CC BY
52016
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
Вып.3(34)
МАТЕМАТИКА
УДК 512.54
Конечные группы с некоторыми условиями инцидентности, связанными с теоремой Лагранжа
Я. Д. Половицкий
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; (324) 2-36-82-83
Описываются конечные группы, в которых для любых подгрупп А и В различных
порядков, из которых |Л| непростой, или без этого ограничения из |Л| 1|В| следует,
что А<В (то есть справедливо частичное обращение одного из следствий теоремы Лагранжа).
Ключевые слова: подгруппа; теорема Лагранжа. DOI: 10.17072/1993-0550-2016-3-5-20
Введение
Одним из основных утверждений теоремы Лагранжа о конечных группах является то, что порядок любой подгруппы делит порядок группы.
Будет логично рассмотреть группы, в которых для достаточно большого множества упорядоченных пар ее различных собственных подгрупп справедливо обратное утверждение: из |Л|1|В| следует, что Л < B . Такие
условия являются, очевидно, условиями инцидентности.
Настоящая работа в основном посвящена изучению двух классов таких групп - Ь-групп и Ь0 -групп.
N < G - N - нормальная подгруппа группы G;
А3 - подгруппа 0~1Ад:
Ор(О) - наибольшая нормальная р-подгруппа группы G;
© Половицкий Я. Д., 2016
М < G - М - максимальная подгруппа группы G;
.-'-£?- полупрямое произведение подгрупп А и В;
Q8 - группа кватернионов;
Q2„ - обобщенная группа кватернионов;
п(О) - множество всех простых делителей порядка группы О;
□ - конец доказательства.
Некоторые свойства Ь£ -групп
и ¿-групп
Определение 1. Пусть £ - теоретико-групповое свойство, выполняющееся и для изоморфных подгрупп. Упорядоченную пару (Л, В) собственных подгрупп конечной группы О назовем £ -лагранжевой парой, если А -
£ -группа, |Л| | |В| и |Л| ^ |В|.
Определение 2. Будем говорить, что £ -лагранжева пара (А, В) удовлетворяет ла-гранжеву условию, если Л < В .
Определение 3. Конечную группу G назовем LE -группой (или группой с LE -условием), если либо любая ее £ -лагранжева пара удовлетворяет лагранжеву условию, либо £ -лагранжевых пар в G нет.
Учитывая определения 1 и 2, определение 3 можно сформулировать так:
Определение 3'. Будем говорить, что конечная группа G является L£ -группой, если либо для любых ее собственных подгрупп A и B, удовлетворяющих условиям 1-3:
1.|А| * |Б|, 2. |А| 1|Б|, 3. A является £ -
группой, справедливо А < Б , либо упорядоченных пар собственных подгрупп с этими условиями в G нет.
Так как в конечной циклической группе G порядка п для любого ^ делящего п, существует подгруппа порядка k и она единственна, то циклическая группа - ¿£ -группа для любого свойства £ .
Нетрудно видеть, что ¿£ -условие переносится на подгруппы.
Замечание 1. Если А < G, А - ^-группа и в G нет собственных подгрупп В таких, что А | |Б| (в частности, если .-!. - простое
число или А < С), то в О нет ^-лагранжевых
пар, первой подгруппой которых является А.
Ниже мы в качестве £ в основном рассмотрим два свойства: "быть подгруппой" и "быть подгруппой непростого порядка".
Определение 4. Если £ - свойство "быть подгруппой непростого порядка", то ¿£ -группу назовем ¿-группой (группой с Ь-условием), а ее £ -лагранжевы пары - Ь-лагранжевы пары.
Определение 5. Если £ - свойство "быть подгруппой", то ¿£ -группу назовем ¿0 -группой (группой с ¿0 -условием)
Очевидно, что ¿0 -группы - подкласс Ь-групп. ¿0 -группами являются все конечные
циклические группы и, в силу замечания 1,
2
все группы порядков р и pq.
Докажем несколько утверждений, связанных с ¿£ -группами для произвольного свойства £ .
Утверждение 1. Пусть G - ¿£ -группа. Если (А, Б) ее £ -лагранжева пара, то
с Е .-' , 3 \ - также £ -лагранжева пара и . -" =■■■'■ с Е О > - инвариантная в G подгруппа, содержащаяся в Б.
Доказательство. Из определения ¿£ -группы следует, что А <В. Но = 1 и
А3 — ^-группа (ибо Л5 = А А — ^-группа и
свойство £ выполняется для изоморфных подгрупп).
Так как по определению 1 |А| | |Б|, то и |ЛЯ|| | |В|. Из сказанного следует, что
- £ -лагранжева пара, и по определению Л -группы А10 < В; отсюда и из определения N следует, что ¿V ^ В и N < О. □
Следствие 1. Всякая ¿£ -группа, имеющая хотя бы одну £ -лагранжеву пару, непростая (ибо в силу утверждения 1 и определения 1 N < В < 0, N =1 Сг и N * 1).
Следствие 2. Если существует простая ¿£ -группа G, то либо все ее собственные £ -подгруппы являются максимальными подгруппами группы G, либо в G нет собственных £ -подгрупп.
Доказательство. Если А - собственная ^-подгруппа группы G и А не максимальная в О, то существует В < Сг такая, что А <В, а тогда (А, Б) - £ -лагранжева пара, и в силу следствия 1 G непростая, вопреки условию. Значит, А < G . □
Утверждение 2. Если конечная группа G имеет абелеву максимальную подгруппу М или М = Q , то G - непростая.
Доказательство. Если М =3 С, то утверждение верно. Пусть М «з О. Тогда так как М < С. Ы(М)=М. Если УхЕО\М .'■/ " .'■/: = 1, то по теореме Фробениуса группа G непростая.
Пусть 3у е С\М, что М П = Я ф 1
(1). Так как М < С, то в =< М.М* > (2). Если М абелева, то М и Му абелевы, и потому отсюда и из (1) следует, что R ^ Z (G). Если М = Q то Му = Q Я содержит единст-
венный элемент g порядка 2 и
geZ(M гЯММ) и потому ввиду (2) g £ Z(G).
?
В обоих случаях группа О непростая. □
Следствие 1. Если Ь£ -группа О имеет £ -подгруппу А, являющуюся или абелевой, или Л = Q2„ то группа О непростая.
Доказательство. Если А < С, то справедливость этого утверждения следует из утверждения 2. Если же Л не является максимальной в О, то 3 В: < В < £?, а тогда (А. В)
- £ -лагранжева пара, и по следствию 1 утверждения 1 группа О непростая. □
Следствие 2. Всякая Ь-группа О непростая.
Доказательство. Если все силовские р-подгруппы группы О (по всем р) имеют простые порядки, то, как известно (см. [2]), О непростая. Если же существует силовская р-подгруппа непростого порядка, то в G найдется подгруппа Р порядка р2. Она абелева, непростого порядка, то есть абелева £ -группа для свойства £ "быть группой непростого порядка". В силу следствия 1 утверждения 2 группа О непростая. □
Лемма 1. Если в конечной группе О либо все собственные подгруппы непростых порядков имеют простые индексы, либо порядки всех собственных подгрупп - простые числа, то О является Ь-группой.
Доказательство. В силу замечания 1 в такой группе О нет £ -лагранжевых пар для свойства £ "быть подгруппой непростого порядка", и по определениям 4 и 3 О является Ь-группой. □
Следствие. Всякая группа порядка ... ..; ... .. является Ь-группой.
Нетрудно проверить, что Ь-условие и Ь0 -условие переносятся на подгруппы и фактор-группы. Для последних, как легко проверить, справедливо более сильное утверждение.
