.2.2.1 о Mi, подгруппа Mi абелева. Так как в силу 3.3.2 dH(Mi) = 1, то Mi — группа типа 2 х 4 в случае II и типа 2 х 8 в случае III, и ввиду Ф < M1 Ф — абелева группа. Если бы еще хотя бы одна из подгрупп M2 и M3 была абелевой, то, так как G удовлетворяет условию (1), в силу леммы 9 она является группой Миллера—Морено, а тогда Z = Ф, и в силу (23) S С Z, вопреки условию пункта 3.2.2.1.2.

Значит, Mi и M3 неабелевы группы dH-ширины 1. По доказанному в пункте 1 данной теоремы в случае II, так как |Mi| = 8, то Mi = Q8 (i = 2, 3), а тогда Ф — циклическая группа, в противоречие с условием 3.2.2.1.

Остается рассмотреть случай III. Тогда G/S = $8, Mi = Mi6 (i = 27З), а Mi — группа типа 2 х 8. Отметим, что |Ф/S| = 2 и Ф — группа типа 2 х 4. Так как все инволюции группы G содержатся в Ф и S С Ф, то S = Qi(G). Как отмечено выше, в G все нециклические подгруппы инвариантны и из описания таких 2-групп в [4], леммы 1 из [3] и полученного выше следует, что G — группа типа 2 теоремы 1 из [7], то есть является группой типа 7 теоремы 3. Случай 3.2.2.1 рассмотрен.

3.2.2.1.2. Ф — циклическая группа.

Если G/S изоморфна E4 или Q8, то в ней существует три максимальные подгруппы Ri/S (i = M), а тогда {Ri, R2, R3} (24) — 3-нециклическая антицепь из максимальных подгрупп группы G. Как отмечено в на-

чале пункта 3, все максимальные подгруппы группы О нециклические, и потому (24) — это все максимальные подгруппы группы О, а тогда 3 С Ф, что невозможно, ибо 3 — нециклическая группа, а Ф в силу условия 3.2.2.1.2 циклическая. Из сказанного в начале пункта 3.2.2 следует, что осталось рассмотреть случай, когда О/3 — циклическая группа. Тогда в силу леммы 14 ^н(О) > 7, в противоречие с условием 3. Значит, случай 3.2.2.1.2 невозможен.

Все возможные случаи рассмотрены. Необходимость доказана.

Достаточность. Для групп типов 1 и 2 достаточность очевидна. Для групп типов 3 и 4 она доказана в следствии 5 леммы 9, а для групп типа 8 — в следствии 4 леммы 9. Пусть О — группа типа 5. В ее максимальных подгруппах М1 и М2, изоморфных ^8, всего по две истинных нециклических подгруппы — это {51, Ф} и {52, Ф} соответственно, а в М3 (типа 2 х 4) — только одна Ф. Поэтому {31,32, Ф} — ^н-базис О и ^н(О) = 3 (24). Пусть О — группа типа 6. Ее порядок 16, нециклическая подгруппа порядка 4 единственна — это Ф, и потому ^н-базис О состоит из трех ее максимальных подгрупп, то есть тоже справедливо (24).

Пусть О — типа 7. Тогда |О| = 32, нециклические подгруппы порядков 4 и 8 единственны — это, соответственно, ^(О) = (а4) х (а2Ь2) и Ф(О), причем ^(О) С Ф(О). Поэтому ^н-базис О состоит из трех ее максимальных подгрупп и выполняется (24). □

2. Конечные неабелевы непримар-ные нильпотентные группы, ¿н-ширина которых не превосходит трех

Лемма 15. Пусть О — конечная группа, О = А х В (1), ¿н(А) = п > 1, ¿(В) = т и в А существует йн-базис {А1, А2,..., Ап} где А. = А (2), г = 1~П. Тогда ^М(О) > пт + 1 > п (3). Если В непримарна, то ¿н(О) > 2п + 1 (4).

Доказательство. Пусть {В1,..., Вт} — базис В. Отметим, что т = 0. Тогда

{Si,j = Ai х Bj|i = 1,n, j = 1,m} (4) — nm-нециклическая антицепь, которая, учитывая (2), вместе с A составляет (nm + 1)-нециклическую антицепь, и потому справедливо (3). Если B непримарна, то m > 2 и справедливо (4). □

Следствие. Пусть G — конечная группа, G = A х B (1), в A есть истинная нециклическая пдг'руппа. Тогда dH(A) < dH(G) (9).

Доказательство. Пусть dH(A) = n. Из условия для A следует, что n > 1 ив A существует ^н-базис из подгрупп, отличных от A. Теперь из леммы 15 получаем, что dH(G) > n = dH(A), то есть выполняется (9). □

Конечные абелевы группы малой dH-ширины (не превосходящей пяти), описаны в теоремах 1 и 2. Конечные неабелевы p-группы, ^н-ширины, не превосходящей трех, описаны в теореме 3.

Ниже доказывается теорема 4, завершающая описание конечных нильпотентных групп, ^н-ширина которых не превосходит трех.