Лемма 2. Если £ переносится на над-группы, то всякая фактор-группа Ь£ -группа О по ее нормальной £ -подгруппе является Ь0 -группой.
Доказател ъстео Если -'''./у < ■" '
N
<
,
то Л-£ -
группа (ибо Ы- £ -группа). Из|А''дГ| Ф | ®/дг|
и
'дг! 11/^1 следует, что |Л| \В ? . Значит, (Л, В) - £ -лагранжева пара.
Так как О - Ь£ -группа, то Л<В, а тогда
N < / N
В/
и О - Ь0 -группа. □
Замечание 2. Нетрудно видеть, что утверждение леммы 2 справедливо для факторгруппы Ь-группы О по любой нормальной подгруппе N отличной от 1, ибо если Л > N, то |Л| непростой.
Лемма 3. Пусть О — Ь£ -группа, Н - ее собственная подгруппа порядка т и в Н существуют две максимальные £ -подгруппы М1 и М2. Тогда Н - единственная подгруппа порядкат группы Си Н < С.
Доказательство. Пусть В С. |В|=т (1) и В Ф Н (2). Тогда так как Мг — £ -
группа, |М[| | | (ибо ввиду (1)
= 1*1
|В|, то в силу Ь£ -условия Мг < В (3)
(/=1, 2). Но Н =<Мх,М2 >, и поэтому из (3) следует, что Н < В, и, так как | Н | = | В |, то
Н=В, в противоречие с (2). Значит, Н - единственная подгруппа порядка т группы О, и
потому Н < С. □
Следствие 1. Пусть О - Ь-группа, N ■=! £?, В<0 и А = N >, В (4). Если выполняется одно из условий: 1. \В\ непростой; 2. |В| простой, Ациклическая группа непростого порядка, то Л <=1 (х.
Доказательство. Пусть выполняется условие 1. Тогда из (4) следует, что в Л существуют максимальные подгруппы вида Мг = N ь В^ (5), где \<В1 < В (6), и
.■■:'; = ■ 3 (7), где 1 < N1 < N. Из (5)-(7)
следует, что, М1 Ф М2, и так как |В| непростой, \Му | (/—1, 2) непростые. В силу ¿-усло-
вия и леммы 3 А <G,
и
и
Пусть выполняется условие 2 следствия 1. Тогда существует подгруппа такая, что 1 < А', < N . Очевидно, ДГ]_ <■ £г. и в Л есть две
максимальные подгруппы непростых порядков - это Ым Л^ X Ё, и по лемме 3 А ■=! О.и
Следствие 2. Пусть G - ¿-группа, N -инвариантная в G и отличная от 1 п-
подгруппа. Тогда в ОN все п'-подгруппы
непростых порядков инвариантны.
Доказательство. Пусть SN ~ п'-
подгруппа группы
G/
'N
не простои.
Тогда в силу теоремы Шура S = N >.Т, где
T >
гда'
S.
N - группа непростого порядка.
В силу следствия 1 леммы 3 51 < ff, а то-
Следствие 3. Если G - L-группа, H - ее собственная неинвариантная абелева подгруппа, не являющаяся примарноИ циклической, |Д| = т (1), причем m Ф рц (2) и
m ^ p2 (3) при любых p и q. Тогда H - единственная подгруппа порядка m группы G и Н oG
Доказательство. Так как H не является примарнои циклическои, то в неи существует две максимальные подгруппы M1 и M2. В силу абелевости Н индексы | Н: | (/—I, 2) -
простые числа. Если хотя бы одна из подгрупп Mi имеет простои порядок, то, учитывая (1),
имеем: либо m = pq, либо m = p2, в противоречие с условием (2) или условием (3).
Значит, | Afj | не могут быть простыми
числами, а тогда из леммы 3 и L-условия вытекает справедливость утверждения данного следствия. □
Ниже приводится несколько иная формулировка следствия 3.
Следствие 4. Если H - абелева подгруппа L-группы G, не являющаяся примар-
нои циклическои, \H\=pq.
V
и
примарной циклической, и | И \ = т, то Н -
единственная подгруппа порядка т группы G ий-аС.
Действительно, при условиях следствия 5 в Н существует две максимальные подгруппы и из определения ¿^-группы и леммы 3 получаем справедливость данного следствия.
Лемма 4. Пусть О - ¿-группа, Н < Ст и
Н = V '■, > 2. Тогда каждая подгруппа порядка р3 группы О при .V к содержит Н. Если
Н не является силовской р-подгруппой группы G, то Н содержится в р-ядре Ор(О) группы G.
Справедливость этого утверждения вытекает из определений ¿-группы и Op(G) как пересечения всех силовских р-подгрупп группы G.
Следствие 1. Если в ¿-группе G порядок силовской р-подгруппы Р не меньше р3, то Ор(О) содержит максимальные подгруппы каждой из силовских р-подгрупп группы G. ели при этом Р - циклическая группа, то
--pi
.
, то
Следствие 5. Если G — L0 -группа, H -ее собственная подгруппа, не являющаяся
Следствие 2. Если Р - нециклическая силовская р-подгруппа ¿-группы G и |Р| > рэ, ТО Р ■=! £г.
Действительно, в такой группе Р не менее двух максимальных подгрупп. В силу следствия 1 леммы 4 они содержатся в Ор(О) и, так как они порождают Р, то Ор (О) = Р , и
потому Р <(г.
Нильпотентные ^-группы
Теорема 1. Конечная р-группа О является ¿-группой тогда и только тогда, когда она либо циклическая, либо нециклическая
2 3
порядка р или р .
Доказательство. Достаточность утверждения теоремы очевидна (для групп поряд-
кови р3 она отмечена в следствии леммы 1). Докажем необходимость.
Пусть О является ¿-группой. Если '.: ^ '-■;, то О - одна из групп, перечисленных в теореме 1. Пусть | = ря,71 > 4 (1).
Возможны два случая. 1. В О единственная максимальная подгруппа. Тогда, как известно, группа О - цик-
и
лическая, т. е. она - одна из групп теоремы 2.
2. В О более одной максимальной подгруппы. Здесь возможны 2 случая:
2.1. Хотя бы одна максимальная подгруппа М группы О нециклическая. В силу (1) = (2) и любая
другая максимальная подгруппа группы О имеет порядок р"1. Так как М нециклическая, то у нее не менее двух максимальных подгрупп. Ввиду (2) их порядки не простые. В силу того, что О - Ь-группа, и леммы 3 М - единственная максимальная подгруппа группы О, вопреки условию пункта 2. Значит, случай
2.1. невозможен.
2.2. Все максимальные подгруппы группы О - циклические. Тогда, как известно, О - либо циклическая (в противоречие с условием пункта 2), либо элементарная абелева группа порядка
р2, либо является группой кватернионов (см. напр. [1], упр 17.23) - последние две возможности противоречат условию (1). Значит, случай 2 невозможен. □
Следствие 1. Каждая нециклическая силовская р-подгруппа Ь-группы О имеет по-
2 3
рядок р или р .
Следствие 2. Конечная р-группа О является Ь0 -группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов: 1. Циклическая р-группа; 2. Элементарная абелева группа порядка р2; 3. Группа кватернионов.
Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость.
Если О - нециклическая Ь0 -группа, то в силу следствия 1 теоремы 1 О - либо группа типа 2 следствия 2, либо порядка р 3 . Пусть £ = (1). Если в О единственная подгруппа порядка р, то О - группа кватернионов Q8.
Пусть в О более одной подгруппы порядка р. Тогда все подгруппы порядка р из О в силу Ь0 -условия содержатся в одной подгруппе порядка р 2 . Так как эта подгруппа в силу (1) отлична от О, то в О найдется циклическая подгруппа порядка р2. Но в силу
L0 -условия в S должны содержаться все подгруппы порядка p из G, а в S подгруппа такого порядка одна, вопреки сделанному выше предположению. Значит, других L0 -групп
порядка p3, кроме Q8, не существует. □
Лемма 5. Пусть С = 4 X В (1) - нециклическая /.-группа и (|-41, | В|) = '1 (2). Тогда
хотя бы одна из подгрупп A или B имеет простой порядок и G не является L0 -группой.
Доказательство. Так как G нециклическая, то из (1) и (2) следует, что хотя бы один из прямых множителей в (1) (например, A) является нециклической группой. Тогда в A существуют две подгруппы Ax и A2 одного порядка. Пусть | В | непростой. Тогда в В существует собственная подгруппа Б1 . В силу L-условия (Aj х Б1) ^ (A2 х Б), откуда в силу (2) А1 < А,, и потому, ввиду = |, получаем, что Aj = A2, вопреки выбору этих подгрупп. Значит, Б - группа простого порядка.
Если бы G была L0 -группой, то, так как
1-4} | делит |42 X В|. в силу Ln -условия
A1 ^ (A2 х Б), откуда A1 < A2 и опять получаем Aj = A2, в противоречии с их выбором. Значит, G не является L0 -группой. □
Следствие. Если G = A х Б - L0 -группа и í |-4|, |£í|) = 1, то G - циклическая группа.
Теорема 2. Конечная нильпотентная группа G является L-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов: 1. Циклическая; 2. Нециклическая
порядка p2 или p3; 3. G = Р1х P2 х Q , где
IPJ = \Р2\ = р. \Q\ = £?, p^q.
Необходимость. Пусть G - L-группа. Если она примарная, то по теореме 1 G - одна из групп типов 1 или 2.
Пусть G непримарна. Если все ее силов-ские подгруппы циклические, то G - циклическая группа, то есть одна из групп типа 1.
Пусть G содержит нециклическую си-ловскую p-подгруппу P. Так как G нильпо-тентна, то G = PxS (1), где (]5|,р) = 1 (2).
Группа P - нециклическая, и потому содер-
жит по крайней мере две различные макси- О циклические, то Ст = А X В, где А и В - цикли-
мальные подгруппы
1*4.1= |Мг1 = Рт (3).
М
и
Если П1 > 2, то, так как |МЙ| | X в
силу ¿-условия М2 ^ (М1 х £), откуда в силу
(2) вытекает, что М2 ^ М1, и потому ввиду
(3) М1 = М2, в противоречие с выбором подгрупп М1 и М2
Значит, П1 = 1, т. е.|Р| = и Р - элементарная абелева группа. Так как О нециклическая, то по лемме 5 = ц - простое
число, и потому О - группа типа 3л
Достаточность. Группа типа 1, очевидно, является ¿-группой. Группы типов 2 и 3 - ¿-группы в силу следствия леммы 1. □
Следствие. Конечная нильпотентная группа О является ¿0 -группой тогда и только
тогда, когда она - группа одного из типов: 1. Циклическая; 2. Элементарная абелева группа порядка р2; 3. Группа кватернионов Q8.
Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Пусть О -конечная нильпотентная ¿-группа. Если она непримарная, то в силу следствия леммы 5 О - циклическая группа.
Если О - примарная, то по следствию 2 теоремы 1 О - группа одного из типов данного следствия. □
Некоторые свойства ¿-групп
Лемма 6. Если Q - неинвариантная хол-лова п-подгруппа ¿Е -группы О и Q -группа, то Q = N ^) (1).
Доказательство. Предположим, что N^) > Q . В силу -условия Ух е О Qx < N(Q) и, так как Q - единственная хол-лова п-подгруппа группы N(Q), то Qx = Q, откуда ф < £,в противоречие с условием
леммы. Значит, справедливо равенство (1). □
Хорошо известно следующее утвержде-
ние:
Лемма 7. (см., напр., [2] теорема 9.4.3). Если все силовские подгруппы конечной группы
ческие группы взаимно простых порядков.
Теорема 3. Всякая ¿-группа О разрешима. Доказательство. Как показано в следствии 2 утверждения 2, группа О - непростая. Пусть | £г | = п. Разрешимость группы О
докажем индукцией по п. Если п - простое число, то О - циклическая и потому разрешима. Пусть п - непростое. Предположим, что любая ¿-группа порядка, меньшего п, разрешима. По доказанному выше О содержит собственную нормальную подгруппу N. Тогда N и
О^ ~ тоже ¿-группы и их порядки меньше п.
По предположению индукции N и разрешимы, и потому О - разрешимая группа. □
Лемма 8. (см. [1], задача 18.4). Пусть = .-' ■ 3 (1), где А - циклическая р-группа,
В - циклическая группа порядка т и (р,т)=1. Тогда либо В < С, либо В = С(В) (2).
Следствие 1. Пусть группа О удовлетворяет условиям леммы 8 и В О (3). Тогда
В не содержится ни в какой истинной нормальной подгруппе группы О и О' = А .
Доказательство. Пусть 5 <=1 О (4) и
В < £ < О (5). Тогда из (1) следует, что 5 = А5 х Е (б), где Ап =Яп,А и 1 < Ап < А
(7). Так как G разрешима, то холловские подгруппы порядка т из £ сопряжены в £, и потому к О применим обобщенный аргумент Фраттини:
С = £ • N{8) = А0 ■ N(8) (8). Но
(используется и абелевость В), и потому по лемме 8 N(B)=B и (8) принимает вид .
Отсюда и из (1) следует, что А = А0 в противоречие с (7). Значит, подгруппы £ с условиями (4) и (5) не существует.
Так как абелева, то О' < А . Если С < А , то (£?' \ ВУ < С, в противоречие с
доказанным выше. Значит, О = А .□
Следствие 2. Пусть О - нециклическая ¿-группа, удовлетворяющая условиям леммы 8, |В| - непростой. Тогда А - группа простого порядка.
и
Доказательство. Из условий следствия 2 вытекает, что выполняется (3).
Пусть \А\ непростой. Тогда ЭЛ^ что
А1 < А и |А]_| = р. Так как А - циклическая группа и А < О, то А^ < й.
Рассмотрим подгруппу И = А]_ X Б. В силу следствия 1 леммы 3 Н < Сг, в противоречие со следствием 1 леммы 8. Значит, Л -группа простого порядка. □
Лемма 9. Пусть £7 — ¿^-группа, Сг = А N В
(3), где А и В - циклические группы, В 0 (4) и (|А|, |В ) = '1 (5). Тогда |Л| = р, р ф 2, В-д - груп-
па и
= (6).
Доказательство. Если В - непримарная группа, то в силу леммы 3 В <1 С. вопреки условию (4). Значит, В - ^-группа для некоторого q. Пусть Л непримарна. Тогда существуют Q и R такие, что Q<Л, R<Л, ^\=г. Так
как А циклическая и4<5, то(?<Си й.
Рассмотрим подгруппы К = =
Так как они непримарные, то в силу леммы 3 Н< О и Ь<=я £г, а тогда И Г\ I = В < С, в противоречие с условием (4).