Теорема 4. Пусть G — конечная неабелева непримарная нильпотентная группа. dH(G) < 3 (1) тогда и только тогда, когда G — группа одного из следующих типов (всюду p, q,r, t — различные простые числа): ^h(G) = 1 : 1. G = Qs х Zqm, q = 2; ^h(G) = 2 : 2. G = Mp3 X Zqm, p = 2; 3. G = Mpn х Zq, pn = 8; 4. G = Qs х Zrqm, r = 2, q = 2; ^(G) = 3 : 5. G = Qs х Zfc, где 2 { k и k = qrt или k = r2qm (m > 2); 6. G = Mp3 х Zqr, p = 2; 1. G = Mp4 х Zqm, m > 2; 8. G = Mpn х Zq2, n > 4; 9. G = P х Zqm, где P = Ds или P = Qi6,

q = 2.

Доказательство. Необходимость. Пусть для группы G, удовлетворяющей условиям теоремы, выполняется (1). Тогда в силу леммы 3 G = P х Zfc (2), где P — неабелева p-группа (ибо G неабелева), (k,p) = 1 (3). Поэтому ^h(P) > 1 (4), а в силу (1) d,(P) < 3 (5).

Рассмотрим возможности для P (учитывая (4) и (5)):

1. ¿н(Р) = 1.

Так как P неабелева, то в силу теоремы 3 либо P = Qs (6), либо P = Mpn (7), где pn = 8 (8) и n > 3 (9). Обозначим через S минимальную нециклическую подгруппу группы P (в случае (6) S = P (10), а в случае (7-9) S = Ep2 (11)). В обоих видах (6) и (7) группы P всякая нециклическая подгруппа группы G, как видно из (2), содержит S, и по лемме 1 d(G/S) = dH(G) (12). Далее случаи (6) и (7) рассмотрим отдельно.

1.1. P = Qs.

Тогда, как отмечено выше, справедливо (10), и потому из (12) и (2) следует: d(G/P) = d(Zk) = ^(G) (13). В лемме 6 приведены порядки всех циклических групп Zk, для которых d(Zk) < 3. Учитывая это и (13), получаем: при dH(G) = 1 k = qm и G — группа типа 1; при dH(G) = 2 k = rqm, и G — группа типа 4; при dH(G) = 3 число k равно qrt или r2qm (m > 2) и G — группа типа 5. Случай 1.1 рассмотрен.

1.2. P = Mpn, pn = 8, n > 3.

Тогда S = Qi(P) и как отмечено выше, справедливо (11), и потому P/S — циклическая группа порядка pn-2. В силу (2) G/S = (P/S) х (ZkS/S) — циклическая группа и |G/S| = pn-2k, причем n — 2 > 0 ввиду условия 1.2. Теперь отсюда и из (12), используя приведенные в лемме 6 порядки непри-марных циклических групп, d-ширина которых не превосходит 3, получаем: равенство dH(G) = 1 невозможно (ибо иначе G/S была бы примарной); если dH(G) = 2, то либо n — 2 = 1 и k = qm (и тогда G — группа типа 2), либо k = q и G — группа типа 3; если dH(G) = 3, то возможны 3 случая: a) n = 3. k = qr — тогда G — группа типа 6; b) n = 4, k = qm (m > 2), и G — группа типа 7; c) n > 4, k = q2, и G — группа типа 8. Случай 1 рассмотрен.

2. d,(P) > 1.

В такой группе P есть истинная нециклическая подгруппа. Тогда из (2) и следствия леммы 15 вытекает, что dH(P) < dH(G) < 3, и потому ввиду условия 2 dH(P) = 2 (14). Так как P неабелева, то отсюда и из теоремы 3 следует, что P изоморфна Ds или Q16. Так как группа G удовлетворяет условиям леммы 15 (при A = P), то из (14) и этой леммы

следует, что 2. — примарная группа (ибо иначе по лемме 15 ^н(О) > (2^н(Р) + 1) = 2 ■ 2 + 1 = 5, в противоречие с условием (1)). Значит, к = дт. Из доказанного следует, что О — группа типа 9. Необходимость доказана.

Достаточность легко проверяется, если использовать введенную при доказательстве необходимости подгруппу Б, равенство (12) и лемму 6. □

Замечание. Так как для рассматриваемой в теореме 4 группы О в силу леммы 3 равенство (2) справедливо при ^н(О) < 6, то, используя теорему 3 и лемму 6, можно получить и все типы неабелевых непримар-ных нильпотентных групп О, для которых ¿н(О) = 4 (ибо тогда в силу следствия леммы 15 ^н(Р) < 4, а такие Р описаны в теореме 3).

Заключение

На базе результатов данной статьи полу-

чено описание конечных ненильпотентных групп, ^н-ширина которых не превосходит трех, оно будет приведено в следующей статье.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д., Волочков А.А. О максимальных антицепях нециклических подгрупп конечных групп //В настоящем сборнике.

2. Белоногое В.А. Задачник по теории групп. М.:Наука, 2000. 230 С.

3. Половицкий Я.Д. Группы, имеющие небольшие ранги инцидентности // Вестник Пермского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Вып. 5. С. 6569.

4. Лиман Ф.Н. 2-группы с инвариантными нециклическими подгруппами // метем. заметки 1968. Т.4 вып 1. С. 74-83.

About finite nilpotent groups of dH-width less or equel 3

Ja.D. Polovitsky, A.A. Volochkov

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru; (342) 239 63 21

Finite nilpotent groups of dH-width less or equel 3 are described.

Keywords: nilpotent group; noncyclic subgroup; antichain.