Значит, А - /»-группа. Пусть | А | р. Тогда существует А1 < А (7), |А]_| = р. В силу леммы 3 подгруппа 5 = А^ X В инвариантна в
О. Отсюда и из аргумента Фраттини получаем: Ст = 5 ■ ]У(В) = Ац, ■ (8). Но ввиду (4)
по лемме 8 N(B)=B (ибо в силу (3) Ы(В)=С(В)), и (8) принимает вид С = А1 X В,
откуда Л = Л1, в противоречие с (7). Значит,
\А\=р(9).
Если М < В, то в силу Ь() -условия
т.--. Е - 3, и так как В - циклическая q-
группа, то Мх = М, т. е. М о С. Отсюда и из
(3) следует, что М ^ Z(О). Так как О неабе-лева, то отсюда и из (9) и (3) вытекает, что М = Z (О) и потому справедливо (6). □
Следствие. Если О - нециклическая Ь0 -группа и все силовские р-подгруппы группы
О имеют простые порядки, то О - неабелева группа порядка pq.
Доказательство. В силу леммы 7 группа О удовлетворяет условиям леммы 9 (соотношение (4) выполняется ввиду нецикличности группы О). Учитывая, что при условиях следствия 4 \B\=q, из следствия 3 получим, что \G\=pq. В силу (4) О - неабелева группа этого порядка.^
Лемма 10. Всякая Ь-группа О имеет инвариантную силовскую подгруппу.
Доказательство. Если О нильпотентна, то утверждение леммы верно. Пусть О не-нильпотентна. Если все силовские подгруппы группы О циклические, то по лемме 7 , где Л и В - циклические группы
взаимно простых порядков. Тогда силовские р-подгруппы группы Л являются и силовски-ми р-подгруппами группы О, инвариантны в О и утверждение леммы верно.
Пусть О содержит нециклическую си-ловскую г-подгруппу R. В силу теоремы 1 ее
2 3
порядок равен г или г .
Возможны 2 случая.
1. Для некоторого р £ ж(О) в О существует нециклическая силовская подгруппа Р порядка р3 . Тогда она имеет не менее двух максимальных подгрупп непростых порядков. В силу леммы 3 для свойства £ "быть группой непростого порядка" С, и утверждение леммы справедливо.
2. Порядки всех нециклических силов-ских подгрупп группы О - квадраты простых чисел.
Здесь также возможны 2 случая:
2.1. О не имеет инвариантных силовских подгрупп.
В силу теоремы 3 О разрешима и потому имеет инвариантную подгруппу Л, являющуюся элементарной абелевой р-группой.
Если |А| ^ р, то А - нециклическая, в
силу условия пункта 2 и Л - искомая инвариантная силовская р-подгруппа. Значит, (1). В силу условия 2.1 подгруппа Л
содержится в некоторой силовской р-подгруппе Р группы О, причем Л<Р (2) и
рфс^У
Дальнейшее рассмотрение разобьем на 2 подслучая.
2.1.1. Для некоторого q Ф р в О существует силовская д-подгруппа Q, имеющая непростой порядок.
Тогда по условию 2.1 § Ст (4).
Рассмотрим подгруппу # = А X £ (5). В силу следствия 1 леммы 3 Н <=1 0 (6). Так как ввиду (5), (2) и (1) РфН.тоН* С Из (6) и (5) в силу аргумента Фраттини получаем:
Из (4) и непростоты \Q\ в силу леммы 6 получаем: Q=N(Q), и теперь из (7) следует, что 0= А х ф, а тогда А - силовская р-
подгруппа группы О вступает в противоречие с (2). Значит, случай 2.1.1 невозможен.
2.1.2. При любом простом д, отличном от р, все силовские q-подгруппы группы О имеют простые порядки.
Так как силовской /»-подгруппой группы
G =
Pi _
гj.| является = Ри в силу условия пункта 2 \Р\ = р-, то | Р| =р (8). Поэтому в G
все силовские подгруппы - простых порядков, а тогда в силу леммы 7 G = S>, R (9), где
С|5МЯ|)= 1 (10) и порядки подгрупп 5 и -
произведения различных простых чисел. Если G абелева, то Р < G. а тогда Р <■ G. вопреки
(3). Значит, R ц С? (11).
В силу замечания 2 к лемме 2 G является Lg-группой. Тогда в силу следствия 4 леммы 8 = pq (12). Из (3) и (11) имеем:
P = R, т. е.
S
R
ем:
ская д-подгруппа группы О, получаем противоречие с условием 2.1.
Значит, подслучай 2.1.2, а потому и случай 2.1 невозможны.
Поэтому остается случай 2.2. Следовательно, О имеет инвариантную силовскую подгруппу.
В обоих случаях 1 и 2 доказана справедливость утверждения леммы. □
Лемма 11. Пусть О - ¿-группа, N - ее нильпотентная нормальная подгруппа и существует 0<С, что (1) и (2).
Тогда |тг(]У)| < 2 (3). Если О непростой, то
N - примарная группа.
Доказательство. Пусть
. Тогда ¿V = Р]_ X Рг X ... X Рк (4), где - силовские 'р^-подгруппы группы N по различным ;; :' = 1 :: > :■. В силу условия (1) Р^П = '1. Так как | Р; X I непростые, то в
силу L-условия при k Ф i:
.
= р . Тогда из (9) и (12) име-= д (13), и потому = у-," (14).
В силу (9) 5 = д <■ Ст. и потому 5 -=з ¿г (15). Ввиду (13) 5 = А>,<? (16), где = д.
Так как А*я ¿г, то < С. Но
' = Р и С(А) Ф Р (в силу (3)). Поэтому из (14) следует, что С(_А) = G. а тогда из (16) имеем: 5" = Л X (}. Отсюда и из (15) получаем, что С? < С, и так как О, ввиду (14), - силов-
Учитывая (4), отсюда получаем: о? С (С?± X Р2) X о) П (СР2 X Ра) к о) п
т. е. О* = откуда ф £г, вопреки условию
(2). Значит, справедливо неравенство (3).
Пусть \Q\ непростой. Если k=2, то в силу ¿-условия (}:( с X (>) С\ {Р2 X (?) = ()гУх е С,
и потому -=з ¿г, в противоречие с (2). Значит,
k=1 и N - примарная группа. □
Следствие. Если при условиях леммы 11 группа N непримарна, то для любого все силовские д-подгруппы группы
G имеют простые порядки.
Теорема 4. Пусть С = Л X В (1), А и В -
циклические группы, (|Д|,|5|)=1 (2) и
(3). Если О является ¿-группой, то она
либо неабелева группа одного из порядков , либо
\А\ = р,\В\ = 3,р * 2 и =
рц
(4) (всюду р, д, г - различные простые числа).
Доказательство. Рассмотрим два возможных случая для подгруппы Л.
I. |Л| = р - простое число. Если \В\ равен q или q2 , то ввиду (1) |О| либо pq, либо
q2, и О - одна из групп, указанных в теореме 4. Пусть | В| отличен от д и для любого
. Тогда из того, что О - Ь-группа и
выполняется (3), в силу следствия 4 леммы 3 В - либо группа порядка qг, либо циклическая ^-группа и |В| = ц3 (5), где ^ ^ 3 (6). В первом случае, учитывая (2) получаем, что 3 = и О - одна из групп, указанных в
теореме 4.
Пусть В - циклическая q-группа и выи (6). Тогда в силу следствия 1
полняются (5 леммы 4
5.
(8), то из (1) и неабелевости груп-
пы О следует, что 0С
группа. Если
абелева, то
ПЛ,
Значит, при любой А можно считать, что . = л/ . >ч ^ л1 / л (9) - неабелева £.0-
группа. Тогда в силу следствия 3 леммы 8 =9 (10) (здесь возможно и q=p) и
ВАЛ
В:
■ - ? ± 5 - г-группа.
= - (7). Так как
Если Л непримарна, то из (9) и (10) получаем, что |Л| = р£} и по следствию леммы
11 (где А берется в качестве Щ \ В| = г, а тогда в силу (1) |£г| = рдг и О - одна из групп
теоремы 4. Пусть Л - примарная группа. Тогда в (10) q=p и, учитывая (9), получаем |А| = р-. Если |В| = г, то | ¿г | = р2г и О - одна из групп теоремы 4 (с точностью до обозначений). Если же |В| непростой, то из следст-
вия 1 леммы 3 вытекает, что 1
, что в
. Отсюда и из
(1), (7) и (8) следует справедливость равенства (4). Если р=2, то О абелева, вопреки условию (3). Значит, О - группа последнего типа теоремы 4.
II. Л - группа непростого порядка. Тогда существует подгруппа А-^ < А такая, что 1^1 = р (9). Так как А - циклическая группа, то из (1) следует, что Л^ -з ¿г. В силу замечания 2 к лемме 2 фактор-группа ^/д
является ¿^-группой.
Если А - примарная группа, то в силу следствия 1 леммы 8 ¿7" = А, и потому ^^ -
неабелева группа. Пусть А - непримарная
абелева, то рассмотрим
Л2 < Л такую, что \А2\ = ЩФ Р- Если и
= - под-
прямое произведение абелевых групп и
_, и потому О абелева, вопреки условию (3).
силу (3) противоречит следствию 1 леммы 8. Все возможные случаи рассмотрены. □
Лемма 12. Пусть ¿-группа Ст = ф X Г
(1). Если и в <9 существует собственная
допустимая подгруппа то -з Т и при
?1 Г для всякой Т2 < Г, для которой
(2) справедливо включение
ч <= «? х (3).
Доказательство. В силу ¿-условия V* е Сг имеем: (С)-^ >, Т^а ((> = Н (4),
откуда тогда, учитывая, что О,
из (4) получаем: И ■=! О. Отсюда и из (1) и (4)
следует, что Н П Т" = Уд Т.
Далее из (2) и Ь-условия следует, что >* с X Т2\ откуда ?1 с х Тг). то
есть справедливо (3)л
Следствие. Пусть 0 = (} >*Т ¿-группа,
Т - элементарная абелева группа порядка р-.
Тогда для любой отличной от 1 подгруппы
группы Т в О нет собственных ¡^-допустимых
подгрупп.
Доказательство. Пусть (5). Тогда, так как |!Г| = р2, то = р. Предположим, что в
О существует собственная ¡^-допустимая подгруппа В силу условия теоремы
Т = Гд X Г2 (6), где || = |и потому выполняется и условие (2) леммы 12. В силу этой леммы с X Отсюда и из (6)
следует, что Т с >ч ¡Г2}, и потому, так как Т Г2, Т = (Г П (?) X Т2 = Г2, в противоречие с (6). Значит, в О нет собственных Т^-
допустимых подгрупп. □
Лемма 13. Пусть Сг = $ X Т (1), где О -
элементарная абелева д-группа непростого порядка, (д, |Т| )=1 (2), G является ¿-группой и
\Т\ - непростой. Тогда в Q нет собственных Т-_ -допустимых подгрупп для любой подгруппы ■< Т, для которой 1I непростой. В частности, Т <*] О и в Т нет инвариантных в О
подгрупп непростых порядков.
Доказательство. Пусть
- собственная -допустимая подгруппа группы О. Тогда по теореме Машке = й X (3), где также ^-допустима. Рассмотрим подгруппы Н± = (?-)_>, Т± (4) и Щ = X Тг (5). Так как '■■I непростой, то в силу следствия 1 леммы 3 <=] Ст и -=з Сг. Отсюда, учитывая (4), (5) и (3), получаем: й^ П ¿Т2 = Т± < О.
Отсюда и из (} < (т следует, что ; = ',< ■ = ',< ■ ■ ■. Так как £ - нециклическая ¿-группа (в силу нецикличности Q), то из (2) и леммы 5 следует, что I ~ простое чис-
или ¿-циклическая /»-группа и р^ д, то |Т"| делит р-.
Доказательство. Если |!Г| > рэ, то в си-
лу следствия 1 леммы 4
, и пото-
му
= '■',::>: .ч >2. Но тогда
и имеет непростой порядок, в противоречие с утверждением леммы 13. Значит,
Г < □
Лемма 14. Пусть С = $ X 7 - ¿-группа, О - элементарная абелева группа порядка с}3. |Г|) = 1 (2). Тогда для любой отличной
от 1 подгруппы ^ Т в О нет собственных
допусгимых подгрупп. В частности, Т Ст.
Доказательство. Пусть в Q существует собственная ^-допустимая подгруппа То-
, то вви-
гда по теореме Машке ? = й ^ ?2 (3), где ф2 тоже ¡^-допустимая. Так как ду (3) одна из подгрупп или (¿2 (например, (12 ) имеет порядок ц-. Тогда X Г]]11(?2 X Щ и, ввиду ¿-условия >, с X ]!, откуда ввиду (2) получаем, что £ в противоречие с(3).п
Лемма 15. Пусть О - -группа, И < Сг
и в Н существует инвариантная в ней собственная холлова п-подгруппа R, являющаяся ^-группой. Тогда Яой
Доказательство. Так как R - ^-группа и г; = Н , то в силу ¿^-условия
ло, вопреки выбору Т^. Значит, такой (¿^ нет. Ух Е G Нх с Ы. Но |Д*| = |Д|, и потому Я* -
Из доказанного следует, что при условиях леммы Т Сг ив Т нет инвариантных в О подгрупп непростых порядков (ибо тогда всякая собственная подгруппа группы О -допустима). □ Следствие. Если О = ф X Г - ¿-группа, О - элементарная абелева группа порядка д2
холлова п-подгруппа группы Н. Так как в Н ее холлова п-подгруппа R по условию леммы инвариантна, то она единственна, и потому Е* = Я и Я « Сг. □
Описание ¿-групп и 1,д-групп
Теорема 5. Конечная группа G является ¿-группой тогда и только тогда, когда она -группа одного из следующих типов (всюду р, д, г - различные простые числа):
I. Конечная циклическая;
II. Нециклическая группа одного из порядков p2,p3,pq,pq2,pqr;
III. fr = Q X Tr (|Q|,|7l) = 1 и выполняется одно из следующих ниже условий (III.1-III.6):
III.1. Q - элементарная абелева группа порядка q 2 или q 3 и для любой J]_ такой, что в
О нет собственных -допустимых подгрупп; Т - группа порядка р2, р или рг. Если
111.2. |Г| = р, О - либо неабелева группа порядка q3 экспоненты q Ф 2, не имеющая ¿-допустимых подгрупп порядка q2, либо О изоморфна группе кватернионов
= 2 и в Q нет ¿-допустимых подгрупп порядка 4;
111.3. \Q\=q, q Ф 2, |ГЦ = р3,s > 3 и ■' т .-■ = '."■"; ¿ - циклическая группа;
111.4. Q - элементарная абелева группа порядка являющаяся минимальной нормальной подгруппой группы G; Т - циклическая группа порядка р2 или рг;
111.5. Q - элементарная абелева группа порядка q1, Т = Р X R, R <3 Т, |Р| = р. |Я|| = г
в Q нет собственных ¿-допустимых и R-допустимых подгрупп.
111.6. Q = R х 5, |Я| = г V элементарная абелева группа порядка tj2, | !Г| = р и в
S нет собственных ¿-допустимых подгрупп.
Необходимость. Пусть G является L-группой. В силу леммы 10 G имеет инвариантную силовскую подгруппу S. Пусть Q -произведение всех инвариантных силовских подгрупп группы G. Так как S с то Q ^ 1.
Если fr = Q, то G - нильпотентная группа, и
по теореме 2 G - либо циклическая группа (то есть группа типа I теоремы 5), либо нециклическая группа одного из порядков (т. е. одна из групп типа II теоремы 5).
Пусть С ф (1), то есть группа О не-
нильпотентна. Так как = ^ (в си~
лу определения О), то по теореме Шура 6 = <2 X Т (2), где (]<?!. Р1) = 1(3) и Г? 1.
Ввиду (2) ^ = Т (4) и из следствия 2 леммы
3 вытекает, что в Т все подгруппы непростых порядков инвариантны. Отметим, что из (4) и замечания 2 (после леммы 2) следует, что Т является ¿^-группой.
Пусть Т < 0 (5). Тогда 0 = (} х Г (6).
Так как О ненильпотентна, то Т - непримар-ная группа. В силу леммы 10 Т имеет инвариантную силовскую р-подгруппу Р, а тогда ввиду (5) Р < О. Но в этом случае в силу определения Q подгруппа Р содержится в Q, в противоречие с (6). Значит, (5) невозможно и Т 4 С (7).
Пусть Т непримарна. Если в Т существует силовская подгруппа Р непростого порядка, то в силу сказанного выше Р !Г и по
лемме 15, примененной к ¿-группам Р -=3 О, а
тогда Р с ^ т. е. Р с ((^ П Г) в противоречие
с (2). Значит, все силовские подгруппы группы Т имеют простые порядки. Так как Т является ¿^-группой, то либо Т циклическая, либо
удовлетворяет условиям следствия 4 леммы 8 и по этой лемме является неабелевой группой порядка рг. Если Т - циклическая группа, то ввиду (7) и ее непримарности Т удовлетворяет условиям следствия 4 леммы 3 и по этому следствию |!Г| = рг. Значит, непримарная
группа Т имеет порядок рг.
Пусть Т - р-группа. Так как Т является Ь0-группой, то в силу следствия 2 теоремы 1 Т - либо циклическая группа, либо элементарная абелева группа порядка р2, либо Т = Q8. В последнем случае в силу следствия
2 леммы 4 Т < О, в противоречие с (7).
Таким образом, мы показали, что Т -либо группа порядка рг, либо циклическая р-группа, либо элементарная абелева группа
2
порядка р .
Рассмотрим теперь, какой может быть группа Q и каковы ее связи с группой Т.
Для Q возможны 2 случая. I. Q - примарная группа. Тогда Q - д-группа для некоторого простого д.
Ввиду следствия 1 теоремы 1 Q - либо циклическая, либо нециклическая группа порядка д3 или д2 . Рассмотрим эти возможности, объединив некоторые из них.
1.1. Q - неабелева группа порядка д
или циклическая группа порядка дп,(п > 2). Для Т возможны 2 случая. 1.1.1. |Т| = р - простое число.
Возможны следующие подслучаи:
a) Q - циклическая q-группа. Тогда из теоремы 4 вытекает, что = д2р и G - одна из групп, перечисленных в пункте II теоремы 5.
b) Q - неабелева группа порядка д . Тогда в силу (2) ее центр £ порядка д
инвариантен в G. Пусть в Q есть Т - допустимая подгруппа R порядка д2 . Тогда в силу ¿-условия (5 X Г}^ с (Я X Т) = Н (8) Ух £ С,
откуда Тх с Н (9). Так как Я < Q и R. Т-
допустима, то Ях = Я . Отсюда и из (8) и (9) следует, что Н < G . В силу аргумента Фрат-тини 0 = Н ■ N (Г) = Д" ■ Дг(!Г) (10), откуда
следует, что £/ Я ■ ЛГ(Т) и Я (X N(1)
(11) - ввиду (10) и (7). Если делится
на д2 , то ввиду ¿-условия Я с N(T) , в противоречие с (11). Значит, N (Т) = Т0Х = Т х Q1
(12), где № = ц и £ = @г>ЩТ)) < ЩТ) .
В силу ¿-условия из (11) и (12), так как N(Т)| | |Н| и не простой получим N(Т) с Н, а тогда из (10) следует, что G=H,
что невозможно, ибо
не делится на д .
Значит, в Q нет Т-допустимых подгрупп порядка д .
Так как = (по условию Ь), то из
доказанного следует, что в Q нет характеристических максимальных подгрупп - но такие
подгруппы есть в группе диэдра D8 (у нее -
единственная циклическая максимальная подгруппа - см. [1], задача 17.20), и модулярной
группе М , , ц Ф 2 (у нее - единственная
^ ч ~
нециклическая максимальная подгруппа - см.
[1], задача 17.19). Поэтому Q не может быть
изоморфной D8 и Мд3 , и из списка неабеле-
вых групп порядка д3 следует, (см., напр.,
[2], гл. 4) что либо Q = Q8 - группа кватернионов, либо О - группа экспоненты <:/, ц Ф 2,
и G - группа типа Ш.2 теоремы 5. 1.1.2. |Г| непростой.
В силу условия 1.1 Q найдется характеристическая подгруппа £ порядка д: если Q -
неабелева группа порядка д3 , то возьмем £=Z(Q) (13), а если Q - циклическая д-группа, то в качестве S возьмем нижний слой группы Q. Так как £ < G, то в G существует подгруппа £Г=£хТ(14). Из Ь-условия и непростоты |Т| получаем, что Ух е G Тх с Н и
потому Н < G . В силу аргумента Фраттини Сг = И-^Т) = (15) (БеЩТ),
ибо иначе Сг = в противоречие с (7)). Из
(15), учитывая, что £ с Z0), получаем:
£=£хЛ1 (16), где N = (0^(Т))*1.
Если 0 - циклическая д-группа, то равенство (16) невозможно, ибо такая группа неразложима в прямое произведение. Если же 0 - неабелева группа и 0| = д3, то отсюда и
из (16) следует, что ^^ = д2, и потому -
абелева группа, а тогда из (16) получаем, что 0 абелева, вопреки условию пункта 1.1. Значит, случай 1.1.2 невозможен. Рассмотрение случая 1.1 закончено. 1.2. 0 - нециклическая абелева группа
„3 2
порядка д , содержащая элемент порядка д .
Тогда 0 = Я х А (17), где |А| = д и Я -циклическая группа порядка д2 . Отсюда и из (17) следует, что нижний слой 0Х группы 0
имеет порядок д2 и инвариантен в G. В силу ¿-условия Д с X Г, откуда ввиду (3) получаем Я < 01, и потому Я = 0Х (так как \Я\ = 0^), что невозможно, так как - нециклическая группа, а Я циклическая. Значит, случай 1.2 невозможен.
1.3. Q - элементарная абелева группа одного из порядков q, q2 или q3. Как показано перед пунктом I, Т - либо циклическая р-группа, либо группа порядка рг, либо элементарная абелева группа порядка р 2 .
Рассмотрение группы О (в зависимости от Т) разобьем на 2 случая.
1.3.1. |Т| = р - простое число.
Если равен q2 или q, то |О| - либо pq, либо рq2 и О - одна из групп типа II теоремы 5. Если = д3, то в силу леммы 14 О -одна из групп типа Ш.1.
1.3.2. |Т| - непростой.
Возможные подслучаи: 1.3.2.1. Т - циклическая группа.
Тогда в силу сказанного выше о Т либо \Т\ = рг (18), либо |Т| = рп (19), где п > 2 (20) (в силу условия 1.3.2). Пусть выполняется (19) и (20). Если п > 3 (21), то в силу условия пункта 1.3.2.1 и следствия леммы 13 = д .
Так как при выполнении (21) в силу следствия 1 леммы 4 р-ядро R группы О удовлетворяет
условию
¿/
XR
= Р
и
R < G, то
v - R = 0 ■ R и ввиду цикличности ¿
R ^ Z(G), а из неабелевости G следует R = Z (G) , и G - группа типа III.3 теоремы 5.
Если n < 2, то, учитывая условие I.3.2, получаем, что = р2 и G, в силу лемм 14 и 13, одна из групп типа III.4 или III. 1 теоремы 5.
Если = рг , то при \Q\ = q3 в силу леммы 14 G - одна из групп типа III.1, а при \Q\ = q2 в силу леммы 13 - группа типа III.4
теоремы 5.
I.3.2.2. ¿ - нециклическая группа. Тогда по доказанному выше перед пунктом I ¿ - либо элементарная группа порядка р 2, либо неабелева группа порядка рг. Пусть ¿ - элементарная абелева группа
2 I I 112
порядка р . Если Q = q , то G = qp и G -одна из групп типа II теоремы 5. Если же Q -элементарная абелева группа порядка q2 и
q , то в силу следствия леммы 13 и леммы 14 G - одна из групп типа III. 1 теоремы 5.
Пусть Т - неабелева группа порядка рг и R - ее неинвариантная подгруппа. Тогда при = д2 в силу лемм 12 и 14 в Q нет собственных Т-допустимых и R-допустимых подгрупп и G-группа типа Ш.5 теоремы 5. Если же = д3, то в силу леммы 14 О - одна из групп типа Ш.1 теоремы 5. Наконец, если = д, то О| = рдг и О - одна из групп типа
II теоремы 5.
II. Q - непримарная группа. Тогда в силу леммы 11 |Т| = р - простое
число и 1^(0)1 = 2 .
Если 0 - циклическая группа, то из теоремы 4 следует, что |О| = рдг и одна из групп
типа II теоремы 5 (ибо она ненильпотентна).
Пусть группа 0 нециклическая. Тогда, так как она нильпотентная ¿-группа, по теореме 2 0 = Я х S, где Щ = г , а S - элементарная абелева группа порядка д2 . Очевидно,
5 < О.
Пусть в 5 есть собственная Т-допус-тимая подгруппа S1. Тогда ^ | = д (22) и по
теореме Машке S = S1 х S2 (23), где |$2| = д (24) 5а также ¿-допустима. В силу ¿-условия ■ Г, откуда ввиду (2), (3) и
(21). Так как S - единственная силовская д-под-группа группы (¡, следует, что с 51, и в силу
(24) и (22) 5г = вопреки (23).
Значит, в S нет собственных Т-допусти-мых подгрупп. Так как ф П Т = 1, Т О и О-
непримарная нильпотентная группа, то в силу леммы 11 (где в качестве 0 берем Т, а в качестве N - подгруппу Q) |Т| = р - простое число.
Значит, О - группа типа Ш.6 теоремы 5.
Необходимость доказана.
Достаточность. Проверим ее для группы О каждого из типов, приведенных в теореме 5. Вначале отметим, что в силу замечания 1 к определению 3' максимальные подгруппы группы О не могут быть первыми в ее ¿-лагранжевых парах.
I. Конечная циклическая группа является, очевидно, ¿-группой.
II. Группы, перечисленные в типе II, являются ¿-группами в силу следствия леммы 1.
III. 1. В группе этого типа Т является холловой подгруппой. Так как по определению группы типа III. 1 в Q нет собственных Т-допустимых подгрупп, то это верно и для любой подгруппы Тх (X е G) .
Все /-подгруппы непростых порядков группы G - это Тх при |т| = р2; если
Г1 I Т7 X
= рг , то Т - все подгруппы порядка рг
группы G. Из определения группы типа Ш.1
следует, что Тх < О при любом д £ С. Далее,
для любого t, делящего |т| в G нет подгрупп
113 2
порядка qt, а при 0 = д и порядка q t, иначе в Q была бы собственная Т1 -допустимая подгруппа для подгруппы Т1 порядка t группы Т. Все д-подгруппы группы G содержатся в Q, а она является ¿-группой. Наконец, при |Т| Ф р все подгруппы порядков 0| • р и
0| • г (если г | |т| ) имеют в G простые индексы, т. е. являются максимальными подгруппами группы G. Подгруппа Q содержится во всех этих подгруппах. Значит, G - ¿-группа.
Ш.2. В группе G такого типа
О : 0 = р - простое число, а д-подгруппы непростых порядков имеют порядки д2 или 4
и содержатся в 0. Подгрупп порядка д р и 4р в G нет. Поэтому подгруппы порядков др, (если они есть) и 2р являются максимальными в G. Значит, G является ¿-группой.
Ш.3. Пусть (' = 1,2) - подгруппы непростых порядков группы G типа Ш.3 и Н111 21 . Если они непримарны, то содержат
0 и, так как
0
максимальных подгрупп Ту (у е G), как нетрудно видеть из (4), содержатся в подгруппе 0 х X(О), а она циклическая и потому любые две ее подгруппы инцидентны. Но О : Ту | = д - простое число, и в силу замечания 1 к определению 3' для Ту лагранжево условие проверять не нужно. Значит, О является ¿-группой.
Ш.4. Пусть О - группа типа Ш.4.
Если Т = рг, то в О - единственные подгруппы А = соответст-
22
венно, порядков д р и д г . В первой из них содержатся все подгруппы порядков др и
д2 , во второй - порядков д2 и дг . Осталь-
Гх
(Ух е О), ибо подгрупп порядка дрг в О нет.
Подгруппы Тх являются максимальными в О. Значит, группа О является ¿-группой.
Если |Т| = р2, то так как Т - цикличе-
2
ская группа, подгруппа порядка д р единственна в О и содержит все подгруппы порядка др группы О, а подгрупп порядка др2 в О нет. Поэтому всякая группа типа Ш.4 является ¿-группой.
Ш.5. Пусть О - группа типа Ш.5. В такой группе подгруппы непростых
порядков
Тх
явля-
примарная циклическая,
то Нх и Н2 - инцидентны. Пусть |Нг-| = р' (1), '' > 2 и ^ <'2 (2). Если '2 = 5 , то Н2 = Тх для некоторого X е О. Введем обозначение: 2(О)=2. В силу (1) и (2) Ф 5 из условия = рд (3) получаем, что Нх ^ X
(4), а тогда Нх ^ Н2 . Если же '2 < 5 , то из (3) получаем, что Н ^ X , а так как X - циклическая р-группа, то Нх < Н2 . Наконец, все подгруппы непростых порядков, отличные от
ются максимальными в О. В первой из них содержатся все подгруппы порядка др, если такие в О есть. Подгрупп порядков дрг и дг по определению группы типа Ш.5 в О нет, а 0 -единственная подгруппа группы О порядка
д2 . В силу сказанного О является ¿-группой. Ш.6 Пусть О - группа типа Ш.6. Тогда | С | = д Ввиду отсутствия в
Т-допустимых подгрупп порядка д в О нет подгрупп порядков др и дрг, и потому подгруппы порядка рг являются максимальными в О. Подгруппы порядков также мак-
симальные в О.
Значит, в любой ¿-лагранжевой паре (А, В) подгруппа А имеет порядок или дг, а
тогда в первом случае В - порядка ц2г или и А<В (ввиду единственности подгруппы
и
порядка щ2), а во втором |В| = ц2г, т. е. В=0
и опять А<В. Значит, G - является ¿-группой.
□
Теорема 6. Конечная группа G является ¿о -группой тогда и только тогда, когда она -группа одного из следующих типов:
1. Циклическая;
2
2. Нециклическая группа порядка р или рд;
3. С = ф X Г,(|<21| |!Г|} = 1, и выполняется
одно из следующих условий:
3.1. 0 - элементарная абелева группа поряд-
2
ка д , являющаяся минимальнои нормальной подгруппой группы О, и |Т| = р;
3.2. Ю = д, |Т| = р",^ > 2 , Т- циклическая
О/
группа,
'Z (G )
= pq ;
4. G = Q8 - группа кватернионов. Необходимость. Пусть G - L0 -группа.
Тогда она является L-группой, и по теореме 5 G -одна из групп приведенных там типов I, II, III.
Пусть G - группа типа II. Если она ниль-потентна, то в силу следствия теоремы 2 G либо нециклическая группа порядка p2 (т.е. типа 2), либо изоморфна Q8 (т.е. типа 4).
Пусть G ненильпотентна. Если |fr| = pq,
то G - одна из групп типа 2. Пусть |G| = pq2.
Если ее силовская q-подгруппа Q - циклическая группа, то в силу леммы 7 G удовлетворяет условиям леммы 9 и потому является одной из групп типа 3.2 теоремы 6. Пусть Q -элементарная абелева группа. Тогда в силу L0-условия она содержит все подгруппы порядка q и потому Q < G . Значит, G - одна из групп типа III. 1 и так как |7"| = р. является
группой типа 3.1.
Пусть L0 - группа G имеет порядок pqr.
Тогда в силу L0 -условия ее подгруппа S порядка pq единственна (ибо из L0 -условия
следует, что эта подгруппа содержит все подгруппы порядков p и q группа G). Единственны и подгруппа B порядка qr и F порядка pr. Поэтому F, S и B инвариантны в G, а тогда инвариантны в G и их пересечения - это
F n S = P, PI = p , F n B = R, \r\ = r и
P n B = Q, \Q\ = q. Тогда G = P x Q x R - циклическая группа, а таких L0 -групп в типе II нет. Итак, из групп типа II теоремы 5 L0-
группами могут являться только группы типов 2, 3.1, 3.2 (при 5=2) и 4 теоремы 6.
Пусть G - любая группа типа III теоремы 5. Во всех его подтипах, кроме III.2.
Q i Q8, и потому в этих подтипах Q| Ф q3
(1) - в силу следствия 2 теоремы 1 (ибо циклической группой порядка q3 в типе III О не
может быть. Поэтому если G - группа типа III. 1,
то \Q\ = q2, а тогда T- группа порядка p2 . Если
она элементарная абелева, то по следствию 5 леммы 3 T < G, что невозможно в группах III. Если T - циклическая группа, то ее подгруппа î"i порядка р содержится в Тх Ух € С,
и потому fi =0p(G)< G. Но тогда Ç X ïj - нециклическая абелева £.<} - группа порядка q2p,
что противоречит следствию теоремы 2. Значит G - группа типа 3.1 теоремы 6.
Группы типа III.2 при Q i Q8 в силу (1)
не являются L0 -группами.
Если 0 * Qs, то Ух EG ТЛ: с (S X Г) = H
где = 2 (в силу L0 -условия). Но тогда Г" = Г Г и G нильпотентна, вопреки определению группы типа III.2. Значит, никакая группа типа III.2 не является L0 -группой
Группы типа III.3 - это часть групп типа 3.2 данной теоремы.
Пусть существует L0 -группа G типа III.4. Если | !Г| = рг то по лемме 3 T <G, что
невозможно в таких группах.
Если в группе типа III.4 T - циклическая
2
группа порядка p , то все подгруппы порядка p в силу L0-условия содержатся в T, т. е. 0,- совпадает с подгруппой T1 группы T
порядка p. Тогда T1 < G , и потому T1 œ Z(G).
Так как Q = Q1 x Q2, где QJ = q, i = 1,2 , то в
G существует подгруппа H = Q x T1. Это -абелева нециклическая группа порядка q*p, а
таких ¿0 -групп нет в силу следствия теоремы 2. Значит, такая группа О не является ¿0-группой. В ¿0-группе О типа Ш.5 всякая подгруппа порядка г должна содержаться в подгруппе и потому (§ X Л) 0, а тогда
Я 7", вопреки определению группы Ш.5. Значит, группа О типа Ш.5 не является ¿0-группой. В группе О типа Ш.6 содержится нециклическая абелева подгруппа 0 порядка д р, которая в силу следствия теоремы 2 не является ¿0 -группой. Значит, группа типа Ш.6 не является ¿0-группой.
Необходимость доказана. Достаточность. Циклическая группа и
2
группы порядков р и pq, очевидно, являются ¿0-группами. В группе типа 3.1 все подгруппы порядка д содержатся в 0, а подгрупп порядка рд в силу минимальности нормальной подгруппы 0 нет.
В группе типа 3.2 все подгруппы порядка р содержатся в подгруппах Тх Ух е О и
0 х Т1, для любой Т1 с X(О), т. е. при
1 < Т1 < Т . Подгруппа 0 порядка д содержится во всех непримарных подгруппах. Так как такая группа О является ¿-группой (типа Ш.3
или порядка рд , т.е. типа II теоремы 5), то и для подгрупп непростых порядков ¿0 -лагранжево условие в О выполняется. Значит, группа типа 3.2 является ¿0-группой Наконец,
группа 08 (типа 4), очевидно, является ¿0-группой. □
Из теорем 6 и 5 легко получить описание следующих двух подклассов ¿0-групп и £ -групп.
Определение 6. Конечную группу О на-
зовем 10 -группой, если любые две ее подгруппы различных порядков инцидентны или таких пар подгрупп в О нет.
Очевидно, 10 -группы являются ¿0 -группами.
Определение 7. Конечную группу О назовем Iн-группой, если любые две ее подгруппы различных непростых порядков инцидентны или таких пар подгрупп в О нет. Iн -группы - это подкласс класса ¿-групп.
Теорема 7. Класс 10 -групп совпадает с классом примарных ¿0-групп. Описание этого класса групп приведено вследствие 2 теоремы 1.
Теорема 8. Группа О является IН -группой тогда и только тогда, когда она -группа одного из типов:
1. Циклическая р-группа;
2 3
2. Группа одного из порядков р , р , рд ;
3. £.7 = 0 ■ Р, где |Р| = р, 0 - элементарная абелева группа порядка д3 или д2 , являющаяся минимальной нормальной подгруппой группы О.
Впрочем, теоремы 7 и 8 нетрудно доказать и непосредственно.
Заключение
В работе получено описание ¿-групп и ¿0 -групп. Представляется интересным изучить ¿х -группы при менее "жестких", чем у нас, свойствах Можно получить и новые общие свойства ¿х -групп для всех или достаточно широких свойств
Список литературы
1. Белоногое В.А. Задачник по теории групп.
М.: Наука, 2000. 240 с.
2. Холл М. Теория групп. М.: изд-во иностр.
лит-ры, 1962. 468 с.
Finite groups with some incidence conditions connected with Lagrange's theorem
Ya. D. Polovitsky
Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru; (324)236-82-83
The paper describes the finite groups for which the following is true: for any subgroups A and B of different orders, of which | A| is non-prime, from |A| | |B| it follows that A < B .
Keywords: subgroup; Lagrange's theorem.
